Katı Cismin Uç Boyutlu Hareketi
KĐNEMATĐK 7/2 Öteleme :
a a a
v v v v
v v r
r r
r r
B A
B A B
A B A A
B A B A B A
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
=
=
=
⇒ = +
=
= +
=
/ /
/ ,
7/3 Sabit Eksen Etrafında Dönme : Hız :
r r x w e
bw v
e bw r
x w
e b e h x e w r x w
e bw v
dt e bd e dt b
r v d
e b e h b h r A O
A r n
n A
r A
r n
ɺ
ɺ
=
=
⇒ =
=
+
=
=
= +
=
=
+
= +
=
=
θ θ
θ
θ θ
) (
0
Đvme :
( )
( ),
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
[ ( )]
A A
A A
n n r t
t
n n n r
n
dv d
a wxr
dt dt
a wxr wxr wxr wx wxr a wxr w r w w w r wxr we x he be wbe a
a wb b
ax bxc a c b a b c wxwxr we x we x he be
a w
θ
α
= =
= + = +
= + • − •
= + = =
= =
= ⋅ − ⋅
= +
=
ɺ ɺ ɺ
ɺ
ɺ ɺ ɺ
ɺ
2
2
( )
. 0 , . 0 , . 0 , . 0
n r
n
xwxr we x bwe bw e Normal Đvme a bw
v w v w a w a w
= θ = − →
=
= = = =
ɺ ɺ
A) Üç Boyutlu Genel Katı Cisim Hareketi (Öteleme yapan x-y-z Eksenler)
Bağıl hareket kavramını üç boyutlu harekete genelleştirerek inceleyeceğiz. XYZ sabit eksen takımını, xyz ise hareketli eksen takımını ifade etsin.
w
açısal hız vektörü, rA rB rA/B vA vB vA/B , aA aB aA/B
+
= +
= + ⇒
= idi. Düzlemsel
harekette elde ettiğimiz bu ifadeler aynen üç boyutlu harekette de geçerlidir. Sadece
B
A uzaklığının sabitliğine dikkat edilmelidir. xyz ile aynı ötelemeyi yapan B ’deki
gözlemciye göre, katı cismin A noktası merkezinde B olan bir küre yüzeyinde kalır. Yani, katı cismin üç boyutlu genel hareketini B ‘nin ötelemesi + B etrafında katı cismin
dönmesinin süperpozisyonu olarak görebiliriz.
NOT: rA B BA
/ = vektörü katı cisme değişmez olarak bağlıdır. Aynen ddti wxi ddti wxi
=
= ,
ifadelerinde olduğu gibi, drdtA/B wxrA/B
= biçiminde yazılabilir.
B A B
B A B
B A B A
A v wxr
dt r v d
r dt r
d dt
r
v d ( / ) / /
= = + = + = + sonucu elde edilir.
Đvme :
) (
) (
/ /
/ /
/
B A B
A B
A
B A B
A B
B A B
A A
r x w x w r
x w a
a
r x w r
x w a
r x w dt v
d dt
v a d
ɺ
ɺ
ɺ
+ +
=
+ +
= +
=
=
biçiminde ivmeler alanı elde edilir.
w
: Katı cismin ani dönme vektörü wɺ
: Katı cismin açısal ivmesi Not : xyz ekseni A’ da alınırsa;
B A A
B A
B A
B A
B
A B A
B
r r
r x w x w r
x w a
a
r x w v
v
/ /
/ /
/
, )
(
ɺ
−
= +
+
= +
=
biçimindedir.
Not : B noktasının katı cisim üzerinde hızı bilinen bir nokta olarak seçmek faydalıdır.
Not : Eğer şekildeki A ve B noktaları katı cismin uzaysal mekanizmasının rijid kontrol bağlantı uçları iseler ki bu tür bağlantı elemanları küresel mafsal (ball and socket) şeklinde uçlarından bağlanırlar. Bağlantı
kolunun (AB ’nin) kendi ekseni etrafındaki herhangi bir dönmesi AB ‘nin sistem üzerindeki etkisini etkilemez. Böylece AB ’nin etkisini AB ’ye dik olan
w
ntemsil eder.
Bu da bize,
/ =0
⋅
⊥ ⇒ n A B
n BA w r
w
şartını verir. Benzer şekilde AB ‘nin açısal ivmesinin etkisini AB’
ye dik olan n BA
⋅
α =0 denklemini verir. Bu son iki denklem problem çözümünde eksik kalan denklem sayısını verir.
B) Dönen Referans Sistemine Göre Genel Hareket
Katı cismin üç boyutlu hareketinde genel hareketin (öteleme ve dönme) tam olarak
açıklayabilmek için, hareketli ekse takımının (xyz) hareketini de genel hareket (öteleme ve dönme) olarak almak gerekir. xyz ‘nin açısal hızı Ω
ve orijini B noktasıdır. xyz ‘nin açısal hız vektörü
Ω
ile katı cismin w
açısal hız vektörü farklı olabilir,
Hız :
b A Bağ
B A
Bağ B
A B A
B B
A B A
B A B A
r x v
v v
k x j
x y i x x v
v v
k z j y i x k z j y i x v v
k z j y i dt x v d
r dt r
v d r
r r
/
/ /
2
) (
) (
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
Ω + +
=
Ω + Ω + Ω + +
=
+ + + + + +
=
+ + +
= +
= + ⇒
=
Đvme :
dt r x d r
x dt v
a d a
r x v
dt v d dt
a dv
B A B
A Bağ
B A
B A Bağ
B A
A
/ /
/
) (
) (
ɺ
Ω + Ω
+ +
=
Ω + +
=
=
Not :
5inci bölümde xyz ekseninde yazılan herhangi bir vektörün XY eksen takımındaki türevi:
v x dt w
v d dt
v d
xy XY
+
= biçimde unutmamışlardır. Bu ifadenin 3 boyutlu ifadesi
Bağ xyz
Bağ
Bağ XYZ xv
dt v v d
dt
d
= +Ω ifadesi elde edilir. Buna göre,
/
/
/ /
/ /
/ /
( )
( )
2 ( )
Bağ
A B XYZ xyz Bağ
Bağ A B
A B Bağ A B A B
A B Bağ Bağ A B Bağ A B
A B Bağ Bağ A B A B
Bağ
d dv
r xv
dt dt
dv dr
a a xv xr x xr
dt dt
a a a xv xr xv x xr
a a a xv xr x xr
v x
= + Ω
= + + Ω + Ω + Ω + Ω
= + + Ω + Ω + Ω + Ω Ω
= + + Ω + Ω + Ω Ω
=
ɺ
ɺ
ɺ
ɺi + +yj zk⇒abağ = xi+ +yj zk
ɺ ɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ
biçimlerini alır.
Katı Cismin Bağıl Dönmesi
x-y-z eksen takımını katı cismin herhangi B noktasına bağlayalım. BA dat katı cismin sabit uzaklığıdır. Katı cismin sabit OXYZ ’ye göre dönmesi ∆θ olsun. Yani xyz ekseni ∆θ
kadar dönsün. Aynı dönmeyi AB doğrusuda yapar. Ayrıca, BA doğru parçasının xyz ‘ye göre ∆θ=∆θbağıl dönmesine izin verelim.
Böylece AB ’nin toplam dönmesi; OXYZ ’ye göre ∆θ ile Bxyz’ ye göre ∆θ=∆θbağıl
dönmelerinin toplamı kadar olur. Toplam dönme
bağ
T θ θ
θ =∆ +∆
∆ yazılır. ∆θ ile bölünüp limite geçilerek,
bağ T
bağ t
t
t w w
t t
t
+ Ω
⇒ =
∆ + ∆
∆
= ∆
∆
∆
→
∆
→
∆
∞
→
∆
θ θ θ
0
0 lim
lim
lim ifadesi bulunur.
Üç boyutlu harekette,
k w j w i w w
k j
i
z y
x bağ
z y
x
+ +
=
Ω + Ω + Ω
=
Ω 1 1 1
biçiminde olabilir.
k w j w i w k j
i w
wT bağ x y z x y z
= Ω+ = Ω 1 +Ω 1 +Ω 1 + + +
Ω
: Katı cismin OXYZ’ ye göre açısal hız vektörü,
bağ
w
: Katı cismin hareketli eksen takımına göre açısal hız vektörü.
Not :
OXYZ ile Bxyz paralel ise, k
k j j i i
1 = ; 1 = ; 1 = alınır. Aksi halde i1, j1,k1
; i j k
,
, cinsinden yada tam tersi yazılmalıdır.
Toplam Açısal Đvme
bağ bağ
T
z y
x bağ T
z y
x z
y x
z y
x T
bağ T
T
w x
k x w j x w i
x w
k w j w i w k w j w i w k j
i
dt w d dt
w d
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ ɺ
ɺ ɺ
Ω + +
Ω
=
Ω +
Ω +
Ω +
+ Ω
=
+ +
+ +
+ +
Ω + Ω + Ω
=
+ Ω
=
=
α α
α α
α α
) ( )
( )
(
) (
1 1
1
ifadesi elde edilir Ωɺ
: Katı cismin (Bxyz) OXYZ ‘ye göre açısal ivmesidir
A
bağ :B
α parçasının Bxyz ’ye göre açısal ivmesidir.
Not :
Düzlemsel harekette Ω
ile w
aynı doğrultulu olurlar. Ωxwbağ ≡ 0
yazılır.
Düzlemsel halde toplam açısal ivme ise,
bağ
T α
α =Ωɺ + şeklinde yazılır.
Not : Eğer Ω
sabit ise (Büyüklüğü ve doğrultusu değişmiyorsa) Ωɺ =0
yazılır. Aynı hal
bağ
w
için de var ise bağ = wɺbağ ≡ 0
α alınır. Bu durumda toplam ivme T xwbağ
= Ω α
şeklinde elde edilir. (Ω
ve w
’nın sabit olduğu hal)
Bunlara ilave olarak eğer hareketler düzlemsel ise Ω//wbağ ⇒Ωxwbağ = 0
olur ve
böylece sabit açısal hız ile düzlemsel hareket yapan katı cismin bağıl hareketinde toplam açısal ivme αT =0alınır. (Ω ve w sabit, hareket düzlemsel)
