• Sonuç bulunamadı

Rasgele Değişken

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Rasgele Değişken"

Copied!
6
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

BÖLÜM 6

Rasgele Değişken: Bir örnek uzaydaki her rasgele olaya sayısal bir değer atayan bir

fonksiyondur.

Başka bir ifadeyle rastgele değişken fonksiyonu, örnek uzayı ile reel sayılar kümesi arasında bir bağıntı kurar. Rastgele değişken X Y Z, , … ile, aldığı değerler ise

x y z

, ,

… gibi simgelerle gösterilir.

Rasgele değişkenler kesikli rasgele değişken ve sürekli rasgele değişken olmak üzere

ikiye ayrılır.

Tanım:

X

rastgele değişkeninin aldığı değerlerin kümesi sonlu yada sayılabilir sonsuzlukta ise

X

’e “kesikli rastgele değişken” denir.

Örneğin: kız çocuk sayısı, öğrenci sayısı, sınıf sayısı

Tanım: Eğer

X

rastgele değişkenin tanım bölgesi bir aralık ya da aralıklar kümesi ise

X

’e “sürekli rastgele değişken” denir.

Örneğin: araba hızı, yağış miktarı, kan basıncı

Olasılık Dağılımları

X

kesikli rastgele değişkeni

x x

1

,

2

,...,

x

n gibi değerler alsın.

f

X

( )

x

i

P X

(

x

i

),

x

D

X , i1, 2,...,n (

D

X,

X

r.d. aldığı değerlerin kümesi ) olsun. Eğer

f

X

( )

x

fonksiyonu aşağıdaki koşulları sağlarsa

X

rastgele değişkeninin olasılık fonksiyonu denir. 1.

f

X

( )

x 

i

0

i1, 2,...,n 2. 1

( ) 1

n X i i

f

x

F

X

:

R 

[0,1]

x

F x

x

( )

P X

(

x

)

fonksiyonuna X rasgele değişkeninin dağılım fonksiyonu denir ve kesikli rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu bir ‘basamak fonksiyonudur.’

1) Dağılım fonksiyonu azalmayan fonksiyondur.

(2)

Örnek: Düzgün bir paranın 3 kez atıldığı bir deneyde X rastgele değişkeni gelen turaların sayısı olsun.

,

,

,

,

,

,

,

S

YYY YYT YTY TYY TTY TYT YTT TTT

X

IR

0 1 2 3

X rasgele değişkeninin aldığı değerler kümesi

D 

X

{0,1, 2,3}

olmak üzere X rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonu

 

1

(

0)

8

P X

P YYY

3

(

1)

,

,

8

P X

 

P YYT YTY TYY

3

(

2)

,

,

8

P X

P YTT TYT TTY

1

(

3)

8

P X

 

P TTT

olur.

X

x

0 1 2 3

P X

x

1/ 8

3 / 8

3 / 8

1/ 8

(3)

0

1/ 8

( )

4 / 8

7 / 8

1

x

F x



 



,

0

, 0

1

,1

2

, 2

3

,

3

x

x

x

x

x

 

 

 

Şeklindedir. ( 3) ( 0) ( 1) ( 2) ( 3) P X  P X  P X  P X  P X

1/ 8 3/ 8 3/ 8 1/ 8 1

(1 3) (1 3) ( 3) PX  PX  P X

F

(3)

F

(1) [( (3)

F

F

(3 ))]

F

(3 )

F

(1)

7 / 8 4 / 8 3 / 8

ya da

3

(1

3)

(

2)

8

P

X

 

P X

Sürekli Rastgele Değişken

X

sürekli rastgele değişkeni ( , ) aralığında tanımlansın. Aşağıdaki özellikleri sağlayan f x( ) fonksiyonuna

X

rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu denir.

1) f x ( ) 0 ,

  

x

2)

f x dx

( )

1

 

olmalıdır.

X rastgele değişkeninin dağılım fonksiyonu.

 

: 0,1 X F R 

( )

(

)

( )

x X

x

F x

P X

x

f x dx



 

olarak tanımlanır. X sürekli rastgele değişkenin dağılımına “sürekli dağılım” denir.

(4)

( )

,

'in türevlenebildiği yerlerde

( )

0 , diğer yerlerde (d.y.)

X X X

dF x

F

f

x

dx

 



olarak tanımlanır.

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

( )

( )

b a

P a

X

 

b

P a

X

 

b

P a

X

 

b

P a

X

 

b

fx x dx

F b

F a

(

)

( )

(

)

0

P X

a

F a

F a

Örnek: X rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu;

2

3

, 0

2

( )

8

0 , . .

X

x

x

f

x

d y

 

 



dağılım fonksiyonunu bulunuz.

2 0 0

3

( )

(

)

( )

8

x x X

F x

P X

x

f x dx

x dx

3 3 3 0

3

1

1

[

0]

8

3

8

8

x

x

x

x

 

Dağılım Fonksiyonu: 3

0 ,

0

1

( )

, 0

2

8

1 ,

2

X

x

F

x

x

x

x



 



(1 2) PX  olasılığı nedir? (1 2) PX  2 2 2 1 1

3

( )

8

f x dx

x dx

2 3 3 3 1

3

1

7

[2

1 ]

8 3

8

8

x

 

 

 

2 1

(1

2)

(1

2)

(1

2)

(1

2)

X

( )

P

X

P

X

P

X

P

X

f

x

 

3 3 2 1 1

3

(1

3)

8

P

  

X

f x dx

x dx

2 2 2 1 1

3

(

1)

( )

8

P X

 

f x dx

x dx

İlk sorudaki fonksiyondan yararlanarak,

(1 2)

PX  =

(2)

(1)

1

.2

3

1

1

3

1

1

7

8

8

8

8

(5)

3

1

3.375

(

1.5) 1

(

1.5) 1

(1.5)

1

1 0.421875

0.578125

8

8

P X

 

P X

 

 

 

Örnek:

X

rastgele değişkeninin dağılım fonksiyonu

3

0 ,

0

1

( )

, 0

2

8

1 ,

2

X

x

F

x

x

x

x



 



şeklinde olsun.

X

rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulunuz. Çözüm:

X rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu şeklinde hesaplanır.

( )

,

'in türevlenebildiği yerlerde

( )

0 , diğer yerlerde (d.y.)

X X X

dF x

F

f

x

dx

 



X rasgele değişkeninin dağılım fonksiyonu

3

0 ,

0

1

( )

, 0

2

8

1 ,

2

X

x

F

x

x

x

x



 



şeklindedir.

F x

X

( )

dağılım fonksiyonunun

x

’e göre türevi alınırsa

2

3

, 0

2

( )

8

0 , . .

X

x

x

f

x

d y

 

 



(6)

KAYNAKLAR

1. Uygulamalı İstatistik (1994)

Ayşen APAYDIN , Alaettin KUTSAL, Cemal ATAKAN

2. Olasılık ve İstatistik Problemler ve Çözümleri ile (2008)

Prof. Dr. Semra ERBAŞ

3. Olasılık ve İstatistik (2006)

Prof. Dr. Fikri Akdeniz

4. Olasılık ve İstatistiğe Giriş I-II (2011)

Prof. Dr. Fikri Öztürk

5. Fikri Öztürk web sitesi

Referanslar

Benzer Belgeler

Yakın çalışınalarda ise mes<:me tümörlü has- talarda, rasgele biyopsi alınan ve pozitif gelen olgularm yineleme ve ilerleme risk- lerinde, rasgele biyopsi

Şekil 2.2.1 Bir paranın üç defa atılması deneyi için tanımlanan rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu.. Fonksiyonun açık ifadesinden ve grafiğinden görüldüğü gibi,

Bir önceki bölümde, rasgele değişkenlerin dağılım fonksiyonları, olasılık veya olasılık yoğunluk fonksiyonları ve momentlerine ilişkin bazı özellikleri incelendi.. X

Chebyshev eşitsizliği genellikle olasılıklar için bir alt veya üst sınır belirlemek için kullanılır.. Örneğin, varyansı var olan her hangi bir olasılık

Hız-zaman grafiğinde belli bir zaman aralığında alınan yol miktarı bir alana karşılık geldiği gibi, olasılık yoğunluk fonksiyonunda da bir aralığın

Bu yöntemlerin çoğu belli bir sayıdan başlayıp belli bir dönüşüm kurulana göre ardışık olarak sayı üretilerek rasgele bir dizi elde edilmesi şeklindedir.. Sayı

Aynı şartlar altında bağımsız Bernoulli

Korelasyon katsayısı iki değişken arasındaki doğrusal ilişkinin derecesini belirleyen ve karşılaştırmaya olanak veren