BÖLÜM 6
Rasgele Değişken: Bir örnek uzaydaki her rasgele olaya sayısal bir değer atayan bir
fonksiyondur.
Başka bir ifadeyle rastgele değişken fonksiyonu, örnek uzayı ile reel sayılar kümesi arasında bir bağıntı kurar. Rastgele değişken X Y Z, , … ile, aldığı değerler isex y z
, ,
… gibi simgelerle gösterilir.Rasgele değişkenler kesikli rasgele değişken ve sürekli rasgele değişken olmak üzere
ikiye ayrılır.
Tanım:
X
rastgele değişkeninin aldığı değerlerin kümesi sonlu yada sayılabilir sonsuzlukta iseX
’e “kesikli rastgele değişken” denir.Örneğin: kız çocuk sayısı, öğrenci sayısı, sınıf sayısı
Tanım: Eğer
X
rastgele değişkenin tanım bölgesi bir aralık ya da aralıklar kümesi iseX
’e “sürekli rastgele değişken” denir.Örneğin: araba hızı, yağış miktarı, kan basıncı
Olasılık Dağılımları
X
kesikli rastgele değişkenix x
1,
2,...,
x
n gibi değerler alsın.
f
X( )
x
i
P X
(
x
i),
x
D
X , i1, 2,...,n (D
X,X
r.d. aldığı değerlerin kümesi ) olsun. Eğerf
X( )
x
fonksiyonu aşağıdaki koşulları sağlarsaX
rastgele değişkeninin olasılık fonksiyonu denir. 1.f
X( )
x
i0
i1, 2,...,n 2. 1( ) 1
n X i if
x
F
X:
R
[0,1]
x
F x
x( )
P X
(
x
)
fonksiyonuna X rasgele değişkeninin dağılım fonksiyonu denir ve kesikli rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu bir ‘basamak fonksiyonudur.’1) Dağılım fonksiyonu azalmayan fonksiyondur.
Örnek: Düzgün bir paranın 3 kez atıldığı bir deneyde X rastgele değişkeni gelen turaların sayısı olsun.
,
,
,
,
,
,
,
S
YYY YYT YTY TYY TTY TYT YTT TTT
X
IR
0 1 2 3X rasgele değişkeninin aldığı değerler kümesi
D
X{0,1, 2,3}
olmak üzere X rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonu
1
(
0)
8
P X
P YYY
3
(
1)
,
,
8
P X
P YYT YTY TYY
3
(
2)
,
,
8
P X
P YTT TYT TTY
1
(
3)
8
P X
P TTT
olur.X
x
0 1 2 3
P X
x
1/ 8
3 / 8
3 / 8
1/ 8
0
1/ 8
( )
4 / 8
7 / 8
1
xF x
,
0
, 0
1
,1
2
, 2
3
,
3
x
x
x
x
x
Şeklindedir. ( 3) ( 0) ( 1) ( 2) ( 3) P X P X P X P X P X
1/ 8 3/ 8 3/ 8 1/ 8 1
(1 3) (1 3) ( 3) P X P X P X
F
(3)
F
(1) [( (3)
F
F
(3 ))]
F
(3 )
F
(1)
7 / 8 4 / 8 3 / 8
ya da3
(1
3)
(
2)
8
P
X
P X
Sürekli Rastgele Değişken
X
sürekli rastgele değişkeni ( , ) aralığında tanımlansın. Aşağıdaki özellikleri sağlayan f x( ) fonksiyonunaX
rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu denir.1) f x ( ) 0 ,
x
2)f x dx
( )
1
olmalıdır.X rastgele değişkeninin dağılım fonksiyonu.
: 0,1 X F R ( )
(
)
( )
x Xx
F x
P X
x
f x dx
olarak tanımlanır. X sürekli rastgele değişkenin dağılımına “sürekli dağılım” denir.
( )
,
'in türevlenebildiği yerlerde
( )
0 , diğer yerlerde (d.y.)
X X XdF x
F
f
x
dx
olarak tanımlanır.(
)
(
)
(
)
(
)
( )
( )
( )
b aP a
X
b
P a
X
b
P a
X
b
P a
X
b
fx x dx
F b
F a
(
)
( )
(
)
0
P X
a
F a
F a
Örnek: X rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu;
2
3
, 0
2
( )
8
0 , . .
Xx
x
f
x
d y
dağılım fonksiyonunu bulunuz.
2 0 0
3
( )
(
)
( )
8
x x XF x
P X
x
f x dx
x dx
3 3 3 03
1
1
[
0]
8
3
8
8
xx
x
x
Dağılım Fonksiyonu: 30 ,
0
1
( )
, 0
2
8
1 ,
2
Xx
F
x
x
x
x
(1 2) P X olasılığı nedir? (1 2) P X 2 2 2 1 13
( )
8
f x dx
x dx
2 3 3 3 13
1
7
[2
1 ]
8 3
8
8
x
2 1(1
2)
(1
2)
(1
2)
(1
2)
X( )
P
X
P
X
P
X
P
X
f
x
3 3 2 1 13
(1
3)
8
P
X
f x dx
x dx
2 2 2 1 13
(
1)
( )
8
P X
f x dx
x dx
İlk sorudaki fonksiyondan yararlanarak,(1 2)
P X =
(2)
(1)
1
.2
31
1
31
1
7
8
8
8
8
3
1
3.375
(
1.5) 1
(
1.5) 1
(1.5)
1
1 0.421875
0.578125
8
8
P X
P X
Örnek:X
rastgele değişkeninin dağılım fonksiyonu3
0 ,
0
1
( )
, 0
2
8
1 ,
2
Xx
F
x
x
x
x
şeklinde olsun.
X
rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulunuz. Çözüm:X rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu şeklinde hesaplanır.
( )
,
'in türevlenebildiği yerlerde
( )
0 , diğer yerlerde (d.y.)
X X XdF x
F
f
x
dx
X rasgele değişkeninin dağılım fonksiyonu
3
0 ,
0
1
( )
, 0
2
8
1 ,
2
Xx
F
x
x
x
x
şeklindedir.
F x
X( )
dağılım fonksiyonununx
’e göre türevi alınırsa2
3
, 0
2
( )
8
0 , . .
Xx
x
f
x
d y
KAYNAKLAR
1. Uygulamalı İstatistik (1994)
Ayşen APAYDIN , Alaettin KUTSAL, Cemal ATAKAN
2. Olasılık ve İstatistik Problemler ve Çözümleri ile (2008)
Prof. Dr. Semra ERBAŞ
3. Olasılık ve İstatistik (2006)
Prof. Dr. Fikri Akdeniz
4. Olasılık ve İstatistiğe Giriş I-II (2011)
Prof. Dr. Fikri Öztürk
5. Fikri Öztürk web sitesi