Nüfus Modelleri (Say¬ya ve Ya¸sa Dayal¬)

MATEMAT· IKSEL B· IYOLOJ· I ve B· IYOK· IMYA

· Içerik

1

Giri¸s

2

Nüfus Modelleri (Say¬ya ve Ya¸sa Dayal¬)

3

Bula¸s¬c¬Hastal¬k Modelleri

4

Biyokimyasal Tepkimeler

G·IR·I¸S

G· IR· I¸ S

Önceki bölümde, nüfusun zamana göre sürekli bir fonksiyon olarak de¼ gi¸sti¼ gini kabul eden temel nüfus modelleri üzerinden, kararl¬l¬k analizi kavramlar¬n¬tart¬¸st¬k. Halbuki nüfusu evreye, say¬ya veya ya¸sa göre planlamak, örne¼ gin devletlerin ekonomik geli¸simlerini planlamalar¬na veya ülkelerin nüfus dinami¼ gini daha iyi analiz edebilmelerine yard¬m eder.

Bunun yan¬s¬ra, birçok biyolojik türün nüfus modelini say¬ya veya ya¸ sa–dayal¬kurmak daha gerçekçi görünmektedir. Ayr¬ca, bula¸s¬c¬

hastal¬klar¬n yay¬l¬m¬n¬modellemek de ilgi çekici görünmektedir. Çünkü salg¬nlar¬kontrol alt¬nda tutmak veya önlemek günümüzde ülkelerin önemli ekonomik ve sa¼ gl¬k problemlerinden biri durumuna gelmi¸stir.

Bu bölümde;

say¬ya veya ya¸sa ba¼ gl¬modeller, bula¸s¬c¬hastal¬klar¬n yay¬l¬m¬ve biyokimyasal modeller

üzerinde çal¬¸saca¼ g¬z.

NÜFUS MODELLER· I

Nüfus modelleri evreye, say¬ya veya ya¸sa göre planlanabilir. Örne¼ gin,

nüfusun çocuk ve yeti¸skin olarak iki geli¸sim evresine göre düzenlendi¼ gi

evreye-dayal¬bir model kurulabilir. Evreye dayal¬modeller birçok geli¸sim

evresi içerebilirler. Böcekler için geli¸sim evreleri; yumurta, kurtcuk (larva),

yavru (pupa) ve yeti¸skin evreleridir. Say¬ya dayal¬modellerde bireyler boyut

veya a¼ g¬rl¬kla ölçülebilen say¬lara göre s¬n¬‡and¬r¬labilirler. Örne¼ gin bal¬k

nüfuslar¬nda yap¬de¼ gi¸skeni ço¼ gu zaman boyuttur. Ya¸sa-dayal¬modellerde

nüfus ya¸s gruplar¬na ayr¬l¬r. Örne¼ gin insan demogra…sinde bu 5-10, 10-15

v.s. gibi 5 y¬ll¬k ya¸s guruplar¬olabilir. Evreler, ya¸slar veya boyutlar

aras¬ndaki dinamik etkile¸simler nüfus yap¬s¬n¬n zamana göre nas¬l

de¼ gi¸sti¼ gini belirlemektedir.

NÜFUS MODELLER·I Say¬ya dayal¬model

Say¬ya dayal¬model: Ladin kurdu

Kanada ormanlar¬n¬n temel problemlerinden biri, a¼ gaç kurtlar¬n¬n verdikleri zararlar olup, Ludwig ve arkada¸slar¬(1978) ladin a¼ gac¬kurtlar¬n¬n nüfus dinami¼ gi için a¸sa¼ g¬daki modeli önermi¸slerdir:

dN

dt = r

N ( 1 N

K

) f ( N )

Burada r

kurtlar¬n do¼ grusal do¼ gum oran¬ve K

de a¼ gaçlardaki mevcut

olan yiyecek kayna¼ g¬n¬n yo¼ gunlu¼ gu ile ili¸skili olan ta¸s¬ma kapasitesini

göstermektedir. f ( N ) fonksiyonu ise kurdun avc¬s¬n¬(genellikle ku¸slar¬)

temsil etmekte olup, ¸sekildeki niteliksel yap¬ya sahiptir.

¸

Sekil: f ( N ) nin nitel yap¬s¬. N

s¬n¬r de¼ gerinden küçük nüfuslar için avc¬n¬n yemi

azd¬r, büyük nüfuslar için yem fazlad¬r.

NÜFUS MODELLER·I Say¬ya dayal¬model

N kurt nüfusunun az yo¼ gunlukta olmas¬durumunda, ba¸ska yerlerde yiyecek arayacaklar¬için, avc¬lar¬n nüfuslar¬azal¬r. Kurt nüfusunun yo¼ gunla¸smas¬

durumunda ise avc¬nüfusu da artar. Böylece f ( N ) için uygun bir fonksiyon, A ve B pozitif sabitler olmak üzere BN

/ A

+ N

olabilir.

Bu durumda, yukar¬daki genel model

dN

dt = r

N ( 1 N K

) ^BN

2

A

+ N

(1)

¸seklini al¬r. Bu denklem r

, K

, A ve B parametrelerini içermekte olup, A

ve K

parametreleri N ile ayn¬boyuta sahiptir. r

nin boyutu [ T

] ve B

nin boyutu ise [ NT

] dir. A parametresi avc¬n¬n dönüm yapt¬¼ g¬N

e¸sik

de¼ gerinin bir ölçüsüdür.

Modeli birimlerden ba¼ g¬ms¬z yapmak için, boyutsuz terimler cinsinden ifade edelim (Bkz. Kesim 3.3). Bunun için,

u = ^N

A , p = ^Ar

B , q = ^K

A , τ = ^Bt

A (2)

al¬p, bu boyutsuz terimleri (1) denkleminde kullan¬rsak,

dN

d τ = ru ( 1 u

q ) ^u

2

1 + u

(3)

denklemini elde ederiz. Denge çözümleri aç¬kça, u = 0 veya

r ( 1 u

q ) = ^u

1 + u

(4)

e¸sitli¼ gini sa¼ glayan u de¼ gerleridir. ( 4 ) e¸sitli¼ gi üçüncü dereceden bir polinoma

kar¸s¬l¬k gelmekte olup, analitik çözümleri oldukça karma¸s¬kt¬r.

NÜFUS MODELLER·I Say¬ya dayal¬model

Çözümler r ( 1 u

q ) do¼ grular¬ile u

1 + u

e¼ grisinin kesim noktalar¬olup, konumlar¬gra…ksel olarak a¸sa¼ g¬daki ¸sekilde gösterilmi¸stir. ¸ Sekildenden de görülece¼ gi gibi, r ve q nun de¼ gerlerine ba¼ gl¬olarak bir, iki veya üç çözüm elde edilebilir.

¸

Sekil: Ladin kurdu modelinin denge noktalar¬. r küçük iken bir tane denge noktas¬

vard¬r. r büyüdükçe denge noktas¬say¬s¬ikiye ve daha sonra üçe ç¬kar. · Ilk ve son

denge nokas¬kararl¬olup ortadaki ise karars¬zd¬r.

Oklar çözümün zamanla nas¬l de¼ gi¸sti¼ gini göstermektedir. u

den daha az nüfus için dN /d τ > 0 yani N artan ve u

ve u

aras¬ndaki nüfus için dN /d τ < 0 yani N azalan olup u

denge noktas¬kararl¬d¬r. Benzer ¸sekilde u

ve u

aras¬ndaki nüfus için dN /d τ > 0 yani N artan ve u

den daha büyük nüfus için dN /d τ < 0 yani N azalan olup u

denge noktas¬da kararl¬d¬r. u

noktas¬ise karars¬zd¬r .

¸

Sekil:

= ru ( 1

)

nun gra…¼ gi.

Biyoloji ve Biyokimya Modelleri 10 /

NÜFUS MODELLER·I Ya¸sa dayal¬model

Ya¸ sa dayal¬model

Ya¸sa dayal¬nüfus dinami¼ gi çal¬¸smalar¬n¬n öncülerinden birisi Leslie (1900-1974) taraf¬ndan verilen birinci basamaktan lineer fark denklemlerinden olu¸san bir matris sistem modelidir.

Ya¸sa dayal¬model bir yap¬sal modeldir.

Ekonomik planlamalara yard¬m eder.

Evrimsel biyologlar¬n bir türün ya¸sam sürecini anlamalar¬na yard¬m edebilir.

Yavrular¬n farkl¬zamanlarda do¼ gmalar¬n¬n sonucu olu¸sur.

E¼ ger farkl¬ya¸slardaki ortalama do¼ gum veya ölüm oranlar¬sabit ise, bu durumda kararl¬bir ya¸s-yap¬s¬olu¸sur. Fakat, do¼ gum veya ölüm

oranlar¬ndaki h¬zl¬bir de¼ gi¸sim ya¸s-yap¬s¬n¬n da¼ g¬l¬mda kaymalara neden olur.

Matematiksel biyolojinin en eski problemlerinden biri olan Fibonacci

tav¸sanlar¬problemi (alt¬n oran, sürekli kesirler ve ayçiçe¼ ginin büyümesi) ve

çift cinsiyetli solucan modeli incelenecek

NÜFUS MODELLER·I Ya¸sa dayal¬model

Ya¸ sa dayal¬model

Ya¸sa dayal¬nüfus dinami¼ gi çal¬¸smalar¬n¬n öncülerinden birisi Leslie (1900-1974) taraf¬ndan verilen birinci basamaktan lineer fark denklemlerinden olu¸san bir matris sistem modelidir.

Ya¸sa dayal¬model bir yap¬sal modeldir.

Ekonomik planlamalara yard¬m eder.

Evrimsel biyologlar¬n bir türün ya¸sam sürecini anlamalar¬na yard¬m edebilir.

Yavrular¬n farkl¬zamanlarda do¼ gmalar¬n¬n sonucu olu¸sur.

E¼ ger farkl¬ya¸slardaki ortalama do¼ gum veya ölüm oranlar¬sabit ise, bu durumda kararl¬bir ya¸s-yap¬s¬olu¸sur. Fakat, do¼ gum veya ölüm

oranlar¬ndaki h¬zl¬bir de¼ gi¸sim ya¸s-yap¬s¬n¬n da¼ g¬l¬mda kaymalara neden olur.

Matematiksel biyolojinin en eski problemlerinden biri olan Fibonacci tav¸sanlar¬problemi (alt¬n oran, sürekli kesirler ve ayçiçe¼ ginin büyümesi) ve çift cinsiyetli solucan modeli incelenecek

Biyoloji ve Biyokimya Modelleri 11 /

NÜFUS MODELLER·I Ya¸sa dayal¬model

Ya¸ sa dayal¬model

Ya¸sa dayal¬nüfus dinami¼ gi çal¬¸smalar¬n¬n öncülerinden birisi Leslie (1900-1974) taraf¬ndan verilen birinci basamaktan lineer fark denklemlerinden olu¸san bir matris sistem modelidir.

Ya¸sa dayal¬model bir yap¬sal modeldir.

Ekonomik planlamalara yard¬m eder.

Evrimsel biyologlar¬n bir türün ya¸sam sürecini anlamalar¬na yard¬m edebilir.

Yavrular¬n farkl¬zamanlarda do¼ gmalar¬n¬n sonucu olu¸sur.

E¼ ger farkl¬ya¸slardaki ortalama do¼ gum veya ölüm oranlar¬sabit ise, bu durumda kararl¬bir ya¸s-yap¬s¬olu¸sur. Fakat, do¼ gum veya ölüm

oranlar¬ndaki h¬zl¬bir de¼ gi¸sim ya¸s-yap¬s¬n¬n da¼ g¬l¬mda kaymalara neden olur.

Matematiksel biyolojinin en eski problemlerinden biri olan Fibonacci

tav¸sanlar¬problemi (alt¬n oran, sürekli kesirler ve ayçiçe¼ ginin büyümesi) ve

çift cinsiyetli solucan modeli incelenecek

NÜFUS MODELLER·I Ya¸sa dayal¬model

Ya¸ sa dayal¬model

Ya¸sa dayal¬nüfus dinami¼ gi çal¬¸smalar¬n¬n öncülerinden birisi Leslie (1900-1974) taraf¬ndan verilen birinci basamaktan lineer fark denklemlerinden olu¸san bir matris sistem modelidir.

Ya¸sa dayal¬model bir yap¬sal modeldir.

Ekonomik planlamalara yard¬m eder.

Evrimsel biyologlar¬n bir türün ya¸sam sürecini anlamalar¬na yard¬m edebilir.

Yavrular¬n farkl¬zamanlarda do¼ gmalar¬n¬n sonucu olu¸sur.

E¼ ger farkl¬ya¸slardaki ortalama do¼ gum veya ölüm oranlar¬sabit ise, bu durumda kararl¬bir ya¸s-yap¬s¬olu¸sur. Fakat, do¼ gum veya ölüm

oranlar¬ndaki h¬zl¬bir de¼ gi¸sim ya¸s-yap¬s¬n¬n da¼ g¬l¬mda kaymalara neden olur.

Matematiksel biyolojinin en eski problemlerinden biri olan Fibonacci tav¸sanlar¬problemi (alt¬n oran, sürekli kesirler ve ayçiçe¼ ginin büyümesi) ve çift cinsiyetli solucan modeli incelenecek

Biyoloji ve Biyokimya Modelleri 11 /

NÜFUS MODELLER·I Ya¸sa dayal¬model

Ya¸ sa dayal¬model

Ya¸sa dayal¬nüfus dinami¼ gi çal¬¸smalar¬n¬n öncülerinden birisi Leslie (1900-1974) taraf¬ndan verilen birinci basamaktan lineer fark denklemlerinden olu¸san bir matris sistem modelidir.

Ya¸sa dayal¬model bir yap¬sal modeldir.

Ekonomik planlamalara yard¬m eder.

Evrimsel biyologlar¬n bir türün ya¸sam sürecini anlamalar¬na yard¬m edebilir.

Yavrular¬n farkl¬zamanlarda do¼ gmalar¬n¬n sonucu olu¸sur.

E¼ ger farkl¬ya¸slardaki ortalama do¼ gum veya ölüm oranlar¬sabit ise, bu durumda kararl¬bir ya¸s-yap¬s¬olu¸sur. Fakat, do¼ gum veya ölüm

oranlar¬ndaki h¬zl¬bir de¼ gi¸sim ya¸s-yap¬s¬n¬n da¼ g¬l¬mda kaymalara neden olur.

Matematiksel biyolojinin en eski problemlerinden biri olan Fibonacci

tav¸sanlar¬problemi (alt¬n oran, sürekli kesirler ve ayçiçe¼ ginin büyümesi) ve

çift cinsiyetli solucan modeli incelenecek

Fibonacci tav¸sanlar¬

· Italyan matematikçi Fibonacci taraf¬ndan 1202 y¬l¬nda ¸su bulmaca sunulmu¸stur:

Bir çiftçi yeni do¼gmu¸ s bir di¸ si-erkek tav¸ san çiftini bir kümese b¬rak¬r. Tav¸ sanlar¬n çiftle¸ sme ya¸ s¬na gelme süreleri bir ayd¬r.

Çiftle¸ smeden bir ay sonra di¸ siler birer çift (bir di¸ si-bir erkek) tav¸ san do¼gurmaktad¬rlar ve tekrar çiftle¸ smektedirler. Hiç bir tav¸ san¬n ölmedi¼gini kabul edelim. Bir y¬l¬n sonunda kaç çift tav¸ san olur?

Biyoloji ve Biyokimya Modelleri 12 /

NÜFUS MODELLER·I Ya¸sa dayal¬model

x

, n-yinci ay¬n ba¸s¬da, yeni do¼ gan tav¸sanlar¬n ard¬ndan say¬lan tav¸san çifti say¬s¬n¬göstersin. Böylece 13-üncü ay¬n ba¸s¬nda say¬lan tav¸san say¬s¬

problemin çözümü olacakt¬r. · Ilk ay¬n ba¸s¬ndaki yeni do¼ gan çift say¬s¬1 oldu¼ gu için ve ikinci ay¬n ba¸s¬nda henüz yeni do¼ gan çift olmad¬¼ g¬için (bir ay sonra do¼ guracak bir adet eri¸skin çift var) x

= 1 ve x

= 1 dir. Üçüncü ay¬n ba¸s¬nda nüfus x

= x

+ x

olup, önceki aydan gelen x

tav¸san çiftini (ki 1 adettir) ve ¸simdi do¼ gum yapacak eri¸skinlikte olan x

di¸si tav¸san¬n do¼ gurdu¼ gu yeni do¼ gan x

tav¸san çiftini (ki 1 adettir) içermektedir. Genel olarak

x

= x

+ x

(5)

olur. Böylece

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...

Fibonacci dizisini elde ederiz. O halde 12 ay¬n sonunda x

= 233 (144

yeti¸skin ve 89 yeni do¼ gan) tav¸san olur.