Kesikli Rasgele Değişkenler

(1)

Kesikli Rasgele Değişkenler Tanım ( U P) bir olasılık uzayı,

( ) X X      

bir rasgele değişken ve X in aldığı değerlerin kümesi,

X

D =X( ) { :x x ,  için X( ) x}

olmak üzere, D kümesi sonlu veya sayılabilir sonsuz elemanlı olduğunda _X X e kesikli rasgele değişken (discrete random variable) denir.

Tanım X kesikli bir rasgele değişken olmak üzere,

( ) ( ) , _X

f x P X x x D

fonksiyonuna X in olasılık fonksiyonu denir.

Örnek Düzgün bir tavla zarı atılışında gelen nokta sayısı X rasgele değişkeni olmak üzere,

X

D = 1, 2,3, 4,5,6

olup, X kesikli bir rasgele değişkendir. X in olasılık fonksiyonu, 1 ( ) ( ) , 1, 2,3, 4,5, 6 6 X f x P X x x D dır. f fonksiyonunun grafiği, ( ) ( , ( )) : 1, 2,3, 4,5,6 grafik f x f x x olmak üzere, bu grafiği

1 2 3 4 5 6

x f(x)

(2)

biçiminde göstereceğiz. Okların yükseklikleri o noktalardaki olasılıkları göstermektedir. Dağılım fonksiyonunda ise basamakların yükseklikleri olasılıkları göstermektedir.

Kesikli bir X rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu F ve olasılık fonksiyonu f olmak üzere,

(3)

Örnek  {  ₁   ₂ ₃…₈}U P( ) ve ( ) ( ) 8 n A

P A  olmak üzere X fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlansın.

: X 1 2 3 4 5 6 7 8 0 , 1 , , , ( ) 2 , , , 3 , X

X bir rasgele değişkendir.

{YYY YYT YTY TYY YTT TYT TTY TTT}

        

olduğunda, X rasgele değişkeni düzgün bir paranın üç kez atılışında gelen turaların sayısı olacaktır. Böyle tanımlanan X rasgele değişkeni için,

( 0) ({ }) 1 8 ( 1) ({ }) 4 8 ( 1) ({ }) 3 8 ( 3) ({ }) 1 8 ( 1 2) ( ) 0 P X P YYY

P X P YYY YYT YTY TYY

P X P YYT YTY TYY

P X P TTT P X P                          

dır. X rasgele değişkenin aldığı değerlerin kümesi, D_X X( ) {0 1 2 3}    

olmak üzere, X kesikli bir rasgele değişkendir. X in olasılık fonksiyonu,

(4)

Alışagelmiş olarak, kesikli bir rasgele değişkenin aldığı değerler ile bu değerleri alması olasılıkları aşağıdaki gibi bir olasılık tablosunda gösterilmektedir.

x 0 1 2 3

( ) ( )

f x P X x 1/8 3/8 3/8 1/8

X rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu,

: [0,1] F 0 , 0 1 , 0 1 8 4 ( ) ( ) , 1 2 8 7 , 2 3 8 1 , 3 x x x F x P X x x x x dır.

Bir torbada eşit sayıda beyaz ve kırmızı top bulunsun. Çekileni yine torbaya atarak ardı ardına üç top çekilmesi ve renklerinin gözlenmesi deneyinin Örnek uzayı,

(5)

olmak üzere, X rasgele değişkeni gelen beyaz top sayısıdır. Bu rasgele değişkenin olasılık ve dağılım fonksiyonları yukarıdakilerdir.

X