SAYILAMAYAN SONSUZ KÜMELER PROBLEMLER. Bölüm SAYILAMAZ KÜMELER 1.2 PROBLEMLER. 1. A³a daki e³güçlülükleri gösteriniz:

Bölüm 1

SAYILAMAYAN SONSUZ KÜMELER

1.1 SAYILAMAZ KÜMELER

18.2. PROBLEMLER

1.2 PROBLEMLER

1. A³a§daki e³güçlülükleri gösteriniz:

(a) Bir küp bir ayrtna eggüçlüdür.

Çözüm:

Her [a, b] aral§ [0, 1] aral§na e³güçlü oldu§undan [0, 1] × [0, 1] × [0, 1]küpünü dü³ünmek yetecektir. Teorem 18.1.3 (Cantor Teoremi) gere§ince bir kare bir kenarna e³güçlüdür. O halde,

[0, 1] × [0, 1] × [0, 1] ≈ [0, 1] × [0, 1] ≈ [0, 1] (1.1) yazlabilir.

(b) Bir küp bir yüzüne e³güçlüdür.

Çözüm: (??) den çkar. [Teorem 18.1.3 (Cantor Teoremi)].

(c) Uzay, kendi içindeki bir do§ruya e³güçlüdür.

Çözüm:

Sonuç 18.3.2 gere§ince her d do§rusu R² ile e³güçlüdür. Buradan,

R²≈ R (1.2)

yazabiliriz.

1

(d) Her n ∈ ω için R ≈ R dir.

Çözüm:

(??) den, her n do§al says için a³a§daki yinelgen (recursive) formül isteneni verecektir.

Rⁿ= (R × R) × R × · · · × R

= R²× Rⁿ⁻²

≈ R × Rⁿ⁻²

= R²× Rⁿ⁻³

≈ R × Rⁿ⁻³ ... ≈R

Ayn sonuca Sonlu Tüme Varm Yöntemiyle de ula³labilir.

(e) Bir do§ru bir yarm çembere eggüçlüdür.

Çözüm:

B = {(x, y)|x = r cos t, y = r sin t, −1 ≤ t ≤ 1}kümesi (0, 0) merkezli ryarçapl çemberin üst yarsdr. π : B → [−r, r] izdü³üm fonksiyonu π[(x, y)] = x diye tanmlanr. Ba³ka bir deyi³le (r cos t, r sin t) → rt dir. Bu izdü³üm fonksiyonu üst yar çemberden [−r, r] aral§na bire bir ve örten bir fonksiyondur. O halde B ≈ [−r, r] dir. Her [a, b]

aral§ için [a, b] ≈ [−1, 1] ≈ [−r, r] oldu§undan [a, b] ≈ B çkar.

(f) Bir çokgenin kenarlar, bu çokgenin içine çizilen bir çembere e³güçlüdür.

Çözüm:

Bunu kümesel i³lemlerle gösterebilece§imiz gibi, basit bir geometrik yöntemle de ispatlayabiliriz. Çokgeni d³bükey kabul edelim. Çok- genin içine çizilen çemberin merkezini, çokgenin kenarlar üzerindeki noktalara birle³tiren do§rular dü³ünelim. Bu do§rularn çemberi kesti§i noktalar ile çokgeni kesti§i noktalar arasnda bire bir örten bir e³le³im vardr. O halde istenen e³güçlülük ortaya çkar.

2. Cebirsel olmayan gerçel saylara transandant saylar denilir. Gösteriniz ki bütün transandant saylar kümesi R ye e³güçlüdür. Dolaysyla saylamaz sonsuz bir kümedir.

Çözüm: Bu problem 18.4-3. problemde çözülüyor.

3. Bir A kümesinin saylabilir sonsuz olmas için gerekli ve yeterli ko³ul, sonsuz bir B ⊂ A alt kümesi için B ≈ A olmasdr. Gösteriniz.

Çözüm:

A sonsuz bir küme ve B ⊂ A alt kümesi saylabilir sonsuz olsun. B ≈ A ise Akümesi de saylabilir olacaktr.

18.4. PROBLEMLER

1.3 ALI“TIRMA

1. {Ai| i ∈ I}ve {Bj| j ∈ I} aileleri veriliyor. E§er her ı ∈ I için Aı ≈ Bı

ise

[

ı∈I

Aı≈[

ı∈I

Bı (1.3)

Y

ı∈I

Aı≈Y

ı∈I

Bı (1.4)

oldu§unu gösteriniz.

Çözüm:

A_ı ≈ Bı ise, her ı ∈ I için bire bir ve örten bir fı : A_ı → Bı, fonksiyonu a_ı∈ A_ı⇒ f_ı(a_ı) = b_ı∈ B_ı vardr. “imdi

f :[

ı∈I

A_ı→[

ı∈I

B_ı, x ∈ A_ı⇒ f (x) = fı(x)

fonksiyonunu tanmlayalm. Bunun bir fonksiyon oldu§unu görmek için Teorem 10.1.1 ile verilen F1-F2 ko³ullarnn sa§land§n göstermeliyiz.

F1:

x ∈[

ı∈I

Aı⇒ (∃ı ∈ I)(x = aı∈ Aı)

⇒ f (x) = fı(aı) ∈ Bı

⇒ f (x) ∈[

ı∈I

Bı

F2:

u = w ∈[

ı∈I

Aı⇒ (∃ı ∈ I)(u = w = aı∈ Aı)

⇒ [f (u) = fı(aı) ∈ Bı] ∧ [f (w) = fı(aı) ∈ Bı]

⇒ f (u) = f (w)

f fonksiyonu örten bir fonksiyondur:

y ∈[

ı∈I

B_ı⇒ (∃ı ∈ I)(y = bı∈ Bı)

⇒ (∃aı∈ Aı)(fı(aı) = bı∈ Bı)

⇒ ∃aı∈[

ı∈I

Aı

!

fı(aı) = bı∈[

ı∈I

Bı

!

⇒ ∃aı= x ∈ [

ı∈I

Aı

!

fı(aı) = f (x) = bı= y ∈[

ı∈I

Bı

!

⇒ ∃x ∈[

ı∈I

Aı

!

f (x) = y ∈[

ı∈I

Bı

!

f fonksiyonu bire-birdir:

u, w ∈[

ı∈I

Aı

!

∧ (u 6= w) ⇒ (∃i, j ∈ I)(Ai3 u = ai 6= aj = w ∈ Aj)

⇒ B_i 3 b_i= f_i(a_i) 6= f_j(a_j) = b_j ∈ B_j

⇒ f (u) = fi(ai) 6= fj(aj) = f (w)

⇒ f (u) 6= f (w)

2. (Cantor Kümesi) 1883 ylnda Alman matematikçi Georg Cantor tarafn- dan açklanan, ama daha önce 1875 ylnda Henry John Stephen Smith tarafndan kurguland§ anla³lan bu küme, ölçüm kuramnda ve topolo- jide ilginç özeliklere sahiptir.

Küme ³öyle kurgulanyor. lk admda [0, 1] aral§nn ortasndan üçte biri atlyor. kinci admda geriye kalan iki alt aral§n ortalarndaki üçte birlik aralklar atlyor. Üçüncü admda geriye kalan dört alt aral§n ortalarn- daki üçte birlik aralklar atlyor. Bu eylem sonsuz kez tekrarlanrsa, geriye kalan kümeye Cantor kümesi (Cantor ternary set) denilir.

Cantor kümesinin ilginç özeliklerinden bazlar ³unlardr:

(a) n -inci admda kalan aralklar veren bir yinelge formülü kurulabilir.

(b) Bo³ küme de§ildir.

(c) Saylamaz sonsuz bir kümedir.

(d) Her admda atlan üçte birlik aralklarn toplam uzunlu§u 1 dir.

(e) Salt topolojiye göre kapal bir kümedir.

(f) Salt topolojiye göre tam bir metrik uzaydr.

(g) Tamamen snrl bir kümedir.

(h) Tkz bir kümedir.

(i) Her noktas bir y§lma noktasdr.

(j) Hiç bir iç noktas yoktur.

(k) Hiç bir yerde yo§un de§ildir.

Bunlar göstermeyi deneyiniz.

Yol Gösterme: Ard³k admlarda geriye kalan aralklar ³unlardr:

1.Adm: [0,¹₃] ∪ [²₃, 1]

2.Adm: [0,₃¹2] ∪ [₃²2,₃³2] ∪ [₃⁶2,₃⁷2] ∪ [₃⁸2, 1]

. . . ...

n-inci admda atlan küme C_n = C_n−1

3



∪ 2

3+C_n−1 3



Eyleme böyle devam edersek, geriye kalan ksmda hiç bir aralk ola- maz. Olsayd, bir sonraki admda onun da ortasndaki üçte birlik ksm atlacakt. Bu nedenle, geriye kalan ksma, yani Cantor kümesine Cantor tozu ad da verilir. Ölçüm kuramnda bu kümenin ölçümünün 0 oldu§u

³öyle gösterilir. Her admda atlan ksmlarn uzunlu§unu biliyoruz. Bun- lar toplarsak,

∞

X

n=0

1 3ⁿ⁺¹ =1

3 +2 9+ 4

27+ 8

81+ . . . = 1 3

 1

1 −²₃



= 1 (1.5) olur. [0, 1] aral§nn ölçümü (uzunlu§u) 1 oldu§una göre geriye kalan Can- tor tozunun ölçümü 0 olmaldr.

3. Katsaylar rasyonel saylar olan bir polinomun kökü olan sayya cebirsel say denir. Cebirsel olmayan saylara transandant saylar denilir.

(a) Cebirsel saylarn saylabilir oldu§unu gösteriniz.

(b) Transandant saylarn saylamaz oldu§unu gösteriniz.

Çözüm:

Cebirsel saylar kümesininsaylabilir oldu§u Teorem 17.3.7 ile gösterilmi³tir.

Cebirsel saylar C ile, transandant saylar T ile gösterelim. R = C ∪ T ve C ∩ T = ∅dir.

R = C ∪ T ⇒ \(R) = \(C) + \(T )

ba§nts kullanlrsa, C saylabilir bir küme oldu§undan T nin saylamaz sonsuz bir küme oldu§u görülür. Öte yandan, Teorem 17.3.3 gere§ince, C ∪ T ≈ T ⇒ \(C ∪ T ) = \(T ) olacaktr. Bunu yukardaki ba§nt ile birle³tirirsek,

\(R) = c = \(C) + \(T ) = \(T ) e³itli§i bulunur.

v