Rasgele Vektörler

(1)

Rasgele Vektörler

Bir kavanozda, üzerlerinde 1,2,3 sayıları yazılı sarı, pembe ve yeşil toplar bulunsun.

Bir top çekilmesi ve renk ile birlikte üzerindeki sayının gözlenmesi deneyinde örnek uzay,

ve olasılık uzayı,

olmak üzere,

vektör değerli fonksiyonda, birinci bileşen X₁: çekilen topun üzerindeki sayıyı, ikinci bileşen X₂: ise sarı top için 0, yeşil top için 1, pembe top için 2 değerini almaktadır.

2 1 2 1 2 1 2 ( , ) : ( , )( ) ( ( ), ( )) X X X X X X

fonksiyonu, tanımı aşağıda verilecek olan bir rasgele vektördür. Bu rasgele vektörün aldığı değerlerin kümesi,

1 2

(X X, ) (1,0),(2,0),(3,0),(1,1),(2,1),(3,1),(1, 2),(3, 2) D

olup, buna kesikli rasgele vektör diyeceğiz. Bu rasgele vektörün olasılık fonksiyonu,

1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 , ( , ) (1, 0), (3, 2) 10 ( , ) ( , ) 1 , ( , ) (2, 0), (3, 0), (1,1), (2,1), (3,1), (1, 2) 10 x x f x x P X x X x x x

dır. Olasılık fonksiyonunun değerleri için olasılık tablosu aşağıdaki gibi hazırlanmaktadır. Solda ve üstte X₁ ile X ₂ ‘nin aldığı değerler ve tablonun içinde

(2)

1 2 1 1 2 2

( , ) ( , )

f x x P X x X x olasılıkları yer almaktadır. Alt satırda, satırlardaki olasılıklar toplamı, sağ sütunda, sütunlardaki olasılıklar toplamı bulunmaktadır.

1 x x ₂ 0 1 2 P X( 1 x 1) 1 2/10 1/10 1/10 4/10 2 1/10 1/10 0 2/10 3 1/10 1/10 2/10 4/10 2 2 ( ) P X x 4/10 3/10 3/10 1

Tablodan, kolayca görüldüğü gibi,

1 2 (1,1) ( 1, 1) 2 /10 f P X X 1 ( 1) 4 /10 P X 2 ( 1) 4 /10 P X

dır. Alt satır, esasında X₂: rasgele değişkeninin olasılık tablosunu ve sağ sütun

1:

X rasgele değişkeninin olasılık tablosunu vermektedir.

2 x 0 1 2 2 2 ( ) P X x 4/10 3/10 3/10 ve 1 x 1 2 3 1 1 ( ) P X x 4/10 2/10 4/10

olasılık dağılımlarına (X X₁, ₂) rasgele vektörünün marjinal dağılımları denmektedir. Buraya kadar sezgisel olarak tanıtmaya çalıştığımız kavramların tanımları aşağıdaki gibidir.

Tanım ( U P) bir olasılık uzayı ve

1 2 1 2 1 2 ( , ,..., ) : ( , ,..., )( ) ( ( ), ( ),..., ( )) m n n n X X X X X X X X X          olmak üzere,  ( ,1 2,..., ) n n a a a  için, 1 1 2 2 {X ( ) a X, ( ) a ,...,X_n( ) a_n} U

oluyorsa, (X X₁, ₂,...,X_n) fonksiyonuna (vektör değerli fonksiyona) bir rasgele vektör denir.

(3)

1 2 1 2 1 2 ( , ,..., ) : ( , ,..., )( ) ( ( ), ( ),..., ( )) m n n n X X X X X X X X X         

bir rasgele vektör olmak üzere,

1, 2,..., : [0,1] n n X X X F 1 2 1 2 , ,..., 1 2 1 1 2 2 ( , ,..., ) ( , ,..., ) ( , ,..., ) n n X X X n n n x x x F x x x P X x X x X x