• Sonuç bulunamadı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ ÇOK AŞAMALI İMALAT SÜREÇLERİ İÇİN İSTATİSTİKSEL PROSES KONTROLÜ MODELLEMESİ Pelin TOKTAŞ İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 2011 Her hakkı saklıdır

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ ÇOK AŞAMALI İMALAT SÜREÇLERİ İÇİN İSTATİSTİKSEL PROSES KONTROLÜ MODELLEMESİ Pelin TOKTAŞ İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 2011 Her hakkı saklıdır"

Copied!
122
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

DOKTORA TEZİ

ÇOK AŞAMALI İMALAT SÜREÇLERİ İÇİN İSTATİSTİKSEL PROSES KONTROLÜ MODELLEMESİ

Pelin TOKTAŞ

İSTATİSTİK ANABİLİM DALI

ANKARA 2011

Her hakkı saklıdır

(2)

ÖZET Doktora Tezi

ÇOK AŞAMALI İMALAT SÜREÇLERİ İÇİN İSTATİSTİKSEL PROSES KONTROLÜ MODELLEMESİ

Pelin TOKTAŞ Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü İstatistik Anabilim Dalı

Danışman: Prof. Dr. Ömer L. GEBİZLİOĞLU

Bu çalışmada çok aşamalı imalat süreçleri incelenmiş ve istatistiksel proses kontrolü için modelleme yöntemleri araştırılmıştır. Bu tür süreçlerde var olan iki türlü bağımlılık yapısından bahsedilebilir: Aşamalar arasındaki bağımlılık ve bir aşamada ilgilenilen kalite karakteristikleri arasındaki bağımlılık. Aşamalar arasındaki bağımlılık yapısını incelemek için durum-uzay modelleri kullanılmış ve sistem durumunu tahmin etmek için Kalman filtresinden yararlanılmıştır. İlgilenilen kalite özellikleri arasındaki bağımlılık yapısını ortaya koymak için ise bu çalışmada kapula modellemesi önerilmiştir. Çalışmada ayrıca parametrik olmayan yöntemle en uygun Arşimedyan kapulasının seçilmesi ve Kalman filtresi uygulamalarına da yer verilmiştir.

Nisan 2011, 113 sayfa

Anahtar Kelimeler: Çok aşamalı imalat süreci, durum-uzay modeli, Kalman Filtresi, Kapula modellemesi.

(3)

ABSTRACT Ph. D. Thesis

MODELING STATISTICAL PROCESS CONTROL FOR MULTI-STAGE MANUFACTURING PROCESSES

Pelin TOKTAŞ Ankara University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Statistics

Supervisor: Prof. Dr. Ömer L. GEBİZLİOĞLU

This thesis work is about the multi-stage manufacturing processes and their control by the statistical process control modeling. There are two kinds of dependence structure in a multi-stage manufacturing process: One is the dependence between the stages of the process and the other is the dependence between the concerned quality characteristics.

The thesis employs state-space models to demonstrate the dependency structure between the process stages and uses the Kalman filter method to estimate the states of the processes. In this set-up, copula modeling is proposed to determine the dependence structure between the quality characteristics of interest. A nonparametric method is utilized for selecting the most appropriate copula in order to determine the dependence structure. Some applications of the developed model are performed and presented for exemplary purposes.

April 2011, 113 pages

Key Words: Multi-stage manufacturing process, state-space model, Kalman filter, copula modeling.

(4)

TEŞEKKÜR

Bu çalışmanın başlangıcından bitimine kadar her aşamada çalışmalarımı yönlendiren, araştırmalarımın her aşamasında bilgi, öneri ve birikimlerini paylaşan ve beni destekleyen danışman hocam Prof. Dr. Ömer L. GEBİZLİOĞLU (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi İstatistik Bölümü)’na, yoğun çalışmalarına rağmen vakit ayırıp tez çalışmalarımla ilgilenen Tez İzleme Komitesi Üyeleri Prof Dr. Berna DENGİZ (Başkent Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği)’e ve Yrd. Doç.

Dr. Levent ÖZBEK (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi İstatistik Bölümü)’e ve doktora tezimi okuyup değerlendiren Prof. Dr. Fulya ALTIPARMAK (Gazi Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği) ve Prof. Dr. Ayşen APAYDIN (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi İstatistik Bölümü)’a, doktora yaşamım boyunca karşılaştığımız zorlukları beraber göğüslediğimiz ve iyi ki tanımışım dediğim arkadaşlarım M. Bahar BAŞKIR (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi İstatistik Bölümü) ve E. Burcu MAMAK EKİNCİ (Ufuk Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi İstatistik Bölümü)’ye, çalışmalarım boyunca birçok fedakârlıklar göstererek anlayışla ve sabırla beni destekleyen sevgili eşim Ahmet TOKTAŞ ve güzel kızım Melis TOKTAŞ’a, ömrüm boyunca her türlü desteklerini benden esirgemeyen annem Özden ARUN ve babam M. Umur ARUN’a en içten duygularımla teşekkür ediyorum.

Pelin TOKTAŞ Ankara, Nisan 2011

(5)

İÇİNDEKİLER

ÖZET………...

ABSTRACT………

TEŞEKKÜR………...……....

SİMGELER DİZİNİ………..………

ŞEKİLLER DİZİNİ………..……….

ÇİZELGELER DİZİNİ………..…………...

1. GİRİŞ……….……….

2. ÇOK AŞAMALI İMALAT SÜREÇLERİ………..………

3. ÇOK AŞAMALI İMALAT SÜREÇLERİNİ İZLEMEK İÇİN

KULLANILAN İSTATİSTİKSEL KONTROL ARAÇLARI………

3.1 Çok Değişkenli Kontrol Kartları………..……..

3.1.1 Hotelling’in kontrol kartı………..……….

3.2 Regresyon Modellemesine Dayanan Kontrol Kartları…………...…………..

3.2.1 Sebep-seçim kontrol kartları ………...….………...

3.3 Mühendislik Bazlı Modellere Dayanan Yöntemler…….………..

4. ÇOK AŞAMALI İMALAT SÜREÇLERİ VE DURUM-UZAY

MODELLERİ...

4.1 Durum-Uzay Modeli Örneği…………...………

4.2 Durum-Uzay Genel Modeli……….

5. FİLTRELEME YOLUYLA DURUM KESTİRİMİ: KALMAN FİLTRESİ 5.1 Kalman Filtresinin Elde Edilmesi………..………

5.1.1 Hata kareleri beklenen değerinin en küçüklenmesi ölçütlü yöntem………

5.1.2 Sonsal dağılımın en büyüklenmesi ölçütlü yöntem………

5.2 Süreç ve Ölçüm Gürültülerinin Korelasyonu………..……….

5.3 Başlangıç Değerlerinin Kestirimi………..……….

5.4 Ardışık Kalman Filtresi………..………

6. KALİTE KARAKTERİSTİKLERİNİN BAĞIMLILIĞI ALTINDA ÇOK AŞAMALI İMALAT SÜREÇLERİ MODELLEMESİ………..….

6.1 Kapula Fonksiyonları………..

6.2 Bağımlılık Ölçüleri………...………

6.2.1 Bağımlılığın ölçülmesi………...………

i ii iii vi vii viii

1 3

6 7 8 10 11 13

17 19 25 28 29 29 35 40 42 45

46 47 49 49

(6)

6.2.2 Bazı özel bağımlılık yapıları……….

6.3 Bazı Önemli Kapula Aileleri………...………

6.3.1 Arşimediyan kapulaları………

6.3.2 Eliptik kapulalar………...………

6.4 Durum-Uzay Modeli ile Kapula Modellemesinin Bütünleştirilmesi…..…….

6.4.1 Öngörü hatası………

6.4.2 Kapula olabilirlik fonksiyonları………..………

6.4.3 Kapula fonksiyonları ve Kalman filtresi………

6.5 Dayanıklı Kestirim………...………

7. UYGULAMALAR……….

7.1 Benzetim Çalışması………..………

7.2 Kapula Seçim Problemi: Bir Kaporta Boya Süreci Örneği……….

8. SONUÇ………

KAYNAKLAR…..………..……...

EK 1 Benzetim çalışması MATLAB kodu……….………..

ÖZGEÇMİŞ………...….……

55 57 57 59 64 65 72 74 79 82 82 88 96 99 105 112

(7)

SİMGELER DİZİNİ

İPK İstatistiksel Proses Kontrolü

F Dağılım Fonksiyonu

C Kapula Fonksiyonu

Kapula Yoğunluk Fonksiyonu

. Sıra İstatistiği

μ Ortalama sd Serbestlik Derecesi

# Sayı

τ Kendall’ın Korelasyon Katsayısı ρ Spearman’ın Korelasyon Katsayısı

Sistem Durum Vektörü Sistem Ölçüm Vektörü

k. Aşamaya ait i. Kalite Değişkeninin Durumu

k. Aşamaya ait i. Kalite Değişkeninin Ölçümü

k. aşamadan 1 . Aşamaya Geçiş Matrisi

k. Aşamadaki Girdi Matrisi

k. Aşamadaki Sistem Geçiş Matrisi

(8)

ŞEKİLLER DİZİNİ

Şekil 2.1 Çok aşamalı imalat sürecinin yapısı……….. 5

Şekil 4.1 N aşamalı bir imalat süreci diyagramı……….. 18

Şekil 4.2 Üç aşamalı bir imalat süreci diyagramı………. 19

Şekil 5.1 Kalman filtresi uygulaması (Maybeck, 1979)………... 29

Şekil 7.1 Üç aşamalı işleme sürecinin şeması……….. 82

Şekil 7.2 Birinci aşamanın sonunda 100 parçanın uzunluk ve ağırlık değerlerini gösteren grafik……….. 87

Şekil 7.3 İkinci aşamanın sonunda 100 parçanın uzunluk ve ağırlık değerlerini gösteren grafik ………. 87

Şekil 7.4 Üçüncü aşamanın sonunda 100 parçanın uzunluk ve ağırlık değerlerini gösteren grafik……….. 88

Şekil 7.5 Kaporta boya sürecinde ürün kontrol değişkenleri………... 89

(9)

ÇİZELGELER DİZİNİ

Çizelge 5.1 Hata kareleri beklenen değerinin en küçüklenmesi ölçütlü yöntemine

göre kesikli zaman Kalman filtresi denklemleri…..…………...…..…. 34

Çizelge 5.2 Sonsal dağılım en büyüklenmesi yöntemine göre kesikli zaman Kalman filtresi denklemleri….………..………..….. 40

Çizelge 6.1 Arşimediyan kapulaları (Trevedi ve Zimmer 2005).………. 57

Çizelge 6.2 Arşimedyan kapulalarının bağımlılık ölçüleri (Frees ve Valdez 1998)………... 58

Çizelge 6.3 Kalman filtresi ve kapula fonksiyonları……… 76

Çizelge 7.1 Tahmin yöntemleri için hata kareler toplamları……… 88

Çizelge 7.2 Kaportaların kalınlığı (mikron) için histogram ve betimsel istatistikler ………...………. 91

Çizelge 7.3 Kaportaların parlaklığı (gloss) için histogram ve betimsel istatistikler ………...……. 91

Çizelge 7.4 Kaporta kalınlık (X) ve parlaklık (Y) ölçümlerinin çapraz tablosu (gözlenen frekanslar)………. 92

Çizelge 7.5 Clayton kapulasına ait beklenen frekanslar………... 93

Çizelge 7.6 Gumbel kapulasına ait beklenen frekanslar……….. 94

Çizelge 7.7 Frank kapulasına ait beklenen frekanslar………... 94

Çizelge 7.8 Kaporta boya sürecinden elde edilen veri setine uydurulan modeller için istatistikler………. 94

(10)

1. GİRİŞ

Günümüzde üretim ve hizmet süreçleri, genellikle ürünlerin birinden diğerine geçerek tamamlandığı seri veya paralel birçok aşamadan oluşur. Çok aşamalı bir imalat sürecinde kalite karakteristiklerindeki değişkenliğin hangi aşamadan ve süreci niteleyen hangi değişkenlerden kaynaklandığı açık değildir. Bir üründeki kalite değişkenliğinin azaltılmasındaki temel nokta, sürecin her aşamasında bu değişkenliğin ne kadarının ortaya çıktığı ve ne kadarının diğer aşamalara iletildiğinin anlaşılmasıdır.

Çok aşamalı imalat sürecindeki en önemli problem sürecin aşamalar içi ve arası etkileşimler ile zaman dinamiği bağlamında nasıl tanımlanacağıdır. Geçmişte yapılan araştırmalarda çok aşamalı süreçler doğrusal regresyon modeli gibi istatistiksel modellerle tanımlanmıştır. Buna karşılık, sürecin daha etkili bir şekilde izlenmesi ve kontrolü için, çok aşamalı sürecin modellenmesi ve analizinde mühendislik bilgisinin de istatistikle birleştirilmesi gerekir. Bu bağlamda; literatürde, üretim mühendisliği bilgisine dayanan çok aşamalı imalat sürecini doğrusal durum-uzay modeli yapısında tanımlayan birçok makaleye rastlanmaktadır. Çok aşamalı imalat sürecindeki gibi karmaşık yapıdaki bir sistemin, birçok girdisi ve çıktısı olabilir. Bu girdi ve çıktılar birbirleri ile karmaşık bir şekilde ilişkili olabilir. Elde edilen verinin hiyerarşik yapısı birçok seviyeli dinamik modellerle açıklanabilir. Buna bir örnek iki seviyeli bir doğrusal durum-uzay modelidir. Böyle bir modelin birinci seviyesinde, kalite ölçümleri, sistem girdisine ve kalite bilgisine uydurulur. İkinci seviyede de, daha önceki süreç aşamalarından elde edilen ölçümlerin bir fonksiyonu olarak kalite ölçümlerindeki değişkenliğin modellenmesi yapılır. Bu modellemeye ekonomik eniyileme anlayışı da getirilebilir.

Bu çalışmada amaç, çok aşamalı bir imalat süreci için istatistiksel proses kontrolü (İPK) modellemesinin yapılması ve incelenmesidir. Uygulama alanı olarak seçilen çok aşamalı bir imalat sürecinde, hedeflenen herhangi bir zamanda, ürünün kalite özelliklerini (boyut, ağırlık, vb...) istenilen seviyede tutan bir model kurulması amaçlanmaktadır. Bu doğrultuda ele alınacak olan bir imalat sürecinin, durum-uzay

(11)

özelliklerindeki değişkenliğin, kalite özellikleri arasındaki istatistiksel bağımlılık da dikkate alınarak, sürecin hangi aşamasından kaynaklandığının belirlenip istenilen özelliklerin sağlanabilmesi için yapılması gerekenlere dair önermelerde bulunulacaktır.

Önerilecek modelin uygulamaya yönelik açılımlarını sunmak amacıyla sürecin benzetimi de yapılarak kalite değişkenlerindeki değişimin kaynağı ve ortaya çıkacak değişkenliğin kalite değişkenlerine etkisi hakkında irdelemeler yapılacaktır.

Çalışmanın bundan sonraki bölümleri şu şekilde düzenlenmiştir: İkinci bölümde, çok aşamalı imalat süreçlerinin modellemesi ve bu süreçlere uygulanan İPK metotları üzerine yapılan çalışmalardan bahsedilecektir. Üçüncü bölümde çok aşamalı imalat süreçlerini izlemek için kullanılan İPK araçları tanıtılacaktır. Dördüncü bölümde, çok aşamalı imalat süreçlerinin durum-uzay modelleri ile modellenmesi konusu açıklanacaktır. Durum-uzay modelleriyle ortaya konulan süreç denklemlerinin durum değişkenlerine ilişkin istatistiksel kestirimleri için Kalman filtresi yönteminin önerilmesi beşinci bölümde yer alacaktır. Ayrıca, Kalman filtresine ilişkin kurulum ve hesaplama işleri bu bölümde anlatılacaktır. Altıncı bölümde, kalite özelliklerinin istatistiksel bağımlılığı ve bağımlılığın kapula fonksiyonları ile açıklanması öne çıkarılacak, bağımlılık altında çok aşamalı imalat süreçleri modellemesi ortaya konulacaktır. Bağımlılık altında çok aşamalı imalat süreçleri ve İPK yaklaşımlarına ilişkin örneği ve süreç benzetimi yedinci bölümde sunulacaktır. Sekizinci bölümde, tez çalışmasının sonuçlarını ve bunların uzantıları olarak ileride yapılacak çalışmalar hakkında bazı saptamalar belirtilecektir.

(12)

2. ÇOK AŞAMALI İMALAT SÜREÇLERİ

Dünyadaki teknolojik ve ekonomik gelişmelerin üretimden tüketime kadar her aşamada meydana getirdiği değişimler, ürün kalitesinin önemini artırarak çok sayıda kalite sorununu da beraberinde getirmiştir. Kalite, bir ürünün veya hizmetin istenilen özelliklere sahip olmasıdır. Rekabetçi pazar ortamında ürünün kalitesi, müşterilerin bir numaralı tercih nedenidir. Bir ürünün veya hizmetin istenilen özelliklere sahip olabilmesi için, kalitesinin izlenmesi, kontrol edilmesi, hatalarının ve hata kaynaklarının ortaya çıkarılması bir gereklilik haline gelmiştir. Kalite karakteristikleri, bir ürünün veya sürecin performans ölçütlerinin veya spesifikasyon limitlerinin müşteri tatminini sağlamak zorunda olan ölçülebilir özellikleridir. Tüm süreçlerde ürünlerin özelliklerinin istenilen değerlerden sapması doğaldır. Söz konusu değişkenlik müşterilerin memnuniyetsizliği ile sonuçlanırsa, üretici için maliyeti yüksek durumların ortaya çıkması kaçınılmazdır.

İstatistiksel proses kontrolü (İPK), imalat süreçlerinin ve hizmet operasyonlarının kalitesini, verimliliğini artırmak ve izlemek için kullanılan istatistiksel analizler ve yöntemler bütünüdür. 1960’lı yıllardan beri, süreç izleme ve kalite geliştirme için en çok kullanılan araçlar kontrol şemalarıdır. İPK ve gelişmeleri üzerine Lowry ve Montgomery (1995), Woodall ve Montgomery (1999) ve Stoumbos vd. (2000) tarafından araştırmalar ortaya konmuştur. Genellikle, bu şemalar ilgilenilen sürecin tek bir aşamasına odaklanmış olduğundan, çok aşamalı imalat süreçleri için yetersiz kalmıştır.

Son yıllarda çok aşamalı imalat süreci kontrolünde önemli gelişmeler olmuştur.

Literatürde çok aşamalı imalat operasyonlarında hataların tespiti, hataları önleyici ve düzeltici yöntemler üzerine çalışmalar vardır. Tsung vd. (2006, 2008), makalelerinde çok aşamalı imalat ve hizmet operasyonları hakkında geçmişte yapılan çalışmaları derleyerek gelecekteki araştırmalar için fikirler vermiştir.

Çok aşamalı imalat süreçlerinde kontrol dışı durumları belirlemek amacıyla sürecin

(13)

Montgomery (2005), nihai ürünün tek değişkenli kalite ölçümleri için Shewart, CUSUM, EWMA kontrol şemaları; çok değişkenli kalite ölçümleri için Hotelling’in T2 kontrol şeması kullanılmasını önermiştir. Bu çalışmadaki kontrol şemaları sürecin tek bir aşamasına uygulandığı için değişkenliğin kaynağı olan aşamanın belirlenmesinde yetersiz kalmıştır. Bir başka çalışmada ise sürecin her aşmasından elde edilen kalite ölçümleri ayrı ayrı değerlendirilmiştir (Hayter ve Tsui, 1994). Kalite değişkenlerinin her birinin ortalaması için eşzamanlı güven aralıklarının kurulduğu bu çalışmada, ilgilenilen kalite ölçümlerinin tanımlanan kalite düzeyleri bakımından güven aralıklarında olup olmadığına bakılmış ve problemin boyutu büyüdükçe yöntemin açıklayıcı gücünün azaldığı belirtilmiştir.

Çok aşamalı imalat sürecinin birçok girdileri ve çıktıları olabilir. Bu girdi ve çıktılar Şekil 2.1’de görüldüğü gibi birbirleriyle karmaşık bir şekilde ilişkili olabilir. Çok aşamalı imalat süreçlerini, süreç yönetim uzmanlığı dayanağında durum-uzay modelleriyle açıklayan birçok makaleye rastlanmaktadır. Lawless vd. (1999) ve Agrawal vd. (1999) çok aşamalı imalat süreçlerinde kalite değişkenliği durum-uzay modelleri formunda AR(1) türü modellerle ortaya koymuştur. Diğer önemli çalışmalar, Jin ve Shi (1999) ile Ding vd. (2002)’nin parça montaj süreci için, Huang vd. (2002, 2003)’nin çok aşamalı makine yapım süreci için, Ding vd. (2002)’nin araba gövdesi montajı için uyguladığı durum-uzay modeli formundaki modelleme önerileridir.

Durum-uzay modelleri hakkında ayrıntılı anlatımlar Basseville ve Nikiforov (1993) ve Ding vd. (2002)’nin çalışmalarında bulunabilir.

Günümüzde gelişen teknoloji ile daha da karmaşık hale gelen çok aşamalı imalat süreçlerinin izlenmesi ve kontrolü amaçlı modellemesi hala önemini koruyan karmaşık bir konudur.

(14)

Şekil 2.1 Çok aşamalı imalat sürecinin yapısı

G İ R D İ L E R

Ç I K T I L A R

I II III VI

G Durum (State) Ç

(15)

3. ÇOK AŞAMALI İMALAT SÜREÇLERİNİ İZLEMEK İÇİN KULLANILAN İSTATİSTİKSEL PROSES KONTROL ARAÇLARI

İstatistiksel proses kontrolü (İPK), imalat süreçlerinin ve hizmet operasyonlarının kalitesini, verimliliğini artırmak ve izlemek için kullanılan istatistiksel analizler ve yöntemler bütünüdür. Amaç, prosesteki değişkenliği sürekli denetleyerek prosesi dengelemek ve değişkenliği ortaya çıkaran koşulları belirlemektir. İPK’da, kaliteyi etkileyen neden-sonuç ilişkilerinin saptanmasında yedi temel araçtan yararlanılmaktadır:

• Histogram veya gövde-ve-yaprak gösterimi

• Denetim sayfası

• Pareto şemaları

• Neden-sonuç diyagramı (balık kılçığı diyagramı)

• Hata yoğunluk diyagramı

• Serpme diyagramları

• Kontrol kartları

Kontrol kartları, bir ürünün, o ürünü oluşturan parçalarının veya diğer bileşenlerinin kalite spesifikasyonlarını geçmiş deneyimlere ve çalışmalara dayanarak belirlenen limitlere göre kronolojik (saat, gün, hafta vb.) olarak karşılaştırmaya yarayan araçtır.

Süreçteki değişkenlik kaynaklarını belirlemek için kullanılır. Değişkenlik, bir üretim sürecinden elde edilen ürünün kalite karakteristiklerindeki değişim miktarıdır. Nihai ürünlerin kalitesi açısından bu değişkenliklerin önceden tespiti önemlidir. Bu değişkenlikler iki tür nedenden ortaya çıkabilir:

Doğal (rastgele) nedenler: Sürecin doğasında bulunan ve rastgelelikten ileri gelen ve nedeni tespit edilemeyen faktörlerden oluşan farklılıklardır. Sürecin yapısından kaynaklanır. Değişkenlik türü tahmin edilebilir. Varlığı veya yokluğu ürün kalitesinde pek fark yaratmaz. Genellikle küçük olan bu değişkenlik kaçınılmazdır, kabul edilebilir düzeydedir, yok edilmedikçe süreçte vardır ve belirlenip düzeltilmesi bazen çok zor olabilir.

Doğal olmayan (özel) nedenler: Süreçte beklenilen dışında büyük değişiklikler oluşabilir. Bunlar ürünlerin özelliklerinde belirtilen toleransların dışında değişiklikler

(16)

yaratır ve kaynağı tespit edilebilirdir. Bu doğal olmayan nedenlerin varlığı üretilen ürünlerin kalitesini etkilemektedir ve önceden tahmini mümkün değildir. Bu değişkenlik kontrol kartlarındaki noktaların kontrol limitlerinin dışına çıkması ile anlaşılmaktadır.

Bu değişkenliğin tespit edilip düzeltilmesi çok fazla çaba gerektirmez.

1960’lı yıllardan beri, süreç izleme ve kalite geliştirme için en çok kullanılan araçlar kontrol şemalarıdır. Genellikle, bu şemalar ilgilenilen sürecin tek bir aşamasına odaklanmış olduğundan, çok aşamalı imalat süreçleri için yetersiz kalmışlardır (Lowry ve Montgomery, (1995), Woodall ve Montgomery (1999) ve Stoumbos vd. (2000)).

Çok aşamalı imalat süreçlerini izlemek için kullanılan istatistiksel proses kontrol araçları literatürde geniş yer tutmaktadır. Bu araçlar, çok değişkenli kontrol kartları, regresyon modellemesine dayanan kontrol kartları ve mühendislik bazlı modellere dayanan yöntemler olarak üç başlık altında incelenebilir.

3.1 Çok Değişkenli Kontrol Kartları

Birçok üretim sürecinde birbirleriyle ilgili bir ya da birden fazla kalite karakteristiğinin eşzamanlı olarak izlenmesi ve kontrolü zorunlu olabilir. Kalite karakteristiklerinin bağımsız bir şekilde incelenmesi süreçten elde edilecek bilgilerde kayba neden olmaktadır. Çok değişkenli kalite kontrol kavramının çıkışı 1947 yılında Hotelling’in yaptığı çalışmadır. Bu çalışmada, önerdiği yöntemi 2. Dünya Savaşı’nda kullanılan bombardıman vizörü verisine uygulamıştır. Bu öncü çalışmanın ardından Hicks (1955), Jackson (1956, 1959, 1985), Crosier (1988), Hawkins (1991, 1993), Lowry vd. (1992), Lowry and Montgomery (1995), Pignatiello and Runger (1990), Tracy, Young and Mason (1992), Montgomery and Wadsworth (1972) ve Alt (1985) çok sayıda ilişkili değişkenler için kontrol yöntemleri önermişlerdir. Günümüzde, otomatik denetim yöntemleri ile imal edilen ürünlerin aynı anda birçok kalite özelliğinin ölçülebilmesiyle çok değişkenli kalite kontrol (veya süreç izleme) konusu önemini korumuştur. Örneğin;

kimyasal ve yarı iletken üreticileri imalat süreçlerindeki önemli yüzlerce değişken için veri tabanlarını sürekli güncelleyerek süreci kontrol altında tutmaya çalışmaktadır.

(17)

3.1.1 Hotelling’in kontrol kartı

Sürecin ortalama vektörünü izlemek için kullanılan en bilinen çok değişkenli süreç izleme ve kontrol yöntemi Hotelling’in kontrol kartıdır ve tek değişkenli Shewart’ın

kartına benzerdir. Alt gruplanmış veri ve tekil gözlemler olmak üzere iki farklı uyarlanması vardır.

Alt gruplandırılmış veri: ve ortak olasılık dağılımları iki değişkenli normal dağılım olan kalite karakteristiklerini gösterdiği varsayılsın. ve sırasıyla kalite karakteristikleri ve ’nin ortalamalarını ve benzer şekilde ve standart sapmalarını göstersin. Ayrıca, de, ve ’nin kovaryansını göstersin. n boyutundaki örneklemden hesaplanmış kalite özelliklerinin ortalamaları ve olmak üzere, hesaplanan istatistik

2 3.1

biçiminde verilir. Eşitlik 3.1’deki istatistik serbestlik derecesi 2 olan ki-kare dağılımına sahiptir. Bu eşitlik süreç ortalamaları ve için kontrol kartının temeli olarak kullanılabilir. Eğer süreç ortalamaları ve değerlerinde kalırsa, değerleri üst kontrol limiti Ü , değerinden küçük olmalıdır. Burada, Ü , sağ tarafta α büyüklüğünde alan bırakacak 2 serbestlik derecesine sahip ki-kare değeridir. Eğer en az bir ortalama yeni bir noktaya kayarsa (kontrol dışı durum), istatistiğinin üst kontrol limitini aşma olasılığı yükselecektir. Bu sonuçlar, birbiriyle ilişkili ve beraber kontrol edilen p tane kalite karakteristiği için de elde edilebilir. p adet kalite karakteristiğinin p-boyutlu normal dağılıma sahip olduğu varsayılır. Her bir özelliğin alınan n büyüklüğündeki örneklem için ortalaması hesaplanır ve 1 boyutlu örneklem ortalama vektörü X elde edilir. Bu durumda Eşitlik 3.1’deki test istatistiği,

X Σ X 3.2

(18)

gibi gerçekleşecektir. Eşitlik 3.2’deki , 1 boyutlu her bir kalite karakteristiğinin kontrol altında olduğu durumdaki ortalamalarının vektörünü; Σ, kovaryans matrisini göstermektedir. Kontrol kartının üst limiti ise, Ü , ile hesaplanmaktadır. Süreç kontrol altında olduğunda S örneklem kovaryans matrislerinin ortalaması, Σ için yansız bir tahmin edicisini ve X da sürecin tahmini olarak kullanılan sürecin ortalama vektörünü göstermektedir. Eşitlik 3.2 tekrar yazılırsa,

X X X X 3.3

eşitliği elde edilir ve Hotelling’in ’si olarak bilinmektedir. kontrol kartının kullanımında iki ayrı faz vardır. Birinci fazda, kontrol kartı için kontrol limitleri kurulur. m alınan örneklem (gözlem) sayısını, n alınan örneklem büyüklüğünü, p ilgilenilen kalite karakteristiği sayısını göstermek üzere alt kontrol limiti (AKL) ve üst kontrol limiti (ÜKL),

Ü 1 1

1 , ,

0

biçiminde hesaplanmaktadır. İkinci fazda, eğer kontrol kartı gelecek üretimi izlemek için kullanılacaksa kontrol limitleri,

Ü 1 1

1 , ,

0

şeklinde olacaktır (Montgomery, 2005).

Tekil Gözlemler: Bazı durumlarda süreçten alınan alt grup örneklem büyüklüğü 1’dir. Pratikte, bu duruma genellikle kimyasal ve endüstriyel süreçlerde rastlanmaktadır. Herbirinde 1 gözlem bulunan m örneklem içinde gözlenen p kalite karakteristiği için Hotelling’in istatistiği,

(19)

X X X X

ile verilirken, bu istatistik için ikinci faz kontrol limitleri de,

Ü 1 1

, ,

0

şeklinde hesaplanır.

Çok aşamalı imalat süreçlerine uygulanan Hotelling’in kartı, tüm sürecin kontrol dışı olduğu durumu göstermesine rağmen hangi aşamanın kontrol dışı olduğunu belirtmemektedir. Alternatif olarak, her bir aşamadaki kalite ölçümleri kartlarıyla izlenebilir. Bu durumda da belirli aşamadaki kalite ölçümlerine bir önceki aşamanın kalite çıktısının etkisi göz ardı edilmiş olacaktır. Sonuç olarak, kartı ile çok aşamalı imalat sürecinde kontrol dışı bir durumun yorumlanması güçtür (Montgomery, 2005).

3.2 Regresyon Modellemesine Dayanan Kontrol Kartları

Çok aşamalı imalat süreçlerinde kalite ölçümlerinin bir önceki aşamanın çıktısından etkilendiği düşünülmüş ve Hawkins (1991, 1993) tarafından regresyon analizi tekniği ortaya koyulmuştur. Bu yöntemde, her bir kalite değişkeni için diğer değişkenler üzerine kurulan çok değişkenli regresyon doğrusundan elde edilen artıkları için tek değişkenli kontrol kartlarının kurulmasına dayanır. Hawkins’in regresyon modelini Bayes yaklaşımı ile birleştiren Rao vd. (1996) bir uygulama çalışması gerçekleştirmiştir. Farklı aşamalardan alınan kalite ölçümleri birbirleriyle kuvvetli bir şekilde ilişkili olduğu durumda regresyon modelleri yanıltıcı sonuçlar verebilir.

Regresyon analizindeki bu problem sebep-seçim (cause-selecting) yöntemi ile kısmen azaltılabilmiştir ve kontrol dışı aşamaların belirlenmesinde etkilidir (Zhang 1984, 1985, 1989, 1992). Sebep-seçim yöntemi çalışmaları Wade ve Woodall (1993) tarafından derlenmiştir. Günümüzde, sebep-seçim şemalarının çok aşamalı süreçler için

(20)

kullanımını ve uygulamaları da Shu vd. (1993, 2003, 2004) tarafından yazılan makalelerde bulunmaktadır.

3.2.1 Sebep-seçim kontrol kartları

Sebep-seçim kontrol kartları (cause-selecting control charts) ilk defa Zhang (1984, 1985, 1989, 1992) tarafından ortaya koyulmuş ve geliştirilmiştir. Wade ve Woodall 1993’e kadar yaptığı çalışmada bu konuda yapılan çalışmaları gözden geçirmiştir.

Çok aşamalı imalat sürecinin farklı aşamalarından alınan kalite ölçümleri birbiriyle yüksek derecede ilişkili olabilir. Birbiriyle komşu olan iki süreç aşaması göz önüne alınsın. X, ilk aşama için normal dağılıma sahip kalite ölçümü ve Y de ikinci aşamadan elde edilen kalite karakteristiği olsun. X ve Y’yi ilişkilendiren doğrusal veya doğrusal olmayan modeller ele alındığında en kullanışlı olanı,

, 1,2, … , 3.4

biçiminde tanımlanan basit doğrusal regresyon modelidir. Eşitlik 3.4’te ve sabit olmak üzere ~ 0, ’dir. İki komşu aşama birbiriyle bağımlı olduğundan ikinci aşamadaki kalite, birinci aşamadaki kalite çıktısından etkilenecektir. , verilen değerine karşılık gelen ’nin tahmin değeri ve kalite sebep-seçim değerleri ’ler ile tanımlanırsa, olacaktır. En küçük kareler yöntemi ile regresyon doğrusu kurulduğunda 0 olacağından, Zhang (1984) σ’nın tahmini olarak hareketli aralık kullanmayı önermiştir. m, toplam grup sayısı ise i. altgrup için hareketli aralık ve ortalaması ,

| |

1 1

(21)

Ü 3 2.66

3 2.66

şeklinde hesaplanır. σ’yı tahmin etmek için ortalama hata karelerin (MSE) kare kökü de kullanılabilir. Bu durumda HKT hata kareler toplamını gösterirse,

Ü 3√ 3

2 3 ∑

2

3√ 3

2 3 ∑

2

ile hesaplanır. Zhang’in önerisine karşılık, Wade ve Woodall (1993) sebep-seçim kartı kontrol limitlerinde öngörü limitlerini kullanmıştır. Kontrol limitleri,

Ü 2, 2 1 1

2, 2 1 1

⁄ ,2 2 ; 2 serbestlik derecesine sahip t dağılımının üst ⁄ çeyrek 2 değeridir. Bu limitler, değerine uzak X değerlerine denk gelen Y tahminlerindeki hatanın büyük olmasını göz önünde bulundurur. Sebep-seçim kontrol kartı için kurulan ve girdi-çıktı ölçümlerini ilişkilendiren model güvenilir değilse, kontrol dışı durumlar için yanlış alarm oranı beklenenden çok fazla olacaktır (Montgomery, 2005).

(22)

3.3 Mühendislik Bazlı Modellere Dayanan Yöntemler

Çok aşamalı imalat sürecinden elde edilen verinin hiyerarşik yapısı iki seviyeli bir model önermektedir: Birinci seviyede, kalite ölçümleri sistem girdisine ve kalite bilgisine uydurulur. İkinci seviyede ise, sürecin daha önceki aşamalarından elde edilen ölçümlerin bir fonksiyonu olarak kalite ölçümlerindeki değişim modellenir. Bu duruma bir örnek olarak durum-uzay modeli verilebilir. Örneğin; N aşamadan oluşan bir süreç ele alınsın. Kontrol altındaki bir sürecin k. aşamasındaki kalite ölçümleri lineer durum- uzay modeli olarak Ceglarek vd. (2002), tarafından,

1, … , 3.5

biçiminde formüle edilmiştir. Burada,

k. aşamada parçaların boyutsal sapmaları gibi gözlemlenemeyen ürün kalite bilgisi,

Değişkenliğin sebebi ve modellenemeyen hatalar (süreç gürültüsü), Ürün kalitesinin ölçüm hatası,

1 . aşamadan k. aşamaya kalite bilgisinin dönüşümü,

’yı kalite ölçümleri ile ilişkilendirmek için kullanılan matristir.

ve , mühendislik bilgisi, fizik yasaları ve süreç/ürün tasarımı bilgilerinden elde edilen, sürecin k. aşamasında bilinen sabit matrislerdir. Tek değişkenli durumlar için,

~ 0, ve varyansı aşama indeksi k’ya ve başlangıç durumu ~ , ’a bağlı olmak üzere ~ 0, ’dır. Sürecin kontrol dışı olup olmadığının izlenmesi için çeşitli yöntemler araştırılmış olup süreçteki bağlantı (fixture) hataları, makine hataları ve ısıl hatalar sürecin kontrol dışı olması veya süreç hataları olarak görülmektedir.

2004 yılında Zhou ve diğerlerinin yaptığı çalışmada Eşitlik 3.5’teki ikinci denklemin

(23)

Çok aşamalı bir imalat sürecinde elde edilen nihai ürünün kalite ve ekonomik özelliklerindeki değişkenliğin miktarına bakılarak, bu değişkenliğin sürecin hangi aşamasında ortaya çıktığı, aşamalar arasında bu değişkenliğin ne kadarının iletildiği ve hangi sebepten kaynaklandığının bilinmesi oldukça güçtür. Literatürde, imalat süreçlerinde değişkenliğin iletimi ve analiz yöntemleri konusunda birçok çalışma bulunmaktadır. Bunlardan biri, iki kısımdan oluşan Lawless vd. (1999) tarafından yapılan çalışmadır. Bu makalede çok aşamalı imalat süreçlerinde nihai üründeki değişkenliğe en fazla katkısı bulunan aşamanın belirlenmesi için analiz ve yöntemlerden bahsedilmektedir. Bu çalışmada, k aşamada tamamlanan bir ürünün her aşama i’den sonra belirlenen bir kalite karakteristiği ( ) ölçülmektedir. Nihai ürünün kalite karakteristiği ’dır. Eşitlik 3.6’daki varsayımlar altında,

~ ,

| , … , ~ , , , 1, … , 3.6

sürecin (i-1). aşamaya kadar ürünün kalite karakteristiği ölçümleri verildiğinde, ’nin dağılımı sadece (i-1). aşamadaki kalite karakteristiği ölçümüne bağlıdır. Bunun anlamı, sürecin herhangi bir aşamasında, bir önceki aşaması hariç, geçmişini hatırlamamasıdır.

Bu model birinci derece özbağlanımlı model (AR(1)) olarak adlandırılır.

olarak alınırsa, bu modeldeki final ürünün kalite özelliğindeki değişkenlik,

, , … , 3.7

şeklinde bölünecektir. Varyansın … , bileşeni, sürecin i. aşamada ’daki

değişkenliğe eklenen ve daha sonraki aşamalara da aktarılan değişkenlik miktarıdır.

, ise sürecin final aşamasında eklenen değişkenlik miktarıdır. Eşitlik 3.7’nin her iki tarafı da ile bölünürse,

1 , ,

, 3.8

(24)

elde edilir. Eşitlik 3.8, final ürünün kalite karakteristiğindeki değişkenliğe kayda değer katkısı olan aşamaların belirlenmesi açısından kullanışlıdır. AR(1) modelinin benzer bir şekildeki düzenlemesi, , , … , ’nın çokdeğişkenli normal dağılıma sahip olduğu durum için yapılabilir. Bu durumda,

~ , , 1,2, … ,

, , ,, , 2, 1 1, 3.9

olmak üzere, eşitlik 3.7,

1 , , 1 , ,, , 3.10

biçiminde yazılabilir. Eşitlik 3.8 de tekrar yazılacak olursa,

1 1 , , 1 , ,, , 3.11

elde edilir. Katsayılar ve varyans değerleri de aşağıdaki gibidir:

, ,

, 1 , , 1,2, … , 1.

Lawless vd. (1999) ayrıca çalışmalarının bir bölümünde ölçüm hatalarını da göz önünde bulundurarak kurdukları modele eklemişlerdir. Kalite karakteristiğinin ölçülmüş değerleri , , … , olmak üzere,

, ~ 0, , 1,2, … , ,

olduğu durumda, ölçümler üzerinde yapılan daha önceki çalışmalardan

(25)

olduğundan, 2 için , … , sürecinin birinci derece özbağlanımlı (AR(1)) olmadığı görülmüştür. Eğer ölçüm hataları göz ardı edilebilecek kadar küçükse, AR(1) model ölçümlerin gösteriminde oldukça uygun olmaktadır. Bu çalışmanın ikinci kısmı ise, Agrawal vd. (1999) tarafından yapılmış olup, ölçüm hataları modele katıldığında veya göz ardı edildiğinde güven aralıkları limitlerini elde etmek ve modelin sınanması için yöntemler önerilmektedir.

Durum-uzay modelleri literatürde geniş yer tutan ve çok aşamalı imalat süreçlerinin yapısına uygun mühendislik ve üretim yapılarını çevreleyen fizik kurallarını da içeren bir modelleme yöntemidir. Çalışmanın bundan sonraki bölümünde ayrıntılı bir şekilde durum-uzay modellerinden bahsedilecektir.

(26)

4. ÇOK AŞAMALI İMALAT SÜREÇLERİ VE DURUM-UZAY MODELLERİ

Gerçek dünyadaki bir olayın, sürecin veya birimlerden oluşan ve birimleri arasındaki iç ilişkiler yanında çevre ve dış ilişkilere göre işleyen bir sistemin belli bir anlatımına model denir (Öztürk ve Özbek, 2004). Bir sistem, doğrusal bir girdi-çıktı ilişkisiyle modellenirse, model denklemi,

4.1

gibi olacaktır. Burada, ölçüm vektörünü, tahmin edilecek durum vektörünü ve da sensör gürültüsünü (ölçüm hatasını) göstermektedir. Bu modelde girdi-çıktı arasında doğrusal bir ilişki yoksa doğrusallaştırma gereklidir.

Çok aşamalı imalat sürecindeki en önemli problem sürecin aşamalar içi ve arası etkileşimler ile zaman dinamiği bağlamında nasıl tanımlanacağıdır. Geçmişte yapılan araştırmalarda çok aşamalı süreçler doğrusal regresyon modeli gibi istatistiksel modellerle tanımlanmıştır. Buna karşılık, sürecin daha etkili bir şekilde izlenmesi ve kontrolü için, çok aşamalı sürecin modellenmesi ve analizinde mühendislik bilgisinin de istatistikle birleştirilmesi gerekir. İstatistiksel tabanlı modeller genellikle mühendislik bilgisinin eksikliği nedeniyle aşamalar arasındaki ilişkiyi açıklayamaz. Literatürde, fizik kanunlarına ve mühendislik bilgisine dayanan çok aşamalı imalat sürecini doğrusal durum-uzay modeli yapısında tanımlayan birçok makaleye rastlanmaktadır. Çok aşamalı imalat sürecindeki gibi karmaşık yapıdaki bir sistemin, birçok girdisi ve çıktısı olabilir. Bu girdi ve çıktılar birbirleri ile karmaşık bir şekilde ilişkili olabilir. Elde edilen verinin hiyerarşik yapısı birçok seviyeli dinamik modellerle açıklanabilir. Buna bir örnek iki seviyeli bir doğrusal durum-uzay modelidir. Böyle bir modelin birinci seviyesinde, kalite ölçümleri, sistem girdisine ve kalite bilgisine uydurulur. İkinci seviyede de, daha önceki süreç aşamalarından elde edilen ölçümlerin bir fonksiyonu olarak kalite ölçümlerindeki değişkenliğin modellenmesi yapılır.

Ding vd. (2000, 2002)’nin yapmış olduğu çalışmalarda N aşamalı bir imalat sürecinde

(27)

Şekil 4.1 N aşamalı bir imalat süreci diyagramı

Şekil 4.1’de, üretilen parçada kalite düzeyleri bakımından biriken sapma miktarı, aşama k’ya has (aşama k tarafından katılan) yönetsel girdilerden kaynaklanan etkiler, k. aşamadan elde edilen ölçüm, ve birbirinden bağımsız süreç gürültüleridir. Çok aşamalı imalat sürecindeki değişkenlik akışı,

, 1,2, … , 4.2 , 1,2, … , 4.3

ile karakterize edilebilir. Burada, sistem durum denklemi, Eşitlik 4.2’de verilmektedir.

Bu denklemde k. aşamada üretilen parçanın sapma miktarı, (k-1). aşamaya kadar olan birikimli değişkenlik ve k.aşamanın kattığı değişkenliğin toplamından oluşur. Durum- uzay modellerindeki ikinci denklem ise ölçüm denklemidir (Eşitlik 4.3). Ölçüm denkleminin indeksi, aşamalar indeks kümesinin bir altkümesidir. Bu altkümedeki elemanlar, ölçüm alınan aşamaların indekslerinden oluşur. Çok aşamalı imalat süreçlerinde ölçümler genellikle sensörlerle kayıda geçirilir. rastgele vektör olup

, ve matrisleri süreç/ürün tasarımı bazında uzman görüşüne bağlı biçimde belirlenir. , zamanın (k aşamasının) fonksiyonudur. (sistem geçiş matrisi), parçanın k. aşamadan (k+1). aşamaya geçişi yüzünden sapmadaki değişimi belirleyen dinamik bir matris olup üretim akışındaki aşamaların özelliklerine bağlıdır. Ard arda gelen aşamalarda üretim şemalarında değişiklik olmazsa sadece birim matristir.

matrisi, k. aşamada üretime etki yapan girdilerin üretilen parçadaki kalite düzeyinden ... ...

Aşama 1 Aşama k Aşama N

Yk

ηk

Xk 1

k

X

uk εk

(28)

sapmalara etkisini belirleyen girdi matrisidir. matrisi (gözlem matrisi) bir aşamadaki ölçüm özelliklerinin gözlemlere yansımasına ait ifadeleri içerir (Ding 2000, 2002, Tsung 2006).

4.1 Durum-Uzay Modeli Örneği

Şekil 4.2’deki gibi üç aşamadan oluşan bir imalat süreci ele alınsın:

Şekil 4.2 Üç aşamalı bir imalat süreci diyagramı

Bu durumda sistem modeli,

Durum Denklemi: , 1,2,3

Çıktı Ölçüm Denklemi: , 1,2,3

dir. Doğrusal durum-uzay modeliyle ortaya koyulan çok aşamalı bir imalat sürecinde, , kalite denetimi yapılan ürünün gözlemlenemeyen kalite karakteristiğidir (özelliğidir). , sürecin k. aşamadaki mevcut durumu hakkındaki tüm bilgiyi içerir ve doğrudan ölçülemez. Bu örnekte durum vektörü, iki kalite karakteristiğinden oluştuğu varsayılsın. Bu durumda , 2 1 boyutunda,

1,2,3.

Y2

Aşama 1 Aşama 2 Aşama 3

η2

X2

X1

u2 ε2

ε1 u3 ε3

u1

η3

η1

Y1 Y3

X3

X0

(29)

: . aşamadaki . kalite özelliğinin gözlenemeyen değeri 1,2 ve 1,2,3.

matrisi, sürecin k. aşamasından 1 . aşamasına geçişi sırasında sapmayı gösterir.

Bu durumda matrisler,

1 0

0 1 1,2

şeklinde tanımlanabilir. , k. aşamadaki girdi matrisi ve durum denklemindeki k.

aşamanın katkısını gösteren 2 1 boyutlu vektörü,

1,2,3.

1,2,3.

şeklinde tanımlanır.

: . aşamada yönetsel girdilerin . kalite özelliğine katkısı 1,2 ve 1,2,3.

Gözlemlenemeyen süreç gürültüsü ise,

1,2,3

şeklinde tanımlansın. Verilen bu matris ve vektörlerle durum denklemi tekrar yazılırsa,

, 1,2,3.

elde edilir. Durum vektöründeki birinci kalite özelliğini gösteren değişkeni ve ikinci kalite özelliğini gösteren her aşama 1,2,3 için elde edilebilir.

1 ise,

(30)

2 ise,

3 ise,

İkinci ve üçüncü aşamalar için birinci ve ikinci kalite özellikleri girdi değeri olan ve cinsinden yinelemeli olarak yazılabilmektedir.

2 için,

3 için,

(31)

Gözlem matrisi , süreçteki sensör yerlerinin bilgisini içerir. Bu örnekte, her aşamada sensörlerin olduğu ve her aşamadan ölçümlerin alınabildiği varsayılıyor. Bu durumda,

ölçüm vektörü aşama indeksi k’nın her değeri için gözlenebilmektedir.

, 1,2,3.

, 1,2,3.

Süreç gürültüsü ve ölçüm hatasını gösteren birbirinden bağımsızdır.

, 1,2,3.

Verilen matris ve vektörlerle ölçüm vektörü,

, 1,2,3

şeklinde yazılabilir. Ele alınan iki kalite özelliğinin her aşama için ölçüm değerleri, gözlemlenemeyen başlangıç kalite özellikleri cinsinden yazılabilir. Birinci ve ikinci kalite özelliklerinin ölçüm değerleri,

(32)

1 için,

2 için,

3 için,

(33)

şeklinde yazılabilir. Durum-uzay modeli ile gösterilen bir dinamik sistemde, modelin önceki bilgileriyle birlikte giriş ve çıkış bilgilerinden sistemin durumu tahmin edilebilir.

(34)

Dinamik bir sistemden elde edilen gürültülü ölçümler serisinden sistemin durumunun kestirimi hata karelerinin en küçüklenmesi yoluyla veya Kalman filtresi ile yapılabilmektedir.

4.2 Durum-Uzay Genel Modeli

Alt bölüm 4.1’de bir örneği verilen çok aşamalı imalat süreçleri gibi dinamik sistemler daha genel olarak Eşitlik 4.4 ve 4.5’te gösterilen denklemler ile durum-uzay modelleri biçiminde temsil edilebilir.

4.4 4.5

Çok aşamalı imalat süreçleri örneğinde 4.2 ve 4.3 eşitlikleri ile ifade edilen durum ve ölçüm denklemlerinde olduğu gibi bu denklemlerde durum, ise ölçüm veya gözlem vektörleridir ( 1, … , ). ve vektörleri durum ve gözlemlerdeki gürültüleri, vektörü ise sürece k. aşamada yönetsel girdilerin etkilerini ifade etmektedir.

Durum-uzay modellerindeki durum vektörü ’nın, 1, … , kestirimi ve ilgili diğer çözümlemeler üç ana yaklaşım çerçevesinde yapılabilir (Schweppe 1973, Kiam ve Nelson 1999). Bunlar; Bayesci, Fisher ve Bilinmeyen-Sınırlı (B-S) yaklaşımlarıdır.

Bayesci yaklaşımda, denklemlerdeki ve hata terimleri stokastik, başlangıç durum vektörü ise rastgele değişken özelliğindedir. Fisher yaklaşımında, ölçüm denklemi terimi stokastik özelliğe sahipken, stokastik veya tamamen bilinmeyen, ise rastgele niteliklerde olabilir. Bilinmeyen- Sınırlı yaklaşım çerçevesinde; , ve bilinmeyen ancak varyans-kovaryans büyüklüklerini ifade eden elipsoidlere dair değerler üstten sınırlı durumdadır.

Durum-uzay modellerinde , ve matrisleri bilinen matrisler olarak kabul

(35)

gözlem değerlerini kullanarak gibi bir zaman için ’nın tahmin edilmesi tahmin edilmesi probleminden ibarettir. olduğunda kestirim problemi filtreleme işlemi halini alır ki bu işlem için Kalman filtresi (KF) veya ağırlıklı en küçük kareler (AEKK) yöntemleri kullanılabilir. Bayesci model yaklaşımı çerçevesinde uygulanabilecek kestirim denklemleri literatürde Kalman filtresi olarak bilinmektedir (Schweppe 1973, Anderson ve Moore 1979, Brown ve Hwang 1992).

Bayesci model yaklaşımı en yaygın biçimde kullanılan bir durum-uzay modellemesi yaklaşımı olup , ve vektörlerinin zaman boyutunda kendi içlerinde ve kendi aralarında bağımlılığı ve bağımsızlığı konusunda esnek bakış açıları sunabilmektedir.

Bu anlamda, kestirim işlemlerinde durum-uzay modelinde yer alan rastgele değişkenler için önsel ve sonsal olasılık dağılımları ile bunlara bağlı olarak kestirimde ihtiyaç duyulan beklenen değer ve kovaryans fonksiyonlarının belirlenmesi konuları öne çıkmaktadır.

Dinamik stokastik bir süreçte uygulanabilen kontrol etkileri durum-uzay modellerinde dizisi ile temsil edilmektedir. Kontrol etkileri, durum vektörleri, ’ların fonksiyonu olması gerekirken, durumlara dair tam ve doğrudan bir gözleme eksikliğinde ölçüm ya da gözlem değerleri ’ların bir fonksiyonu olarak ele alınmak ve sistem uzmanları görüşü ile belirlenmek durumundadır; , , … , . Literatürde ’lar için | | 1 gibi bir kısıtın konulması da önerilmektedir (Davis ve Vinter, 1984).

Kalman filtresi mantığı ve hesaplama denklemleri bir sonraki bölümde ayrıntılı olarak açıklanmıştır. Ağırlıklı en küçük kareler yönteminde; Kalman filtresinde yöntemine göre ve için bir belirsizlik modeli, başka bir deyişle, bir olasılık dağılım modeline gerek duyulmadan, değişkeninin kovaryans matrisi 0 olmak üzere,

4.6

niceliğini en küçükleyen ’nın sapması ile durum vektörünün kestirimi amaçlanmaktadır. Eşitlik 4.6’da matrisi pozitif tanımlı bir matris olup ilgilenilen

(36)

dinamik sistemin girdi, durum ve çıktıları bağlamında belirlenmek durumundadır.

’nın en küçük değerini veren kestirimi için

4.7

çözümü bulunur.

Eşitlik 4.4 ve 4.5’te yer alan durum-uzay modeli için ağırlıklı en küçük kareler yöntemi bağlamında ’nın kestirimi; başlangıç durum vektörü ’a ait kovaryans matrisi,

’da vektörü için kovaryans matrisi olmak üzere,

, , , … ,

4.8

ifadesinin kısıtı altında en küçük değerine erişmesi yolu ile elde edilmektedir. Burada , ve matrisleri pozitif tanımlı ve ilgilenilen dinamik sistemi hakkında uzman bilgisine dayalı olarak belirlenen matrisler durumundadır (Ding vd. 2002).

(37)

5. FİLTRELEME YOLUYLA DURUM KESTİRİMİ: KALMAN FİLTRESİ

Dinamik bir sistemde belirli bir zamanda ilgilenilen bir özeliğin gözlenebilen değerlerine dayanılarak sistemin anlık ve daha geniş bir perspektifteki durumu belirlenebilir. Bir sistemin durum vektörü, sistemin durum değişkenlerinin bileşenlerini veren bir vektördür. Kapalı olarak adlandırılan sistemlerde, sistemin şimdiki durumuyla tüm zamanlar için sistemin gelecek durumları tek bir şekilde belirlenebilir demektir.

Dinamik bir sistem kapalı değilse, beklenmeyen nedenler sistemin girdilerini oluşturur.

Sistemin durumu, doğrudan ölçülemiyor olabilir. Durum-uzay modeli ile gösterilen bir dinamik sistemde sistemin durumu, modelin önceki zamanlarda elde edilmiş bilgileri ve çıktı bilgileri ile birlikte kullanılarak tahmin edilebilir. Kalman filtresi, dinamik bir sistemden elde edilen ve hata (gürültü) içerebilen ölçümler serisinden sistemin durumunun kestirimini yapan, gözlem yapıldıkça kestirimi güncelleştiren, etkili bir çözümleme algoritmasıdır. Şekil 5.1’de Kalman filtresinin kullanılabileceği tipik bir durumu göstermektedir. Bilenen kontrollerle yürütülen bir sistemden ve ölçüm aletleriyle belirli niceliklerin değerlerinden sistem hakkında kestirimler yapmak için sistemin girdi ve çıktı bilgisi elde edilir. Sistem durumu, doğrudan ölçülemediği için, elde edilen ölçümlerden en iyi şekilde tahmin yapabilme gerekir ki bu da bir filtre kullanımını gerektiren bir durumdur (Welch ve Bishop 2006).

Kalman filtresi, istatistiksel olarak hatayı en küçükleyerek istenen tahminleri yapmak için ölçüm verisini, sistem hakkındaki önsel bilgiyi ve durum değerlerini dolaylı olarak ölçme işlemini birlikte ele alır. Bu nedenle, istatistiksel kestirim amaçlı diğer filtrelerin çoğuna göre daha iyi sonuçlar verir. Bayesci yaklaşım çerçevesinde; ölçüm cihazlarından sağlanan gerçek veri bilgisine koşullandırma yapılarak kestirimi yapılacak özelliklere dair koşullu olasılık yoğunluklarının yayılımı filtrelenebilir. Kalman filtresi, ölçme hatalarının (gürültülerinin) beyaz ve normal (Gaussian) dağılımlı olduğu, doğrusal bir modelle ifade edilebilen bir sistemin kestirim çözümlemeleri amacına koşullu olasılık yayılımını sağlayarak yardımcı olur (Welch ve Bishop 2006).

(38)

Şekil 5.1 Kalman filtresi uygulaması (Maybeck 1979)

5.1 Kalman Filtresinin Elde Edilişi

Durum-uzay modeli denklemleri (4.4) ve (4.5) ile temsil edilen dinamik ve stokastik bir çok aşamalı üretim sistemi için k aşamasındaki durum vektörü ’nın kestirimi doğrultusunda bir dizi öngörü ve filtreleme işleminin gerekmektedir. Bayesci yaklaşım kapsamında bu amaçla gereksinim duyulan fark denklemleri Kalman veya Kalman- Bucy denklemleri olarak bilinir. Söz konusu denklemlerin belirlenmesinde çeşitli yaklaşımlar ve genellemeler mevcut olup (Simon 2006) bunların hepsine altyapı oluşturan birbirine eşdeğer iki temel ölçütün ele alınması mümkündür. Bunlar; kestirim hata kareleri beklenen değerinin en küçüklenmesi ve sonsal dağılım en büyüklenmesi ölçütleridir.

5.1.1 Hata kareleri beklenen değerinin en küçüklenmesi ölçütlü yöntem

Varsayımlar ve açıklamalar:

Bu kısımda, durum-uzay modeli denklemleri (4.4) ve (4.5) içerisinde yer alan değişkenler ve katsayılara dair varsayımlar ve açıklamalara yer verilmiştir.

Sistem Sistem hata

kaynakları

Sistem durumu (isteniyor ama

bilinmiyor)

Ölçüm Aletleri

Gözlenmiş

ölçümler Kalman Filtresi

En iyi sistem durumu tahmini Kontroller

Ölçüm hata kaynakları

(39)

• : Sistem durum vektörü.

• : Sistem gözlem vektörü.

• : boyutlu sistem geçiş matrisi.

• : boyutlu sistem girdi matrisi.

• : boyutlu gözlem geçiş matrisi.

• : k zamanında (aşamasında) yönetsel girdilerin etkisini ifade eden vektör.

• : boyutlu sistem gürültü matrisi.

• : boyutlu gözlem gürültü matrisi.

• Tüm 0,1,2, … anlarında , , , ve matrislerinin bilindiği varsayılıyor.

• ve sıfır ortalamalı beyaz gürültü süreçlerinin her k, j değerleri için aşağıdaki varsayımları sağladığı kabul edilir:

0 5.1 0 5.2 5.3 5.4 1,

0, 5.5 0 5.6 5.7 5.8 0 5.9 0 5.10

• ve matrislerinin bilindiği varsayılır.

vektörünün en iyi kestirimi amacı ile , , … , gözlemlerini kullanarak

| ’nin elde edilmesi hedeflenmekte olup bu doğrultuda kestirim hatası

| ’nin kovaryans matrisi | ’nin kullanılması söz konusudur. olduğunda kestirim filtreleme adını almaktadır. Gözlemlerin hatasız olmadığı düşünülürse 0 varsayımı da gerçekçi ve gerekli bir varsayım olacaktır. , … , vektörü k

(40)

zamanına (aşamasına) kadar elde edilen gözlemleri ifade etsin. | , kullanılarak yapılan kestirim | ’nin kestirim hatası ise, | olmak üzere, bu hatanın kovaryans matrisi | | | biçiminde ifade edilir. vektörünün kestirimi içlerinde çeşitli hesaplama adımları olan iki aşamada yapılır. Bu aşamalar ve hesaplama kapsamları aşağıda belirtilmiştir:

Durum rastgele vektörü ’ya ait kovaryans matrisinin evrimi,

| | , 5.11

için kovaryans matrisi evrimi ise,

5.12

eşitlikleri ile ifade edilecektir.

, , … , gözlemlerine dayalı olarak yapılacak kestirimi

| ’in en küçük ortalama hata kareleri (MMSE) ölçütüne göre elde edilmesi söz konusu olup,

| | , 5.13

| |

| 5.14

denklemlerinden öngörülerin hesaplaması yapılır. Gözlem değerleri için öngörü aşaması hatası,

| | 5.15

ile ifade edilir. Burada, “ | ” durum vektörüne ilişkin öngörü hatalarının ifadesidir. ’ya ait öngörü aşaması kovaryans matrisi,

(41)

| 5.16

olup, bu eşitliklerdeki | , için önsel öngörü hata kovaryans matrisidir. ve kovaryansı,

| 5.17

olacaktır. Güncellenen kestirim,

| | | |

| | 5.18

olup, Eşitlik 5.18’deki

| 5.19

Kalman kazanç değerini, bir başka deyişle ön bilgilerin ve önsel kestirimlerin ’nın kestirimine katkısını ifade etmektedir. Eşitlik 5.13, durum vektörünün öngörü aşamasındaki kestirimini; Eşitlik 5.18 ise, için filtreleme aşamasındaki nihai kestirimi göstermektedir. Eşitlik 5.16’daki , | ’e bağımlı olduğu için hata kovaryans matrisinin de güncellemesi yapılmalıdır. Bu doğrultuda, önce filtrelenen hata tanımı,

| | | 5.20

yapılarak, hatanın filtrelenmiş kovaryans matrisi,

| | |

|

| |

| 5.21

(42)

bulunur. k aşamasında (zamanında) öngörü hatası ise,

| | , 5.22

| | | , 5.23

| 5.24

olduğundan,

| | 5.25

olarak bulunur. Burada filtreleme aşaması için Kalman kazancı ifadesi,

| 5.26

olup, hata için filtreleme aşamasında elde edilen sonsal kovaryans matrisi,

| | 5.27

ile ifadesini bulacaktır. Çizelge 5.1’de filtre sistem ilişkisi göstererek hata kareleri beklenen değerinin en küçüklenmesi ölçütlü yöntemine göre kesikli zaman Kalman filtresi denklemleri özetlenmiştir.

(43)

Çizelge 5.1 Hata kareleri beklenen değerinin en küçüklenmesi ölçütlü yöntemine göre kesikli zaman Kalman filtresi denklemleri

Sistem dinamik modeli : ,

~ 0,

Ölçüm (gözlem) modeli: ,

~ 0,

Başlangıç koşulları: ~ , , | , |

Bağımsızlık koşulu: 0, 0, 0, ,

Öngörü aşaması tahminleri: Durum tahmini:

| |

Ölçüm tahmini:

| |

|

Öngörü aşaması hataları: Durum Hatası:

|

Ölçüm hatası:

| |

Öngörü aşaması kovaryans

matrisi: |

Öngörü aşaması hata

kovaryansı güncelleştirmesi:

Durum için:

| |

Ölçüm için:

Durum tahmininin gözlemsel güncelleştirilmesi:

| | | |

| |

Filtreleme aşaması hata

kovaryansı güncelleştirmesi: | | Kalman kazanç matrisi: |

(44)

5.1.2 Sonsal dağılımın en büyüklenmesi ölçütlü yöntem

Daha önce belirtildiği gibi filtreleme probleminde amaç, , , … , gözlemleri verildiğinde, durumunun en iyi tahminini belirlemektir. Yapılan varsayımlar altında

| rastgele vektörünün dağılımı normal dağılıma sahiptir ve sonsal dağılımının en büyüklemesi ölçütüne göre elde edilen tahmin, koşullu beklenen değer tahminine denktir. , , … , gözlemleri verildiğinde durumunun tahmini,

| | , , … , | 5.28

ve hatanın kovaryans matrisi,

| | | | 5.29 ve , , … , gözlemleri verildiğinde durumunun tahmini,

| | , , … , | 5.30

ve hatanın kovaryans matrisi,

| | | | 5.31

ile gösterilsin. Eşitlik (5.28) – (5.31)’de bahsi geçen tahmin değerlerinin ve kovaryansların elde edilme adımları Catlin (1989), Brown ve Hwang (1992) ve Özbek (2000) çalışmalarından yararlanılarak ortaya konulmuş ve aşağıda verilmiştir. Burada, durum-uzay modeli denklemleri (4.4) ve (4.5)’deki ve matrisleri birim matrisleri olarak ele alınacaktır.

Adım 1: 1 anında durumunun, | tahmininin bilindiği varsayımıyla

| belirlenmeye çalışılsın. rastgele vektörünün, , , , … , rastgele

(45)

vektörlerinden ve başlangıç durumunun , , … , vektörlerinden bağımsız olduğu göz önünde bulundurulursa,

| 0

olacağından,

| |

| |

|

olarak bulunur. | hata vektörü, , , … , gözlemlerinden bağımsız olduğundan, bir adım sonraki öngörü için hatanın kovaryans matrisi,

| | | | | |

olacaktır. Bir adım öngörü hatası,

| |

|

olarak yazılabileceğinden, vektörünün , , … , vektörlerinin bir fonksiyonu olduğu göz önüne alınırsa ve

| 0

| | 0

olduğundan, hatanın kovaryans matrisi,

| |

olarak bulunur.

(46)

Adım 2: , , … , gözlemleri verildiğinde durumunun tahmininin belirlenmesi için | koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonunun belirlenmesi gerekir. Bu koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonu,

| | , , ,

,

| , |

| 5.32

olarak yazılabilir. Gözlem (ölçüm) eşitliği 4.5 ve vektörünün , , … , gözlemlerinden bağımsızlığı ve ’nın ve , , … , vektörlerinden bağımsızlığı gözönüne alınırsa, | , | eşitliği elde edilir. Bu durumda Eşitlik 5.32 aşağıdaki gibi yazılabilir:

| | |

|

Hata terimleri ile ilgili varsayımlardan,

| 0

|

olacağından, gözlem vektörünün durum vektörüne göre koşullu dağılımı,

| . 1

2

şeklinde normal dağılımdır. Başlangıç durumunun normal dağılıma sahip olmasından

| önsel dağılımı da

| . 1

2 | | |

(47)

biçiminde normal dağılım olduğundan, | sonsal dağılımı,

| . 1

2

| | | 5.33

biçiminde normal dağılım olarak bulunur. Koşullu dağılımlarda verilen , ve normalleştirme sabitleridir. Eşitlik 5.33’ün logaritması alındıktan sonra, vektörüne göre türev alınıp sıfıra eşitlenirse,

| | 0 5.34

elde edilir. Eşitlik 5.34, vektörüne göre çözülüp yerine konulursa,

| | | | 5.35

Eşitlik 5.35’in sağ tarafına | eklenip çıkarılırsa,

| | | |

elde edilir. Eşitlik 5.35,

| | | |

olarak ele alınırsa ve Eşitlik 4.5’teki gözlem (ölçüm) eşitliği kullanılırsa,

| | | | 5.36

elde edilir. Eşitlik 5.36’nın sağ tarafına | terimi eklenip çıkarılır ve gerekli düzenlemeler yapılırsa,

(48)

| | | | 5.37

bulunur ve Eşitlik 5.37 kullanılırsa,

| | | | 5.38

bulunur. Eşitlik 5.38’e matris tersi lemması (Schweppe 1973) uygulanırsa,

| | | | | 5.39

elde edilir. Kalman kazancı,

| | 5.40 biçiminde ifade edildiğinde,

| | 5.41

bulunur. Matris tersi lemmasından dolayı (Schweppe 1973),

| | |

olduğundan,

| | | 5.42

sonuna ulaşılacaktır. Çizelge 5.2’de filtre sistem ilişkisi göstererek sonsal dağılım en büyüklenmesi yöntemine göre kesikli zaman Kalman filtresi denklemleri özetlenmiştir.

Kesikli zaman Kalman tahmini edicisi için temel hesaplama adımları özetlenirse, Adım1: | , ve ’yı kullanarak | hesaplanır.

(49)

Adım 3: (Adım 2’de hesaplanan) ve | (Adım 1’de hesaplanan) kullanarak | hesaplanır.

Adım 4: (Adım 2’de hesaplanan), verilen başlangıç tahmini ve girdi verisi ’yı kullanarak ard arda yinelenen | değerleri hesaplanır.

elde edilir.

Çizelge 5.2 Sonsal dağılım en büyüklenmesi yöntemine göre kesikli zaman Kalman filtresi denklemleri

Sistem dinamik modeli (Durum eşitliği):

~ 0, Ölçüm (gözlem) modeli:

~ 0,

Başlangıç koşulları: ~ ,

|

|

Bağımsızlık koşulu: 0, ,

Durum tahmin ektrapolasyonu: | |

Hata kovaryans ektrapolasyonu: | |

Durum tahmininin gözlemsel güncelleştirilmesi: | | |

Hata kovaryansı güncelleştirmesi: | |

Kalman kazanç matrisi:

| |

5.2 Süreç ve Ölçüm Gürültülerinin Korelasyonu

Bölüm 4’de verilen sistem modeli denklemleri (4.4) ve (4.5)’te yer alan gürültü süreçleri ve ’nın kendi aralarında korelasyon içinde olması olağandır. Böyle bir durumda ortaya çıkan,

5.43

(50)

gürültü korelasyonu matrisinin Kalman filtresi öngörü ve filtreleme aşamaları denklemlerine katılması gereklidir. Genel güncelleme denklemi,

| | | 5.44

başlayarak, kestirim hatası,

| | 5.45

olduğundan | ’in ile korelasyon içinde olması beklenir. Buradan,

| 5.46

sonucu ortaya çıkar. Bu durumda kestirim hatası kovaryansı ifadesi,

| | |

| 5.47

denklemi ile ortaya konulur. Eşitlik 5.46’daki en iyi (optimal) Kalman kazanç denklemi ise,

| | 5.48

olacaktır. Optimal ifadesini Eşitlik 5.46’da yerleştirilirse sonsal | eşitliği,

| | 5.49

olarak bulunur.

Diğer taraftan ölçüm değerleri için sistem denklemi (4.5)’teki , beyaz gürültü süreci

Referanslar

Benzer Belgeler

Şimdi space-like vektör kısımlı birim time-like split kuaterniyonlar ile space-like koni üzerinde yatan space-like sabit eğimli yüzeylerin bağlantısını verelim... Bu ise

Yapılan testler ve çeşitli görüntüleme teknikleri ile elde edilen görüntüler; Hücre Dışı Matriks benzeri iskele yapı üzerinde ve tasarlanan yapay niş mikroçevrede,

Son bölümde ise 3 ve n−boyutlu Lorentz uzaylarında özel regle yüzeyler olan time- like B−scroll’lar tanıtılmı¸stır ve 3−boyutlu Lorentz uzayında dayanak e˘grisinin

1) Ultrasonik etki ve iyonik jelleşme yöntemleri ile sentezlenen ilaç yüklü örneklerin yükleme etkinlikleri HPLC analizi ile % 66 olarak bulunmuştur. 2) Ultrasonik etki ve

Hedef tespitinde radar uygulamaları için önemli olan hedefin mesafesi, hedefin yayılmışlığı, işaret gürültü oranı değerleri HOPS tabanlı kestiriciler

Test edilen sistem çok büyük olasılıkla böyle bir görüntüleme amacıyla kullanılacak olmamasına karşın, optik sistemin kaçak ışın performansının

BATGEN-1 Gen havuzunun Sonbahar ve İlkbahar Dönemlerine Ait UPOV Kriterlerine Göre Morfolojik Karakterizasyonu

Daha sonraki bölümlerde sırasıyla Temel Bileşenler Analizi Biplot, Kanonik Değişken Analizi Biplot, Uzaklık Analizi Biplot, Bağlantı Biplot, Alan Biplot için temel kavramlar