Rasgele Vektörlerin Bağımsızlığı
Tanım (X X1, 2,...,Xn) rasgele vektörünün olasılık (yoğunluk) fonksiyonu, başka bir ifade ile
1, 2,..., n
X X X rasgele değişkenlerinin ortak olasılık (yoğunluk) fonksiyonu,
1, 2,..., n( ,1 2,..., ) 1( )1 2( )...2 n( ) X X X n X X X n f x x x f x f x f x , 1 2 1 2 ( , ,..., ) ( , ,..., ) n n X X X x x x D
biçiminde X X1, 2,...,X ‘lerin marjinal olasılık (yoğunluk) fonksiyonlarının çarpımı olarak n
yazılabiliyorsa X X1, 2,...,X rasgele değişkenlerine bağımsızdır denir. n
1 2
(X X, ,...,Xn) rasgele vektörü kesikli olduğunda, X X1, 2,...,X rasgele değişken-n
lerinin bağımsız olması demek, her
1 2 1 2 ( , ,..., ) ( , ,..., ) n n X X X x x x D için 1 1 2 2 1 1 2 2 ( , ,..., n n) ( ) ( )... ( n n) P X x X x X x P X x P X x P X x olması demektir.
Örnek X X X rasgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu, 1, 2, 3
1 2 3 1 2 3 1 ( ) 2 1 2 3 , , ( ,1 2, 3) , 0, 0, 0 0 , . . x x x X X X ce x x x f x x x d y ve 1 1 1 1 2 1 , 0 0 , . . 1 ( ) 2 x X x d y e f x 2 2 2 1 2 2 , 0 0 , . . 1 ( ) 2 x X x d y e f x 3 3 3 1 2 3 , 0 0 , . . 1 ( ) 2 x X x d y e f x olmak üzere, 1 2 3 1, 2, 3( , , ) 1
( )
1 2( )
2 3( )
3 X X X X X X f x x xf
x f
x f
x
olup, X X X rasgele değişkenleri bağımsızdır. 1, 2, 3
Örnek Düzgün bir tavla zarının iki kez ard arda atılması deneyinde 1.atışta gelen nokta sayısı
1
1, 2 1 2 1 1 2 2 1 , ( , ) 36 X X f x x P X x X x , x x 1, 2 1, 2,3, 4,5,6 1X 'in marjinal olasılık fonksiyonu,
1 1 2 2 1 , 1 2 1 6 1 , , 1, 2,3, 4,5, 6 36 6 X x x x f x
f x x x 2X 'nin marjinal olasılık fonksiyonu,
2 1 2 1 2 , 1 2 2 6 1 , , 1, 2,3, 4,5, 6 36 6 X x x x f x
f x x x olmak üzere,
1, 2 1, 2 1( )1 2( )2 X X X X f x x f x f xolduğundan, X ve 1 X rasgele değişkenleri bağımsızdır. 2
Örnek X X ‘nin ortak olasılık fonksiyonu. 1, 2
1, 2 1, 2 1 2 , 1, 2 1,1 , 1, 2 , 1,3 , 2,0 , 2,1 , 2, 2 X X f x x cx x x x olsun. c =? c(1 1+1 2+1 3+2 0+2 1+2 2)=1 12c=1 1 12 c olmak üzere, X X ‘nin ortak olasılık fonksiyonu, 1, 2
1, 2 1 2 1 2 1 2 1 , , , 1,1 , 1, 2 , (1,3), 2, 0 , 2,1 , 2, 2 12 X X f x x x x x x olasılık tablosu, 1 x x 2 0 1 2 3 P X( 1 x 1) 1 0 1/12 2/12 3/12 6/12 2 0 2/9 4/9 0 6/12 2 2 ( ) P X x 0 3/12 6/12 3/12 1dır. Marjinal dağılımların olasılık tabloları, 1 1 6 6 12 12 1 x 1 2 (x ) X f 2 2 3 6 3 12 12 12 2 x 1 2 3 (x ) X f olup,
1, 2 1,1 1(1). 2(1) X X X X f f f 1 6 3 12 12 12 Örnek Bir kavanozda 3 kırmızı, 2 siyah ve 2 beyaz top bulunmaktadır. Aynı anda 3 top çekildiğinde,
1
X - gelen kırmızı topların, 2
X - gelen siyah topların
sayısı olsun.
X X1, 2
nin olasılık fonksiyonu,olmak üzere, X ile 1 X bağımsız değildir. 2
Örnek Bir kasabada 4 tane kavşak bulunmaktadır. Bu kavşaklar için bir günde meydana gelen trafik kazası sayıları X X X X olmak üzere her biri 1, 2, 3, 4 2 ortalama ile Poisson dağılımına sahiptir ve birbirinden bağımsızdır. Bu kasabada bir günde toplam 2 kaza olması olasılığı nedir. 1 1 2 1 1 1 2 ( ) , 0,1, 2,3,... ! x X e f x x x 2 2 2 2 2 2 2 ( ) , 0,1, 2,3,... ! x X e f x x x 3 3 2 3 3 3 2 ( ) , 0,1, 2,3,... ! x X e f x x x 4 4 2 3 4 4 2 ( ) , 0,1, 2,3,... ! x X e f x x x ve 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 4 4 1 2 3 4 , , , 1 2 3 4 1 2 3 3 2 2 2 2 1 2 4 4 ( ) 8 1 2 3 4 1 2 3 4 ( , , , ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 ! ! ! ! 2 , , , , 0,1, 2,3,... ! ! ! ! X X X X X X X X x x x x x x x x f x x x x f x f x f x f x e e e e x x x x e x x x x x x x x olmak üzere, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 ( 2) ( 2, 0, 0, 0) ( 0, 2, 0, 0) P X X X X P X X X X P X X X X P X( 1 0,X2 0,X3 2,X4 0) P X( 1 0,X2 0,X3 0,X4 2) P X( 1 1,X2 1,X3 0,X4 0) P X( 1 1,X2 0,X3 1,X4 0) P X( 1 1,X2 0,X3 0,X4 1) P X( 1 0,X2 1,X3 1,X4 0) P X( 1 0,X2 1,X3 0,X4 1) P X( 1 0,X2 0,X3 1,X4 1) 8 2 8 2 2 2 4 6 2!0!0!0! 1!1!0!0! e e 8 2 8e 2 8 32e = 0.010735
Önümüzdeki derslerde, her biri Poisson dağılımına sahip rasgele değişkenlerin toplamlarının da Poisson dağılımına sahip olduğunu göreceğiz. X1 X2 X3 X toplamı 4
8 olan Poisson dağılımına sahip olup,
8 2 1 2 3 4 8 8 ( 2) 32 2! e P X X X X
