TAHMİN PROBLEMİNE GİRİŞ

BÖLÜM 6

TAHMİN PROBLEMİNE GİRİŞ

Buraya kadar, rasgele değişkenlerin dağılım fonksiyonları ile olasılık fonksiyonlarının yanında bazı moment özellikleri ele alındı. Rasgele değişkenlerin dönüşümleri, bu dönüşümlerin momentlerine ilişkin bazı eşitsizlikler ve uygulamada çok karşılaşılan bazı özel dağılımlar incelendi.

Hemen hemen bütün bilim dallarında olduğu gibi, istatistiğin de esas amaçlardan biri üzerinde çalışılan kitle hakkında bilgi sahibi olmaktır. Başka bir ifade ile kitlenin bilinmeyenleri (parametreler) hakkında bilgi sahibi olmaktır. Yani, kitlenin parametreleri hakkında tahminlerde bulunmaktır. Kitle parametresi  ile gösterilecektir. Kitlenin

1 , 2 , _k

  _  gibi k tane parametresi varsa, bu da 

 ile gösterilecektir. Bundan sonraki bölümlerde, parametrelere ilişkin tahmin yöntemleri üzerinde durulacaktır. Bu tahminler, gerçekleşmesi tamamen raslantıya bağlı olan deneylerin sonucuna bağlıdır. Tek bir deney ile istatistiki sonuç çıkarım yapmak anlamlı değildir. Dolayısı ile deneyler tekrar edilir. Bir deney aynı koşullarda tekrarlandığında, aynı sonuç gözlenmeyebilir.

6.1. Örneklem ve Özellikleri

Kitle parametrelerini tahmin etmek için deneyler tekrarlanır. Her tekrarda rasgele değişkenin değeri gözlenir. Ancak, deneylerin belli kurallara göre yapılması gerekir.

Deneyler birbirinden bağımsız olarak yapılabildiği gibi, bağımlı da olabilir. Her deney için rasgele değişkenin dağılımı da farklı olabilir. Burada, aksi söylenmedikçe, denemelerin birbirinden bağımsız olduğu varsayılacaktır. Yani, rasgele değişkenler birbirinden bağımsız aynı dağılıma sahiptir.

Tanım 6.1.1 Birbirinden bağımsız aynı dağılıma sahip X X ₁ , ₂  , X _n rasgele değişkenlerine bir örneklem denir 

1 , 2 , , _n

X X  X olasılık veya olasılık yoğunluk fonksiyonu ( ; ) f x  olan kitleden bir

örneklem olsun. Bu durumda örneklemin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu,

1

, , 1

1

1

2

2

1

( , , ) ( ) ( )... ( ) ( )

n n i

n

X X n X X X n X i

i

f x x f x f x f x f x



  

 

şeklinde yazılabilir. X X ₁ , ₂  , X _n beklenen değeri  olan üstel dağılımdan bir örneklem ise P X ( ₁  2, X ₂  2 ,  X _n  2) olasılığı,

2/ 2 /

1 2

1

( 2, 2 , _n 2) ⁿ ( _i 2) [ ( _i 2)] ⁿ [ ] ^{n n}

i

P X X X P X P X e ^{ } e ^{ }



          

şeklinde hesaplanır.

Örneklem, genellikle sonsuz elemanlı bir kitleden alınır. Ancak, örnek uzayın sonlu elemanlı olduğu durumlarda örnekleme kurallarına dikkat edilmelidir. Sonsuz elemanlı bir kitleden örneklem alındığında, X rasgele değişkeninin değeri ₂ X rasgele değişkeninin ₁ alacağı değerden etkilenmez. Örnek uzay sonlu elemanlı ise denemeler birbirine bağımlı olabilir. Örneğin, içinde belli sayıda sarı ve mavi topların bulunduğu bir kavanozdaki sarı topların oranı hakkında bilgi sahibi olmak istiyorsak kavanozdan çekilen topun tekrar yerine konması (iadeli çekiliş) ile belli sayıda top çekilir. Buna göre, kavanozun içindeki sarı topların oranı aynıdır. Çekilen top yerine konulmazsa ikinci çekilen topun sarı gelmesi olasılığı birinci çekilen topun sarı veya mavi olmasına bağlıdır.

Tanım 6.1.2 Örneklemin herhangi bir fonksiyonuna tahmin edici (veya istatistik) denir



1 , 2 , _n

X X  X bir örneklem olsun. Örneklemin T T X  ( ₁ , ,  X _n ) gibi herhangi bir fonksiyonu da (yani tahmin edici) bir rasgele değişkendir. Bu rasgele değişken sadece örneklemin bir fonksiyonu olup parametreye bağlı değildir. Tahmin edicinin aldığı değere bir tahmin denir.

Örnek 6.1.1 X X ₁ , ₂  , X _n , n  birimlik bir örneklem olsun. Buna göre,

1 1 1

1

( ) ( , , _n ) 1 ⁿ _{i n} , örneklem ortalaması

i

T X T X X X X

n _

    



2 2

2 2 1

1

( ) ( , , ) 1 ( ) , örneklem varyansı 1

n

n i n n

i

T X T X X X X S

n _

   

 

 

3 3 1 ( )

( ) ( , , _n ) 1 max { } _{i n}

T X T X X i n X X

     

 ^{, 4} ( ) ⁴ ( ¹ , , _n ) ¹ min { } _i ⁽¹⁾

T X T X X i n X X

     



birer tahmin edicidir. Ayrıca, örneklem değerleri n  için, 5

1 ( ) 1 5

X w  x  , X w ₂ ( )  x ₂  , 3 X w ₃ ( )  x ₃  , 2 X w ₄ ( )  x ₄  , 1 X w ₅ ( )  x ₅  4 olarak gözlenmiş ise yukarıdaki tahmin ediciler için,

5 3 2 1 4

( ) 3

n n 5

X w  x      

 

5 2

2 2 2 2 2 2 2

1

1 1

( ) (5 3) ((3 3) (2 3) (1 3) (4 3) 2.5

4 4

n n i n

i

S w s x x



 

                

(1) (1)

1 5

( ) min _i 1

X w x i x

     _{, (5) (5)}

1 5

( ) max _i 5

X w x i x

    

birer tahmindir 

Teorem 6.1.1 x x ₁ , ₂  , x _n   olmak üzere,

1

1 ⁿ

n i

i

x x

n _

  ^{, 2 2}

1

1 ( )

1

n

n i n

i

s x x

n _

 

 

olsun. Buna göre,

a) ^{2 2 2}

1

( 1) _n ⁿ _{i n}

i

n s x n x



    ^{b) 2 2}

1 1

min ⁿ ( _i ) ⁿ ( _{i n} )

a i i

x a x x

       



dir.

İspat a) s açık olarak yazıldığında _n ²

  ²

2 2 2 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1

( 1) 2 2

2 1 2

n n n n

n i n i n i n i n i n

i i i i

n n n n

i n i n i n n i n

i i i i

n s x x x x x x x x x n x

x n x x n x x n x n x x n x

n

   

   

 

          

 

         

 

   

   

şeklinde aranan sonuç elde edilir.

b) ²

1

( ) ⁿ ( _i )

i

f a x a



   fonksiyonunu tanımlayalım ve fonksiyonu minimum yapan a

değerini bulalım. ( ) f a fonksiyonu a ya göre türevlenebilir olup, fonksiyonun

minimumunu bulmak için birinci türev sıfıra eşitlenir. Birinci türevin sıfır olduğu yerde,

fonksiyon minimum ya da maksimum değerini alır. Bu noktadaki fonksiyon değerinin

minimum olması için fonksiyonun o noktadaki ikinci türevinin pozitif olmalıdır. Buna göre,

 

1 1

( ) 2 ⁿ _i 2 ⁿ _i 2 0

i i

d f a

x a x n a

dx    _     _  

eşitliğinden a x  _n bulunur. Yani, ( ) f a fonksiyonu a x  _n noktasında minimum ya da maksimuma sahiptir. Fonksiyonun bu noktadaki ikinci türevi,

2 2

( ) 2 0

a x

n

d f a

d x _  n 

olduğundan fonksiyon, a x  _n noktasında minimuma sahiptir. Yani,

  ²   ²

1 1

min ⁿ _i ⁿ _{i n}

a i i

x a x x

       



dir 

Teorem 6.1.2 X X ₁ , ₂  , X _n beklenen değeri  varyansı  ² olan kitleden bir örneklem olsun. Buna göre,

a) ( E X _n )   b) Var X ( _n )   ² / n c) E S ( _n ² )   ² dir.

İspat a) Beklenen değer operatörünün lineer olmasından dolayı aranan sonuç

   

1 1 1

1 ⁿ 1 ⁿ 1 ⁿ

n i i

i i i

E X E X E X

n n n  

  

 

       

    

şeklinde elde edilir.

b) Benzer şekilde,

  ₂   ₂ ^{2 2}

1 1 1

1 ⁿ 1 ⁿ 1 ⁿ

n i i

i i i

Var X Var X Var X

n n n n

 

  

 

       

    

dir.

c) S Teorem (6.1.1a) daki gibi yazıldığında, _n ² E S ( _n ² ) değeri

2 2 2 2

1 1

1 1

( ) ( )

1 1

n n

n i n i n

i i

E S E X X E X n X

n _ n _

   

               

2 2 2 2 2 2

1 1

1 1

( ) ( ) ( ) ( / )

1 1

n n

i n

i i

E X nE X n n

n n    

 

   

                 

2 2 2 2 2 2

1 ( 1)

( ) ( )

1 ( 1)

n n n

n n

      

 

         

şeklinde bulunur 

6.2. Rasgele Değişken Dizilerinde Yakınsamalar

Rasgele değişken dizilerinde yakınsamalara geçmeden önce, reel sayı dizilerindeki yakınsama kavramını hatırlayalım. Elemanları reel sayılar olan bir dizi a olsun. Yani, her _n

n   için a n   dir.

Tanım 6.2.1 a) a elemanları reel sayılar olan bir dizi ve a _n   olsun. Her   için 0 bir n ₀ ( )  sayısı var ve n n  ₀ ( )  için | a _n   oluyorsa, a |  a dizisi a noktasına _n yakınsıyor denir ve a _n  (veya lim a _n a ⁿ a

  ) ile gösterilir.

b) a _n  ise, 0 a _n  o (1) ve ( a _n / f _n )  ise 0 a _n  o f ( ) _n dir.

c) Sonlu bir M sayısı için M ye bağlı bir n sayısı varsa ve her _M n n  _M için

| a _n |  M oluyorsa a dizisi sınırlıdır denir ve _n a _n  O (1) ile gösterilir. Benzer şekilde, ( a _n / g _n )  O (1) ise a _n  O g ( _n ) dir

Örnek 6.2.1 a _n  (3 n  2) / n ² dizisi için, n   iken a _n  olup 0 a _n  o (1) dir.

Ayrıca,

3 2 2

(1/ ) 3

n n

a n

n n a n n

    

olup her n   için 2

3 6

(1/ ) a n

n   n  yazılabilir. Yani, a _n / (1/ ) n  n a _n  O (1) veya (1/ )

a n  O n dir 

Reel sayı dizilerindeki yakınsama ve sınırlılık kavramlarının ayrıntılarına fazla

girmeden, yukarıdaki kavramları rasgele değişken dizileri için yazalım. Burada, rasgele

değişken dizilerinde birkaç yakınsama türü kısaca incelenecektir. Bunlardan, olasılıkta

yakınsama, tahmin edicilerin tutarlılık özelliğinin gösterilmesi açısından önemlidir. Tahmin

edicilerin asimptotik dağılımlarını bulmak için de dağılımda yakınsama kavramı önemlidir.

Tanım 6.2.2 (Olasılıkta Yakınsama): n   için X rasgele değişkenlerin herhangi bir n

dizisi olsun. Her   için 0   ve  0  n ₀ ( )  öyle ki n n  ₀ ( )  için X dizisi _n ({ :| P w X w _n ( )  X w ( ) |   })  

özelliğini sağlanıyorsa, X rasgele değişkenlerinin dizisi X rasgele değişkenine olasılıkta _n yakınsıyor denir ve X _n  şeklinde gösterilir  ^P X

X rasgele değişken dizisinin X rasgele değişkenine olasılıkta yakınsaması genellikle, n

lim ({ :| _n ( ) ( ) | }) 0

n P w X w X w 

    (veya kısaca lim (| _n | ) 0

n P X X 

    ₎

şeklinde ifade edilir. Ayrıca, reel sayı dizilerinde olduğu gibi, X _n  ise ^P 0 X _n  o _P (1) ve f bir reel sayı dizisi olmak üzere _n X _n / f _n  o _P (1) ise X _n  o _P ( ) f _n yazılır.

Tanım 6.2.3 (Olasılıkta Sınırlılık) Her n   için X rasgele değişkenlerin herhangi n

bir dizisi olsun. Her   sayısı için öyle M 0 _ ve N _ sayıları varsa ve n N  _ için, ({ :| _n ( ) | })

P w X w  M _  

özelliğini sağlıyorsa, X rasgele değişkenlerinin dizisi olasılıkta sınırlıdır denir ve _n

n P (1)

X  O ile gösterilir 

Reel sayı dizilerinde olduğu gibi, f bir reel sayı dizisi olmak üzere _n X _n / f _n  O _P (1) ise X _n  O _P ( ) f _n dir. Olasılıkta sınırlılık için genellikle ({ :| P w X w _n ( ) |  M _ )  yerine 

(| _n | )

P X  M _  veya  lim (| _n | ) 0

n P X M _

   gösterimleri kullanılır.

Örnek 6.2.2 X _n , n  1, 2,3,... beklenen değeri  , varyansı  ² olan bağımsız aynı

dağılımlı rasgele değişkenler olsun. Örneklem ortalaması kitle ortalamasına olasılıkta

yakınsar. Yani, n   iken X _n  dir. Burada, ^P  X X 1 , 2 , ,  X _n rasgele değişkenleri

bağımsız olmasına rağmen X X ₁ , ₂ , ,  X _n rasgele değişkenleri bağımsız değildir ( n  1

için X _n  X ₁ , n  ve 2 X _n  ( X ₁  X ₂ ) / 2 olup X ile ₁ X bağımsız değildir) dir. ₂ Olasılıkta yakınsama Chebyshev eşitsizliğinden

2 2

2 2 2

( ) ( )

0 (| _n | ) E X ⁿ Var X ⁿ 0 ,

P X n

n

 

    

         

şeklinde elde edilir. Yani, n   iken X _n  dir. Buradan n   iken ^P 

P 0

X n   olup,  X _n    o _P (1) de yazılabilir. Diğer taraftan,

( )

( ) (1)

1/

n n P

X n X O

n

 

   

olduğundan, X _n    O _P (1/ n ) şeklinde de yazılabilir. Bu sonuç, olasılık ve istatistikte çok kullanılan zayıf büyük sayılar kanunudur (WLLN). Zayıf büyük sayılar kanunu açık olarak “ X X ₁ , ₂ , ,  X _n  beklenen değeri  , varyansı  ² olan bağımsız rasgele değişkenler olmak üzere, örneklem ortalaması kitle ortalamasına olasılıkta yakınsar”

şeklinde ifade edilir. Benzer şekilde, örneklem varyansı da kitle varyansına olasılıkta yakınsar ( n   iken S _n ²  ^P  ² ). Bunu göstermek için Chebyshev eşitsizliği

2 2 2 2

2 2

( ) ( )

(| _n | ) E S ⁿ Var S ⁿ

P X   

 

    

şeklinde yazılır. Olasılıkta yakınsamanın sağlanabilmesi (yani, S _n ²  ^P  ² ) için n   iken Var S ( _n ² )  olmalıdır. Yani, 0 Var S değerinin hesaplanması gerekir. ( _n ² ) S in _n ² varyansı bazı dağılımlar için kolay hesaplanabilmesine rağmen, genellikle zor ve karmaşıktır 

Tanım 6.2.4 (Hemen hemen her yerde yakınsama) X rasgele değişkenlerin bir dizisi _n olsun. X rasgele değişkenlerinin dizisi her _n   için, 0

 

lim : _n ( ) ( ) 0

P n w X w X w 



    

 

 

özelliğini sağlıyorsa, X hemen hemen her yerde X rasgele değişkenine yakınsar denir ve _n

n hhhy

X  ile gösterilir  X

Örnek 6.2.3 X _n , n  1, 2,3,... beklenen değeri  , varyansı  ² olan bağımsız aynı dağılımlı rasgele değişkenler olsun. Örneklem ortalaması hemen hemen her yerde kitle ortalamasına yakınsar. Yani, n   iken X _n  dir. Bu yakınsama, literatürde ^hhhy  güçlü büyük sayılar kanunu olarak bilinir 

Tanım 6.2.5 (Momentlerde yakınsama) X rasgele değişkenlerin bir dizisi, X de _n herhangi bir rasgele değişken olsun. n   iken ( E X _n  X ) ^r  ise 0 X rasgele _n değişkenlerinin dizisi X rasgele değişkenine . r momentte yakınsar denir ve X _n  ^r  X ile gösterilir 

X rasgele değişkenlerinin dizisi X rasgele değişkenine momentlerde yakınsıyor ise, n

olasılıkta da yakınsar. Ancak, bunun tersi her zaman doğru değildir.

Örnek 6.2.4 Chebyshev eşitsizliğinden X _n  ^r  ise X X _n  olduğu görülür. ^P X Her   için Chebyshev eşitsizliği 0

( )

0 (| _n | ) E X ⁿ _r X ^r

P X X 



    

şeklinde olup X _n  ^r  ise ( X E X _n  X ) ^r  dir. Yani n   iken 0

(| _n | ) 0

P X  X    dir. X dizisi momentlerde X rasgele değişkenine yakınsıyorsa _n olasılıkta da yakınsar. Ancak bunun tersi doğru değildir. Bunun için X rasgele _n değişkenlerini,

3 2

( _n ) 1/

P X  n  n ve P X ( _n  0) 1 (1/   n ² )

olacak şekilde Bernoulli resgele değişkenlerinin bir dizisi olarak seçelim. Yani,

3 2

2

, olasılıkla 0 , 1 olasılıkla

n

n n

X n





  

 

olarak verilmiş olsun. Buradan, her   için n   iken 0 P X (| _n |   )  n ^{ 2}  0 olduğundan X _n  dır. Yani, olasılıkta yakınsama gerçekleşir. Olasılıkta yakınsama ^P 0 gerçekleşmiş olmasına rağmen, n   iken r  için 1

3 3 3 2 3 2

( _n 0) ^r ( _n ) ^r 0 ^r ( 0) ^r ( ) ^{r r}

E X   E X  P X   n P X  n  n n ^  n ^   dir. Yani, momentlerde yakınsama gerçekleşmez 

Tanım 6.2.6 (Dağılımda yakınsama) X dağılım fonksiyonları _n F olan rasgele _n değişkenlerin bir dizisi olsun. Dağılım fonksiyonu F olan X rasgele değişkeni için, F nin sürekli olduğu yerlerde n   iken F x _n ( )  F x ( ) ise X rasgele değişkenlerinin _n dizisi dağılımda X rasgele değişkenine yakınsıyor denir ve X _n  ^D X ile gösterilir 

Dağılımda yakınsamaya en iyi örnek merkezi limit teoremi (MLT) ve uygulamalarıdır.

Bu uygulamalara geçmeden önce, bilerek veya bilmeyerek bilimin her alanında uygulamalarına rastlanan merkezi limit teoremini ifade ve ispat edelim. Literatürde, teoremin değişik türlerine rastlanabilir. Teoremdeki koşulların sağlanmadığı hallerde yeni koşullar ekleyerek merkezi limit teoremi sağlatılmaya çalışılır. Aşağıda bu teoremin Casella ve Berger (2002) de verilen hali dikkate alınmıştır.

Teorem 6.2.1 (Merkezi Limit Teoremi) X X ₁ , ₂  , X _n ,... beklenen değeri  _varyansı

 2 olan bağımsız aynı dağılıma sahip rasgele değişkenler olsun. Rasgele değişkenlerin moment çıkaran fonksiyonu sıfır noktası komşuluğunda varsa n   iken,

( )

( 0,1) n X n

 N



  ^D

dir.

İspat: Standart normal dağılımın moment çıkaran fonksiyonu, M t _Z ( )  e ^t

²

^{/ 2} olup,

teoremin ispatı için Z _n  n X ( _n    ) / olmak üzere Z nin moment çıkaran _n

fonksiyonunun n   iken M t ye yakınsadığını göstermek yeterlidir. _Z ( ) i  1, 2,3,... için

X lerin beklenen değeri i  varyansı  ^{2 ise} Y i  ⁽ X i    ^{) /} rasgele değişkenleri de

beklenen değeri sıfır varyansı 1 olan bağımsız aynı dağılımlı rasgele değişkenlerdir.

Buradan,

 

1

1 ⁿ

n n i

i

Z n X Y

n



 _

   

olup Z nin moment çıkaran fonksiyonu _n

1 1

( )/ 1

( ) ( )

n

( )

n

( / ) ( / )

n n

i i

i i

n

Z X Y

Y Y

n

M t M _{ } t M t M t n M t n

 

  

       

şeklinde yazılabilir. M t _Y ( / n nin sıfır noktası komşuluğundaki Taylor serisi açılımı, )

( ) 0

( / )

( / ) (0)

!

k k

Y Y

k

t n

M t n M

k





 

olup M _Y ^{( ) k} (0) , M t fonksiyonunun . _Y ( ) k türevinin sıfır noktasındaki değeridir. Moment çıkaran fonksiyonunun özelliklerinden

(0) (0) 1

M Y  , M _Y ⁽¹⁾ (0)  E Y ( ) 0  ve M

_Y⁽²⁾

(0)  E Y (

²

)  Var Y ( ) 1  olup M t _y ( / n fonksiyonunun Taylor serisi açılımını )

2 2

( ) 3

( / ) ( / )

( / ) 1 0 (0) 1 ( / )

2! ! 2

k k

Y Y n

k

t n t n t

M t n M R t n

k n





       

şeklinde de yazabiliriz. Diğer taraftan sabit her t ( t  ) için 0

2

( / )

lim lim ( / ) 0

(1/ )

n n

n n

R t n

n R t n

 n       

dır. R t

_n

( / n içindeki terimlerin hepsi pozitif ve en büyük terim ) k  deki değer olup, 3 3

k  için n t ( / n ) / 3! ³  ve 0 k  için 4 n t ( / n ) / 4! ⁴  0

dır. Bütün terimler pozitif olduğundan, n   iken n R t _n ( / n )  dır. Ayrıca, 0 elemanları reel sayılar olan bir a dizisi için _n a _n  ise (1 a  a _n / ) n ⁿ  e ^a olduğunu da biliyoruz. Buna göre n   iken,

 

2 2

2 / 2

n t n t

a   n R t n 

olup,

  ^{1 2}

²

^/2

lim / lim [1 ( ( / ))]

2

n n t

Y n

n n

M t n t n R t n e

n

         

şeklinde aranan yakınsama elde edilir. Bu da teoremin ispatı için yeterlidir 

1 , 2 , _n ,...

X X  X beklenen değeri  _varyansı  ² olan bağımsız rasgele değişkenler olsun. Bazen,

   

1 1 1

2 1

n n n

i i i

n n

i i i

n i i

X E X X n

n X n X

n n Var X

  

 



  



 

          

 

 

 

  



olduğundan merkezi limit teoremi,

 n  _(0,1)

n X  N



  ^D yerine ^{1 1}

1

(0,1)

n n

i i

i i

n i i

X E X

N Var X

 



 

       

 

 

 

 

 



D

şeklinde ifade edilir. Şimdi, MLT nin uygulamalarına ilişkin birkaç örnek verelim.

Örnek 6.2.5 a) Bir para 100 defa atıldığında en az 60 defa tura gelmesi olasılığını hesaplayalım. Bu olasılık Binom dağılımından hesaplanabilir. X ~ Binom (100,1/ 2) olduğundan aranan olasılık ( P X  60) dır. Bu olasılık da,

100 100

100 100 100

60 60 60

100 1 1 1 100

( 60) ( ) 0.02844

2 2 2

x x

x x x

P X P X x

x x



  

         

                            

olarak bilgisayar desteği ile hesaplanmıştır. Aynı olasılık MLT teoremi ile yaklaşık olarak hesaplanabilir. Paranın her bir atılışında (örneğin .i atılış) gelen turaların sayısı X olsun. _i Buradan, X _i ~ Bern (1/ 2) olup X  X ₁  X ₂    X ₁₀₀ paranın 100 defa atılmasında toplam turaların sayısı olur. Denemeler birbirinden bağımsız olup X ~ Binom (100,1/ 2) ve

( ) 100(1/ 2) 50

E X   , Var X ( ) 100(1/ 2)(1/ 2) 25   dir. Bu örnek için 100 denemenin

yeterince büyük olduğu göz önüne alındığında, MLT ne göre ( P X  60) olasılığı

 

100 100

100 1 1

1 100

1

60 50

( 60) 60 2 0.0228

5

i i

i i

i i

i i

X E X

P X P X P P Z

Var X

 





   

    

 

        

                 

   

     

 

 





şeklinde yaklaşık olarak hesaplanmıştır. Aradaki fark çok küçüktür. n örneklem hacmi büyüdükçe aradaki fark küçülür.

b) Bir elektronik ürünün dayanma süresi (yıl olarak) X olsun. X in olasılık yoğunluk fonksiyonu,

1/ 2 , 1

( ) 0 , . .

x x

f x d y

 

  



olarak verilmiş ise rasgele seçilen 100 üründen en az 25 tanesinin 5 yıldan fazla dayanması olasılığını hesaplamak isteyelim. Bunun için önce,

1 , 5

0 , . .

i i

Y X

d y

 

  

rasgele değişkenlerini tanımlayalım. Seçilen 100 üründen 5 yıldan fazla dayananların toplam sayısı Y lerin toplamıdır. Ayrıca, her bir ürünün 5 yıldan fazla dayanma olasılığı, _i

5 2 5

1 1 1

( 1) ( 5)

i i 5

x x

p P Y P X dx

x x

 

 

        

olup, Y Y _{1 2} , , ,  Y ₁₀₀ başarı olasılığı 1/ 5 olan bağımsız Bernoulli dağılımına sahip rasgele değişkenlerdir. Yani, Y _i ~ Bern (1/ 5) olup, Y Y   ₁ Y ₂    Y ₁₀₀ ~ Binom (100,1/ 5) dir.

Yani aranan olasılık, ( P Y  25) olarak yazılabilir. Ayrıca,

( ) 100(1/ 5) 20

E Y  n p   ve Var Y ( )  n p q  100(1/ 5)(4 / 5) 16 

olup aranan olasılık MLT’ne göre yaklaşık olarak

 

100 100

100 1 1

1 100

1

25 20

( 25) 25 1.25 0.1056

4

i i

i i

i i

i i

Y E Y

P Y P Y P P Z

Var Y

 





   

    

 

    

           

 

   

 

 

 

 

 





şeklinde bulunmuştur.

c) Aşağıdaki limit

0

lim !

n k n

n k

e n

k



  

MLT yardımı ile hesaplanabilir. Şimdi bu limit değerini hesaplayalım.

1 , 2 , , _n ,...

X X  X beklenen değeri 1 olan Poisson dağılımlı bağımsız rasgele değişkenler olsun. X  X ₁  X ₂    X _n ~ Poisson n ( ) olup,

0 0 0

( ) ( )

! !

k k

n n n

n n

k k k

n n

P X n P X k e e

k k

 

  

       

dir. ( ) E X  ve n Var X ( )  olduğundan aranan limit n

0 1

1 1

1

lim lim ( ) lim

!

lim ( 0) 1

2

n k n

n i

n k n n i

n n

i i

i i

n n

i i

e n P X n P X n

k

X E X

P n n P Z

Var X n



    

 





 

     

 

   

    

    

      

 

 

 

   

 

 

 



olarak bulunmuş olur.

d) Stirling formülü olarak bilinen n !  e ^{ n n} n ^{ 1/2} 2  yaklaşımı da MLT nin bir sonucudur. X X ₁ , ₂ , ,  X _n ,... beklenen değeri 1 olan üstel dağılımlı bağımsız rasgele değişkenler olsun. Bu durumda, X  X ₁  X ₂    X _n ~ Gamma n ( ,1) olup, X in olasılık yoğunluk fonksiyonu,

1 1

, 0

( ) ( )

, . .

n x

x e x

n f x

d y

   

  



şeklindedir. Merkezi limit teoremine göre n   iken,

1 1

2

/2

1

1 2

n n

i i x

i i t

n i i

X E X

P x e dt

Var X 

  





   

    

     

   

   

   

     

 

 

 

olup bu ifade

 

²

^/2

( ) 1

( ) 2

x t

X E X X n

P x P x P X n x n e dt

Var X n 





            

   

   

  

şeklinde yazılabilir. Ayrıca X ~ Gamma n ( ,1) olduğundan, Gamma dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu yerine yazılırsa n   iken,

  ¹

²

^/2

0

1 1

( ) 2

n x n x

n t t

P X n x n t e dt e dt

n 

   



   

  

yaklaşımı elde edilir. Buradan, n yeterince büyük ise,

1

2

/2

0

1 1

( ) 2

n x n x

n t t

t e dt e dt

n 

   



 

 

olup her iki tarafın x e göre türevinden

  ^{1   1}

²

^/2

( ) 2

n n x n x

n n x n e e

n 

   

 



yaklaşımı elde edilir. Bu son ifade de x  yazılırsa, 0

1 1 1

olup ( ) 2

( ) 2

n n n n

n n e n n e n

n 



      



elde edilir. Ayrıca ( ) (  n  n  1)! olduğundan ( n  1)!  e ^{ n n} n ^{ 1} 2  dir. Son olarak her iki taraf n ile çarpılırsa, sol taraf ( n n  1)!  olur ve aranan sonuç n ! n ^1/2  n yazılması ile, n !  e ^{ n n} n ^{ 1/2} 2  olarak bulunmuş olur 

MLT aşağıda ifadesi verilen Slutsky teoremi (Casella ve Berger, 2002, sayfa 239-240)

ile beraber, tahmin edicilerin asimptotik dağılımının bulunmasında kolaylıklar sağlar.

Teorem 6.2.2 (Slutsky Teoremi) X ve _n Y rasgele değişken dizileri, a   olmak n

üzere, n   iken X _n  ^D X ve Y _n  ^P a olsun. Bu durumda n   iken, a) X _n  Y _n   ^D X a b) X Y _{n n}  ^D X a c) X _n / Y _n  ^D X a / , a  0 dir 

Örnek 6.2.6 X X ₁ , ₂ , ,  X _n ,... beklenen değeri  _varyansı  ² olan bağımsız rasgele değişkenler olmak üzere MLT den n   iken n X ( _n    ) /  ^D N (0,1) dir.  ²

bilinmiyorsa S örneklem varyansı ile tahmin edilir. _n ² lim ( _n ² ) 0

n Var S

  ise n   iken

2 P 2

S n   olasılıkta yakınsama sağlanır (Örnek (6.2.2)). Buradan da /  S _n  ^P 1 olur. Slutsky teoremine göre n   iken,

   

* ^{n n} (0,1)

n n n

n X n X

t N

S S

  



 

   ^D

elde edilir 