LİMİT VE SÜREKLİLİK. Bir Değişkenin Bir Reel Sayıya Yakınsaması. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu. çözüm.

Tam metin

(1)LİMİT VE SÜREKLİLİK. Bir Değişkenin Bir Reel Sayıya Yakınsaması x gibi bir değişken, bir a reel sayısının çok yakınında değerler alıyorsa x değişkeni a reel sayısına yakınsıyor denir ve x → a ile gösterilir. Örneğin;. x. 2,9. 2,99. 2,999. 2,9999. 3,0000001. 3,000001. 3,00001. 3,0001. Yukarıdaki tabloda x değişkeninin aldığı değerlerin 3 etrafında ve 3 e çok yakın değerler olduğu görülüyor. Bu nedenle x değişkeni 3 e yakınsıyor denir ve x → 3 ile gösterilir. Bir a reel sayısına soldan yaklaşma; değişkenin a reel sayısından küçük ama a ya çok yakın değerler aldığı anlamındadır ve – x → a ile gösterilir. Bir a reel sayısına sağdan yaklaşma; değişkenin a reel sayısından büyük ama a ya çok yakın değerler aldığı anlamındadır ve + x → a ile gösterilir. . . . . . . . . çözüm. kavrama sorusu x. – 2,00001. – 2,0001. – 1,99999. – 1,9999. Tabloda x in aldığı değerlerin – 2 sayısı etrafında olduğu görülüyor. x değişkeni – 2 reel sayısına yakınsar. Cevap: x → – 2. – 1,999. Yukarıdaki tabloya göre, x hangi reel sayıya yakınsar bulunuz?. çözüm. kavrama sorusu –. x → 0 olduğuna göre, x in alabileceği değerlere örnek veriniz.. . . Sıfıra soldan yaklaşıldığında x < 0 olmalıdır. – 0,00001 sıfıra çok yakın ama sıfırdan küçük bir sayı olduğundan x değişkeni bu değeri alabilir. Cevap: – 0,00001. çözüm. kavrama sorusu +. x → 5 olduğuna göre, x in alabileceği değerlere örnek veriniz.. . . 5 e sağdan yaklaşıldığında x > 5 olmalıdır. 5,00001 sayısı 5 e çok yakın ama 5 ten büyük bir sayı olduğundan x değişkeni bu değeri alabilir. Cevap: 5,00001 2.

(2) Limit ve Süreklilik soru 1. soru 5 +. x. 4,999. 4,9999. 4,9999. 5,0001. x → 2 olduğuna göre, x değişkenin aldığı değerlerden biri aşağıdakilerden hangisi olabilir?. 5,001. A) 1,99999. Yukarıdaki x in değer tablosuna göre, x aşağıdaki sayılardan hangisine yakınsar? A) 3. B) 4. C) 5. D) 6. B) 1,9990. C) 1,9900. D) 2,00001. E) 3. E) 7. soru 2. soru 6 –. y. – 3,99999. – 3,9999. – 3,999. – 3,99. x → 1 olduğuna göre, x değişkenin aldığı değerlerden biri aşağıdakilerden hangisi olabilir?. – 3,9. A) 2. Yukarıdaki y nin değer tablosuna göre, y aşağıdaki sayılardan hangisine yakınsar? B) – 3. C) – 4. D) – 5. soru 3 x. 6,0000001. 6,000001. 6,00001. 6,0001. B) 7. C) 8. D) 1,001. E) 0,9999. D) 9. soru 7 +. x → – 2 olduğuna göre, x değişkenin aldığı değerlerden biri aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) – 1,9999. Yukarıdaki x in değer tablosuna göre, x aşağıdaki sayılardan hangisine yakınsar? A) 6. C) 1,0001. E) – 6 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI. A) – 2. B) 1,00001. B) – 2,00001. C) – 2,0001. D) – 2,001. E) – 2,01. E) 10. soru 4. soru 8 . –. x → – 5 olduğuna göre, x değişkenin aldığı değerlerden biri aşağıdakilerden hangisi olabilir?. . . A) – 6. B) – 5,00001. C) – 4,99999. D) – 4,9999. E) – 4,999. Yukarıdaki sayı doğrusunda verilenlere göre, a tamsayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 1 – C. B) 2 2 – C. C) 3. D) 4 3 – A. E) 5 4 – D. 5 – D 3. 6 – E. 7 – A. 8 – B.

(3) Limit ve Süreklilik. Soldan ve Sağdan Limit: x değerleri a dan küçük değerlerle artarak(soldan) a ya yaklaşırken, f(x) değerleride bir L1 sayısına yaklaşıyorsa; L1 reel sayısına f fonksiyonunun a noktasındaki soldan limiti denir ve lim f(x) = L1 biçiminde gösterilir. x→a −. . . Yandaki grafikte görüldüğü gibi x değişkeni a reel sayısına soldan yaklaşırken f(x) değerleri L1 sayısının etrafında yer aldığından lim f(x) = L1 dir. x→a −. . . x değerleri a dan büyük değerlerle azalarak(sağdan) a ya yaklaşırken, f(x) değerleride L2 sayısına yaklaşıyorsa; L2 reel sayısına f fonksiyonunun a noktasındaki sağdan limiti denir ve lim f(x) = L 2 ile gösterilir. x →a +. . . . Yandaki grafikte görüldüğü gibi x değişkeni a reel sayısına sağdan yaklaşırken f(x) değerleri L2 sayısının etrafında yer aldığından lim f(x) = L 2 dir. x →a +. . . çözüm. kavrama sorusu . . . . . . . . . . . . . . . .

(4) . Yukarıda verilen grafiğe göre, lim f ( x ) limitinin değerini x → 2− bulunuz.. Grafikte görüldüğü gibi, x değerleri artarak 2 ye yaklaşırken f(x) değerleri 3 ün etrafında yer aldığından, lim f(x) = 3 tür. x→2 −. Cevap: 3. çözüm. kavrama sorusu . . . . . . . .

(5) . . . . . .

(6)

(7) . Yukarıda verilen grafiğe göre, lim f ( x ) limitinin değerini x → 3+ bulunuz.. Grafikte görüldüğü gibi, x değerleri azalarak 3 e yaklaşırken f(x) değerleri 1 in etrafında yer aldığından, lim f(x) 1 dir. x →3. Cevap: 1 4.

(8) Limit ve Süreklilik soru 1. soru 5 . . . . . . . B) 4. . . lim f ( x ) limitinin değeri. Yukarıda verilen grafiğe göre, kaçtır? A) 5. . x → 3−. C) 3. D) 2. Yukarıda verilen grafiğe göre, lim f ( x ) = b olduğuna göre, x →1+ b kaçtır?. E) 1. A) 0. soru 2. B) 1. C) 2. D) 3. E) 4. . . . lim f ( x ) limitinin değeri. Yukarıda verilen grafiğe göre, kaçtır? A) 1. B) 2. soru 6. . . +. x →1. C) 3. D) 4. E) 5. soru 3 . . . KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI. . . . B) 7. . . . Yukarıda verilen grafiğe göre, lim f ( x ) = 2 ve x → 3−. lim g(x) = 3 olduğuna göre, a+b toplamı kaçtır?. x → 4+. B) 2. C) 3. D) 4. E) 5. . . Yukarıda verilen grafiğe göre, mının sonucu kaçtır? A) 6. . A) 1. . . . lim f ( x ) + lim f ( x ) topla-. x →1−. x →1+. C) 8. D) 9. soru 7. E) 10. soru 4. . . . . . . . . . . Yukarıda verilen grafiğe göre, lim f(x) = 2 ve x → 3−. Yukarıda verilen grafiğe göre, lim f ( x ) = a olduğuna göre, x → 2− a kaçtır? A) 1 1 – D. B) 2. C) 3 2 – C. D) 4 3 – A. lim g(x) = 3 olduğuna göre, a – b farkının sonucu kaçtır?. x → 4+. A) –1. E) 5. 4 – A 5. B) 0 5 – B. C) 1. D) 2 6 – E. E) 3 7 – A.

(9) Limit ve Süreklilik çözüm. kavrama sorusu . . . . . .

(10) . . . .

(11) . Yukarıda grafiği verilen y=f(x) parçalı fonksiyonunda lim f ( x ) ve lim f ( x ) ifadelerinin değerlerini bulunuz. x → 4−. . Grafikte görüldüğü gibi, x değerleri artarak 4 e yaklaşırken f(x) değerleri 1 in etrafında yer aldığından, lim f(x) = 1 dir.. x → 4+. x→4 −. –. (4 , 4 ten küçük ama 4 e çok yakın bir değer). .

(12) . +. (4 , 4 ten büyük ama 4 e çok yakın bir değer). . .

(13) . Grafikte görüldüğü gibi, x değerleri azalarak 4 e yaklaşırken f(x) değerleri 2 in etrafında yer aldığından, lim f(x) = 2 dir. x →4 +. Cevap: lim f(x)=1 ve lim f(x)=2 x→4−. çözüm. kavrama sorusu. y=f(x) y. . 3. . 2. . . . Yukarıda verilen grafiğe göre,. lim f ( x ) , −. x →−1. y=f(x) y. f(x) ler 3 ün etrafýnda. 3 2. . 3 2 f(x) ler 2 nin. x. 1 0. +. x →−1. lim f(x) = 3. x → 0+. –. 1. x. 0. lim f(x) = 2. x→−1−. (1 , 1 den küçük ama 1 e çok yakın bir değer). etrafýnda. 3 2. 1 e saðdan yaklaþýyor. 1 e soldan yaklaþýyor. lim f ( x ) ,. lim f ( x ) , lim f ( x ) , limitlerini araştırınız.. x → 0−. x→4+. x→−1+. . . +. (1 , 1 den büyük ama 1 e çok yakın bir değer). . . –. (0 , 0 dan küçük ama 0 a çok yakın bir değer). . +. (0 , 0 dan büyük ama 0 a çok yakın bir değer). . . . .

(14) . lim f(x) =. x→0. 6. −. . . .

(15) . 3 2. lim f(x) =. x →0. +. 3 2.

(16) Limit ve Süreklilik soru 1. soru 4 . . . . . . . B) 5. Yukarıda verilen grafiğe göre, lamı kaçtır?. lim f(x) + lim+ f(x) toplamı. Yukarıda verilen grafiğe göre, kaçtır? A) 4. . . x ® 2-. C) 6. x®2. A) 0. D) 7. B) 1. lim f ( x ) + lim f ( x ) top-. x →−1+. x →−1−. C) 2. D) 3. E) 4. soru 5. E) 8. . . . soru 2. . . . Yukarıda verilen grafiğe göre, mı kaçtır? A) 0. B) 1. lim f ( x ) + lim f ( x ) topla-. x →3. −. C) 2. x →3. +. D) 3. KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI. . E) 4. . . . Yukarıda verilen grafiğe göre, I) lim f(x) = 3 . II) lim f(x) = 3. III) lim f(x) = 2 . IV) lim f(x) = 4. x →1+. x→1−. x →3 +. x→3 −. ifadelerinden hangileri doğrudur? A) I, II, III, IV. B) Yalnız I, II, III. D) Yalnız I ve II. C) Yalnız I ve II E) Yalnız III ve IV. soru 6 soru 3. . . . . . . . . . Yukarıda verilen grafiğe göre, I). . . lim f(x) = 2 . x→−2 −. III) lim f(x) = 1 Yukarıda verilen grafiğe göre, kaçtır? A) 8. B) 6. C) 4. x→1−. lim f ( x ) − lim f ( x ) farkı. x →1−. x →1+. D) 2. II). lim f(x) = 1. x→−2 +. IV) lim f(x) = 2 x →1+. ifadelerinden hangisi veya hangileri yanlıştır? A) Yalnız I. E) 0. B) Yalnız II D) II ve III. 1 – B. 2 – E. 3 – E. 4 – D 7. C) I ve IV E) III ve IV. 5 – A. 6 – C.

(17) Limit ve Süreklilik Bir f(x) fonksiyonunun x → a için soldan ve sağdan limitleri birbirine eşit ise f(x) in a noktasında limiti vardır. Yani, = lim f(x) L= 1 , lim f(x) L 2 ve L1=L2=L ise lim f(x) = L dir. x→a −. x→a +. x →a. Eğer L1≠L2 ise yani sağdan ve soldan limit değerleri farklı ise f(x) in x → a için limiti yoktur. lim f(x) = c. x→a −.

(18)

(19) . lim f(x) = c. x →a +. . . f(a)=c. lim = f(x). x→a −. lim = f(x) c olduğundan,. x→a +. lim f(x) = c dir.. x →a. . lim = f(x). lim f(x) = c. x→a −.

(20)

(21) . lim f(x) = c. x →a +. . . f(a)=b. x→a −. lim = f(x) c olduğundan,. x→a +. lim f(x) = c dir.. x →a. Uyarı: lim f(x) ≠ f(a) olmasına x →a. rağmen lim f(x) = c dir. x →a. . x→a −. lim f(x) = c. x →a. x→a.

(22)

(23) . lim = f(x) c olduğundan,. x→a +. −. x →a +. . lim = f(x). lim f(x) = c. f(a) tanımsız. lim f(x) = c dir.. Uyarı: x=a için f(x) in tanımsız olması lim f(x) = c olmasına etki etmez. x →a. . lim f(x) = b. x→a −.

(24)

(25) . lim f(x) = c. . x →a +. . . f(a)=c. lim f(x) ≠ lim f(x) olduğundan, +. x→a −. x→a. lim f(x) değeri yoktur.. x →a. .

(26)

(27) . lim f(x) = b. x→a −. . lim f(x) = c. x →a +. . . f(a)=d. 8. lim f(x) ≠ lim f(x) olduğundan, +. x→a −. x→a. lim f(x) değeri yoktur.. x →a.

(28) Limit ve Süreklilik soru 1. soru 4 . . . . . . . . . . Yukarıda verilen grafiğe göre, lim f ( x ) değeri kaçtır?. Yukarıda verilen grafiğe göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi veya hangileri doğrudur?. x→2. A) 1. B) 2. C) 3. D) 4. . . E) 5. I). lim f(x) = 1 . II). x→−1−. III) lim f(x) yoktur . lim f(x) = 2. x→−1+. IV) lim f(x) = 2. x→−1. x→−1. A) Yalnız I. B) Yalnız II D) I, II ve III. soru 2. E) III ve IV. soru 5 . KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI. . . Yukarıda verilen grafiğe göre, lim f ( x ) değeri kaçtır? x →1. B) 2. C) 3. . . . A) 1. C) Yalnız III. D) 4. . Yukarıda verilen grafiğe göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi veya hangileri yanlıştır? I) lim f(x) = 1 . II) lim f(x) = 2 x →2 +. x→2 −. E) 5. . . III) f(2)=3. IV) lim f(x) = 3 x →2. A) Yalnız I. B) Yalnız II D) Yalnız IV. soru 3. C) Yalnız III E) I ve IV. soru 6 . . . . . . . . . . Yukarıda verilen grafiğe göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi veya hangileri yanlıştır?. . . I) lim f(x) = 1 x→1−. Yukarıda verilen grafiğe göre, lim f ( x ) değeri kaçtır? x →3. A) 0. B) 1. C) 2. D) 3. III) f(1) tanımsızdır.. E) 4. A) Yalnız I. II) lim f(x) = 1 x →1+. IV) lim f(x) yoktur x →1. B) Yalnız II D) II ve III. 1 – B. 2 – A. 3 – E. 4 – D 9. C) Yalnız III E) I ve IV. 5 – D. 6 – B.

(29) Limit ve Süreklilik çözüm. kavrama sorusu . . . . . . . . . . . . . . . . Yukarıda verilen grafiğe göre, lim f ( x ) ve lim f ( x ) de-. lim f(x) = lim f(x) olduğundan lim f(x) = 1. x →1. x →−2. . . . . x→−2 −. ğerlerini bulunuz.. x→−2 +. x→−2. . . . . . . . . . . lim f(x) ≠ lim f(x) olduğundan lim f(x) yoktur.. x→−1−. x→−1+. x →1. Cevap: lim f(x)=1, lim f(x) yok x→− 2. . . . . . . . . . x→1. çözüm. kavrama sorusu. . . . . . Yukarıda grafiği verilen y=f(x) fonksiyonunun x in –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2 değerleri için limitlerini araştırınız.. . . . . Yukarıdaki grafikte görüldüğü gibi x=–4 ve x=1 noktalarında fonksiyon (sıçrama yaptığı için) sağdan ve soldan limitleri farklı dolayısıyla bu noktalarda limitleri yoktur. lim f(x) = 3 , lim+ f(x) = 1. x ®1-. lim f(x) ¹ lim+ f(x). x ®1-. x ®1. x ®1. olduğundan lim f(x) yoktur. x ®1. = lim f(x) 2,= lim f(x) 1 x→−4 +. x→−4 −. lim f(x) ≠ lim f(x). x→−4 −. olduğundan lim f(x) yoktur. x→−4. = lim f(x). x→−3 −. = lim f(x). x→−2 −. = lim f(x). x→−1−. lim = f(x). x→0 −. lim = f(x). x→2 −. 10. = lim f(x) 1. = lim f(x) 1. = lim f(x) 3. = lim f(x) 3. = lim f(x) 3. = lim f(x) 3. x→−3 +. x→−2 + x→−1+. x→−3. x→−2. x→−1. lim = f(x) 3. = lim f(x) 3. lim = f(x) 2. = lim f(x) 2. x→0 + x→2 +. x→0. x→2. x→−4 +.

(30) Limit ve Süreklilik soru 1. soru 3 . . . . . . . . . . . . Yukarıda verilen y=f(x) fonksiyonunun grafiğine göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?. . A) lim f(x) = −2 B) lim f(x) = 1 x→0 − x→0 + Yukarıda verilen y=f(x) fonksiyonunun grafiğine göre, aşağı= C) lim f(x) 1= D) lim f(x) 2 daki ifadelerden kaç tanesi doğrudur? + − lim f(x) = −4 . x→−2. II). −. x→−2. x→4 −. IV) lim f(x) = 2. V) lim f(x) ve lim f(x) yoktur . VI) lim f(x) = 2. x→−2. A) 2. x→3. E) lim f(x) = 0. +. III) lim f(x) = −4 x→3 +. x→3. lim f(x) = 2. x→3 −. x →0. x→3. B) 3. C) 4. D) 5. E) 6. soru 2 . KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI. I). soru 4 lim f(x) = 3 olduğuna göre, f(x) fonksiyonunun grafiği aşa-. x →1. ğıdakilerden hangisi olabilir?. . . . . . . . . . . . . . . . . Yukarıda verilen y=f(x) fonksiyonunun grafiğine göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?. . . . . . . . . A) lim f(x) 0= B) lim f(x) 2 x→−3 −. . . x→−2 −. . −2 C) lim f(x) = D) lim f(x) = 4 x→0 x→0 − E) lim f(x) = 2 x→2. . . . . . 1 – D. 2 – D. 3 – E 11. . . 4 – B.

(31) Limit ve Süreklilik. Polinom Fonksiyonların Limitleri n. n–1. f(x)=anx +an–1x +...+aa şeklindeki fonksiyonlara polinom fonksiyon denir ve bütün reel sayılar için tanımlıdır. Yani, bu biçimdeki fonksiyonları tanımsız yapan değerler yoktur ve grafikleri kesintisiz bir eğri şeklindedir. Grafikleri kesintisiz olduğundan dolayı bu fonksiyonlarda herhangi bir noktada limit alınırken sağdan ve soldan limite bakmaya gerek yoktur. Sadece fonksiyonun o noktadaki değerinin bulunması yeterlidir. lim f(x) = f(a) dır. x →a. çözüm. kavrama sorusu. lim f(x) = f(a) olduğundan,. f(x)=3x+1 olduğuna göre, lim f ( x ) in sonucunu bulunuz. x →1. x®a. lim f(x)= lim(3x + 1)= 3.1+ 1= 4. x→1. x→1. Cevap: 4. çözüm. kavrama sorusu 2. lim f(x) = f(a) olduğundan,. f(x)=x – x – 6 olduğuna göre, lim f ( x ) in sonucunu bulux→4 nuz.. x®a. lim f(x) = lim(x 2 − x − 6) = 4 2 − 4 − 6 = 6. x→4. x→4. Cevap: 6. çözüm. kavrama sorusu. lim f(x) = f(a). lim ( x 3 − 1) limitinin sonucunu bulunuz.. x®a. x →−1. lim (x 3 − 1) =− ( 1)3 − 1=−2. x→−1. Cevap: –2. çözüm. kavrama sorusu lim ( 2 x − 1) = 7 olduğuna göre, a kaçtır bulunuz.. lim f(x) = f(a). x→a. x®a. lim(2x − 1)= 2a − 1= 7 ⇒ a = 4. x→a. Cevap: 4 12.

(32) Limit ve Süreklilik soru 1. soru 5. f(x)=5x olduğuna göre, lim f ( x ) limitinin değeri kaçtır?. lim ( x 3 − x ) limitinin değeri kaçtır?. x→2. A) 1. B) 5. x→2. C) 10. D) 15. E) 20. A) 3. soru 2. C) 5. D) 6. E) 7. soru 6. lim ( 2 x + 7 ) limitinin değeri kaçtır?. lim ( − x 3 − x − 10 ) limitinin değeri kaçtır?. x →1. B) 9. C) 10. x →−2. D) 11. E) 12. A) –6. B) –4. C) –2. D) 0. E) 2. KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI. A) 8. B) 4. soru 3. soru 7 lim (5x +1) = 21 olduğuna göre, a kaçtır?. lim ( x 2 + x ) limitinin değeri kaçtır?. x →a. x →3. A) 9. B) 10. C) 11. D) 12. A) 4. E) 13. soru 4 lim ( 2 x 2 − x + 1) limitinin değeri kaçtır?. 1 – C. C) 6. D) 7. E) 8. D) 4. E) 5. soru 8 lim (x 2 − a) = 4 olduğuna göre, a kaçtır?. x →−1. A) 4. B) 5. B) 5. 2 – B. C) 6. x →3. D) 7. 3 – D. A) 1. E) 8. 4 – A. B) 2. 5 – D 13. C) 3. 6 – D. 7 – A. 8 – E.

(33) Limit ve Süreklilik f(x) , g(x). h(x) , logk(x) biçimindeki kesirli, köklü ve logaritmik fonksiyonların tanımlı olduğu yerler sırasıyla g(x)≠0, h(x)≥0 ve k(x)>0. f(x) f(a) = , lim h(x) şartını sağlayan aralıklardır. Bu aralıklardaki a reel sayıları için= limit lim x→a g(x) g(a) x→a. h(a)= ve lim log k(x) log k(a) x→a. biçiminde hesaplanır. Bu aralıklar dışında fonksiyonların tanımsız olduğu yerlerde ise sağdan ve soldan limit incelemesi yapılmalıdır. İlerleyen bölümlerde bu noktalardaki limitler ayrıca incelenecektir.. çözüm. kavrama sorusu. x=1 için x+1≠0 olduğundan,. x+2 limitinin değerini bulunuz. x →1 x + 1 lim. lim f(x) = f(a) dır.. x®a. x + 2 1+ 2 3 lim = = x + 1 1+ 1 2. x →1. Cevap:. çözüm. kavrama sorusu lim. x→3. 3 2. x=3 için 12–x≥0 olduğundan,. 12 − x limitinin değerini bulunuz.. lim f(x) = f(a) dır.. x®a. lim 12 − x =. x→3. 12 − 3=. 9= 3 Cevap: 3. çözüm. kavrama sorusu. 2. x=3 için x +1>0 olduğundan,. lim log ( x 2 + 1) limitinin değerini bulunuz.. x →3. lim f(x) = f(a) dır.. x®a. lim log (x 2 + = 1) log(32 + = 1) log= 10 1. x→3. Cevap: 1. çözüm. kavrama sorusu lim. x→2. x+1 limitinin değerini bulunuz. x−2. x +1 2 +1 3 lim = = x −2 2−2 0. x→2. tanımsız bir ifade ile karşılaştığımızdan x → 2 için sağdan ve soldan limite bakılmalıdır.. 14.

(34) Limit ve Süreklilik soru 1 lim. x→2. soru 5. x+1 limitinin değeri kaçtır? x+3. 1 A) 5. 2 B) 5. lim log3 ( 7 x + 2 ) limitinin değeri kaçtır?. x →1. 3 C) 5. 4 D) 5. A) 1. x−5 2. x +1. A) 0. lim. B) 1. C) 2. D) 3. A) 1. E) 4. B) 3. C) 4. B) 2. A) 1. x+1 limitinin reel sayı olmaması için a reel sayısı ax−7 şağıdakilerden hangisi olmalıdır? lim. D) 5. E) 6. B) 3. C) 4. D) 5. E) 7. soru 8. x+3 limitinin değeri kaçtır? 2x − 1 B) 2. C) 3. lim. x→a. 7 − x limitinin reel sayı olmaması için a reel sayısı. aşağıdakilerden hangisi olabilir? D) 4. E) 5 A) 3. 1 – C. E) 5. x→a. soru 4 lim. C) 3. soru 7. A) 2. x →1. D) 4. x →e. x 2 + 16 limitinin değeri kaçtır?. A) 2. E) 5. lim ln( x 3 ) limitinin değeri kaçtır?. limitinin değeri kaçtır?. soru 3 x →3. D) 4. soru 6. KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI. lim. C) 3. E) 1. soru 2. x→5. B) 2. 2 – A. 3 – D. 4 – B. B) 4. 5 – B 15. C) 5. 6 – C. D) 6. 7 – E. E) 8. 8 – E.

(35) Limit ve Süreklilik. Parçalı Fonksiyonların Limitleri f(x)=. g(x) ,. x<a. h(x) ,. x≥a. biçimindeki parçalı fonksiyonlarda fonksiyonun kritik noktası x=a dır. Parçalı fonksiyonların grafikleri incelendiğinde kritik noktalarında kesintiler (sıçramalar) olabildiği görülür. Bundan dolayı kritik noktalarda sağdan ve soldan limit incelemesi yapılması gerekir. Kritik nokta dışındaki limit incelemelerinde ise uygun olan fonksiyon seçilerek (g(x) veya h(x)) limit alınmaya çalışılır. Not: Parçalı fonksiyonlarda limit incelemesi yapmak için grafik çizilmesi şart değildir.. çözüm. kavrama sorusu. +. f(x)=. x+2 ,. x≥1. x–1 ,. x<1. x→1 da x>1 olduğundan uygun fonksiyon x+2 dir. lim (x + 2) = 1+ 2 = 3 ,. x→1+. lim (x − 1) = 1− 1= 0. x→1−. –. x→1 da x<1 olduğundan uygun fonksiyon x – 1 dir.. lim f ( x ) ifadesini inceleyiniz.. lim (x + 2) = 1+ 2 = 3 ,. x →1. x→1+. lim (x − 1) = 1− 1= 0. x→1−. lim f(x) ≠ lim f(x) olduğundan, lim f(x) yoktur.. x→1−. x→1+. x →1. Cevap: limit yoktur.. çözüm. kavrama sorusu. +. f(x)=. 3x–1 ,. x≥2. x+3 ,. x<2. x→2 da x>2 olduğundan uygun fonksiyon 3x – 1 dir. lim (3x − 1) = 3.2 − 1= 6 − 1= 5. x→2 +. –. x→2 da x<2 olduğundan uygun fonksiyon x+3 dür. lim f ( x ) ifadesini inceleyiniz.. lim (x + 3) = 2 + 3 = 5. x→2. x→2 −. lim = f(x). x→2 −. Cevap: 5. x>0. x=0 kritik nokta olduğundan lim f(x) için sağdan ve soldan. ,. x=0. limit incelemesi yapmak gerekir.. 2x–1 ,. x<0. 2. x +1 , f(x)=. 4. x®0. lim f(x) = lim+ (x 2 + 1) = 02 + 1 = 1. x ® 0+. x®0. lim- f(x) = lim- (2x - 1) = 2.0 - 1 = -1. lim f(x) , lim f(x) ve lim f(x) limitlerini inceleyiniz. x®2. x →2. çözüm. kavrama sorusu. x®0. lim = f(x) 5 olduğundan, lim f(x) = 5. x→2 +. x®0. x ®-1. x®0. lim+ f(x) ¹ lim- f(x) olduğundan, lim f(x) yoktur.. x®0. x®0. x®0. x=2 kritik nokta olmadığından, (2>0 olduğundan) lim f(x) = lim(x 2 + 1) = 22 + 1 = 5. x®2. x®2. x=–1 kritik nokta olmadığından, (–1<0 olduğundan) lim f(x) = lim (2x - 1) = 2(-1) - 1 = -3. x ®-1. 16. x ®-1.

(36) Limit ve Süreklilik soru 1. soru 5 x+5 ,. f(x)=. 5x+1 ,. x>1 x≤1. C) 6. D) 7. E) 8. A) 1. soru 2. B) 2. x. 2. ,. f(x)=. x < –1. D) 6. E) limit yoktur. B) –2. C) –1. D) 1. E) 2. soru 3 3x+1 , f(x)=. 5. ,. x+3 ,. A) –12. x>1. C) –8. 2. x=1 x<1. D) –6. E) –4. x +3 ,. x≥2. x+1 ,. x<2. olduğuna göre, lim f ( x ) + lim f ( x ) toplamı kaçtır? x→4. A) 19 D) 4. x≤2. B) –10. f(x)=. x →1. C) 3. 3x–1 ,. soru 7. olduğuna göre, lim f ( x ) limitinin değeri kaçtır? B) 2. x>2. x →−3. KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI. A) limit yoktur. 2x+1 ,. olduğuna göre, lim f ( x ) limitinin değeri kaçtır?. x →−1. x →0. B) 20. C) 21. D) 22. E) 23. E) limit yoktur. soru 4. soru 8 f(x)=. 2x+5 , x. 2. ,. 2. x > –2. f(x)=. x ≤ –2. olduğuna göre, lim f ( x ) limitinin değeri kaçtır?. olduğuna göre, kaçtır?. x →−2. B) –1. C) 0. D) 1. 2 – A. 3 – D. x +1 ,. x≥0. 1–x ,. x<0. lim f ( x ) + lim f ( x ) + lim f ( x ). x→0. x →−1. x →1. toplamı. E) limit yoktur A) 5. 1 – C. C) 5. x ≥ –1. 2x ,. olduğuna göre, lim f ( x ) limitinin değeri kaçtır?. A) –2. x<1. soru 6 f(x)=. A) 1. x −4 ,. x≥1. x →−3. x →1. B) 5. 2 . olduğuna göre, lim f ( x ) limitinin değeri kaçtır?. olduğuna göre, lim f ( x ) limitinin değeri kaçtır? A) 4. 3x–1 ,. f(x)=. 4 – E. B) 6 5 – C. 17. C) 7 6 – B. D) 8 7 – B. E) 9 8 – A.

(37) Limit ve Süreklilik çözüm. kavrama sorusu. f(x)=. ax+1 ,. x≥1. 3x ,. x<1. 2≥1 olduğundan, x → 2 için uygun fonksiyon f(x)=ax+1 dir. lim f(x)= lim(ax + 1)= 2a + 1= 17 ⇒ a= 8. x→2. fonksiyonu veriliyor. lim f(x) = 17 olduğuna göre, a kaçtır, x →2 bulunuz.. x→2. Cevap: 8. çözüm. kavrama sorusu 3. f(x)= fonksiyonu veriliyor. bulunuz.. x –1 ,. x > –1. bx. x ≤ –1. ,. –3≤ –1 olduğundan, x → –3 için uygun fonksiyon f(x)=bx dir. lim f(x) =lim (bx) = 9 ⇒ b= −3b = −3. x→−3. lim f(x) = 9 olduğuna göre, b kaçtır,. x→−3. x → −3. Cevap: –3. çözüm. kavrama sorusu. +. f(x)=. 2x+a ,. x≥3. bx+4 ,. x<3. x→3 için uygun fonksiyon 2x+a lim f(x) =. x→3 +. lim (2x + a) = 2.3 + a = 10 ⇒ a = 4. x→3 +. –. x→3 için uygun fonksiyon bx+4 fonksiyonu veriliyor. lim f(x) = 10 olduğuna göre, 2a+b toplamı kaçtır, bulunuz.. lim f(x) =. →. x→3 −. lim (bx + 4) = b.3 + 4 = 10 ⇒ b = 2. x→3 −. 2a+b=2.4+2=10 Cevap: 10. çözüm. kavrama sorusu x+a. ,. x > –2. 1. ,. x=–2. f(x)=. –x–a ,. lim f(x) limitinin olmaması için. x→−2. lim f(x) ≠ lim f(x) olmalıdır. +. x→−2 −. x→−2. +. x→–2 için uygun fonksiyon x+a lim f(x) = lim (x + a) =−2 + a. x < –2. x→−2 +. x→−2 +. –. fonksiyonu veriliyor. lim f(x) limiti olmadığına göre,. x→–2 için uygun fonksiyon –x–a. x →−2. lim f(x) = lim ( − x − a) = 2 − a. a hangi değeri alamaz, bulunuz.. x→−2 −. x→−2 −. –2+a=2–a ⇒ 2a=4 ⇒ a=2 olması durumunda limitin sonucu olurdu. Bundan dolayı a ≠ 2 olmalı. Cevap: a ≠ 2 18.

(38) Limit ve Süreklilik soru 1. soru 5 f(x)=. mx–1 ,. x≥2. 3x+1 ,. x<2. f(x)=. 2m+x ,. x≥4. 3x ,. x<4. fonksiyonu veriliyor, lim f ( x ) = 14 olduğuna göre, m kaçtır?. fonksiyonu veriliyor, lim f ( x ) = 12 olduğuna göre, m kaçtır?. A) 2. A) 1. x →3. B) 3. C) 4. D) 5. x→4. E) 6. soru 2 2. x +x ,. x>3. 2. f(x)=. x≤3. x –n ,. fonksiyonu veriliyor, lim f ( x ) = 3 olduğuna göre, n kaçtır?. D) 4. E) 5. B) –1. C) 0. D) 1. tinin değeri kaçtır?. E) 2. KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI. A) – 3. soru 3. f(x)=. mx ,. x>1. 2. ,. x=1. nx. ,. x<1. ax+a–2 ,. x<2. x→2. B) – 2. C) – 1. 2x+a , 5. ,. x>1 x=1 x<1. x →1. A) 4 D) 0. E) 1. fonksiyonu veriliyor, lim f ( x ) = −1 olduğuna göre, b kaçtır?. x→2. C) –1. D) 0. soru 7. 2ax+b ,. na göre, m+n toplamı kaçtır? B) –2. x≥2. f(x)=. fonksiyonu veriliyor, lim f ( x ) = 2 ve lim f ( x ) = −2 olduğux →−2. 3x+b ,. fonksiyonu veriliyor, lim f ( x ) = 7 olduğuna göre, 2b–a limi-. x →1. A) –3. C) 3. soru 6 f(x)=. A) –2. B) 2. B) 5. C) 6. D) 7. E) 8. E) 1. soru 4. soru 8 f(x)=. (m+n)x ,. x>0. (m–n)x. x≤0. ,. f(x)=. 5x. ,. x ≥ –1. ax+4. ,. x < –1. fonksiyonu veriliyor, lim f ( x ) = 7 ve lim f ( x ) = 3 olduğuna. fonksiyonu veriliyor, lim f ( x ) limiti olmadığına göre, a aşa-. göre, m.n çarpımı kaçtır?. ğıdakilerden hangisi olamaz?. x →1. A) 6 1 – D. B) 7. C) 8 2 – A. x →−1. x →−1. D) 9 3 – B. A) 8. E) 10 4 – E. B) 9. 5 – D 19. C) 10. 6 – C. D) 11. 7 – B. E) 12. 8 – B.

(39) Limit ve Süreklilik. Mutlak Değerli Fonksiyonların Limitleri Mutlak değerli fonksiyonların kritik noktası ifadeyi 0 yapan değerlerdir. Kritik noktalarda limit araştırılırken sağdan ve soldan limit incelemesi yapılmalıdır. Kritik olmayan noktalarda ise limit değeri fonksiyonu o noktadaki değerdir. Yani lim f(x) = f(a) dir. x →a. çözüm. kavrama sorusu. |x–1|=0 ⇒ x=1 kritik nokta 3 kritik nokta olmadığından,. lim x − 1 limitinin değerini bulunuz.. x→3. lim x − 1 = 3 − 1 = 2 = 2. x→3. Cevap: 2. çözüm. kavrama sorusu. |x–2|=0 ⇒ x=2 kritik nokta olduğundan,. f(x)=|x–2| olduğuna göre, lim f ( x ) limitinin değerini bux→2 lunuz.. f(x)=. ,. x≥2. –x+2 ,. x<2. x–2. biçiminde parçalı fonksiyon olarak yazarız. lim (x − 2) = 2 − 2 = 0.    lim f(x) = lim+ f(x) olduğundan, x→2 lim ( − x + 2) =−2 + 2 =0  x→2− − x→2  x→2 +. lim x − 2 = 0. x→2. Cevap: 0. çözüm. kavrama sorusu. |x–2|=0 ⇒ x=2 kritik nokta olduğundan,. f(x)=|x–2|+x olduğuna göre, lim f ( x ) limitinin değerini x→2 araştırınız.. f(x)=. x–2+x ,. x≥2. –x+2+x ,. x<2. ⇒. 2x – 2 , x ≥ 2. f(x)=. 2. , x<2. lim (2x − 2)= 2.2 − 2= 2  x→2 +   lim− f(x) = lim+ f(x) olduğundan, x→2 lim 2 = 2  x→2 − x→2 . lim f(x) = 2 olur.. x→2. çözüm. kavrama sorusu f :R − {3} → R,. f(x) =+ 3. Cevap: 2. |x–3|=0 ⇒ x=3 kritik nokta olduğundan, 1 x−3 3+ , x≥3 x−3 ⇒ f(x)= f(x)= −(x − 3) , x < 3 3+ x−3. x−3 x−3. olduğuna göre, lim f ( x ) limitinin değerini araştırınız. x →3. 4 ,. x≥3. 2 ,. x<3. –1 lim f(x) = 4  + x→3   lim f(x) ≠ lim+ f(x) olduğundan, x→3 lim f(x) = 2  x→3− − x→3  limit yoktur. 20. Cevap: limit yoktur.

(40) Limit ve Süreklilik soru 1. soru 5. lim 2 x − 2 limitinin değeri kaçtır?. lim 3 x − 6 limitinin varsa değerini bulunuz?. x→4. A) 2. B) 4. C) 6. x→2. D) 8. E) 10. A) 4. soru 2. C) 2. D) 1. E) 0. soru 6. lim 5 x − 1 limitinin değeri kaçtır? B) 26. C) 27. x f(x) = x. f :R − {0} → R,. x→5. A) 24. B) 3. D) 28. E) 29. olmak üzere, lim f ( x ) değerini varsa bulunuz? x → 0−. KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI. A) –2. soru 3 lim x − 1 limitinin değeri kaçtır? B) 0. C) 1. D) 2. E) 3. C) 0. D) 1. E) 2. soru 7 f :R − {1} → R,. x →1+. A) –1. B) –1. f(x) =. x −1 +x x −1. olmak üzere, lim f ( x ) değerini varsa bulunuz? x →1. A) limit yoktur. soru 4 lim x − 3 limitinin değeri kaçtır?. 1 – C. C) 2. D) 3. E) 4. soru 7 lim x − 1 + x limitinin değerini varsa bulunuz?. x → 3−. A) –3. B) 1. x →1. B) –2. 2 – A. C) –1. D) 0. 3 – B. E) 1. A) –1. 4 – D. 5 – E 21. B) 0. C) 1 6 – B. D) 2 7 – A. E) limit yoktur 8 – C.

(41) Limit ve Süreklilik. Genişletilmiş Gerçek Sayılar Kümesinde Limit . . . . . . Herhangi bir x değişkeni sürekli artan değerler alıyorsa x → ∞, x değişkeni sürekli azalan değerler alıyorsa x → – ∞ ile ifade edilir. – ∞ ile + ∞ kavramlarının reel (gerçek) sayılar kümesine eklemesiyle oluşan R ∪ {– ∞, + ∞} kümesine genişletilmiş gerçek sayılar kümesi denir. Limit hesaplamalarında x değişkeni bir a noktasına yaklaşırken f(x) fonksiyonun aldığı değerler sürekli artar veya sürekli azalır. Bu durumda lim f(x) = +∞ veya lim f(x) = −∞ dur. x →a. x→a. . . . . . . . . . . . . . . . Uyarı g(a)=0 olmak üzere lim. x →a. f(x) ifadesinde soldan ve sağdan limit incelemesi yapılmalıdır. g(x). çözüm. kavrama sorusu lim. x→0. 1 , x. lim x→0. −. 1 x. ve. lim. x→0. . 1 limitlerinin değerini araştıx. Yandaki grafikten görüldüğü gibi. . . rınız.. lim. x→0 +. . 1 1 = +∞, lim = −∞ x x→0 − x. 1 1 ≠ lim xlim →0 − x x→0 + x. . olduğundan . lim. x →0. 1 limiti yoktur. x Cevap: limit yoktur. çözüm. kavrama sorusu lim. x →1+. 3 , x −1. lim. x →1−. Yandaki grafiktende görüldüğü gibi, 3 3 lim = +∞ , lim = −∞ x→1+ x − 1 x→1− x − 1. . 3 3 ve lim limitlerini araştıx →1 x − 1 x −1. rınız.. . . lim f(x) ≠ lim f(x). x→1+. x→1−. olduğundan lim f(x) yoktur. x →1. . . 22. Cevap: limit yoktur.

(42) Limit ve Süreklilik soru 1 lim x →0. +. soru 5. 5 limitinin değerini bulunuz? x. A) –∞. B) 0. C) 1. lim x→5. D) 5. E) ∞. x→0. −. B) –∞. C) 1. D) 2. E) 6. D) ∞. E) 1. soru 6. 3 limitinin değerini bulunuz? x B) –1. C) 0. lim x→2. D) 1. E) ∞. +. 1 limitinin değerini bulunuz? 2− x. A) –1. B) 0. C) –∞. KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI. A) –∞. 6 limitinin değerini bulunuz? (x − 5). A) ∞. soru 2 lim. +. soru 3 lim. x →1−. soru 7. 4 limitinin değerini bulunuz? x −1. A) ∞. B) 2. C) 1. lim. x→4. D) 0. A) 4. E) –∞. soru 4 lim. x → 3+. A) –∞ 1 – E. 10 limitinin varsa değerini bulunuz? x−4 B) 2. C) 1. D) 0. E) limit yoktur. soru 8. 5 limitinin değerini bulunuz? x−3 B) ∞ 2 – A. C) –1. lim. x→6. D) 0 3 – E. E) 1 4 – B 23. 1 limitinin varsa değerini bulunuz? 6−x. A) limit yoktur. B) –∞. 5 – A. 6 – C. C) ∞. D) 0. 7 – E. E) 1. 8 – A.

(43) Limit ve Süreklilik. lim. x®a. f(x) ifasinde x=a değeri, g(x)=0 denkleminin çift katlı bir kökü ise aşağıda belirtilen durumlar geçerlidir. g(x) . . . . . . . . . . . . . . lim f(x) = lim f(x) = ∞. x→a −. x→a +. lim f(x) = lim f(x) = −∞. . x→a −. x→a. çözüm. kavrama sorusu. . 1 olduğuna göre, (x - 1)2. lim f(x) ,. x ®1+. . . . lim f(x) ve lim f(x) limitlerini araştırınız.. x ®1-. x→a +. lim f(x) = −∞. lim f(x) = ∞. x→a. f(x) =. . x ®1. . . Yukarıdaki grafiktende görüldüğü gibi 1 1 lim = ¥ , lim=¥ x ®1+ (x - 1)2 x ®1 (x - 1)2 lim. x ®1-. 1 1 = lim olduğundan (x - 1)2 x ®1+ (x - 1)2 1. lim. x ®1 (x - 1)2. . 2 olduğuna göre, (x - 3)2. lim f ( x ) ,. x → 3+. lim f ( x ) ve. x → 3−. Cevap: ∞. çözüm. kavrama sorusu f(x) = -. =¥. . lim f ( x ) limitlerini araştırı-. . . x→3. nız. . . . . Yukarıdaki grafiktende görüldüğü gibi 2 2 lim = -¥ , lim- = -¥ x ® 3+ (x - 3)2 x®3 (x - 3)2 lim -. x ® 3+. lim -. x®3. 24. 2 2 = lim olduğundan (x - 3)2 x ® 3- (x - 3)2. 2 = -¥ (x - 3)2. Cevap: –∞.

(44) Limit ve Süreklilik soru 1. soru 5. 1 limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? (x - 2)2. lim. x ® 2+. A) – ∞. B) –2. C) 0. D) 2. E) ∞. A) – 7. soru 2 lim. x ®1+. limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? B) –1. C) 0. D) ∞. E) – ∞. soru 6. 1 limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? (1- x)2 B) –1. C) 0. D) 1. lim. x ®-3+. E) ∞. 1 limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? (x + 3)4. A) ∞. B) 3. C) –3. D) –1. E) – ∞. KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI. A) – ∞. 7. lim. x ®1 (x - 1)2. soru 3 lim. x ®-1-. soru 7. 3 limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? (x + 1)2. A) ∞. B) – ∞. C) –3. D) –1. æç lim ç-. çç x ® 2+ è. E) 0. A) ∞. soru 4 lim -. x®4. A) – 4. 5 ö÷÷ ÷ limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? (x - 2)2 ø÷ B) – ∞. D) –2. E) 0. soru 8 çæ lim ç-. 1 limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? (x - 4)2 B) 0. C) – ∞. D) ∞. çè x ®10 + ç. ö 1 ÷÷÷ limitinin değeri aşağıdakilerden hangi(10 - x)6 ÷ø. sidir?. E) 4. A) ∞. 1 – E. C) –5. 2 – E. 3 – A. 4 – C. B) –10. 5 – D 25. C) –1. 6 – A. D) 10. 7 – B. E) – ∞. 8 – E.

(45) Limit ve Süreklilik x → a iken f fonksiyonunun ∞ veya –∞ a doğru sürekli artan veya sürekli azalan değerler aldığı limit işlemlerinde grafik çizmek şart değildir. Örneğin; lim. 1. x→1 x − 1. +. –. limit işleminde x → 1 için (sağdan limit) ve x → 1 için (soldan limit) limitlere bakmak gerekir. 1 + (x → 1 sağdan yaklaşmak 1 e çok yakın ama 1 den büyük değerler almak demektir, örnek olarak x=1,00001 yazılabilir.) x −1 1 1 1 1 =∞ = lim = paydadaki sayı değeri küçüldükçe limitin değeri ∞ doğru gideceğinden lim x→1+ x − 1 x→1+ x − 1 (1,00001) − 1 0,00001    lim. x→1+. (kolaylık olsun diye pozitif 0 diyebiliriz.). 1 – lim (x → 1 soldan yaklaşmak 1 e çok yakın ama 1 den küçük değerler almak demektir, örnek olarak x=0,99999 yazılabilir.) − x −1 x→1 1 1 1 1 = −∞ = lim = paydadaki sayı değeri büyüdükçe limitin değeri –∞ doğru gideceğinden lim 0,00001 x→1− x − 1 x→1− x − 1 0,99999 − 1 −  (kolaylık olsun diye negatif 0 diyebiliriz.). çözüm. kavrama sorusu lim. x → 2+. +. x → 2 olduğundan x=2,00001 alalım.. x limitinin değerini bulunuz. x−2. x 2,00001 = =∞ −2 x − 2 2,00001  + 0,00001 → kolaylık olsun diye pozitif 0 diyebiliriz. (0 ) Cevap: ∞. lim. x→2 +. çözüm. kavrama sorusu lim. x → 2−. –. x → 2 olduğundan x=1,99999 alalım.. x limitinin değerini bulunuz. x−2. x 1,99999 = = −∞ x − 2 1 ,99999 − 2 – –0,00001 → kolaylık olsun diye negatif 0 diyebiliriz. (0 ) Cevap: –∞. lim. x→2 −. çözüm. kavrama sorusu lim. x→3. 5 limitinin değerini araştırınız. 3−x. lim f(x) ve lim f(x) incelemesi yapılmalıdır.. x →3 +. x→3 −. +. x → 3 için x=3,00001 alalım.. 5 5 5 = = = −∞ 3 − x 3 − 3,00001 − 0,00001 . lim. x→3 +. –. negatif 0 (0 ) –. x→3 için x=2,99999 alalım.. lim. x→3 −. 5 5 5 = = =∞ 3 − x 3 − 2,99999 0,00001    +. pozitif 0 (0 ). lim f(x) ≠ lim f(x) olduğundan limit yoktur. x→3 + Cevap: limit yoktur.. x→3 −. çözüm. kavrama sorusu lim. x+1. x →1 ( x. − 1)2. +. x → 1 için x=1,00001 alalım.. limitinin değerini bulunuz.. lim. +. x→1. x +1 2. (x − 1). =. 1,00001+ 1 2. (1,00001− 1). =. 2,00001 2 (0,00001) . =∞. +. pozitif 0 (0 ) –. x → 1 için x=0,99999 alalım. lim. x→1−. x +1 (x − 1)2. =. 0,99999 + 1 (0,99999 − 1)2. =. 1,99999 2 ( −0,00001)  . =∞. +. pozitif 0 (0 ). lim f(x) = lim f(x) = ∞ olduğundan lim f(x) = ∞. x→1−. 26. x→1+. x→1. Cevap: ∞.

(46) Limit ve Süreklilik soru 1 lim x →0. +. soru 5. x+1 limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? x. A) –∞. B) –1. C) 0. D) 1. −. x →1. E) ∞. A) –∞. soru 2 lim. x →1+. B) –1. B) –∞. C) –1. D) –2. lim. x→3. KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI. x limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? 2− x. A) –2. B) –1. C) –∞. D) ∞. B) 1. 1− x. lim. ( x − 4 )2 gisidir? x→4. E) 0. soru 4. x→0. A) ∞. +. B) 1. D) 1. E) limit yoktur. limitinin değeri varsa aşağıdakilerden han-. C) –1. D) –∞. E) limit yoktur. soru 8. x −1 limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? x B) 1. C) 0. D) –∞. lim. x+4. ( 3 + x )2 gisidir? x →−3. E) –1. A) ∞. 1 – E. C) 0. soru 7. A) ∞. lim. E) ∞. dir?. E) –3. soru 3 lim. D) 1. x+3 limitinin değeri varsa aşağıdakilerden hangisix−3. A) ∞. x → 2+. C) 0. soru 6. 3x limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? x −1. A) ∞. x−7 limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? 1− x. lim. 2 – A. 3 – C. 4 – D. B) 2. 5 – A 27. limitinin değeri varsa aşağıdakilerden han-. C) –1. 6 – E. D) –∞. 7 – D. E) limit yoktur. 8 – A.

(47) Limit ve Süreklilik Limit hesaplamalarında bazen x değişkeni sürekli artarken veya sürekli azalırken fonksiyonun aldığı değerler herhangi bir a sayısına yakınsar. Bu durumda lim f(x) = a veya lim f(x) = a dır. x→−∞. x →∞. . . . . . . .

(48)

(49) .

(50)

(51) . . . . Sonsuz kavramı ile ilgili bazı özellikler aşağıdadır. . c ∈ R olmak üzere, c+(+∞)=+∞ (Sürekli artan bir değişkene c sayısı eklenirse yine sürekli artan bir değişken olur). c+(–∞)=–∞ (Sürekli azalan bir değişkene c sayısı eklenirse yine sürekli azalan bir değişken olur). . c > 0 olmak üzere. c.(+∞)=+∞. c.(–∞)=–∞. c.(+∞)=–∞. c.(–∞)=+∞. c < 0 olmak üzere. . ∞+∞=∞ (Sürekli artan bir değişkene, sürekli artan bir değişken eklenirse yine sürekli artan bir değişken olur). . –∞+(–∞)=–∞ (Sürekli azalan bir değişkene sürekli azalan bir değişken eklenirse sürekli azalan bir değişken olur). . ∞.∞=∞. ,. (–∞).(–∞)=∞. ve. (+∞).(–∞)=– ∞ dur.. çözüm. kavrama sorusu lim ( x + 3 ) limitinin değerini araştırınız.. lim (x + 3) =∞ + 3 =∞. x→∞. x →∞. Cevap: ∞. çözüm. kavrama sorusu lim ( 2 − x ) limitinin değerini araştırınız.. lim (2 − x) = 2 − ∞ = −∞. x→∞. x →∞. Cevap: –∞. çözüm. kavrama sorusu. lim (5x) = 5.( −∞ ) = −∞. lim ( 5 x ) limitinin değerini araştırınız.. x→−∞. x →−∞. Cevap: –∞. çözüm. kavrama sorusu lim ( x 2 ) limitinin değerini araştırınız.. lim (x 2 ) = lim x.x = ( −∞ ).( −∞ ) = ∞. x→−∞. x →−∞. x→−∞. Cevap: ∞. 28.

(52) Limit ve Süreklilik soru 1. soru 5. lim ( x + 1) limitinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?. lim ( −3 x ) limitinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?. x →∞. A) –∞. B) –1. C) 0. D) ∞. x →−∞. E) 1. A) 1. soru 2. C) ∞. D) –1. E) –∞. soru 6. lim ( 10 − x ) limitinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?. lim ( 7 − 5 x ) limitinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?. x →∞. B) 0. C) 1. D) –∞. x →∞. E) ∞. A) ∞. B) –∞. C) –2. D) –1. E) 0. KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI. A) –1. B) 0. soru 3. soru 7. lim ( x − 3 ) limitinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?. lim ( x 2 ) limitinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?. x →−∞. A) –∞. x →−∞. B) –1. C) 0. D) 1. E) ∞. A) –∞. soru 4 lim ( 1 − x ) limitinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?. 1 – D. C) ∞. D) –2. E) 0. soru 8 lim ( x 3 ) limitinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?. x →−∞. A) ∞. B) 2. x →−∞. B) 1. 2 – D. C) 0. D) –∞. 3 – A. E) –1. A) 1. 4 – A. B) 0. 5 – C 29. C) ∞. 6 – B. D) –∞. 7 – C. E) –1. 8 – D.

(53) Limit ve Süreklilik n. f(x)=anx +an-1x. n – 1. +.....+a1x+a0 biçimindeki polinom fonksiyonlar için. terimin limitini almak yeterlidir.. lim f(x) = lim an x. x ®±¥. lim f(x) limiti hesaplanırken sadece en büyük dereceli. x ®±¥. n. x ®±¥. çözüm. kavrama sorusu lim ( x 2 + x ) limitinin değerini araştırınız.. 1  lim (x 2 + x) = lim x 2  1+  = lim x 2 = ∞ x→∞  x  x→∞. x →∞. x→∞. veya. ↓ x → ∞ için 0'a yakınsar. lim (x 2 + x) = lim x 2 = (¥)2 = ¥ biçiminde limiti bulabiliriz.. x ®¥. x ®¥. Cevap: ∞. çözüm. kavrama sorusu. lim (4x 3 - x 2 + 1) = lim 4x 3 = 4(¥)3 = ¥ veya. lim ( 4 x 3 − x 2 + 1) limitinin değerini araştırınız.. x ®¥. x →∞. x ®¥.  x2 1  lim (4x 3 −= x 2 + 1) lim x 3  4 − 3 + 3  x→∞ x→∞ x x   1 1  = lim x 3  4 − + 3 x→∞ x x  ↓ ↓ x → ∞ için 0 ve 0.  ∞ lim 4x 3 = 4.(∞ )3 = =  x→∞. Cevap: ∞. çözüm. kavrama sorusu. lim (x 3 + x 2 + 1) = lim x 3 = (-¥)3 = -¥ veya. lim ( x 3 + x 2 + 1) limitinin değerini araştırınız.. x ®-¥. x →−∞. lim (x 3 += x 2 + 1). x→−∞. x ®¥.  x2 1  lim x 3  1+ 3 + 3  x→−∞ x   x. 1 1  = lim x 3  1+ + 3 x→−∞  x x ↓ ↓ x → –∞ için 0 ve 0.  lim x 3 = ( −∞ )3 = −∞  = x→−∞ . Cevap: –∞. çözüm. kavrama sorusu. lim (-2x 3 + x) = lim - 2x 3 = -2(-¥)3 = ¥. lim ( −2 x 3 + x ) limitinin değerini araştırınız.. x ®-¥. x →−∞. x ®-¥. Cevap: ∞. 30.

(54) Limit ve Süreklilik soru 1. soru 5. lim ( 3 x 2 + x ) limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?. lim ( 2 x 2 − 4 x ) limitinin değeri aşağıdakilerden hangi-. x →∞. A) –1. B) 0. C) 1. D) –∞. x →−∞. sidir?. E) ∞. A) ∞. soru 2. B) 2. lim ( −5 x 2 + 3 x ) limitinin değeri aşağıdakilerden hangi-. sidir?. sidir? C) –∞. D) –1. E) –2. A) –2. KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI. B) 1. soru 3 lim ( − x 3 − x − 1) limitinin değeri aşağıdakilerden hangi-. sidir?. sidir? C) –1. D) 0. E) ∞. A) ∞. soru 4. D) ∞. E) 1. B) 0. C) –1. D) –2. E) –∞. soru 8. lim ( 7 x 3 − 8 x + 10 ) limitinin değeri aşağıdakilerden han-. lim ( x 7 + x 3 − x ) limitinin değeri aşağıdakilerden hangi-. x →∞. x →−∞. gisidir?. 1 – E. C) –∞. lim ( x 7 + x 3 − x ) limitinin değeri aşağıdakilerden hangi-. x →−∞. B) –2. B) –1. soru 7. x →∞. A) –∞. E) –∞. lim ( x 2 − 6 x + 5 ) limitinin değeri aşağıdakilerden hangi-. x →−∞. A) –∞. D) 0. soru 6. x →∞. A) ∞. C) 1. sidir? B) ∞ 2 – C. C) 0. D) 1 3 – A. E) –1. A) –∞. 4 – B. 5 – A 31. B) –1. C) ∞ 6 – D. D) 1 7 – E. E) 2 8 – A.

(55) Limit ve Süreklilik lim a x biçimindeki limitleri hesaplamak için aşağıdaki örnekleri inceleyelim.. x ®±¥. a>1 ise örneğin a=2 alalım. . . . . . . . . . . . . . olduğundan,. . . . . . . . . . olduğundan,. . . . a > 1 ise lim a x = ¥ x ®¥. . . . . . . . . . . . . . . 0 < a < 1 ise lim a x = 0 x ®¥. x ®-¥. 1 1 = = 0 olduğundan, a¥ ¥. lim a x = a-¥ =. 0<a<1 için. . 1 alalım. 2. lim a x = a-¥ =. a>1 için. . . . . . . 0<a<1 ise örneğin a = . . x ®-¥. a > 1 ise. 1 1 = = ¥ olduğundan, a ¥ 0+. lim a x = 0. x ®-¥. 0 < a < 1 ise. lim a x = ¥. x ®-¥. x=logax biçimindeki limitleri hesaplamak için y=logax fonksiyonunun aşağıdaki grafiklerini dikkatle inceleyelim. . . . . . . . . . . . . . . . . . çözüm. kavrama sorusu lim 3 x ve lim 3 x ifadelerinin değerlerini bulunuz.. x →∞. a > 1 için lim a x = ∞ olduğundan, x →∞. x →−∞. lim 3 x = 3 ∞ = ∞. x →∞. a > 1 için lim a x = 0 olduğundan, x→−∞. x lim 3= 3 −∞=. x→−∞. 1 1 = = 0 3∞ ∞ Cevap: ∞ ve 0. çözüm. kavrama sorusu  1 lim   x →∞  2 . x. 1 ve lim   x →−∞  2 . x. 0 < a < 1 için lim a x = 0 olduğundan,. ifadelerinin değerlerini bulunuz.. x →∞ ∞. x.  1  1 lim =  =  0 x →∞  2  2 0 < a < 1 için lim a x = ∞ olduğundan, x→−∞. x.  1  1 lim   =   x→−∞  2  2. −∞. = 2∞ = ∞ Cevap: 0 ve ∞. 32.

(56) Limit ve Süreklilik soru 1. I). II). soru 5. lim 7x = ¥. x ®¥. lim 7x = 0. lim (log5 x ) limitinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?. æ 1öx lim çç ÷÷÷ = 0 x ®¥ ç è7ø. III). x → 0+. A) ∞. æ 1öx lim çç ÷÷÷ = ¥ x ®-¥ ç è 7ø Yukarıdaki limit işlemlerinden hangisi yada hangileri doğrudur? x ®-¥. A) Yalnız I. B) Yalnız II. B) 1. C) 0. D) –1. E) –∞. IV). C) I ve II. D) I, II, III. E) I, II, III, IV. soru 2. soru 6 lim (log 1 x ) limitinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?. lim 4 x limitinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?. x → 0+. x →−∞. B) 0. C) 1. D) 2. A) –∞. E) ∞. B) –1. C) 0. D) 1. E) ∞. KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI. A) –∞. 3. soru 3 5 lim   x →∞  7 . soru 7 x. lim (log x ) limitinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?. limitinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?. A) 0. B) 1. C) 5. D) 7. x →∞. A) –∞. E) ∞. soru 4. D) 1. E) 0. lim (log 1 x ) limitinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?. x. 1 – E. C) ∞. soru 8. 2 lim   limitinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? x →−∞  3  A) –∞. B) –1. B) –3. 2 – B. C) 0. D) ∞. 3 – A. x →∞. A) –1. E) 1. 4 – D. 5 – E 33. 7. B) –∞. C) 0. 6 – E. D) 1. 7 – C. E) ∞. 8 – B.

(57) Limit ve Süreklilik çözüm. kavrama sorusu lim x→e. −. . 1 limitinin değerini bulunuz. 1 − ln x.

(58) . . . . x e e = = =∞ 1− ln x 1− 1− 0 + 1 e yakın ama 1 den küçük bir değer – (1 , 1 e çok yakın ama 1 den küçük bir değerdir.) + (0 , 0 a çok yakın ama 0 dan büyük bir değerdir.) lim. x→e −. çözüm. kavrama sorusu lim. x → 0−. 1 ex − 1. Cevap: ∞. . limitinin değerini bulunuz.. . . . lim. x→0 −. . 1 1 1 1 = − = = = −∞ e x − 1 e0 − 1 1− − 1 0 −. –. (0 , 0 a çok yakın ama sıfırdan küçük bir değerdir.) – (1 , 1 e çok yakın ama 1 den küçük bir değerdir.). Cevap: –∞. çözüm. kavrama sorusu 1. 1.  1  x−2 limitinin değerini bulunuz. lim   +  3  x→2. 1. 1. ∞.  1  x−2  1  2+ −2  1  0 +  1  lim  =   =  =  =  0 3 3 3 x→2 +  3  +. (2 , 2 ye çok yakın ama 2 den büyük bir değerdir.) + (0 , 0 a çok yakın ama 0 dan büyük bir değerdir.). Cevap: 0. çözüm. kavrama sorusu 5. 5. lim 3 x − 1 limitinin değerini bulunuz.. 5 −. 5 −. 1 3 1 −= 1 3 0 = 3 −∞ = lim 3 x−=. x →1−. x→1−. 1 1 = = 0 3∞ ∞. –. (1 , 1 e çok yakın ama 1 den küçük bir değerdir.) – (0 , 0 a çok yakın ama 0 dan küçük bir değerdir.). 34. Cevap: 0.

(59) Limit ve Süreklilik soru 1 lim x→e. +. soru 5. 5 limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? 1 − ln x. A) –5. B) –1. C) –∞. D) 1. 1.  1  x −1 lim   limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? −  2  x →1 1 1 A) ∞ B) 2 C) D) – E) –∞ 2 2. E) ∞. soru 2 lim. x → e−. soru 6. x limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? 3ln x − 3 B) ∞. C) –1. D) –3. E) –∞. A) 1. B) 0. C) –1. D) 5. E) ∞. KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI. A) 1. 1.  1  x−3 lim   limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? x → 3+  5 . soru 3 lim x→0. +. soru 7. 1 x. e −1. A) e. 1. limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?. lim 10 x − 2 limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?. x → 2+. B) 2. C) 1. D) ∞. E) –∞. A) –∞. soru 4 lim. x → 0−. A) ∞. 1 – C. B) –1. C) 0. D) ∞. E) 10. soru 8 3 x. 2e − 2. 1. limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?. lim 8 x − 5 limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?. x → 5−. B) 1. 2 – E. C) 0. D) –1. 3 – D. E) –∞. A) 8. 4 – E. B) 5 – A. 35. 1 8. C) 0 6 – B. D) 1 7 – D. E) ∞ 8 – C.

(60) Limit ve Süreklilik. Trigonometrik Fonksiyonların Limitleri a∈R olmak üzere, lim sin x = sina ve lim cos x = cos a dır. Yani lim sin x veya lim cos x limitlerini bulmak için x=a değerini x®a. x®a. x®a. x®a. sinüs ve kosinüs fonksiyonlarında yerine koymak yeterlidir. a∈R ve cosa≠0 olmak üzere, lim tan x x®a. tana. a∈R ve sina≠0 olmak üzere, lim cot x = cot a dır. x®a. çözüm. kavrama sorusu. lim sin x = sina ve lim cos x = cos a olduğundan,. lim (sin x + cos x ) limitinin değerini bulunuz. x→. π 3. x®a. x®a. lim (sin x + cos x)= sin. π x→ 3. π π + cos = 3 3. 3 1 + = 2 2. 3 +1 2 3 +1 2. Cevap:. çözüm. kavrama sorusu lim (tan x − cos x ) limitinin değerini bulunuz. x→. lim (tan x − cos x) = ta n. π 4. π x→ 4. π π 2 2− 2 1− − cos = = 4 4 2 2 Cevap:. lim (cot x + sin x ) limitinin değerini bulunuz.. lim (cot x + sin x) = cot. π 6. x→. π 6. π π 1 + sin = 3 + 6 6 2 Cevap:. 3π x→ 4. 3+. 1 2. çözüm. kavrama sorusu lim. 2 2. çözüm. kavrama sorusu. x→. 2−. cos x limitinin değerini bulunuz. tan x − 1. lim. 3π x→ 4. 3π 2 − cos 4 2 = = 3π − 1 −1− 1 tan 4. 2 4 Cevap:. 36. 2 4.

(61) Limit ve Süreklilik soru 1. soru 5. lim (cos x + sin x ) limitinin değeri aşağıdakilerden hangi-. lim ( 3 cot x − 1) limitinin değeri aşağıdakilerden hangi-. x →0. x→. sidir?. π 3. sidir? A) 1. B) 0. C) –1. D) –2. E) –3 3 2. A). soru 2 3π 2. C) 1. D) 2. E) 3. lim. 1 + sin x limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? 1 − cos x. A) 2. B). 3 2. C) 1. D). 1 2. KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI. B) 0. soru 3. x →π. E) 0. 3 3. B). 3 2. C). 2 2. D). 1 2. E) 1. soru 7 lim. π 2. cot x limitinin değeri aşağıdakilerden hangisin x + cos x. sidir?. E) 0. B) −. 1 2. C) 0. D). 1 2. E) 1. soru 8. lim (sin x − cos x ) limitinin değeri aşağıdakilerden han-. lim. 11 π 6. x→. gisidir?. 3π 2. 1 − sin x limitinin değeri aşağıdakilerden hangisicos x − 1. dir?. −1− 3 2. B) D). 1 – A. 2 2. A). x→. soru 4. A). D). 1 − sin x limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? tan x. A) − 1. x→. 3 3. C). lim. π x→ 6. dir?. A) –1. 1 2. soru 6. lim ( 1 + sin x ) limitinin değeri aşağıdakilerden hangisix→. B). 1− 3 2. C). 3 2. 2 – B. E). 3 – D. 3 −1 2. A) 0. B) –1. C) –2. D) –3. E) –4. 1 2. 4 – A. 5 – E 37. 6 – B. 7 – C. 8 – C.

(62) Limit ve Süreklilik. . . . . . Yanda verilen y=sinx grafiğinde görüldüğü + – gibi, x→0 ve x→0 için limsinx limitinin değerleri,. . . . . lim sin x = 0- ve. . . . . . . . . . x →0. +. . . . . . . . . Yanda verilen y=cotx grafiğinde görüldüğü + – gibi x→0 ve x→0 için limcotx limitinin değerleri; lim cot x = -¥ ve. x ® 0-. lim cot x = ¥. x ® 0+. p 2. çözüm. kavrama sorusu lim. p 2. . x®. x®. 2. lim+ cos x = 0-. x®. Yanda verilen y=tanx grafiğinde görüldüğü gibi,. pp+ ve x ® 2 2 için limtanx limitinin de ğerleri, lim- tan x = ¥ p ve x® 2 lim+ tan x = ¥ . . . p+ pve x ® 2 2 limcosx limitinin değerleri; lim- cos x = 0+ p ve x® x®. . lim+ sin x = 0+. x®0. . . . x ® 0-. Yanda verilen y=cosx grafiğinde görüldüğü gibi,. . cos x limitinin değerini bulunuz. x. lim. x →0 +. cos x cos 0 1 = = + =∞ x 0+ 0 Cevap: ∞. çözüm. kavrama sorusu lim cos ecx limitinin değerini bulunuz.. lim cos ecx = lim. x → 0−. x→0 −. x→0 −. 1 1 1 = = = −∞ sin x sin0 − 0 − Cevap: – ∞. çözüm. kavrama sorusu lim x→. π 2. −. x limitinin değerini bulunuz. cos x. x lim = π − cos x. x→. 2. π 2. π 2 = =∞ π − 0+ cos 2 Cevap: ∞. çözüm. kavrama sorusu lim. x → 0+. x+1 limitinin değerini bulunuz. cot x. lim. x →0 +. x +1 0 +1 1 = = = 0 cot x cot 0 + ∞ Cevap: 0. 38.

(63) Limit ve Süreklilik soru 1. I). soru 5 lim+ cos x = 0. lim sin x = 0. x®. II). p 2. lim - tan x = -¥. x ®-. x ® 0-. V). III) IV). lim cos ecx limitinin değeri kaçtır?. p 2. x → 0+. lim cot x = -¥. x ® 0-. A) ∞. B) –1. C) 0. D) 1. E) –∞. D) –∞. E) –1. D) –1. E) –∞. lim+ cot x = ¥. x®0. Yukarıdaki limitlerden kaç tanesi doğrudur? A) 1. B) 2. C) 3. D) 4. E) 5. soru 2. soru 6. lim sin x limitinin değeri kaçtır?. lim. x → 0+. x → 0−. B) 1. C) . 1 2. D) ∞. E) –∞ KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI. A) 0. soru 3 lim x→. 3π− 2. A) ∞. B) 1. B) –1. C) 0. lim. D) 1. π+ x→ 2. E) ∞. soru 4. B) 0. C) ∞. soru 8. lim cot x limitinin değeri kaçtır?. lim. x → 0−. 1 – D. 1 2. x limitinin değeri kaçtır? tan x. A) 1. A) –1. C) . soru 7. tan x limitinin değeri kaçtır?. A) –∞. cos x limitinin değeri kaçtır? x. x→0. B) –. 1 2. 2 – A. C) –∞. D) 0. −. x+2 limitinin değeri kaçtır? sin x. E) 1 A) –∞. 3 – E. 4 – C. 5 – A 39. B) –1. C) 0 6 – D. D) 7 – B. 1 2. E) 1 8 – A.

(64) Limit ve Süreklilik. 0 Belirsizlik Durumları 0 0. 0 –. a 0. lim. x →a. 0 Yandaki bölme işleminde a reel sayısı hakkında kesin bir şey söylemek mümkün değildir. Bundan dolayı işlemi 0 0 bir belirsizliktir. Limitte belirsizliği ile karşılaşıldığında limitin olmadığı anlamına gelmez. Belirsizlikleri kaldırmanın 0 yöntemleri vardır.. P(x) 0 = ise P(x) ve Q(x) ifadeleri çarpanlarına ayrılarak, pay ve paydayı 0 yapan çarpanlar sadeleştirilip limit kaldırılabilir. Q(x) 0. çözüm. kavrama sorusu x2 − 1 limitinin değerini bulunuz. x →1 x − 1. x 2 − 1 12 − 1 0 belirsizliği vardır. lim = = x→1 x − 1 1− 1 0. lim. Belirsizliği kaldırmak için payı çarpanlarına ayırıyoruz. (x − 1) (x + 1) x2 −1 = lim(x + 1) = 1+ 1= 2 = lim x→1 x − 1 x→1 x→1 (x − 1) lim. Cevap: 2. çözüm. kavrama sorusu lim. x→2. 4x − 8 x2 − 4. 4x − 8 4.2 − 8 0 belirsizliği vardır. = lim = x 2 − 4 22 − 4 0. limitinin değerini bulunuz.. x→2. Belirsizliği kaldırmak için pay ve paydayı çarpanlarına ayırıyoruz.. lim. x→2. 4x − 8 2. x −4. = lim. x→2. 4 (x − 2). 4 4 4 = lim = = = 1 (x − 2) (x + 2) x→2 x + 2 2 + 2 4 Cevap: 1. çözüm. kavrama sorusu lim. x→0. x2 − x x2 + x. x 2 − x 02 − 0 0 belirsizliği vardır. lim = = x→0 x 2 + x 02 + 0 0. limitinin değerini bulunuz.. Belirsizliği kaldırmak için pay ve paydayı çarpanlarına ayırıyoruz.. lim. x→0. x2 − x 2. x +x. = lim. x→0. x (x − 1) x (x + 1). = lim. x→0. x −1 0 −1 = = −1 x +1 0 +1 Cevap: –1. çözüm. kavrama sorusu lim. x2 − 4 x + 3. x →1 x 2. − 3x + 2. x 2 − 4x + 3 12 − 4.1+ 3 0 belirsizliği vardır. lim = = x→1 x 2 − 3x + 2 12 − 3.1+ 2 0. limitinin değerini bulunuz.. Belirsizliği kaldırmak için pay ve paydayı çarpanlarına ayırıyoruz.. lim. x 2 − 4x + 3. x→1 x 2. − 3x + 2. = lim. x→1. (x − 1) (x − 3) x − 3 1− 3 = lim = = 2 (x − 1) (x − 2) x→1 x − 2 1− 2 Cevap: 2. 40.

(65) Limit ve Süreklilik soru 1. soru 5. x2 − x limitinin değeri kaçtır? x →1 x − 1 A) 0. B) 1. C) 2. D) 3. A) 2. E) 4. x2 + 3 x limitinin değeri kaçtır? x. A) 3. x→0. B) 2. C) 1. lim. D) 0. E) –1. B) –1. C) 0. D) 1. E) 2. B) –1. x2 − 3 x + 2. lim. A) −. E) –2. C) 0. D) 1. E) 5. limitinin değeri kaçtır?. x2 − x − 2 1 5. B) −. 1 2. C) 0. D). 1 2. E). 1 3. soru 8. x 2 − 16 limitinin değeri kaçtır? x → 4 3 x − 12 lim. 1 – B. D) –1. soru 7. x→2. soru 4. A) 0. C) 0. x2 − 7 x + 6 limitinin değeri kaçtır? x −1. A) –5. x2 − x limitinin değeri kaçtır? x. A) –2. B) 1. x →1. soru 3 lim. limitinin değeri kaçtır?. soru 6. KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI. x →0. x2 − 9. x →−3. soru 2 lim. 6 x + 18. lim. lim. B) 2. 2 – A. C). 5 3. x→5. D). 3 – B. x 2 − 3 x − 10. lim. 7 3. E). 8 3. A). 4 – E. x2 − 6 x + 5. 9 4. 5 – D 41. B). limitinin değeri kaçtır?. 7 4. C). 6 – A. 5 4. D). 7 – E. 3 4. E). 1 4. 8 – B.