Sürekli Rasgele Vektörler Tanım

Sürekli Rasgele Vektörler

Tanım Bir (X X₁, ₂,...,X_n) rasgele vektörünün

1, 2,..., : [0,1] n n X X X F dağılım fonksiyonu, 1 2 1 2 1 2 1 2 1) ( , ,..., ) 0 , ( , ,..., ) 2) ... ( , ,..., ) ... 1 n n n n n f x x x x x x f x x x dx dx dx

özelliklerine sahip bir f fonksiyonu yardımıyla,

2 1 1 2 1 2 1 2 1, 2,..., ( , ,..., ) ... ( , ,..., ) ... n x x x n n n n X X X F x x x f x x x dx dx dx , ( ,1 2,..., ) n n x x x

biçiminde yazılabiliyorsa, (X X₁, ₂,...,X_n) rasgele vektörüne sürekli rasgele vektör (mutlak sürekli rasgele vektör) ve f fonksiyonuna (X X₁, ₂,...,X_n) rasgele vektörünün olasılık yoğunluk fonksiyonu denir. f fonksiyonu

1, 2,..., n

X X X

f

biçiminde de gösterilir.

Sürekli bir (X X₁, ₂,...,X_n) rasgele vektörü için,

2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1, 2,..., ( , ,..., ) ...

( ,

,...,

)

...

n n n n n b b b n n a a a n X X X P a X b a X b a X b

f

x x

x dx dx

dx

dır.

Tanım Sürekli bir (X X₁, ₂,...,X_n) rasgele vektörü için,

1 2 1 1, 2,..., 1 1 ( )_j ... ( , ,..., _n) ... ... _n n j j j X X X X f x

f

x x x dx dx dx dx , j=1,2,...,n

bir olasılık yoğunluk fonksiyonu olup, bu fonksiyona X_j ‘nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu denir.

1 2

(X X, ,...,X_n) rasgele vektörünün olasılık (yoğunluk) fonksiyonu olan

1, 2,..., n

X X X

f

olasılık

(yoğunluk) fonksiyonuna X X₁, ₂,...,X rasgele değişkenlerinin ortak olasılık (yoğunluk) _n

fonksiyonu da denir.

Örnek X X X rasgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu, ₁, ₂, ₃

1 2 3 1 ( ) 2 1 2 3 0 0 0 1 x x x ce dx dx dx 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 3 0 0 0 1 x x x c e e e dx dx dx 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 3 0 0 0 1 x x x c e dx e dx e dx 1 2 3 1 2 3 1 1 1 2 2 2 0 0 0 ( )( )( ) 1 1 1 1 2 2 2 x x x x x x e e e c 8c 1 1 8

c

dır. Buna göreX X X rasgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu, ₁, ₂, ₃

1 2 3 1 2 3 1 ( ) 2 1 2 3 , , 1 2 3 1 , 0, 0, 0 ( , , ) ₈ 0 , . . x x x X X X e x x x f x x x d y           

dır. X ,₁ X ‘nin marjinal ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu, ₂

1 2 3 1 2 3 1 2 1_{( )} 1_{( )} 1 2 2 2 1 2 3 3 , 0 0 1 1 1 ( , ) 8 8 8 x x x x x x X X f x x e dx e e dx 3 1 2 1 2 3 1 1 ₂ 1 ( ) ( ) 2 2 0 1 1 2 1 8 8 2 x x x x x x e e e 1 2 1 2 1 2 ( )

1

,

0,

0

4

x x

e

x

x

dır. 1

X ‘in marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulmaya çalışalım. X ‘in marjinal ₁

olasılık yoğunluk fonksiyonunu X X X 'ün ortak dağılımından elde edebildiğimiz gibi ₁, ₂, ₃ X₁

1 1 2 1 2 1 1 1_{( )} 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 0 0 , 0 1 1 1 ( ) 4 4 2 x x x x x X x f x e dx e e dx e

olmak üzere benzer olarak X ile ₂ X ‘ün marjinal dağılımları aynı dağılımdır. ₃

1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 0 0 1)

1

1

1

(

( )

2

2

x x x X

P X

f

x dx

e

dx

e

dx

e

e

ve 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 ₁ ( ) 2 1 2 _, 1 2 1 2 0 0 0 0 1 _{1 1} 2 2 1 2 0 0 1 1 2 0 1 (1 ) 2 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 ₁ 2 2 0 1 ₁ 2 2 0 1 1) , 4 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2

(

(

)

x x x x x x x x x x x x X X e e e e e e

P X

X

f

x x dx dx

dx dx

dx

dx

e

dx

e

dx

2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 0 1 2 2 1 2 0 1 ₁ 1 ₁ 2 2 2 2 0 0 1 1 2 2 1 2 3 1 2 x x x e e e e

dx

e

dx

e dx