BÖLÜM 2 RASGELE DEĞİŞKENLER 2.5 Ortak Dağılımlı Rasgele Değişkenler 2.6 Rasgele Değişkenin Fonksiyonları

Doç. Dr. Furkan BAŞER Ankara Üniversitesi Uygulamalı Bilimler Fakültesi

SAB101 OLASILIK

BÖLÜM 2

RASGELE DEĞİŞKENLER

2.5 Ortak Dağılımlı Rasgele Değişkenler

2.6 Rasgele Değişkenin Fonksiyonları

2.5 Ortak Dağılımlı Rasgele Değişkenler

2.5.1 Ortak Dağılımlı Rasgele Değişkenler (1/4)

• Ortak Olasılık Dağılımı – Kesikli

– Sürekli

( , ) 0

satisfying 1

i j ij

ij

i j

P X x Y y p

p

   

 

state space

( , ) 0 satisfying ( , ) 1

f x y   f x y dxdx 

2.5.1 Ortak Dağılımlı Rasgele Değişkenler (2/4)

• Ortak dağılım fonksiyonu – Kesikli

– Sürekli

( , ) (

,

)

F x y  P X  x Y  y

: :

( , )

i j

ij i x x j y y

F x y p

 

  

( , )

( , )

w z

F x y f w z dzdw

 

  

2.5.1 Ortak Dağılımlı Rasgele Değişkenler (3/4)

• Örnek: Klima Bakımı

– Klima üniteleri için rezidanslarda ve ofis bloklarında hizmet veren bir firma, teknisyenlerini en verimli şekilde nasıl

programlayabilecekleriyle ilgileniyor

– Servis süresi (X) rasgele değişkeni, 1,2,3 and 4, değerlerini almakta – Klimadaki ünite sayısı (Y) rasgele değişkeni de 1,2 and 3 değerlerini

almaktadır.

2.5.1 Ortak Dağılımlı Rasgele Değişkenler (4/4)

• Ortak olasılık fonksiyonu

• Ortak dağılım fonksiyonu

Y=

Ünite sayısı

X=servis zamanı

1 2 3 4

1 0.12 0.08 0.07 0.05

2 0.08 0.15 0.21 0.13

3 0.01 0.01 0.02 0.07

0.12 0.18

0.07 1.00

ij

i j

p  

  



11 12 21 22

(2, 2)

0.12 0.18 0.08 0.15 0.43

F  p  p  p  p

   



2.5.2 Marjinal Olasılık Dağılımı (1/2)

• Marjinal olasılık dağılımı

– Diğer rasgele değişkenin değerleri üzerinden ortak olasılık dağılımının toplanması veya integrallenmesi ile elde edilir.

– Kesikli

– Sürekli

( )

j

P X  i  p

  p

( ) ( , )

f

x

f x y dy

 

2.5.2 Marjinal Olasılık Dağılımı (2/2)

• Örnek

– X in marjinal olasılık fonksiyonu

– Y nin marjinal olasılık fonksiyonu

3 1 1

( 1) _j 0.12 0.08 0.01 0.21

j

P X p



 



4

1 1

( 1)

0.12 0.08 0.07 0.05 0.32

i

P Y p



       

• Örnek: (Sürekli durum)

• Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu:

• X ve Y nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu::

( , ) f x y

( ) ( , ) ( ) ( , )

X

Y

f x f x y dy f y f x y dx









2.5.3 Koşullu Olasılık Dağılımları (1/2)

• Koşullu Olasılık Dağılımları

Y değerinin bilindiği koşulu altında X rasgele değişkeninin olasılığı – Kesikli

– Sürekli

– Koşullu olasılık dağılımı da bir olasılık dağılımıdır..

|

( , )

( | )

( )

ij i j

j

P X i Y j p p P X i Y j

P Y j p

 

    



|

( , ) ( ) ( )

X Y y

Y

f x y

f x

f y





2.5.3 Koşullu Olasılık Dağılımları (2/2)

• Örnek

– Y nin marjinal olasılık dağılımı

– X in koşullu dağılımı

( 3)

0.01 0.01 0.02 0.07 0.11 P Y   p

    

13 1| 3

3

( 1| 3) 0.01 0.091

Y

0.11

p P X Y p



p



     

2.5.4 Bağımsızlık ve Kovaryans (1/5)

• X ve Y rasgele değişkenleri bağımsızdır denilebilir eğer ; – Kesikli

– Sürekli

– Bağımsızlığın, olaylar arasındaki bağımsızlıktan farkı nedir?

for all values of and of

ij i j

p  p p

i    X    j Y

( , )

( )

( )

f x y  f x f y for all x and y

2.5.4 Bağımsızlık ve Kovaryans (2/5)

• Kovaryans

– Herhangi bir pozitif veya negatif sayı alabilir.

– Bağımsız olayların kovaryansı 0 dır.

– Peki ya kovaryans 0 ise?

Cov( , ) (( ( ))( ( ))) ( ) ( ) ( )

X Y E X E X Y E Y E XY E X E Y

  

 

Cov( , ) (( ( ))( ( )))

( ( ) ( ) ( ) ( ))

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

X Y E X E X Y E Y

E XY XE Y E X Y E X E Y

E XY E X E Y E X E Y E X E Y E XY E X E Y

  

   

   

 

2.5.4 Bağımsızlık ve Kovaryans (3/5)

• Örnek: (Klima bakımı)

( ) 2.59, ( ) 1.79

E X  E Y 

4 3

1 1

( )

(1 1 0.12) (1 2 0.08)

(4 3 0.07) 4.86

ij

i j

E XY ijp

 



     

    



Cov( , ) ( ) ( ) ( )

4.86 (2.59 1.79) 0.224 X Y  E XY  E X E Y

   

2.5.4 Bağımsızlık ve Kovaryans (4/5)

• Korelasyon:

– -1 ve 1 arasındaki değerler alır.

– Bağımsız rasgele değişkenler sıfır korelasyona sahiptir.

Cov( , ) Corr( , )

Var( )Var( ) X Y X Y

X Y



2.5.4 Bağımsızlık ve Kovaryans (5/5)

• Örnek: (Klima bakımı)

Var( ) 1.162, Var( ) X  Y  0.384

Cov( , ) Corr( , )

Var( )Var( ) 0.224

1.162 0.384 0.34 X Y X Y

X Y



 



• X ve Y rasgele değişkenleri doğrusal bir ilişkiye sahipse ne olur?

Yani, Corr(X,Y) = 1 eğer a>0; -1 eğer a<0.

Y  aX  b

0 a 

2 2

2 2

( , ) [ ] [ ] [ ]

[ ( )] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

( [ ] [ ]) ( )

Cov X Y E XY E X E Y E X aX b E X E aX b aE X bE X aE X bE X a E X E X aVar X

 

   

   

  

2

( , ) ( )

( , )

( ) ( ) ( ) ( )

Cov X Y aVar X

Corr X Y

Var X Var Y Var X a Var X

 

2.6 Rasgele Değişkenlerin Fonksiyonları

2.6.1 Rasgele Değişkenlerin Doğrusal Fonksiyonları (1/4)

• Rasgele Değişkenlerin Doğrusal Fonksiyonları

– X rasgele değişkeni ise ve için;

• Standartlaştırma

- X rasgele değişkeninin beklenen değeri varyansı ise

Y r.d nin beklenen değeri 0, varyansı 1 olur.

Y  aX  b

( ) ( )

E Y  aE X b Var( )Y  a2Var(X )





1

Y X





  

  

    

2.6.1 Rasgele Değişkenlerin Doğrusal Fonksiyonları (2/4)

• Örnek: Test Sonuçlarının Standartlaştırılması

– Belirli bir test prosedüründen elde edilen ham puanın (X) , beklenen değeri 10 ve varyans 7 ile -5 ve 20 arasında dağıtıldığını varsayalım.

Puanları 0 ile 100 arasında bir değerde olacak şekilde

standartlaştırmak için _{Y  4X  20} doğrusal dönüşümü uygulanır.

2.6.1 Rasgele Değişkenlerin Doğrusal Fonksiyonları (3/4)

– Örneğin, x=12 için standartlaştırılmış değer y=(4ⅹ12)+20=68

( ) 4 ( ) 20 (4 10) 20 60 E Y  E X     

2 2

Var( ) Y  4 Var( ) X  4   7 112 112 10.58



 

2.6.1 Rasgele Değişkenlerin Doğrusal Fonksiyonları (4/4)

• Rasgele Değişkenlerin Toplamı

- ve rasgele değişkenleri ise

ve

– Eğer ve r.d leri bağımsızsa Bu durumda;

X1 X₂

1 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( ?)

E X  X  E X  E X  why

1 2 1 2 1 2

Var( X  X ) Var(  X ) Var(  X ) 2Cov(  X X , )

X1 X₂

1 2

Cov( X X , )  0

1 2 1 2

Var( X  X )  Var( X )  Var( X )

•

Cov X X (

,

)

1 2 1 2 1 2

( , ) [ ] [ ] [ ]

Cov X X  E X X  E X E X

1 2 2 1

( , ) ( , )

Cov X X Cov X X

 

1 1 1

( , ) ( )

Cov X X  Var X Cov X (

, X

)  Var X (

)

1 2 1 1 1 2 1

( , ) ( , ) ( , )

Cov X  X X  Cov X X  Cov X X

1 2 1 2 1 1 1 2

2 1 2 2

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )

Cov X X X X Cov X X Cov X X Cov X X Cov X X

    



1 2 1 2 1 2

( ) ( ) ( ) 2 ( , )

Var X X Var X Var X Cov X X

    

2.6.2 Rasgele Değişkenlerin Doğrusal Bileşimleri(1/5)

• Rasgele Değişkenlerin Doğrusal Bileşimleri

– Eğer r.d leri ve ve sabitlerse

– Rasgele değişkenler bağımsızsa:

1, , _n

X X a₁, , a_n b

1 1 1 1

(

) ( )

(

)

E a X   a X  b  a E X   a E X  b

2 2

1 1 1 1

Var( a X   a X

  b ) a Var( X )   a

Var( X

)

2.6.2 Rasgele Değişkenlerin Doğrusal Bileşimleri(2/5)

• Bağımsız rasgele değişkenlerin ortalaması

– ortalaması ve varyası olan bağımsız rasgele değişkenlerin bir dizisi olsun.

– –

1, , _n

X X   ²

1 n

X X

X n

   ( ) E X  

2

Var( )X

n

 

2.6.2 Rasgele Değişkenlerin Doğrusal Bileşimleri(3/5)

1 1

1 1 1 1

( ) ( ) ( )

1 1

n n

E X E X X E X E X

n n n n

n  n  

 

      

  

2 2

1 1

2 2 2

2 2

1 1 1 1

Var( ) Var Var( ) Var( )

1 1

n n

X X X X X

n n n n

n n n

  

     

            

   

        

2.6.2 Rasgele Değişkenlerin Doğrusal Bileşimleri(4/5)

• Örnek

– İki testin standart puanı;

– Final puanı;

1 1 2 2

10 5 50

3 and 3 3

Y  X Y  X 

1 2 1 2

2 1 20 5 50

3 3 9 9 9

Z  Y  Y  X  X 

2.6.2 Rasgele Değişkenlerin Doğrusal Bileşimleri(5/5)

– Final puanının beklenen değeri

– Final puanının varyansı

1 2

20 5 50

( ) ( ) ( )

9 9 9

20 5 50

18 30

9 9 9

62.22

E Z  E X  E X 

   

        



1 2

2 2

1 2

2 2

20 5 50

Var( ) Var

9 9 9

20 5

Var( ) Var( )

9 9

20 5

24 60 137.04

9 9

Z X X

X X

 

    

 

   

      

   

       

   

2.6.3 Rasgele Değişkenlerin Doğrusal Olmayan Fonksiyonları(1/3)

• Rasgele Değişkenlerin Doğrusal Olmayan Fonksiyonları

– g, X rasgele değişkeninin doğrusal olmayan bir fonksiyonu, için bir başka rasgele değişken Y = g (X) ‘dir

– Y rasgele değişkeninin beklenen değeri ve varyansını, X rasgele değişkeninin beklenen değeri ve varyansı ile ilişkilendiren genel bir sonuç yoktur.

2, , ^X

Y  X Y  X Y  e

2.6.3 Rasgele Değişkenlerin Doğrusal Olmayan Fonksiyonları(2/3)

– Örneğin,

– Eğer

İse Y nin dağılım fonksiyonu nedir?

( ) 1 for 0 1 ( ) 0 elsewhere

fX x x

f x

  



0 1 x

f(x)=1

E(x)=0.5

1.0 2.718 y

f(y)=1/y

E(y)=1.718

( ) for 0 1

F

x  x   x

where 1 2.718

X

Y

Y e

 



2.6.3 Rasgele Değişkenlerin Doğrusal Olmayan Fonksiyonları(3/3)

• Dağılım fonksiyonu metodu

– Y nin dağılım fonksiyonunun türevlenebilir olması gerekir:

• Dikkat

( ) ( ) ( ^X ) ( ln( )) (ln( )) ln( )

Y x

F y  P Y  y  P e  y  P X  y  F y  y

for 1 2.718

( ) 1 ( )

Y

dF y

f y

dy y

 

2.718 2.718

1 1

( ) 0.5

( ) ( ) 1 2.718 1 1.718

( ) 1.649

z Y z

E X

E Y zf z dz dz

E Y e e

 

    

  

 

• Rasgele değişkenin doğrusal olmayan dönüşümünün olasılık (yoğunluk) fonksiyonu

ve verildiğinde ne olur?

Eğer hepsi gerçek kökse yani;

X

( )

f x Y  g X ( ) f

( ) y

1

,

, ,

x x x

1 2

( ) ( ) (

)

y  g x  g x   g x

1

( ) ( )

| '( ) |

n

X i

Y

i i

f x f y



g x

 

'( ) dg x ( )

g x  dx

• Örnek: belirleme

-> Bir kök mümkün

( ) 1 for 0 1 ( ) 0 elsewhere

f

x x

f x

  



X

Y

Y e

 



Y

( ) f y

( ) ln

y g x e

y x

 

 

dg

e y dx  

1 1

( ) | | f

y

y y

 

0   x 1