ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ SABİT EĞİMLİ YÜZEYLER VE UYGULAMALARI Murat BABAARSLAN MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2013 Her hakkı saklıdır

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

DOKTORA TEZİ

SABİT EĞİMLİ YÜZEYLER VE UYGULAMALARI

Murat BABAARSLAN

MATEMATİK ANABİLİM DALI

ANKARA 2013

Her hakkı saklıdır

ÖZET

Doktora Tezi

SABİT EĞİMLİ YÜZEYLER VE UYGULAMALARI

Murat BABAARSLAN

Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

Danışman: Prof. Dr. Yusuf YAYLI

Yedi bölümden oluşan doktora tezinin birinci bölümünde; konunun tarihi gelişimi ifade edildi. İkinci bölümünde; Öklid 3-uzayında ve Minkowski 3-uzayında eğrilerin ve yüzeylerin, kuaterniyonların ve split kuaterniyonların temel tanım ve teoremleri verildi. Üçüncü bölümde; Öklid 3-uzayında, S² Öklid 2- küresi üzerindeki birim hızlı eğriler için Sabban çatısı ve küresel evolüt kavramları verildi. S² Öklid 2- küresi üzerindeki birim hızlı eğrilerden Bertrand eğrilerinin oluşturulabileceği gösterildi. Bertrand eğrileriyle helisler arasındaki bir bağlantı verildi. Bertrand eğrilerinin Darboux göstergelerinin küresel evolütlere eşit olduğu ispatlandı. Ayrıca bir uzay eğrisinin teğetler, asli normaller, binormaller ve Darboux göstergeleri için sabit eğimli yüzeylerin parametrizasyonları bulundu ve bazı sonuçlar elde edildi. Sabit eğimli yüzeylerin v -parametre eğrilerine karşılık gelen Bertrand eğrileri araştırıldı.

Dördüncü bölümde; Minkowski 3-uzayında, S₁² de Sitter 2-uzayındaki birim hızlı space-like eğriler için Lorentz anlamında Sabban çatısı, de Sitter evolüt kavramları tanımlandı ve bu eğrilerin invaryantları araştırıldı. Daha sonra üçüncü bölümde elde edilen sonuçlar burada incelendi. Beşinci bölümde; dördüncü bölümdeki sonuçlar H² pseudo-hiperbolik uzayındaki birim hızlı space-like eğriler için araştırıldı.

Altıncı bölümde; Öklid 3-uzayında kuaterniyonlar ile sabit eğimli yüzeylerin bağlantıları verildi. Benzer şekilde, yedinci bölümde; Minkowski 3-uzayında split kuaterniyonlar ile space-like sabit eğimli yüzeylerin bağlantıları araştırıldı.

Ocak 2013, 70 sayfa

Anahtar Kelimeler: Bertrand eğrileri, helisler, küresel evolütler, küresel göstergeler, Sabban çatısı, Öklid 3-uzayı, Minkowski 3-uzayı, kuaterniyonlar, sabit eğimli yüzeyler

  ABSRACT

Ph.D. Thesis

CONSTANT SLOPE SURFACES AND THEIR APPLICATIONS

Murat BABAARSLAN

Ankara University

Graduate School of Natural And Applied Sciences Department of Mathematics

Supervisor: Prof. Dr. Yusuf YAYLI

In the first chapter of the thesis consisting of seven chapters; the historical background of subject is expressed. In the second chapter; fundamental definitions and theorems related to curves and surfaces in Euclidean 3-space and Minkowski 3-space, quaternions and split quaternions are given. In the third chapter; the concepts of Sabban frame, spherical evolute for unit speed curves on Euclidean 2-sphere S ² in Euclidean 3-space are given. It is shown that Bertrand curves can be constructed from unit speed curves on Euclidean 2-sphere S². A relation between Bertrand curves and helices is given. It is proved that the Darboux indicatrices of Bertrand curves are equal to spherical evolutes. Furthermore, the parametrizations of constant slope surfaces for the tangent, principal normal, binormal and Darboux indicatrices of a space curve are found and some results are obtained. Bertrand curves corresponding to v -parameter curves of constant slope surfaces are investigated. In the fourth chapter; the concepts of Lorentzian Sabban frame, de Sitter evolute for unit speed space-like curves on de Sitter 2-space S₁² in Minkowski 3-space are defined and the invariants of these curves are studied. Afterwards, the results which are obtained in the third chapter are investigated here. In the fifth chapter; the results of fourth chapter are studied for unit speed space-like curves on pseudo-hyperbolic space H². In the sixth chapter;

the relations between quaternions and constant slope surfaces are given in Euclidean 3-space. Similarly, in the seventh chapter; the relations between split quaternions and space-like constant slope surfaces are studied in Minkowski 3-space.

January 2013, 70 pages

Key Words: Bertrand curves, helices, spherical evolutes, spherical indicatrices, Sabban frame, Euclidean 3-space, Minkowski 3-space, quaternions, constant slope surfaces

TEŞEKKÜR

Çalışmalarımı yönlendiren, araştırmalarımın her aşamasında bilgi, öneri ve yardımlarını esirgemeyerek akademik ortamda olduğu kadar beşeri ilişkilerde de engin fikirleriyle yetişme ve gelişmeme katkıda bulunan danışman hocam, Sayın Prof. Dr. Yusuf YAYLI’ya (Ankara Üniversitesi Matematik Anabilim Dalı), çalışmalarım sırasında önemli katkılarda bulunan ve yönlendiren Prof. Dr. Marian Ioan MUNTEANU’ya (Iaşi, Alexandru Ioan Cuza Üniversitesi Matematik Anabilim Dalı), çalışmalarım süresince birçok fedakarlık göstererek beni destekleyen eşim Öğr. Gör. Funda BABAARSLAN’a (Bozok Üniversitesi Matematik Anabilim Dalı) ve aileme en derin duygularımla teşekkür ederim.

Murat BABAARSLAN Ankara, Ocak 2013

 

İÇİNDEKİLER

ÖZET ... i

ABSTRACT ... ii

TEŞEKKÜR ... iii

SİMGELER DİZİNİ ... vi

ŞEKİLLER DİZİNİ ... vii

1. GİRİŞ ... 1

2. TEMEL KAVRAMLAR ... 5

3. R ÖKLİD 3-UZAYINDA BERTRAND EĞRİLERİNİN VE ³ SABİT EĞİMLİ YÜZEYLERİN BAZI KARAKTERİZASYONLARI ... 23

4. R MINKOWSKI 3-UZAYINDA SPACE-LIKE BERTRAND EĞRİLERİ ³₁ VE SPACE-LIKE KONİ ÜZERİNDE YATAN SPACE-LIKE SABİT EĞİMLİ YÜZEYLER ... 36

4.1 S De Sitter 2-Uzayındaki Birim Hızlı Space-like Eğrilerin ₁² Space-like Yükseklik Fonksiyonları ... 37

4.2 S De Sitter 2-Uzayındaki Birim Hızlı Space-like Eğrilerin ₁² İnvaryantları ... 38

4.3 Space-like Bertrand Eğrileri ve Space-like Koni Üzerinde Yatan Space-like Sabit Eğimli Yüzeyler ... 40

5. R MINKOWSKI 3-UZAYINDA TIME-LIKE BERTRAND EĞRİLERİ ³₁ VE TIME-LIKE KONİ ÜZERİNDE YATAN SPACE-LIKE SABİT EĞİMLİ YÜZEYLER ... 46

6. SABİT EĞİMLİ YÜZEYLERE KUATERNİYONLARLA YENİ BİR YAKLAŞIM ... 53

7. SPLIT KUATERNİYONLAR VE SPACE-LIKE SABİT EĞİMLİ

YÜZEYLER ... 58

7.1 Split Kuaterniyonlar ve Space-like Koni Üzerinde Yatan Space-like Sabit Eğimli Yüzeyler ... 58

7.2 Split Kuaterniyonlar ve Time-like Koni Üzerinde Yatan Space-like Sabit Eğimli Yüzeyler ... 60

7.3 Örnekler ... 63

KAYNAKLAR ... 66

ÖZGEÇMİŞ ... 69

 

SİMGELER DİZİNİ

R Reel sayılar cismi R 3 Öklid 3-uzay

3

R 1 Minkowski 3-uzay

S Yüzey

S 2 Öklid 2-küre

2

S 1 De Sitter 2-uzay

H 2 Pseudo-hiperbolik uzay H Kuaterniyon cebiri H′ Split kuaterniyon cebiri

. Norm

κ τ, Eğrilik, torsiyon

κg Jeodezik eğrilik T Teğet vektör alanı

N Asli normal vektör alanı B Binormal vektör alanı D Darboux vektör alanı

∧ Vektörel çarpım

× Kuaterniyon çarpım

ŞEKİLLER DİZİNİ

Şekil 2.1 Sağ dairesel helis……….6

Şekil 2.2 Tor yüzeyi………...10

Şekil 3.1 Sabit eğimli yüzey………...33

Şekil 3.2 v-parametre eğrisi………...34

Şekil 3.3 Bertrand eğrisi………...35

Şekil 4.1 Space-like koni üzerinde yatan space-like sabit eğimli yüzey…………..44

Şekil 4.2 Space-like Bertrand eğrisi………...45

Şekil 5.1 Time-like koni üzerinde yatan space-like sabit eğimli yüzey…………...51

Şekil 5.2 Time-like Bertrand eğrisi………..52

Şekil 6.1 Sabit eğimli yüzey………...57

Şekil 7.1 Space-like koni üzerinde yatan space-like sabit eğimli yüzey…………..64

Şekil 7.2 Time-like koni üzerinde yatan space-like sabit eğimli yüzey…………...65

  1. GİRİŞ

Eğrilerin diferansiyel geometrisinde, en önemli problemlerden biri regüler bir eğrinin karakterizasyonudur. Bu problemin çözümünde κ eğriliği ve τ torsiyonu etkili bir rol oynar. Örneğin;

i) κ ≡0 ise eğri bir doğrudur,

ii) κ ≠0 veτ ≡ ise eğri düzlemseldir, 0

iii) κ =sabit 0> ve τ ≡0 ise eğri yarıçapı 1κ olan bir çemberdir.

Böylece bir eğrinin eğriliğini ve torsiyonunu kullanılarak eğrinin biçimini ve uzunluğunu belirleyebiliriz (Millman ve Parker 1977).

Teğet vektörü sabit bir doğrultuyla sabit açı yapan eğrilere genel helis veya sabit eğimli eğri denir. Helislerle ilgili klasik bir sonuç 1802 yılında M. A. Lancret tarafından ifade edilmiş ve ilk olarak 1845 yılında B. de Saint Venant tarafından ispatlanmıştır: Bir eğrinin genel helis olması için gerek ve yeter şart τ κ =sabit olmasıdır. Eğer

sabit > 0

κ = ve τ =sabit 0≠ ise eğriye dairesel helis denir (Millman ve Parker 1977).

Helislerin birçok ilginç uygulamaları vardır. Örneğin; DNA çifti ve kolajen üçlü helis, karbon nano tüpler, helis biçimindeki merdivenler, fraktal geometrideki helis yapılar ve vb. Bu yüzden helisler doğadaki ve bilimdeki en büyüleyici eğrilerden birisidir (İlarslan ve Boyacıoğlu 2008, Munteanu 2010).

Eğrilerin karakterizasyonu için diğer bir yol eğrilerin Frenet vektörleri arasındaki bağlantılardır. Örnek olarak involüt-evolüt çiftini verebiliriz. 1668 yılında C. Huygens daha kusursuz bir saat yapmaya çalışırken involütleri keşfetmiştir. ∀ ∈s I için α ve α_% eğrilerinin karşılıklı noktalarındaki teğetleri ortogonal ise α ya α_% nın evolütü ve α_% ya da α nın involütü denir. ( , )α α% ikilisine ise evolüt-involüt çifti denir (Millman ve Parker 1977). Diğer taraftan Öklid 3-uzayında bir düzlemsel eğrinin evolütü, eğrinin eğrilik merkezinin geometrik yeridir.

Izumiya vd. (2004) çalışmalarında H pseudo-hiperbolik uzayındaki eğrilerin ² evolütlerini tanımladılar ve bu evolütlerin singüler noktaları ile eğrilerin geometrik invaryantları arasında bağlantı kurdular.

Diferansiyel geometride önemli bir yeri olan diğer eğri 1850 yılında J. Bertrand tarafından bulunan Bertrand eğrileridir. Bertrand eğrisinin her noktasındaki asli normal vektörü Bertrand çifti denilen diğer bir eğrinin de asli normal vektörüdür. ∀ ∈s I için α eğrisinin Bertrand eğrisi olması için gerek ve yeter şart Aκ(s)+Bτ(s)=1 olacak şekilde sıfırdan farklı ,A B reel sabitlerinin olmasıdır. Böylece düzlemsel eğriler ve dairesel helisler Bertrand eğrileridir (Millman ve Parker 1977, Izumiya ve Takeuchi 2002).

Izumiya ve Takeuchi (2002) çalışmalarında Öklid 3-uzayında, Bertrand eğrilerinin küresel eğrilerden elde edilebileceğini ispatladılar. Ayrıca küresel evolüt kavramını tanımladılar. Küresel eğrilerin Singüler nokta teorisinin bir uygulaması olarak Bertrand eğrilerinin “generic” özelliklerini incelediler.

Bertrand eğrileri, bilgisayar destekli tasarımda ve bilgisayar destekli üretimde önemli bir yeri olan paralel (offset) eğrilerin özel örnekleridir (Nutbourne ve Martin 1988).

Son yıllarda, M²×R çarpım uzayındaki yüzeylerin geometrisi ilgili birçok çalışma yapılmıştır. Bu yüzeylere örnek olarak sabit açılı yüzeyleri verebiliriz. Öklid 3-uzayında birim normali, belirli sabit bir vektörle sabit açı yapan yüzeylere, sabit açılı yüzeyler denir (Cermelli ve Di Scala 2007). Bu yüzeyler helis kavramının bir genellemesi olarak düşünülebilir. Dillen vd. (2007, 2009) çalışmalarında S²×R. ve H²×R. çarpım uzaylarında sabit açılı yüzeyleri incelediler. Bu yüzeylerin birim normali, R.

doğrultusundaki teğet ile sabit açı yapar.

Munteanu (2010) makalesinde her noktasındaki normali, o noktadaki konum vektörüyle sabit açı yapan yüzeyleri sabit eğimli yüzeyler olarak isimlendirdi ve bu yüzeylerin karakterizasyonu verdi;

 

S⊂ R yüzeyinin sabit eğimli yüzey olması için gerek ve yeter şart 3 S nin ya orijin merkezli S Öklid 2-küresinin açık bir parçası olmasıdır ya da ²

( )

( , ) sin cos ( ) sin ( ) ( )

x u v =u θ ξf v + ξf v ∧ f v′ (1.1) şeklinde parametrize edilebilmesidir, burada ,θ sıfırdan farklı sabit,

( ) cot lnu u

ξ ξ= = θ ve ,f S Öklid 2-küresinde birim hızlı eğridir. ²

Fu ve Yang (2012) çalışmalarında Minkowski 3-uzayında, space-like sabit eğimli yüzeylerin space-like ve time-like konide bulunmalarına göre karakterizasyonlarını verdiler;

3

S⊂ R yüzeyinin, space-like koni üzerinde yatan space-like sabit eğimli yüzey olması 1

için gerek ve yeter şart bu yüzeyin

(

1 1

)

( , ) cosh cosh ( ) sinh ( ) ( )

x u v =u θ ξ f v + ξ f v ∧ f v′ (1.2) şeklinde parametrize edilebilmesidir, burada θ, sıfırdan farklı sabit,

1 1( )u tanh lnθ u

x = x = ve  ,f S de Sitter 2-uzayında birim hızlı space-like eğridir. ₁²

Ayrıca S ⊂ R yüzeyinin, time-like koni üzerinde yatan space-like sabit eğimli yüzey ₁³ olması için gerek ve yeter şart bu yüzeyin

(

2 2

)

( , ) sinh cosh ( ) sinh ( ) ( )

x u v =u θ ξ g v + ξ g v ∧g v′ (1.3) şeklinde parametrize edilebilmesidir, burada θ, sıfırdan farklı sabit,

2 2( )u coth lnθ u

x = x = ve g , H pseudo-hiperbolik uzayında birim hızlı space-like ² eğridir.

Sabit eğimli yüzeylerin güzel biçimleri vardır ve diferansiyel geometri açısından ilginçtirler. Bu yüzden sabit eğimli yüzeylere hem Öklid 3-uzayındaki hem de Minkowski 3-uzayındaki en büyüleyici yüzeylerden birisi diyebiliriz.

Bu tez çalışmasında, Öklid 3-uzayında, S Öklid 2-küresi üzerindeki birim hızlı eğriler ² için Sabban çatısı ve küresel evolüt kavramları verildi. S Öklid 2-küresi üzerindeki ² birim hızlı eğrilerden Bertrand eğrilerinin oluşturulabileceği gösterildi. Bertrand eğrileriyle helisler arasındaki bir bağlantı verildi. Bertrand eğrilerinin Darboux göstergelerinin küresel evolütlere eşit olduğunu ispatlandı. Ayrıca bir uzay eğrisinin teğetler, asli normaller, binormaller ve Darboux göstergeleri için sabit eğimli yüzeylerin parametrizasyonları bulundu ve bazı sonuçlar elde edildi. Sabit eğimli yüzeylerin v- parametre eğrilerine karşılık gelen Bertrand eğrileri araştırıldı. Dördüncü bölümde;

Minkowski 3-uzayında, S de Sitter 2-uzayında birim hızlı space-like eğriler için ₁² Lorentz anlamında Sabban çatısı, de Sitter evolüt kavramları tanımlandı ve bu eğrilerin invaryantları araştırıldı. Bir önceki bölümde elde edilen sonuçlar burada incelendi.

Beşinci bölümde; dördüncü bölümdeki sonuçlar H pseudo-hiperbolik uzayındaki ² birim hızlı space-like eğriler için araştırıldı. Altıncı bölümde; Öklid 3-uzayında kuaterniyonlar ile sabit eğimli yüzeylerin bağlantıları verildi. Benzer şekilde, yedinci bölümde; Minkowski 3-uzayında split kuaterniyonlar ile space-like sabit eğimli yüzeylerin bağlantıları araştırıldı.

  2. TEMEL KAVRAMLAR

Bu bölümde çalışmada sıkça kullanılacak olan temel tanım ve teoremler verildi.

2.1 Öklid 3-Uzayında Eğriler ve Yüzeyler

Tanım 2.1.1. I ⊂ R bir açık aralık olmak üzere

( )

3

1 2 3

:

( ) ( ), ( ), ( ) I

t t t t t

α

α α α α

→

→ =

R

şeklinde tanımlı diferansiyellenebilir fonksiyona R Öklid 3-uzayında bir eğri denir ³ (O’Neill 1997).

Tanım 2.1.2. α, R de bir eğri olsun. ³ ∀ ∈t I için

0

( ) ( )

( ) lim

h

d t h t

t dt h

α α α

α →

′ = = + −

hız vektörüne, α eğrisinin ( )α t noktasındaki teğet vektörü denir (Shifrin 2011).

Tanım 2.1.3. α, R de bir eğri olsun. ³ ∀ ∈t I için α′ ≠ 0 ise α eğrisine regüler bir ( )t eğri denir (O’Neill 1997).

Örnek 2.1.1.

: 3

( ) ( cos , sin , )

t t r t r t ht

α

α

→

→ =

R R

eğrisi verilsin, burada r>0 ve h>0 dır. Bu eğriye sağ dairesel helis denir (h<0 ise sol dairesel helistir). Dairesel helisin xy -düzlemine izdüşümü bir çemberdir.

( ) (t rsin , cos , )t r t h

α′ = − ≠ 0

olduğundan α regüler bir eğridir. α nın resmi (r= ve 1 h=1);

Şekil 2.1 Sağ dairesel helis ( )α t şeklindedir (Millman ve Parker 1977).

Tanım 2.1.4. ,α I ⊂ R da tanımlı bir eğri olsun. Eğer :h J→ I, J açık aralığı üzerinde diferansiyellenebilir bir fonksiyon ise

( ) :h J I β α= →

bileşke fonksiyonu bir diferansiyellenebilir eğridir ve β ya h ile α nın yeniden parametrizasyonu denir (O’Neill 1997). ).

Tanım 2.1.5. ,β J ⊂ R de tanımlı R³ de bir eğri olsun. ∀ ∈s J için ( )s 1

β′ =

ise β ya birim hızlı eğri ve s ye de yay-parametresi denir (Hacısalihoğlu 2000).

Tanım 2.1.6. ,α I ⊂ R da tanımlı R³ de bir eğri olsun. ,a b∈ olmak üzere I

( )

b

a

α′ t dt

∫

reel sayısına t a= dan t=b ye α nın yay-uzunluğu denir (Hacısalihoğlu 2000).

 

Tanım 2.1.7. α, I ⊂ R da tanımlı R de birim hızlı bir eğri ve ³ T =α′, α eğrisinin birim teğet vektör alanı olsun.

:

( ) ( )

s s T s

κ

κ

→

→ = ′

R R

reel sayısına α eğrisinin eğriliği denir (O’Neill 1997).

Tanım 2.1.8. α, κ >0 eğriliğine sahip R de birim hızlı bir eğri olsun. ³ N =T′ κ vektör alanına α eğrisinin asli normal vektör alanı ve B= ∧T N vektör alanına da α eğrisinin binormal vektör alanı denir (O’Neill 1997).

Teorem 2.1.1. α, κ >0 eğriliğine sahip R de birim hızlı bir eğri olsun. ³ T N B , , vektör alanları α eğrisinin her noktasında ortonormal vektör alanlarıdır ve α eğrisi üzerinde Frenet çatı alanı olarak isimlendirilir (O’Neill 1997).

Tanım 2.1.9. α, R de birim hızlı bir eğri olsun. ³ :

( ) ( ), ( )

s s B s N s

τ

τ

→

→ = − < ′ >

R R

reel sayısına α eğrisinin torsiyonu denir (O’Neill 1997).

Tanım 2.1.10. ,α κ >0 eğriliğine sahip R³ de birim hızlı bir eğri olsun. Eğrinin , ,

T N B vektör alanlarının her s anında bir eksen etrafında ani helis hareketi yaptığı kabul edilir. Bu eksene eğrinin s parametresine karşılık gelen ( )α s noktasındaki Darboux (ani dönme) ekseni denir. Bu eksenin yön ve doğrultusunu veren vektör,

D=τT+κB dir. Buradan Frenet formülleri;

, ,

T D T

N D N

B D B

′ = ∧

′ = ∧

′ = ∧ olur (Hacısalihoğlu 2000).

Teorem 2.1.2. ,α κ >0 eğriliğine ve τ torsiyonuna sahip R³ de birim hızlı bir eğri olsun. Böylece Frenet formülleri;

0 0

0

0 0

T T

N N

B B

κ

κ τ

τ

⎡ ⎤ ⎡′ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢′ = − ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

′

⎢ ⎥ ⎢ − ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(2.1.1)

şeklindedir (O’Neill 1997).

Teorem 2.1.3. α, R³ de regüler bir eğri olsun. Bu durumda Frenet formülleri, eğrilik ve torsiyon

( )

3

2

,

, ,

, det , ,

T

N B T

B

α α

κ α α α

α α α α τ α α α α α

′= ′ ′

′= ∧ = ′∧ ′′ ′

′= ′∧ ′′ ′∧ ′′ = ′ ′′ ′′′ ′∧ ′′

(2.1.2)

şeklindedir (O’Neill 1997).

Tanım 2.1.11. α, R³ de birim hızlı bir eğri olsun. α eğrisi boyunca birim teğet vektörler orijin merkezli S birim Öklid 2-küresi üzerinde ²

: 2

( )

T I

s T s

→

→ S

eğrisini meydana getirirler. Bu eğri regüler olmayabilir. T eğrisine α nın teğetler göstergesi (küresel teğet resmi) denir. Ayrıca asli normaller göstergesi (küresel asli normal resmi) N ve binormaller göstergesi (küresel binormal resmi) B de S ² üzerindeki diğer eğrilerdir (Millman ve Parker 1977).

Benzer şekilde C s( )=D s( ) D s( ) olmak üzere birim Darboux vektörleri S üzerinde ² C eğrisini meydana getirirler. Bu eğriye α nın Darboux göstergesi (küresel Darboux resmi) denir (Izumiya ve Takeuchi 2002).

 

Tanım 2.1.12. U,R² nin açık bir alt kümesi olsun. S⊂ R alt kümesinin regüler bir ³ parametrizasyonu

2 3

: , _{u v}

x U ⊂R → ⊂S R x ∧x ≠ 0

şeklinde tanımlı diferansiyellenebilir ve birebir fonksiyondur. x⁻¹: ( )x U →U ters fonksiyonu sürekli olmak üzere, S⊂ R bağlantılı alt kümesinin her noktasında regüler ³ parametrizasyonlu bir komşuluk varsa S ye R³ de bir yüzey denir (Shifrin 2011).

Örnek 2.1.2.

: (0, 2 ) 3

( ) (2 cos ,0, 2 sin )

s s s s

α π

α

→

→ = + +

R

eğrisini alalım. α eğrisinin z -ekseni etrafında θ açısı kadar döndürülmesiyle oluşan dönel yüzey

cos sin 0 2 cos cos (2 cos )

( , ) sin cos 0 0 sin (2 cos )

0 0 1 2 sin 2 sin

s s

x s s

s s

θ θ θ

θ θ θ θ

− + +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢= + ⎥

⎢ ⎥ ⎢ + ⎥ ⎢ + ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

tor yüzeyidir. Burada

(2 cos )(cos cos ,cos sin ,sin )

x_θ ∧xs = + s s θ s θ s ≠ 0

dir. Tor yüzeyinin resmi;

Şekil 2.2 Tor yüzeyi ( , )xθ s şeklindedir.

Tanım 2.1.13. ,S R³ de bir yüzey olsun. S yüzeyi üzerinde v= sabit ve v₀ u değişken alınarak elde edilen eğriye u-parametre eğrisi, u= sabit ve u₀ v değişken alınarak elde edilen eğriye de v-parametre eğrisi denir (Shifrin 2011).

Tanım 2.1.14. ,S R³ de bir yüzey ve P∈S olsun.

2 3

0 0

: , ( , )

x U ⊂R → ⊂S R P=x u v

regüler parametrizasyonunu düşünelim. Böylece S yüzeyinin P noktasındaki teğet düzlemi x ve _u x vektörleri ile gerilen _v T S alt uzayıdır (Shifrin 2011). _P( )

P( )

T S teğet düzlemine dik olan n=x_u ∧x_v x_u∧x_v birim vektörüne, S yüzeyinin birim normali denir (Shifrin 2011).

Tanım 2.1.15. ,S basit bir yüzey (2-boyutlu diferansiyellenebilir manifold) olsun.

: S 3

ϕ → R diferansiyellenebilir dönüşümünün dϕ_P: ( )T S_P →T_{ϕ( )P} (R³) türev dönüşümü birebir ise ϕ dönüşümüne immersiyon denir. Eğer ,v w∈T S_P( ) için

( ), ( ) ( ) ,

P P P P

dϕ dϕ _ϕ

< v w > = <v w>

 

ise ϕ dönüşümüne izometrik immersiyon denir (Do Carmo 1976).

2.2 Minkowski 3-Uzayında Eğriler ve Yüzeyler

Tanım 2.2.1. x=( , , )x x x_{1 2 3} ve y=( , , ),y y y_{1 2 3} R Öklid 3-uzayında iki vektör olmak ³ üzere

1 1 2 2 3 3

, x y x y x y

< x y>= + −

Lorentz metriğiyle donatılmış R uzayına, Minkowski 3-uzayı denir ve ³ R ile gösterilir ₁³ (Lopez 2008).

Tanım 2.2.2. Bir x∈R vektörüne; ₁³

(i) ,<x x>>0 veya x= 0 ise space-like vektör, (ii) <x x, ><0 ise time-like vektör,

(iii) ,<x x>=0 ve x≠ 0 ise light-like (null) vektör denir (Lopez 2008).

Tanım 2.2.3. x∈R olmak üzere ³₁

,

< >

=

x x x

reel sayısına x vektörünün normu denir. Normu bir birim olan vektöre birim vektör denir. Sonuç olarak;

(i) x space-like vektör ise x = <x x, >, (ii) x time-like vektör ise x = −<x x, >

dir (Lopez 2008).

Tanım 2.2.4. x y, ∈ R₁³ olmak üzere

3 3 3

1 1 1

1 2 3 2 3 3 2 3 1 1 3 2 1 1 2

1 2 3

:

( , ) x x x (x y x y x y, x y x y, x y )

y y y

∧ × →

−

→ ∧ = = − − −

R R R

i j k

x y x y (2.2.1)

şeklinde tanımlı " "∧ operatörüne Lorentz anlamında vektörel çarpım denir (Lopez 2008).

Öklid 3-uzayındaki vektörel çarpıma benzer olarak Lorentz anlamında vektörel çarpımın da aşağıdaki gibi cebirsel ve geometrik özellikleri vardır;

(i) det(< ∧x y z, >= x y z , , ), (ii) x∧ = − ∧y y x ,

(iii) (x∧y)∧ = −z < , > + < , >x z y y z x , (iv) 0< ∧x y x, >= ve < ∧x y y, >=0,

(v) R deki her , ,₁³ x y z vektörü için < ∧x y x, ∧ >= − <y x x, >< y y, > + <( x y, >)² dir.

Tanım 2.2.5. ,α R de bir eğri olsun. ₁³ α nın hız vektörü α′ olmak üzere (i) ( )α′ space-like ise α eğrisine space-like, t

(ii) ( )α′ time-like ise t α eğrisine time-like, (iii) α′ light-like ise ( )t α eğrisine light-like eğri denir (Lopez 2008).

  Tanım 2.2.6. R de ₁³

{ }

2 3 2 2 2

1 = ( , , )x x x1 2 3 ∈ 1 x1 +x2 −x3 =1

S R

ve

{ }

2 3 2 2 2

1 2 3 1 1 2 3

( , , )x x x x x x 1

= ∈ + − = −

H R

yüzeylerine sırasıyla de Sitter 2-uzay ve pseudo-hiperbolik uzay denir (Lopez 2008).

Teorem 2.2.1. ,α κ >0 eğriliğine ve τ torsiyonuna sahip R de birim hızlı bir time-₁³ like eğri olsun. T =α′ birim teğet, N=α α′′ ′′ asli normal ve B= ∧T N binormal vektör olmak üzere Frenet formülleri;

0 0

0

0 0

κ

κ τ

τ

⎡ ⎤ ⎡′ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢′ = ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

′

⎢ ⎥ ⎢ − ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

T T

N N

B B

(2.2.2)

dir (Lopez 2008). α birim hızlı time-like eğrisinin Darboux vektörü D=τT+κB dir.

s I

∀ ∈ için D( )s light-like vektör olmasın. Buradan : 2

( ) ( )

( )

C I

s C s s

s

→

→ =

H

D D

şeklinde tanımlıdır ve α nın hiperbolik Darboux göstergesi olarak isimlendirilir (Wang ve Pei 2011).

Teorem 2.2.2. α, R de regüler bir time-like eğri olsun. Bu durumda ₁³ α time-like eğrisinin eğriliği ve torsiyonu

( )

3 2

det , , α α , α α α

κ τ

α α α

′∧ ′′ ′ ′′ ′′′

= =

′ ′∧ ′′ (2.2.3) şeklindedir (Lopez 2008).

Teorem 2.2.3. ,α κ >0 eğriliğine ve τ torsiyonuna sahip R de birim hızlı bir space-₁³ like eğri olsun. T =α′ birim teğet, N=α α′′ ′′ space-like asli normal ve B= N∧T binormal vektör olmak üzere Frenet formülleri;

0 0

0

0 0

κ

κ τ

τ

⎡ ⎤ ⎡′ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢′ = − ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

′

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

T T

N N

B B

(2.2.4)

dir. (Lopez 2008). α birim hızlı space-like eğrisinin Darboux vektörü D= −τT+κB dir. ∀ ∈s I için ( )D s light-like vektör olmasın. Buradan

2

: 1

( ) ( )

( )

C I

s C s s

s

→

→ =

S

D D

şeklinde tanımlıdır ve α nın de Sitter Darboux göstergesi olarak isimlendirilir (Wang ve Pei 2011).

Teorem 2.2.4. ,α R de regüler bir space-like eğri olsun. α space-like eğrisinin ₁³ eğriliği ve torsiyonu

( )

3 2

det , , α α , α α α

κ τ

α α α

′∧ ′′ ′ ′′ ′′′

= =

′ ′∧ ′′ (2.2.5) dir (Lopez 2008).

Tanım 2.2.7. ,α R de regüler bir eğri olsun. ₁³ v≠ 0 sabit vektörü için <T( ),s v> sabit bir fonksiyon ise α ya helis denir (Lopez 2008).

Teorem 2.2.5. α, R de space-like veya time-like bir eğri olsun. ³₁ α eğrisi helis ise sabit

τ κ= dir (Lopez 2008).

 

Teorem 2.2.6. ,α R de asli normali light-like olmayan space-like veya time-like bir ₁³ eğri olsun. τ κ =sabit ise α eğrisi helistir (Lopez 2008).

Teorem 2.2.7. ,α R de space-like veya time-like bir eğri olsun. ₁³ α eğrisinin Bertrand eğrisi olması için gerek ve yeter şart Aκ( )s +B sτ( ) 1= eşitliğini sağlayacak şekilde sıfırdan farklı ,A B reel sabitlerinin olmasıdır (Lopez 2008).

2.3 Kuaterniyonlar ve Homotetik Hareketler

Tanım 2.3.1. a a a a₀, , ,_{1 2 3}∈ R olmak üzere bir q kuaterniyonu

0 1 2 3

0

0 1 2 3

= ( , , , )

= ( , )

= 1

q a a a a a

a +a +a +a

w

i j k

şeklindedir, burada S_q = , q nun skaler kısmı ve a₀ V_q = ( , , )a a a_{1 2 3} da vektörel kısmıdır. Böylece q kuaterniyonu, q=S_q +V şeklinde yazılabilir (Ward 1997). _q

Tanım 2.3.2. q=S_q+V ve _q p=S_p+V kuaterniyonlarının toplamı _p + ( _q + _p) + ( _q+ _p)

q p= S S V V

dir (Ward 1997).

Tanım 2.3.3. q=S_q+V kuaterniyonunun bir _q λ∈ R skaleriyle çarpımı λq=λS_q+ V λ _q şeklindedir (Ward 1997).

Tanım 2.3.4. q=S_q+V kuaterniyonunun eşleniği _q q=S_q−V dir (Ward 1997). _q

Tanım 2.3.5. q= 1a₀ +a₁i+a₂j+a₃k kuaterniyonun normu

2 2 2 2

0 1 2 3

Nq = a +a +a +a

dir (Ward 1997).

Tanım 2.3.6. q= 1a₀ +a₁i+a₂j+a₃k kuaterniyonu için N_q = ise q ya birim 1 kuaterniyon denir. Her q kuaterniyonu

(cos sin ) q=Nq θ + θv

şeklinde kutupsal biçimde yazabilir, burada cosθ =a₀ N_q, sinθ = a₁²+a₂²+a₃² N_q ve v= a + a( ₁i ₂j+ a₃k) a₁²+a₂²+a₃², R de birim vektördür (Ward 1997). ³

Tanım 2.3.7. q=S_q+V ve _q p=S_p+V kuaterniyonlarının, kuaterniyon çarpımı _p

, + +

q p q p q p p q q p

q× =p S S − <V V > +SV S V V ∧V (2.3.1) eşitliğiyle verilir, burada <V V_q, _p > ve V_q ∧V , sırasıyla _p V ve _q V arasındaki iç _p çarpımı ve vektörel çarpımı gösterir (Ward 1997).

Tanım 2.3.8. Kuaterniyonların H =

{

q= a 1 a0 + 1i+a2j+a3k a ,a ,a ,a0 1 2 3∈R

}

cebiri,

{

^{1, , ,i j k}

}

bazı ile R üzerinde 4-boyutlu vektör uzayıdır. Baz elemanları arasında aşağıdaki özellikler vardır;

2 = 2 = 2 = × × = −1

i j k i j k ve i× = − × =j j i k

dir. Açıkca H birleşmeli fakat değişmeli olmayan bir cebirdir ve H nın birim elemanı 1 dir (Ata ve Yaylı 2007).

Tanım 2.3.6. Herhangi iki q ve p kuaterniyonları için q p× = × dir (Ward 1997). p q

Tanım 2.3.7. q kuaterniyonunun tersi, I_q =a₀²+a₁²+a₂²+a₃² ≠0 olmak üzere

1 1

q

q q

I

− =

 

ile verilir. Ayrıca q q× ⁻¹=q⁻¹×q= 1 ve (q×p)⁻¹= p⁻¹×q⁻¹ dir (Ward 1997).

Tanım 2.3.8. q=S_q+V kuaterniyonu için _q S_q = ise q ya pür kuaterniyon denir 0 (Ward 1997).

Tanım 2.3.9. Herhangi iki q ve p kuaterniyonları için iç çarpım

(

⁺

)

, 2

q p p q

q p × ×

< >=

şeklindedir. Eğer q = p ise I_q =<q q, >= × olur (Toth 1998). q q

Tanım 2.3.10. Bir w pür kuaterniyonu üzerinde

3 3

1

:

( ) q q

φ

φ ⁻

→

→ = × ×

R R

w w w

şeklinde tanımlı φ dönüşümü lineerdir. Genelliği bozmadan N_q = seçelim. 1

3 =span{ , , }

R i j k olduğundan eğer q= 1a₀ +a₁i+a₂j+a₃k ise

2 2 2 2

0 1 2 3 0 3 1 2 1 3 0 2

2 2 2 2

0 3 1 2 0 2 1 3 0 1 2 3

2 2 2 2

0 2 1 3 2 3 0 1 0 3 1 2

( ) = (a + a a a ) + (2a a + 2a a ) + (2a a 2a a ) , ( ) = ( 2a a + 2a a ) + (a + a a a ) + (2a a + 2a a ) , ( ) = (2a a + 2a a ) + (2a a 2a a ) + (a + a a a ) φ

φ φ

− − −

− − −

− − −

i i j k

j i j k

k i j k

dir. Böylece φ dönüşümünün matris gösterimi;

2 2 2 2

0 1 2 3 0 3 1 2 0 2 1 3

2 2 2 2

0 3 1 2 0 2 1 3 2 3 0 1

2 2 2 2

1 3 0 2 0 1 2 3 0 3 1 2

a + a a a 2a a + 2a a 2a a + 2a a 2a a + 2a a a + a a a 2a a 2a a

2a a 2a a 2a a + 2a a a + a a a

Rq

⎡ − − − ⎤

⎢ ⎥

=⎢ − − − ⎥

⎢ − − − ⎥

⎣ ⎦

(2.3.2)

şeklindedir. R nin ortogonal olduğunu göstermek zor değildir; _q R R_{q q}^T =I ve detR_q = 1 dir. Böylece φ( ) = qw × ×w q⁻¹ lineer dönüşümü, R de bir dönme gösterir (Ward ³ 1997).

Tanım 2.3.11. R de katı bir cismin bir parametreli homotetik hareketi analitik olarak ³

′ =hA +

x x C

eşitliğiyle verilir, burada x′ ve x konum vektörleridir ve sütun matrisleriyle gösterilir.

A 3 3-× tipinde ortogonal matristir, C öteleme vektörüdür ve h hareketin homotetik skalasıdır. h, A ve C aynı zamanda bir t∈ R parametresinin sürekli diferansiyellenebilir fonksiyonlarıdır (Düldül 2010).

2.4 Split Kuaterniyonlar ve Yarı-Öklidiyen Uzaylar

Tanım 2.4.1. Bir split kuaterniyon

11 2 3 4

p= p + p i+ p j+ p k

ile ifade edilir, burada p₁, p₂, p₃, p Î R ve ₄ i j k aşağıdaki değişmeli olmayan , , çarpım kuralını sağlayan split kuaterniyon birimleridir;

2 = - 1, 2= 2= 1, ´ = - ´ = , ´ = - ´ = -

i j k i j j i k j k k j i ve k´ = - ´i i k= j dir (Inoguchi 1998).

Tanım 2.4.2. Split kuaterniyonların cebiri H¢ ve onun standard bazı {1, , , }i j k dir.

H¢ nün bir elemanına split kuaterniyon denir (Inoguchi 1998).

Tanım 2.4.3. p= p₁1+ p₂i+ p₃j+ p₄k split kuaterniyonun eşleniği, p ile gösterilir ve

11 2 3 4

p= p - p i- p j- p k şeklinde ifade edilir (Inoguchi 1998).

 

Tanım 2.4.4. p split kuaterniyonun, skaler ve vektörel kısmı, sırasıyla, S_p = p₁ ve

2 3 4

p= p + p + p

V i j k ile gösterilir. p= ( ,p p p p_{1 2}, ,_{3 4}) ve q= ( , , , )q q q q_{1 2 3 4} split kuaterniyonların split kuaterniyon çarpımı

1 1 _p, _q 1 _q 1 _{p p q}

p q´ = p q+ <V V > + pV + qV +V Ù (2.4.1) V şeklinde tanımlanır, burada

2 2 3 3 4 4

p, q p q p q p q

<V V > = - + + ve

2 3 4 4 3 3 4 4 2 2 4 2 3 3 2

2 3 4

( ) + ( ) + ( )

p q p p p p q p q p q p q p q p q

q q q

-

Ù = = - - -

i j k

V V i j k

dir. Eğer S =_p 0 ise p ye pür split kuaterniyon denir (Kula ve Yaylı 2007).

Tanım 2.4.5. R ⁿ, n-boyutlu Öklid uzayı

1 1

, , , , 0

v n

n

i i i i

i i v

x y x y v n

x y x y

= = +

< > = -

å

+

å

Î ^R £ £

metrik tensörü ile yarı-Öklidiyen uzayı olarak isimlendirilir ve R ile gösterilir, burada ⁿ_v ,

v metriğin indeksidir. Eğer v = 0 ise R ⁿ_v, R ⁿ n-boyutlu Öklid uzayına indirgenir.

2

n ³ için R Minkowski ₁ⁿ, n-uzayı olarak isimlendirilir; eğer n = 4 ise R ₁ⁿ, Minkowski space-time dır (O’Neill 1983).

Tanım 2.4.6. R ⁿ_v, < >, metrik tensörüyle donatılmış bir yarı-Öklidiyen uzay olsun. Bir

n

Î v

x R vektörüne;

(i) ,< x x> > 0 veya x= 0 ise space-like vektör, (ii) ,< x x> < 0 ise time-like vektör,

(iii)< x x, > = 0 ve x¹ 0 ise light-like vektör ve < x x, > reel sayısına da x vektörünün normu denir. R yarı-Öklidiyen uzayında, eğer ,ⁿ_v < x y> = 0 ise x ve y vektörlerine ortogonaldir denir (O’Neill 1983).

Tanım 2.4.7. R yarı-Öklidiyen uzayında de Sitter ⁿ_v n-uzay ve pseudo-hiperbolik uzay

1 2 2

1

1 1

( ,..., ) 1

v n

n n

v n v i i

i i v

x x x x

-

= = +

ì ü

ï ï

ï ï

= íïïî Î -

å

+

å

= ıïïş

S R

ve

1 2 2

1 1

1 1

( ,..., ) 1

v n

n n

v n v i i

i i v

x x x x

H _-^- R

= = +

ì ü

ï ï

ï ï

= íïïî Î -

å

+

å

= - ıïïş

dir. Aynı zamanda v =1 ve x >₁ 0 için H^n-1= H₀^n-1, R in pseudo-hiperbolik uzayıdır ₁ⁿ (Dursun 2010).

Tanım 2.4.8. p= ( ,p p p p_{1 2}, ,_{3 4}) split kuaterniyona, I_p = p₁²+ p₂²- p₃²- p₄² olmak üzere;

(i) 0I <_p ise space-like split kuaterniyon, (ii) 0I >_p ise time-like split kuaterniyon, (iii) I =_p 0 ise light-like split kuaterniyon denir (Özdemir ve Ergin 2006).

Tanım 2.4.9. p= ( ,p p p p_{1 2}, ,_{3 4}) split kuaterniyonun normu

2 2 2 2

1 2 3 4

Np = p + p - p - p

 

şeklinde tanımlanır. Eğer 1N = ise p ye birim split kuaterniyon denir. _p N ¹_p 0 olmak üzere p₀= p N_p birim split kuaterniyondur. Space-like ve time-like split kuaterniyonların, p^-1= p I_p olacak şekilde bir tersi vardır, fakat light-like split kuaterniyonların tersi yoktur (Özdemir ve Ergin 2006).

Teorem 2.4.1. Her space-like vektör kısımlı time-like split kuaterniyon (cosh sinh )

p= Np q+ v q (2.4.2) şeklinde ifade edilebilir, burada coshq= p N_{1 p}, sinhq= - p₂²+ p₃²+ p₄² N_p ve

2 2 2

2 3 4 2 3 4

(p p p ) p p p ,

v= i+ j+ k - + + R de birim space-like vektördür (Özdemir ₁³ ve Ergin 2006, Kula ve Yaylı 2007).

Teorem 2.4.2. Her time-like vektör kısımlı time-like split kuaterniyon (cos sin )

p= Np q+ v q (2.4.3) şeklinde ifade edilebilir, burada cosq= p N_{1 p}, sinq= p₂²- p₃²- p₄² N_p ve

2 2 2

2 3 4 2 3 4

(p p p ) p p p ,

v= i+ j+ k - - R de birim time-like vektördür (Özdemir ve ₁³ Ergin 2006, Kula ve Yaylı 2007).

Tanım 2.4.10. Eğer p= ( ,p p p p_{1 2}, ,_{3 4}) birim time-like split kuaterniyon ise ,V pür split kuaterniyon olmak üzere

1 3

1

( )_{i ij j}

j

p p^- R

=

´ ^V´ =

å

^V

dönüşümü kullanılarak, bu dönüşüme karşılık gelen

2 2 2 2

1 2 3 4 1 4 2 3 1 3 2 4

2 2 2 2

2 3 4 1 1 2 3 4 3 4 2 1

2 2 2 2

2 4 3 1 2 1 3 4 1 2 3 4

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

p

p p p p p p p p p p p p

R p p p p p p p p p p p p

p p p p p p p p p p p p

é + + + - - - ù

ê ú

ê ú

= ê + - - + - - ú

ê - - - + - ú

ê ú

ë û

(2.4.4)

matrisi bulunur. Bu matrisin bütün satırları Lorentz anlamında ortogonaldir. Bu matris, det(R_p) 1= şartıyla Minkowski 3-uzayında bir dönme gösterir. p birim time-like split kuaterniyonun vektör kısmının time-like veya space-like olması önemlidir. Eğer p nin vektör kısmı time-like veya space-like ise dönme açısı, sırasıyla, küresel veya hiperboliktir (Özdemir ve Ergin 2006).

 

3. R ÖKLİD 3-UZAYINDA BERTRAND EĞRİLERİNİN VE SABİT EĞİMLİ ³ YÜZEYLERİN BAZI KARAKTERİZASYONLARI

Bu bölümde, S Öklid 2-küresi üzerindeki birim hızlı eğriler için Sabban çatısı ve ² küresel evolüt kavramlarını verdik. S Öklid 2-küresi üzerindeki birim hızlı eğrilerden ² Bertrand eğrilerinin oluşturulabileceğini gösterdik. Bertrand eğrileriyle helisler arasındaki bir bağlantıyı verdik. Bertrand eğrilerinin Darboux göstergelerinin küresel evolütlere eşit olduğunu ispatladık. Ayrıca bir uzay eğrisinin teğetler, asli normaller, binormaller ve Darboux göstergeleri için sabit eğimli yüzeylerin parametrizasyonlarını bulduk ve bazı sonuçlar elde ettik. Sabit eğimli yüzeylerin v-parametre eğrilerine karşılık gelen Bertrand eğrilerini araştırdık.

: 2

f I→ S birim hızlı küresel eğri olsun. f nin yay-parametresini v ile gösterelim.

( )v = f v′( )

t olmak üzere ( ),t v f nin v noktasındaki teğetidir. ( )s v = f v( )∧t( )v olsun, burada f v eğrinin konum vektörüdür. Böylece f boyunca ( ),

{

f v( ), ( ), ( )t v s v

}

ortonormal çatısı elde edilir. Bu çatıya f eğrisinin Sabban çatısı denir (Koenderink 1990). Buradan f nin küresel Frenet formülleri;

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

g

g

f v v

v f v v v

v v v

κ κ

⎧ ′ =

⎪ ′ = − +

⎨⎪ ′ = −

⎩

t

t s

s t

şeklindedir, burada κ_g^{( ) det}v =

(

f v( ), ( ), ( )t v t′ v

)

olmak üzere f nin jeodezik eğriliğidir.

Şimdi κ_g( ) 0v ≠ olmak üzere herhangi bir v₀∈ için I

0 0 0

0 2

0

( ) ( ) ( )

( ) ( ) 1

g f

g

v f v v

e v

v κ

κ

= +

+ s

birim vektörünü düşünelim. Ayrıca r₀ =κ_g( )v₀ κ_g²( ) 1v₀ + olmak üzere

{ }

1 2

0 0 0 0

( ( ), )_f , ( )_f

S e v r = x∈S <x e v >=r çemberini alalım. Buradan

0 0

2

( ): ; ( )( ) , ( )0 0

f f

e v e v f

h S → R h x =<x e v > −r yükseklik fonksiyonunu tanımlayalım. Böylece

2

0 0 2 0

( )( ) ( )( ) ( )( ) 0

f f f

e e e

d d

h f v h f v h f v

dv dv

= = =

o o o

olduğu gösterilebilir. Bu durumda S e v¹( ( ), ),_{f 0} r₀ f ye f v noktasında 2. basamaktan ( )₀ değer. Böylece S e v¹( ( ), ),_{f 0} r₀ f nin f v noktasındaki eğrilik çemberidir. Ayrıca ( )₀

( ),0

e vf f nin f v noktasındaki eğrilik merkezidir. Sonuç olarak, f nin eğrilik ( )₀ merkezinin geometrik yeri veya f nin küresel evolütü

2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) 1

g f

g

v f v v e v

v κ

κ

= +

+ s

dir (Izumiya ve Takeuchi 2002).

Bertrand eğrilerinin karakterizasyonu, Izumiya ve Takeuchi (2002) makalelerinde verildi. Burada Bertrand eğrilerinin farklı bir karakterizasyonunu lemma olarak verelim.

Lemma 3.1. f : I→ S birim hızlı küresel eğri olsun. Bu durumda ²

0 0

( )v a ^vf t dt( ) atan ^vf t( ) f t dt( )

γ^% =

∫

+ ξ

∫

∧ ′ (3.1) bir Bertrand eğrisidir, burada a ve ξ ξ= ( ) cot lnu = θ u sabit sayılardır. Ayrıca bütün Bertrand eğrileri bu metodla inşa edilebilir.

İspat. (⇒ ): Izumiya ve Takeuchi (2002)’deki metodu uygulayalım. γ% nın eğriliğini ve torsiyonunu hesaplayalım. (3.1) eşitliğinin v ye göre üç kez türevi alınırsa