ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR 02

Tanım aralığının alt aralıklarında farklı kurallarla tanımlanmış fonksiyonlara, parçalı fonksiyonlar denir.

ÖRNEK:

f:R R, f(x) =

f₁(x) , x₁  x  x₂

f₂(x) , x  x₁ v x  x₂ ise

fonksiyonu parçalı bir fonksiyon olup x = x₁, ve x = x₂ noktaları tanım aralıklarının uç noktalarıdır ve bu noktalara fonksiyonun

Parçalı fonksiyonların grafikleri çizilirken, tanım aralığının her alt aralığındaki farklı kurallarla tanımlanmış fonksiyonların grafikleri ayrı ayrı çizilerek grafik belirlenir.

ÖRNEK :

f: R R , f (x) =

x2 + 2x , x < 1 ise

0 , x = 1 ise -x + 2 , x > 1 ise fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

ÇÖZÜM :

1. y = x2 + 2x parabolünün (-, 1) aralığına karşılık gelen kısmı

çizilir.

2. ( 1,0 ) noktası işaretlenir.

3. y = - x + 2 doğrusunun (1, + ) aralığına karşılık gelen kısmı

alınır. Böylece f parçalı fonksiyonunun grafiği çizilmiş olur.

3 2 1 0 -1 -1 -2 1 2

A  R , B  R olmak üzere f : A  B ye

= f (x) = f(x) =

-f (x) , f(x)  0 ise f (x) , f(x)  0 ise

Şeklinde tanımlı fonksiyona, mutlak değer fonksiyonu denir.

(x) f 2

f(x)   0 olduğundan, f(x)  fonksiyonunun görüntü

kümesi R

 {0} dır.

f(x)  de f(x) = 0 denkleminin reel köklerine kritik

noktalar denir.

f(x)  fonksiyonunun grafiği bu noktalarda

kırılma ya da kıvrılma yapar.

f(x)  in tanımlanabilmesi için, f (x) in işareti

bilinmelidir

f : A B, | f | (x) = | f (x) | =

-f (x), f (x) < 0 ise f (x), f (x)

 0 ise

dir.

Bu tanıma göre mutlak değerli fonksiyonların grafikleri çizilirken aşağıdaki adımlar izlenir.

1. y = f (x) in grafiği çizilir.

(x, f (x) ) noktalarının x eksenine göre simetriği (x , -f (x) ) olduğundan

2. f (x) < 0 olduğu kısımların (x ekseninin altında kalan parçaların ) x eksenine göre simetriği alınır.

3. f (x) 0 olduğu kısımlarda |f (x) | = f(x) olduğundan , fonksiyonun grafiği aynen kalır.Böylece, | f(x) | grafiği çizilmiş olur.

ÖRNEK :

f : R R , f (x) = | 4-2x | fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

ÇÖZÜM :

Önce mutlak değer içinin işareti incelenir: 4 – 2x = 0  x = 2 x - 2 +  42x + -f (x) = | 4- 2x | = 4-2x , x  2 ise 2x- 4 , 2 < x ise 4 0 2 _x y

R R , y = f (x) fonksiyonu verilsin ;

y = sgn f (x) =

-1 , f (x)  0 ise, 0 , f (x) = 0 ise, 1 , f (x) >0 ise,

biçiminde tanımlanan fonksiyona, f ‘in işaret (signum) fonksiyonu denir.

sgn f (x) fonksiyonu sadece –1 , 0 , 1 değerlerini alabilir. O halde sgn f (x) fonksiyonunun görüntü kümesi; {-1,0,1} dir.

sgn f (x) in tanımlanabilmesi için f (x) in işareti bilinmelidir. sgn f (x) fonksiyonunda, f (x) = 0 denkleminin köklerine,

kritik noktalar denir. İşaret fonksiyonu bu kritik noktalarda sıçrama

ÖRNEK :

sgn (x2-3x) = - 1 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÇÖZÜM :

x2 – 3x fonksiyonunu negatif yapan değerler kümesi bulunmalıdır.

x2- 3x < 0  x (x-3) < 0

x (x-3) = 0  x = 0 v x = 3

x - 0 3 +

x2-3x + _ +

y = sgn f (x) in grafiği çizilirken aşağıdaki aşamalar izlenir.

1. f (x) fonksiyonunun grafiği çizilir.

2. f (x) fonksiyonunun grafiğinin;

x ekseni üstünde kalan kısımlar için, y =1 doğ. çizlr. x ekseni altında kalan kısımlar için, y = -1 doğ. çizlr. x eksenini kestiği noktalar için, y = 0 işaretlenir

ÖRNEK:

f : [ - ,  ] R , f (x) = sgn ( sin x) ile tanımlı fonksiyonun

grafiğini çiziniz.

ÇÖZÜM :

Fonksiyonla ilgili grafik ve tablo aşağıdaki gibi çizilir.

x - 0  sin x - + f (x) -1 1 - 0  1 -1 x y

x R olmak üzere, x ten büyük olmayan en büyük tam sayıya, x in tam kısmı denir. Ve bu sembolü ile gösterilir. Yani;

[x]

_[x]

ÖRNEK : f: R R , f(x) = fonksiyonu veriliyor. f(-1) görüntüsünü bulunuz. 2x-1 5

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

x, y  R , x+y  x + y dir.

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

x, y  R , x = y ise | x-y | < 1 dir.

[ ] [ ]

[ ]

-x , x  Z ise - x -1 , x  R – Z ise

[ ]

f: A  R Z , f (x) = g (x) in grafiğini çizerken şu aşamalar

izlenir.

[ ]

1. Aralık uzunluğu belirlenir.

2. Tanım aralığı aralık uzunluğuna göre ve uç noktalar aralık uzunluğunun tam katı olacak biçimde bölünür.

ÖRNEK :

f : [-6 , 5] R , f (x) = grafiğini çiziniz.

[ ]

ÇÖZÜM :

1. Aralık uzunluğu 1 3 tür. Buna göre, uç noktalar 3 ün tam sayı katı olacak biçim de tanım aralığı bölünür.

2. [-6 , 5] aralığını bölerek f (x) i parçalı fonksiyon biçimde tanımlayalım.

-6 -3 0 3 5 -1 -2 1 -6  x  -3  = -2 -3  x  0  = -1 0  x  3  = 0 3  x  5  = 1

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]