Kesikli Rasgele Vektörler

Kesikli Rasgele Vektörler

Tanım Bir (X X₁, ₂,...,X_n)rasgele vektörünün aldığı değerlerin kümesi

1 2 (X X, ,...,X_n)

D sonlu

veya sayılabilir sonsuz elemanlı olduğunda rasgele vektöre kesikli rasgele vektör denir. Tanım (X X₁, ₂,...,X_n) kesikli bir rasgele vektör olmak üzere,

1 2

1 2 1 1 2 2 1 2 ( , ,..., )

1, 2,..., n( , ,..., n) ( , ,..., n n) , ( , ,..., n) X X Xn

X X X x x x P X x X x X x x x x D

f

fonksiyonuna (X X₁, ₂,...,X_n) ‘in olasılık fonksiyonu denir.

1 2 1 2 1 2 ( , ,..., ) 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ₁, ₂,..., ) , ,..., , ,..., ( , ,..., ) 1) ( , ,..., ) 0 , ( , ,..., ) 2) ... ( , ,..., ) 1 n n n X X X n n n n X X Xn X X X X X X x x x D x x x x x x D x x x

f

f

Tanım Kesikli bir (X X₁, ₂,...,X_n) rasgele vektörü için,

1 2 1 2 1 1 1 , ,..., ( ) ( ) ... ... ( , ,..., ) , j j j j _n n j j n j j X X X X X x x x x f x P X x

f

x x x x D , j=1,2,...,n

bir olasılık fonksiyonu olup, bu fonksiyona X ‘nin marjinal olasılık fonksiyonu denir. _j

Örnek Düzgün bir paranın üç kez atılışını anlatan (modelleyen) olasılık uzayı,

{YYY YYT YTY TYY YTT TYT TTY TTT}

         , U 2, ( ) ( ) 8 n A P A  olmak üzere, olarak tanımlanan 2 1 2

dır. (X X₁, ₂) rasgele vektörünün olasılık fonksiyonu, 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 , 1/ 8 , ( , ) (0, 0) 1/ 8 , ( , ) (1, 0) 2 / 8 , ( , ) (1,1) ( , ) ( , ) ( , ) (2,1) 2 / 8 , 1/ 8 , ( , ) (2, 2) 1/ 8 , ( , ) (3, 2) X X x x x x x x f x x P X x X x x x x x x x ve olasılık tablosu, 1 x x ₂ 0 1 2 P X( 1 x 1) 0 1/8 0 0 1/8 1 1/8 2/8 0 3/8 2 0 2/8 1/8 3/8 3 0 0 1/8 1/8 2 2 ( ) P X x 2/8 4/8 2/8 1

dır. X ‘in marjinal olasılık fonksiyonu, ₁

2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1, 2 1/ 8 , 0 3 / 8 , 1 ( ) ( ) ( , ) 3 / 8 , 2 1/ 8 , 3 X X X x x x f x P X x x x x x

f

1 3 1 1 1 3 1 ( ) , 0,1, 2,3 2 X f x x x ve olasılık tablosu, 1 x 0 1 2 3 1( )1 X f x 1/8 3/8 3/8 1/8 dır. 2

X ‘nin marjinal olasılık fonksiyonu,

1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1, 2 1/ 4 , 0 ( ) ( ) ( , ) 1/ 2 , 1 1/ 4 , 2 X X X x x f x P X x x x x x

f

ve olasılık tablosu, 2 x 0 1 2 2( )2 X f x 1/4 1/2 1/4 dır. 1

olup, bu olasılığı 1, 2 X X f veya 1 X

f fonksiyonu yardımıyla hesaplayabiliriz. 1 2 1 2 1 1 2 1 2 , , ( 1) ( 1, 0) ( 1, 1) _{X X} (1, 0) _{X X} (1,1) 1/ 8 2 / 8 3 8 P X  P X  X  P X  X   f  f     1 1 ( 1) _X (1) 3/ 8 P X f

Üç atışta gelen tura sayısının ilk iki atışta gelen tura sayısına eşit olması olasılığı,

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , , , ( ) ( 0, 0) ( 1, 1) ( 2, 2) (0, 0) (1,1) (2, 2) 1/ 8 2 / 8 1/ 8 1 2 X X X X X X P X X P X X P X X P X X f f f                   dır.

Örnek Bir torbada 5 beyaz, 10 siyah ve15 mavi top bulunsun. Torbadan aynı anda 10 top çekildiğinde gelen beyaz topların sayısı X , siyah topların sayısı₁ X ve mavi topların sayısı ₂ X ₃ rasgele değişkeni olsun. X X X rasgele değişkenlerinin ortak olasılık fonksiyonu, ₁, ₂, ₃

1 2 3 1 2 3 1 2 , , 1 2 3 3 1 2 3 0,1, 2,3, 4,5 15 5 10 0,1, 2,...,10 ( , , ) , 30 0,1, 2,...,10 10 10 X X X x x x x x f x x x x x x x

dır. Böyle bir dağılıma çok değişkenli hipergeometrik dağılım denir.

1

X ‘in marjinal olasılık fonksiyonu,

1 2 3 2 3 1 2 3 1 2 3 10 10 10 10 3 1 2 1 1 1 1 0 0 2 3 10 10 15 5 10 5 15 10 ( ) 30 30 10 10 X x x x x x x x x x x x x x x f x x x 1 1 5 25 30 10 10 x x 1 1 ₁ 5 25 10 , 0,1, 2,3, 4,5 30 10 x x x

olup benzer şekilde X ‘nin marjinal olasılık fonksiyonu, ₂

2 2 2 2 2 10 40 10 ( ) , 0,1, 2,...,10 50 10 X x x f x x

ve X ‘ün marjinal olasılık fonksiyonu, ₃

Örnek Bir torbada 5 beyaz, 10 siyah ve 15 mavi top bulunsun. Torbadan iadeli olarak 10 kez birer top çekildiğinde gelen beyaz topların sayısı X , siyah topların sayısı₁ X ve mavi topların ₂ sayısı X rasgele değişkeni olsun. ₃ X X X rasgele değişkenlerinin ortak olasılık ₁, ₂, ₃ fonksiyonu, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 , , 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0,1, ...,10 , , 10! 5 10 15 ( , , ) , 10 ! ! ! 30 30 30 x x x X X X x x x f x x x x x x x x x dır. Bu dağılımdaki olasılıklar, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 10 10 10 10 0 0 0 1 2 3 10 5 10 15 10! 5 10 15 ( ) 30 30 30 ! ! ! 30 30 30 x x x x x x x x x x x x

üç terimlinin açılımındaki terimlerdir.

1

X ‘in marjinal olasılık fonksiyonu,

1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 2 3 1 2 3 1 10 10 10 10 1 0 0 1 2 3 1 0 0 2 3 10 10 10! 5 10 15 10! 5 1 10 15 ( ) ! ! ! 30 30 30 ! 30 ! ! 30 30 x x x x x x X x x x x x x x x x x f x x x x x x x 1 2 3 1 1 2 3 2 3 1 10 10 10 1 0 0 1 1 2 3 1 1 10 (10 )! 10! 5 1 10 15 10! 5 1 10 15 ( ) ! 50 (10 )! ! ! 30 30 ! 50 (10 )! 30 30 x x x x x x x x x x x x x x x x x 1 10 1 1 1 1 10! 5 25 , 0,1, 2,...,10 !(10 )! 30 30 x x x x x

olup benzer şekilde X ‘nin marjinal olasılık fonksiyonu, ₂

2 2 2 10 2 2 2 10 10 40 ( ) , 0,1, 2,...,10 50 50 x x X f x x x dır. X ‘ün marjinal olasılık fonksiyonu, ₃

3 3 3 10 3 3 3 10 15 35 ( ) , 0,1, 2,...,10 50 50 x x X f x x x dır.

1, 2, 3( ,1 2, 3) 1( 2 3) , 1, 2, 3 1, 2

X X X

f x x x c x x x x x x

olsun. c pozitif bir sabit sayı olup,

1 (1 1) 1 (1 2) 1 (2 1) 1 (2 2) 2 (1 1) 2 (1 2) 2 (2 1) 2 (2 2) 1

c

1 36 c

dır. Buna göreX X X rasgele değişkenlerinin ortak olasılık fonksiyonu, ₁, ₂, ₃

1, 2, 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1, 2 1 ( , , ) ( ) , , , 36 X X X f x x x x x x x x x

olmak üzere, X ‘in marjinal olasılık fonksiyonu, ₁

2 3 1 2 2 1 1 2 3 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) , 1, 2 36 3 x x X f x x x x x x 2

X ‘nin marjinal olasılık fonksiyonu,

1 3 2 2 2 2 1 2 3 2 2 1 1 1 1 ( ) ( ) (2 3) , 1, 2 36 12 x x X f x x x x x x 3

X ‘ün marjinal olasılık fonksiyonu,

1 2 3 2 2 3 1 2 3 3 3 1 1 1 1 ( ) ( ) (3 2 ) , 1, 2 36 12 x x X f x x x x x x dır. 2

X ,X ‘ün marjinal ortak olasılık fonksiyonu, ₃

2 1 3 2 2 3 1 2 3 2 3 2 3 , 1 1 1 ( , ) ( ) ( ) , , 1, 2 36 12 x X X f x x x x x x x x x 1

X ,X ‘ün marjinal ortak olasılık fonksiyonu, ₃

1 2 3 2 1 3 1 2 3 1 3 1 3 , 1 1 1 ( , ) ( ) (3 2 ) , , 1, 2 36 36 x X X f x x x x x x x x x 1

X ,X ‘nin marjinal ortak olasılık fonksiyonu, ₂