q = 48 kn/m q = 54 kn/m 4 m 5 m 3 m 3 m

Soru 1) (50 Puan) Aşağıda verilen sistemin üzerine etkiyen yükler ve konumları şekil üzerinde belirtilmiştir. Buna ek olarak D mesneti 3 cm aşağı yönlü oturmuştur. Tüm kolon ve kirişlerin atalet momenti I, elastik modülü E dir. Verilen yüklere göre AÇI YÖNTEMİNİ KULLANARAK

a) Bilinmeyenleri yazın (4 puan)

b) Eleman uç momentlerini şekil üzerinde gösterin (Mab, Mba vb. eleman uç momentlerdir) (10 puan) c) Eleman uç momentlerinin denklemlerini oluşturun (10 puan)

d) Denge ve kesme denklemlerini oluşturun (10 puan)

e) Eleman uç momentlerini denklemlerde yerine koyun ve matris formatında yazın (16 puan)

Sistemdeki bilinmeyenler θB, θC, θE, açıları ve BCE doğrultusunda yaptığı Δ yanal deplasmandır. Buna göre sistemde toplam 4 adet bilinmeyen mevcuttur.

b) Eleman uç momentleri aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.



A B AB



AB

AB

AB EK SUM

M 2 2  3 



A B AB



BA

AB

BA EK SUM

M 2  2 3 



B C BC



BC

BC

BC EK SUM

M 2 2  3 



B C BC



CB

BC

CB EK SUM

M 2  2 3 



C D CD



CD

CD

CD EK SUM

M 2 2  3 



C D CD



DC

CD

DC EK SUM

M 2  2 3 



C E CE



CE

CE

CE EK SUM

M 2 2  3 



C E CE



EC

EC

EC EK SUM

M 2  2 3 



^{E F EF}



^EF

EF

EF EK SUM

M 2 2  3 



E F EF



FE

EF

FE EK SUM

M 2  2 3 

MAB

C

A B E

D MBA

MBC MCB

MCD

MCE

MDC

MEC

F MEF

MFE

A B

D q = 48 kN/m

4 m 3 m

C 5 m E

4 m 3 m

q = 48 kN/m

F

q = 54 kN/m q = 54 kN/m

Sertlikler:

3I KAB 

4I KBC 

5I KCE 

4I KCD 

3I KEF 

I = 6K kabulü yapılırsa K

K_AB 2 K_BC  ,15K K_CE  ,12K K_CD  ,15K K_EF 2K elde edilir.

Ankastre Momentleri:

kNm

SUMAB 24,3

20*3 54 ² 



 SUMBA 16,2kNm

30*3 54 ² 





kNm

SUMBC 64

12*4 48 ² 



 SUMCB 64kNm

kNm

SUMCD 0 SUMCD 0kNm

kNm

SUMCE 100

12*5 48 ² 



 SUMEC 100kNm

12*5 48 ² 

 kNm

SUMEF 16,2

30*3 54 ² 



 SUMFE 24,3kNm

20*3 54 ² 

 Yanal Kayma ile Oluşan Dönme:

3

 

 



AB lAB     4

CD lCD     3

EF lEF

Oturma ile Oluşan Dönme:

radyan lBC

BC 0,0075

403 , 0 





  _radyan

lCE

CE 0,006

503 , 0 









 

Mesnet Koşulu: A 0 D 0 F 0

Değerler yerine konarak aşağıdaki eşitlik kümesi elde edilir.

 

^24,3

4  

 _B

AB EK

M 



²



^16,2

4  

 B

BA EK

M 



2 0,0225



64

3   

 B C

BC EK

M  



2 0,0225



64

3   

 B C

CB EK

M  



 



3 2 C 0,75

CD EK

M 



 



3 C 0,75

DC EK

M 



2 0,018



100 4

,

2   

 C E

CE EK

M  



2 0,018



100 4

,

2   

 C E

EC EK

M  



²



^16,2

4  

 _E

EF EK

M 

 

^24,3

4  

 E

FE EK

M 

d) Denge denklemleri dönme oluşabilen her düğüm noktası için yazılabilir.

Ayrıca kesme denklemlerinden;

3 54

 

 ^{AB BA}

A M M

H

4 ^DC

D MCD M

H  

3 54

 

 ^{EF FE}

F M M

H

eşitlikleri elde edilir. Yatay kuvvetlerin toplamının sıfır olması koşulu gereği HA + HD + HF = 0 bulunur.

1) 14EKB 3EKC 4EK0,0675EK 478,0 2) 3EK2_B 168,_C 2,4_E 2,250,0243EK360 3) 2,4EKC 128,E 4EK0,0432EK838,0

3 54

 

 ^{AB BA}

A M M

H 54

38 81,

12   



 EK EK

HA ^B

4 ^DC

D MCD M

H  

44,5

9  



 EK EK

HD ^C

3 54

 

 ^{EF FE}

F M M

H 54

38 81,

12   



 EK EK

HF ^E

0 38 81, 54

12 44,5

54 9 38 81,

12          

 EK_B EK EK_C EK EK_E EK

4) 0

512 , 4 77

25 , 2

4     

 EK_B EK_C EK_E EK elde edilir.

































































 











0

8, 83 0432

, 0

36 0243

, 0

8, 47 0675

, 0

1277,5 4

25 , 2 4

4 8,

12 4 , 2 0

25 , 2 4 , 2 8, 16 3

4 0

3 14

EK EK EK EK

E C B





MEC E

MEF

E Noktası

MEC + MEF = 0

B C MBA

MBC MCB

MCD

MCE

B Noktası C Noktası

MBA + MBC = 0 MCB + MCD + MCE = 0

Soru 2) (50 puan) Aşağıda verilen çerçevenin düğüm noktalarındaki Momentleri Cross Yöntemi ile hesaplayın (25 puan). Kesme ve moment diyagramlarını çizin (25 puan).

AB = I, BC = 1,5 I, CD = 2I, CE = 2I. E mesneti 4 cm aşağı oturmuştur. E = 200 GPa, I = 50x10

^-6

m

⁴

.

Ankastre Momentleri

SUMCE = -1/12 * 36 * 4² = -48 kNm SUMEC = 1/12 * 36 * 4² = 48 kNm

SUMAB = SUMBA = SUMBC = SUMCB = SUMCD = SUMDC = 0 Sertlikler:

3I K_AB 

45 K_BC  ,1 I

2I4 K_CD 

2I4

K_CE  I = 6K alınırsa K

KAB 2 KBC 2,25K KCD 3K KCE 3K bulunur.

E noktası kayar mesnet olduğu için CE kirişinin sertliği modifiye edilebilir.

Dağıtma Katsayıları:

B Noktası:

471 , 25 0 , 2

2 2 

 

K

K K

DKBA 0,529

25 , 2

2 2,25 

 

K

K K

DKBC

C Noktası:

3 , 25 0 , 2 3 25 ,

2 2,25 



 

K K

K K

DKCB 0,4

25 , 2 3 25 ,

2 3 



 

K K

K K

DKCD

A B

q = 36 kN/m

4 m

3 m 4 m

C

D

o o

4 m E

K K

KM CE

CE 0,75 2,25

3 , 25 0 , 2 3 25 ,

2 2,25 



 

K K

K K

DK_CE

Oturma =

404 , 0 450 10 2 10

6 200

6     ⁶   ⁶ 

 EK BE ^ = –300 kNm

Başlangıçta sadece E ve C noktalarında dengelenmemiş moment vardır. E noktasında yük ve oturmadan dolayı toplam -252, C noktasında ise toplam -348 kNm dengelenmemiş moment bulunmaktadır. E noktası mesnet koşuluna göre modifiye edildiği için moment dağıtma işlemine E noktasından başlanması zorunludur.

Dengeleme işlemine E noktasına +252 kNm dengeleme momenti eklenerek başlanır. Ardından +126 kNm büyüklüğündeki taşıma momenti C noktasına eklenir.

Şu an dengelenmemiş tek nokta C noktasıdır ve denge olmayan -222 kNm moment bulunmaktadır. Bu noktaya +222 kNm dengeleyici moment eklenir ve eklenen moment dağıtma katsayıları ile çarpılarak CB (66,6), CD (88,8) ve CE (66,6) elemanlarına dağıtılır. CE elemanı modifiye edildiği için taşıma momenti getirilmez diğer elemanların karşı uçlarına taşıma momentleri eklenir. D noktası ankastre olduğu için dengelenmez. Şu an dengede olmayan tek düğüm noktası B noktasıdır. B noktasında dengede olmayan +33,3 kNm moment -33,3 kNm dengeleyici moment eklenerek dengelenir ve dağıtma katsayıları ile çarpılarak -15,68 ve -17,62 olarak eklenir. Bu momentlerin taşıma momentleri karşı uçlara eklenir. Dengede olmayan tek nokta C'dir. C noktasına +8,81 kNm dengeleyici moment eklenir ve bu moment kenarlara +2,64, +2,64 ve +3,52 olarak dağıtılır. Taşıma momentleri eklendiğinde dengede olmayan tek düğüm noktası B noktası olur. B noktasındaki dengelenmemiş moment -1,32 ile dengelenir ve dağıtma katsayıları ile orantılı biçimde paylaştırılır. C noktasındaki dengelenmemiş -0,35 kNm'lik moment dengelenir ve yineleme burada kesilir. Eleman uç momentleri aşağıdaki gibi hesaplanır.

A B C _D

E

0,471 0,529 0.3

0,3 0,4

SUM 0 0 0 0 0 0 SUM 48

-300

SUM -48 -300

MAB = -8,15 kNm MBA = -16,30 kNm MBC = 16,30 kNm MCB = 60,19 kNm MCE = -152,65 kNm MCD = 92,45 kNm MDC = 46,16 kNm MEC = 0 kNm

Elde edilen çözüme göre AB ve CD kolonlarındaki kesme kuvvetleri hesaplanır.

B noktasına göre moment alındığında

+



^{MB  0 MAB MBA3HA 0 HA  ,8 15} ₃^{16,30= 8,15 kN}

C noktasına göre moment alındığında

+



^{MC  0 MCD MDC 4HD 0 HD 92 ,45}₄^46,16= -34,65 kN

MAB

MBA MCD

MDC

HA

HD

3 m

B C

4 m

D

HB HC

0 0 0 0 0 0 +33,3 +66,6 +88,8 +44,4 -7,84 -15,68 -17,62 -8,81

+1,32 +2,64 +3,52 +1,76 -0,31 -0,62 -0,70 -0,35

+0,11 +0,13

A B C _D

E

0,471 0,529 0.3

0,3 0,4 48 -300 +252 +0,11

+2,64 +66,6 +126 -48 -300

Tüm sistem için yatay kuvvetler toplamının sıfır olması gerekmektedir. Sola doğru yön pozitif kabul edildiğinde yatay kuvvetlerin denkliği

P + HA + HD = 0 biçiminde yazılır ve P = 26,50 kN bulunur.

Gerçekte P kuvveti sisteme etki etmemektedir. Çerçevenin yanal deplasman yapmadığı varsayılarak moment dağıtma tablosu hazırlandı ve çözüldü. Bu varsayımın doğru olabilmesi için aşağıdaki şekilde gösterilen ve büyüklüğü 26,50 kN olan P kuvvetinin B noktasında sisteme uygulanması gerekirdi.

Gerçekte P kuvveti olmadığı için çerçeve sağa doğru kayma eğilimindedir. Sağa doğru Δ kadar deplasman yapması durumunda

3

 





AB lAB     4

CD lCD

Dönmeden oluşan momentler

AB Kolonu için ^{ EK}AB^AB ^{ E}

 

^{K  }4^EK 2 3

6 6

CE Kolonu için  EKCDCD  E

 

K  4,5EK 3 4

6 6

Başlangıç durumunda Δ bilinmediği için oluşan momentlerin gerçek değerlerinin hesaplanması mümkün değildir. Ancak aralarında 4x ve 4,5x bağıntısının olduğu açı denkleminden görülmektedir.

AB ve BA eleman uç momentleri için keyfi olarak -32 kNm, CD ve DC eleman uç momentleri için ise - 36 kNm değeri ile moment dağıtımına başlanabilir.

Yakınsamanın hızlı olması için tekrar modifiye edilmiş sistem üzerinden çözüm yapılacaktır.

Başlangıçta B ve C noktaları dengede değildir. Bu noktalar modifiye edilmediği için istenilen noktadan çözüme başlanabilir. C noktası dengelenerek çözüme başlanıyor. Dengeleme sonucunda +10,8, +14,40 ve +10,80 kNm büyüklüğündeki momentler eleman uçlarına yazılır ve taşıma momentleri eklenir.

Modifiyeli olduğu için E noktasına taşıma momenti eklenmez. Mevcut haliyle sadece B noktası dengede değildir. Bu noktada -32 kNm'lik moment ve +5,4 kNm'lik taşıma momenti bulunmaktadır.

Dengelemek için +26,60 kNm'lik dengeleyici moment eklenir.

A B

q = 36 kN/m

4 m

3 m 4 m

C

D

o o

4 m E

P

MAB

HA

MDC HD

MAB = -25,49 kNm MBA = -18,96 kNm MBC = 18,96 kNm MCB = 15,93 kNm MCE = 8,61 kNm MCD = -24,54 kNm MDC = -30,27 kNm MEC = 0 kNm

B noktasına göre moment alındığında

+



^{MB  0 MAB MBA3HA 0 HA  25 ,49}₃^18,96= 14,82 kN C noktasına göre moment alındığında

+



^{MC  0 MDC MCD 4HD 0 HD  24 ,54}₄^30,27= 13,70 kN

Uygulanan yanal deplasman dikkate alındığında mesnetlerde oluşan tepki kuvveti toplamı 14,82 + 13,70 = 28,52 kN yapmaktadır. Ancak ilk çözüm dikkate alındığında uygulanması gereken

MAB

MBA MCD

MDC

HA

HD

3 m

B C

4 m

D

HB HC

SUM -32 -32 0 0 -36 -36 +5,40 +10,80 +14,40 +7,20 +6,26 +12,53 +14,07 +7,04

-1,05 -2,11 -2,82 -1,41 +0,25 +0,49 +0,56 + 0,28

-0,04 - 0,08 -0,12 -0,06

X +0,02 +0,02 X

A B C _D

E

0,471 0,529 0.3

0,3 0,4 0

-0,08 -2,11 +10,80 0

yatay kuvvetler toplamı 26,50 kN'dur. Bu durumda ilk sisteme ikinci sistem 52 , 28,50

26 ile çarpılıp eklenirse esas sistem elde edilmiş olur.

MAB = -8,15 + 0,929 * -25,49 = -31,83 MBA = -16,30 + 0,929 * -18,96 = -33,92 MBC = 16,30 + 0,929 * 18,96 = 33,92 MCB = 60,19 + 0,929 * 15,93 = 74,99 MCE = -152,65 + 0,929 * 8,61 = -144,65 MCD = 92,45 + 0,929 * -24,54 = 69,65 MDC = 46,16 + 0,929 * -30,27 = 18,03 MEC = 0 + 0,929 * 0 = 0