5.3. Ardışık Birim Kök Testleri
Bir çok iktisadi zaman serisinin birim köklü olduğu söylenir. Serilerin birim köklü olması, karekteristik denklemin köklerinden en az birinin mutlak değerce 1 olması anlamına gelir. O halde, denklemin köklerinden bir veya daha fazlası mutlak değerce 1 olabilir. Literatürde M1 ve M2 serileri olarak bilinen para verilerinin 2 birim köklü seriler olduğu söylenir. Bu verilerin durağanlaştırılması için 2 defa farkının alınması gerekir. Yukarıda bahsedilen yöntemlerden herhangi biri kullanılarak serinin birim köklü olup olmadığı test edilebilir. Seri birim köklü ise fark alarak durağanlaştırılır.
Yukarıdaki yöntemler, serinin sadece bir birim kök içerdiği varsayımına dayanır. Gerek DF gerekse PP yöntemlerine göre serinin birim köklü olduğu sonucuna varılırsa, fark alınarak seri durağan hale getirilir. Farkı alınmış verilerin durağanlığını sınamak için, fark serisine tekrar birim kök testleri uygulanmaktadır. Fark serisi birim köklüdür iddiası red edilemez ise serinin iki birim köklü olduğu sonucuna varılır. Ancak, Dickey ve Pantula (1987) bu yöntemin doğru olmadığını, farkı alınan serilere tekrar birim kök testlerinin uygulanmasının yanlış sonuçlar verebileceğini göstermişlerdir. Durağan olmayan (2 birim köklü olsun) bir seri fark alma yöntemi ile durağanlaştırılamadığı durumda, farkı alınmış seriye tekrar birim kök testleri uygulandığında serinin durağan olabileceğinin gözlenebileceğini örnekler ile göstermişlerdir.
et~ WN (0, σ2) olmak üzere, AR(3) zaman serisi modeli,
1 1 2 2 3 3
(Xt) (Xt ) (Xt ) (Xt )et olarak verilmiş olsun. Modele karşılık gelen karekteristik denklem,
m3−α1m2−α2m−α3=0
olup denklemin köklerinin ( m1, m2 , m3 ), 1≥ | m1| ≥ |m2| ≥ |m3| şeklinde sıralandığını düşünelim. Buna göre, |m1| 1
ise bütün kökler mutlak değerce 1 den küçüktür, yani model durağandır. AR(3) modelini göz önüne alarak aşağıdaki hipotezleri yazalım.
H0: | m1| <1 AR(3) serisi durağandır.
H1: m1=1 , | m2|<1 AR(3) serisi 1 birim köklüdür.
H2: m1=m2=1 , | m3|<1 AR(3) serisi 2 birim köklüdür.
H3: m1=m2=m3 =1 AR(3) serisi 3 birim köklüdür.
Daha yüksek dereceden modeller için bu hipotezlerin sayısı artacaktır. Dickey ve Pantula (1987) tarafından önerilen ve literatürde ardışık birim kök testi (sequential unit root test) olarak bilinen yönteme göre bu hipotezler ardışık olarak test edilerek serinin birim kök sayısına karar verilir. Önce,
, 2
t t t t
Y X Z X ve Wt 3Xt değişkenlerini tanımlayalım. Buna göre yukarıdaki AR(3) modeli,
Wt=θ1 Xt−1+θ2Yt−1+θ3Zt−1+et , t=1,2,3,...,n
şeklinde yazılabilir. Burada, m1, m2 ve m3 karekteristik denklemin köklerini göstermek üzere,
θ1= −(1−m1)(1−m2)(1−m3)
θ2=−2θ1−(1−m1)(1−m2)−(1−m1)(1−m3)−(1−m2)(1−m3)
θ3=m1m2 m3−1
denirse,
α1=3+θ1+θ2+θ3 , α2=−(3+θ2+2 θ3) ve α3=1+θ3
ile başlangıçtaki parametrelere dönülebilir. θ1 , θ2 ve θ3 parametrelerinin EKK tahmin edicileri ^θ1, ^θ2 ve ^θ3 olsun. Yukarıdaki model için,
H3 : θ1=θ2=θ3=0
, H2: θ1=θ2=0 , θ3<0 H1: θ1=0, θ2<0 , θ3<0 , H0: θ1<0, θ2<0 , θ3<0
hipotezlerini yazalım. Serinin birim kök sayısı için yukarıdaki hipotezler ardışık olarak test edilir.
Önce, H3 (üç birim kök) hipotezi H2 (iki birim kök) alternatif hipotezine karşı test edilir. Eğer
H3 red edilemez ise durulur ve serinin 3 birim köklü olduğu sonucuna varılır. H3 red edilirse,
H2 (iki birim kök) hipotezi H1 (bir birim kök) altenatif hipotezine karşı test edilir. Yine,
H2 red edilemez ise durulur ve serinin 2 birim köklü olduğu sonucuna varılır. H2 hipotezi H1 alternatif hipotezine karşı red edilirse, son olarak H1 hipotezi (bir birim kök) H0 (seri
durağandır) alternatif hipotezine karşı test edilir. Bu son aşama daha önce bahsedilen birim kök testleri ile aynıdır. Burada her bir adımda yokluk hipotezlerinin test edilmesi için ardışık kareler toplamları kullanılarak F− istatistiklerinin değerleri hesaplanabilir. Bunun yerine, daha pratik olan pseudo- t istatistiğinin değerleri kullanılmaktadır. Her bir adımda ti , n¿ (p) pseudo t− istatistiğinin değeri hesaplanarak yukarıdaki hipotezler test edilir. Bu test istatistiğinin kritik değerleri Dickey ve Pantula (1987) tarafından verilmiştir. ti , n¿ (p) istatistiğinin değeri, (1−B)pXt nin
(1−B)i−1Xt , (1−B)iXt …, (1−B)pXt üzerine regresyondan (1−B)i−1Xt
katsayısına karşılık gelen t− istatistiğinin değeridir.
Yüksek dereceden modeller için ardışık birim kök testlerinin nasıl yapılacağı Dickey ve Pantula (1987) tarafından verilmiştir. Yani, AR(p) modeli göz önüne alındığında i tane birim kök olup olmadığını sınamak ( H ii: birim kök hipotezinin Hi−1:( i−1) birim kök alternatif hipotezine karşı test edilmesi) için ∇pXt nin ∇i−1Xt−1 , ∇iXt−1 , …ve ∇p−1Xt−1
üzerine regresyonunu göz önüne alınır. Daha fazla ayrıntı Dickey ve Pantula (1987, s.458) tarafından verilmiştir.
Şimdi AR(3) modeline geri dönelim ve ardışık birim kök testlerinin nasıl yapılacağını Dickey ve Pantula (1987) den özetleyelim. τ^n, α (veya ˆn, ,
) Dickey-Fuller test istatistiğinin α anlam düzeyindeki kritik değeri göstermek üzere, ardışık birim kök testleri için izlenecek yol adımlar halinde aşağıda özetlenmiştir.
Adım 1. t3, n¿ (3) ≤^τn , α ise H3 (3 birim kök ) hipotezi H2 (2 birim kök) alternatif hipotezine karşı red edilir. O zaman ikinci adıma geçilir. H3 red edilemez ise seri 3 birim köklüdür.
Adım 2. t3, n¿ (3) ≤^τn , α ve t2, n¿ (3) ≤^τn , α koşullarının her ikisi de sağlanıyorsa, H2 (2 birim kök) hipotezi H1 (1 birim kök) alternatif hipotezine karşı red edilir ve üçüncü adıma geçilir.
H2 yokluk hipotezi red edilemez ise seri 2 birim köklüdür.
Adım 3. ti , n¿ (3) ≤^τn , α (i=1,2,3) ise H1 (1 birim kök) hipotezi H0 (seri durağandır) alternatif hipotezine karşı red edilir. Üçüncü adımda test edilen hipotez standart birim kök hipotezi ile aynıdır.
Örnek 5.3.1 Aşağıda satırlar halinde verilen zaman serisini göz önüne alalım. Bu verilere ait grafikler aşağıdadır. Otokorelasyonlarda yavaş bir azalma gözlenmekte olup, kısmi otokorelasyonlar birinci gecikmeden sonra sıfırdır. Buradan, serinin durağan olmadığı veya birim köklü olduğu söylenebilir.
Bununla birlikte, serinin birinci dereceden farkı alındığında, otokorelasyonlar yine yavaş bir şekilde azalmaktadır.
1 3 7 14 23 34 48 66 87 111
137 164 192 221 251 277 302 326 348 367
385 399 414 429 444 457 470 483 495 506
517 527 534 540 545 550 553 556 559 561
564 568 575 582 588 594 602 611 624 637
652 668 686 705 724 744 763 784 805 828
852 880 909 939 967 997 1026 1055 1083 1111
1139 1169 1198 1228 1259 1290 1322 1353 1386 1420 1455 1492 1534 1579 1628 1680 1738 1800 1865 1934 2005 2079 2154 2227 2302 2376 2449 2520 2590 2659
Birinci dereceden farkı alınan serinin kısmi otokorelasyonları yine birinci gecikmeden sonra sıfır etrafındadır. O halde, birinci derece fark serisi de birim köklü olabilir. Verilerin ikinci dereceden farkı alındığında otokorelasyonlar hızlı bir şekilde sıfıra yaklaşmaktadır. Buna göre, verilerin 2 birim köklü zaman serisi olabileceği söylenebilir.
Seri ACF PACF
Xt
0 20 40 60 80 100
05001000150020002500
Lag
ACF
0 5 10 15 20
-0.20.00.20.40.60.81.0
Series : ar3
Lag
Partial ACF
0 5 10 15 20
-0.20.00.20.40.60.81.0
Series : ar3
Xt
0 20 40 60 80 100
0204060
Lag
ACF
0 5 10 15
-0.20.00.20.40.60.81.0
Series : dx
Lag
Partial ACF
0 5 10 15
-0.20.00.20.40.60.81.0 Series : dx
2
Xt
0 20 40 60 80 100
-4-20246
Lag
ACF
0 5 10 15
-0.20.00.20.40.60.81.0
Series : d2x
Lag
Partial ACF
0 5 10 15
-0.20.00.20.4
Series : d2x
Yukarıdaki veriler, 2 birim köklü AR(3) modeline uygun olarak rasgele üretilmiştir. Ayrıca, AIC ve SBC istatistiklerinin değerleri dikkate alındığında, verilerin AR(3) modeline uygun olduğu söylenebilir. Oysa, otokorelasyon ve kısmi otokorelasyonlar AR(1) olacağına işaret etmektedir.
AR(1) AR(2) AR(3)
AIC 1095.86 1080.32 1059.78
SBC 1101.07 1088.14 1070.20
Xt nin Xt−1 , Xt−2 ve Xt−3 üzerine regresyonundan parametre tahminleri ve standart hataları
^Xt=2.517558 Xt−1−2.047280 Xt−2+0.530373 Xt−3 (0.0889 ) (0.1797 ) (0.0917 )
olarak hesaplanmıştır. Modele kesim noktası (intercept) eklendiğinde, parametre tahminleri ile bunların standart hataları da
^Xt=0.233381+2.509921 Xt−1−2.033879 Xt−2+0.524489 Xt−3 (0.0896 ) (0.1809) (0.0922)
şeklindedir. Her iki durumda da α^1+ ^α2+ ^α2≃1 olduğundan, verilere uygun olduğu belirtilen AR(3) modeli birim köklüdür (Örnek 5.1.1).
Durağanlıktan şüphelenildiği için verilere, Dickey-Fuller birim kök test yöntemi uygulanmış, sonuçlar aşağıda verilmiştir. Tablo değerlerinden serinin birim köklü olduğu hipotezi red edilemez. Eviews paket programı, model derecelerini (en fazla 12 gecikmeyi dikkate alarak) doğrudan belirler.
Görüldüğü gibi model derecesi 3 dür.
Exogenous: Constant
Lag Length: 3 (Automatic based on SIC, MAXLAG=12)
t-Statistic Prob.*
Augmented Dickey-Fuller test statistic 2.047325 0.9999 Test critical values: 1% level -3.499910
5% level -2.891871
10% level -2.583017
Verilere AR(3) modelinin uygun olduğu düşünüldüğünde, karekteristik denklemin 3 tane kökü vardır.
Serinin kendisi durağan olmadığından ve birinci derece fark serisinin otokorelasyonları yavaş azaldığından birim kök sayısı birden fazla olabilir. Birim kök sayısını belirlemek için verilere ardışık birim kök testleri aşağıdaki gibi uygulanmıştır.
Adım 1. Model AR(3) olduğundan en fazla 3 tane birim kök olabilir. Serinin üç birim köklü olduğu hipotezini, iki birim kök alternatif hipotezine karşı test edelim. Bunun için, hipotezler
H3: seri 3 birim köklüdür H2: seri 2 birim köklüdür
şeklinde olacaktır. ∇3Xt nin ∇2Xt−1 üzerine regresyonundan elde edilen istatistiki değerler
∇3Xt=0. 311− 0 . 488 ∇2Xt−1 t−ist (1. 714 ) (−5 .527)
şeklindedir. Buradan
*
3,n(3) 5.527
t
olup
*
3,n(3) 5.527 ˆ ,100, 0.05 1.95
t
olduğundan, H3 hipotezi (üç birim kök) H2 alternatif (2 birim kök) hipotezine karşı red edilir.
Yani, seri 3 birim köklü değildir.
Adım 2. Burada serinin 2 birim köklü olduğu yokluk hipotezi, 1 birim kök alternatif hipotezine karşı test edilir. Bunun için hipotezler
H2: Seri 2 birim köklüdür H1: Seri 1 birim köklüdür
şeklinde yazılır. Test istatistiklerini hesaplamak için, ∇3Xt nin ∇Xt−1 ve ∇2Xt−1 üzerine
regresyonundan,
3 2
1 1
ˆ 0.307 0.000156 0.488 (1.078) (0.018) ( 5.365)
t t t
X X X
t ist
sonuçları gözlenmiştir. H2 hipotezinin red edilebilmesi için
t3 ,n¿ (3)<^τμ, 100 , 0.05=−1.95 ve t¿2,n(3)<^τμ , 100 , 0 .05=−1.95
koşullarının her ikisinin de sağlanması gerekir. Burada,
t3, n¿ (3)=−5.365<^τμ , 100, 0.05=−1.95
koşulu sağlanmasına rağmen, ikinci koşul
t¿2, n(3)=0.018 >^τμ , 100, 0.05=−1.95
sağlanmaz. Yani, H2 yokluk hipotezi red edilemez. O halde, ardışık birim kök test yöntemine göre seri 2 birim köklüdür. Bu seri için aşağıda birkaç regresyon modeli göz önüne alınarak kestirim denklemleri yazılmıştır. t− istatistiklerinin değerleri parantez içindedir.
3 2
ˆ 0.436 1
( 5.206)
t t
X X
t ist
3 2
1 1
ˆ 0.007397 0.484 (1.320) ( 5.319)
t t t
X X X
t ist
3 2
1 1 1
ˆ 0.233 0.00053 0.015098 0.4755
(0.788) (0.931) ( 0.813) ( 5.157)
t t t t
X X X X
t ist
Bu sonuçlar da dikkate alındığında serinin iki birim köklü olduğu söylenebilir. Ayrıca, bu verilere
3 2
0.436 1 , 1, 2,3,...,
t t t
X X e t n
modelinin uygun olabileceği söylenebilir ⊗ 5.4. Mevsimsel Birim Kök Testleri
Durağan mevsimsel zaman serisi modellerinin bazı özellikleri ikinci bölümde incelendi. Bu kısımda, verilen bir zaman serisinin mevsimsel birim köklü olup olmadığının nasıl test edileceği incelenecektir.
Mevsimsel durağan zaman serilerinde otokorelasyonlar periyodik bir şekilde azalır. Bu azalma bazen yavaş olabilir. O zaman, serinin durağanlığından şüphelenilir. Mevsimsel zaman serisi modeline karşılık gelen karekteristik denklemin köklerinden biri mutlak değerce 1 ise, bu birim köklerin tekrar ettiğini biliyoruz. Birim kök sayısının tespiti için önceki kısımda bahsedilen ardışık birim kök testlerinin uygulanması doğru olmayabilir. Bunu görebilmek için SAR4(1) modeli
Xt=α Xt−4+et , t=1,2,3,. .. , n
şeklinde verilmiş olsun. Modelin karekteristik denklemi m4−α=0 dır. Bu dördüncü dereceden polinomun 4 tane kökü vardır. |α |<1 ise model durağan, α=1 için durağan değildir.
m4−1=0 polinomunun kökleri, m1,2=±1 ve i=√−1 olmak üzere m3 , 4=±i
şeklindedir. Bütün kökler mutlak değerce 1 dir. Buradan, serinin 4 tane birim kökü vardır. Başka bir ifade ile, seriyi durağan hale getirebilmek için serinin dört defa farkının alınması gerekir. Oysa, bu hem doğru olmayabilir hem de pratik değildir. Bu seri 4 birim köklü ise, ∇4Xt=(1−B )4Xt
modelinin durağan olması beklenir. Böyle bir dönüşüm modeli çok karmaşık hale getirebilir. Serinin dördüncü dereceden farkı
(1−B)4Xt=(1−4 B +6 B2−4 B3+B4)Xt
şeklindedir. Yukarıdaki basit regresyon modeli çok karmaşık hale dönüşür. Bunun yerine,
4 4Xt (1 B X) t
şeklindeki bir dönüşüm seriyi durağan hale getirir. α=1 için model
Xt= Xt−4+et şeklindedir. Buradan, ∇4Xt=(1−B4)Xt=Xt−Xt−4 olup, model
∇4Xt=et haline gelir. Bu model durağandır.
Örnek 5.4.1 Aşağıda satırlar halinde verilen zaman serisi göz önüne alalım. Verilere ait ilgili zaman serisi grafikleri aşağıdadır. Grafiklerden, otokorelasyonların periyodik olarak azaldığı (yavaş) görülmektedir. Kısmi otokorelasyonlar ise dördüncü gecikmede bir sıçramadan sonra diğerleri %95 lik güven sınırları içindedir.
21.9 22.9 21.9 21.6 19.1 20.3 20.9 22.1 18.9 18.9 20.3 21.5 18.7 18.7 21.3 20.5 17.2 16.8 23.0 20.4 18.0 15.6 22.7 18.7 18.2 14.3 22.1 18.8 17.5 14.0 22.4 18.5 16.7 13.6 23.1 17.5 15.5 12.2 23.1 18.0 16.6 13.3 23.0 18.5 14.5 13.3 22.6 16.4 13.4 14.7 21.0 14.2 14.3 14.2 20.2 13.5 15.6 14.4 20.0 13.4
Seri ACF PACF
0 10 20 30 40 50 60
121416182022
Lag
ACF
0 5 10 15
-0.20.00.20.40.60.81.0
Series : sar1
Lag
Partial ACF
0 5 10 15
-0.20.00.20.40.60.8
Series : sar1
Bu verilere bir model uydurmak için AIC ve SBC istatistiklerinin değerlerinden bazıları aşağıda verilmiş ve verilere
(Xt−μ)=α ( Xt−4−μ)+et , t=1,2,3, .. . 60
şeklinde bir modelin uygun olacağı sonucuna varılmıştır.
Model AR(1) AR(2) AR(3) AR(4) SAR4(1)
AIC 315.67 317.60 319.34 189.86 185.09
SBC 319.86 323.88 327.72 200.34 189.28
Model parametrelerinin tahmin değerleri ve bazı istatistiki değerler (SAS, PROC ARIMA) aşağıdadır.
α=1^ olduğundan seri durağan değildir.
Conditional Least Squares Estimation Approx.
Parameter Estimate Std Error T Ratio Lag MU 21.47804 0.55656 38.59 0 AR1,1 1.00000 0.03340 29.94 4
Karekteristik denklem m4−1=0 olduğuna göre seri 4 tane birim köke sahiptir.
Wt=(1−B)4Xt ve Zt (1 B X4) t dönüşümleri altında serinin grafikleri aşağıdadır.
Grafikler incelendiğinde, Wt=(1−B)4Xt dönüşümü ile hem serideki periyodiklik hem de otokorelasyonlarındaki periyodiklik devam etmektedir. Yani, bu dönüşüm gerek modelleme açısından, gerekse istatistiki sonuç çıkarım açısından herhangi bir iyileştirme sağlamamaktadır.
4
t t
W X Zt 4Xt
Seri
0 10 20 30 40 50
-40-2002040
0 10 20 30 40 50
-2-101
ACF
Lag
ACF
0 5 10 15
-0.50.00.51.0
Series : w
Lag
ACF
0 5 10 15
-0.20.00.20.40.60.81.0
Series : z
PACF
Lag
Partial ACF
0 5 10 15
-0.8-0.6-0.4-0.20.00.2
Series : w
Lag
Partial ACF
0 5 10 15
-0.2-0.10.00.10.2
Series : z
Zt=(1−B4)Xt dönüşümü altında hem seride görülen periyodiklik hem de otokorelasyonlardaki
periyodiklik ortadan kalkmaktadır. Buradan, verilere ∇4Xt=et şeklinde bir model uygun görünmektedir ⊗
Örnekte de görüldüğü gibi, birim kök sayısı kadar fark almak seriyi durağan hale getirmeyebilir.
Mevsimsel zaman serilerinin durağanlığından şüphelenildiğinde, serinin durağanlığını sınamak için daha önce bahsedilen birim kök testleri anlamlı olmayabilir. Literatürde, mevsimsel birim kök testleri ile ilgili bir çok yöntem bulunmasına rağmen, Hylleberg, Engle, Granger ve Yoo (1990) tarafından önerilen ve HEGY testi olarak bilinen yöntem en pratik test yöntemidir. Bununla birlikte, Dickey, Hasza ve Fuller (1984) tarafından önerilen ve simetrik en küçük kareler yöntemi (DHF) de kullanılmaktadır. DHF yöntemi ile sadece H0: 1 yokluk hipotezi test edilmektedir.
Mevsimsel seriler aylık, 3 aylık, 6 aylık, haftalık, gibi verilerin toplanma şekline göre değişiklik gösterir. Mevsimsel birim kök testlerinin çoğu 3 aylık veriler üzerine kurulan modeller için geliştirilmiştir. Aşağıda, mevsimsel birim kök testlerinden DHF ve HEGY yöntemleri (mevsimsel birim kök test yöntemleri) kısaca özetlenmiştir.
Simetrik En Küçük Kareler Yöntemi (DHF testi): Bu yöntem parametrelerin simetrik en küçük kareler tahmin edicisinin dağılımına dayanmaktadır. d pozitif bir tam sayı ve X d 1,X d 2,...,X0 da başlangıç değerlerini (genellikle sıfır) göstermek üzere, Xt zaman serisi için
Xt=αdXt−d+et , t=1,2,3,. . ., n
modelini göz önüne alalım. Model, kesim noktası içermesi halinde
(Xt−μ )=αd(Xt−d−μ )+et , t=1,2,3,. .. , n
olarak yazılır. Burada, H0: αd=1 hipotezini test etmek için αd nin EKK tahmin edicisi,
α^d=
[
∑t=1n Xt−d2]
−1∑t=1n Xt−dXtyerine alternatif olarak simetrik EKK tahmin edicisi
~αd=
[
2∑t=1n Xt−dXt] [
∑t=1n (Xt2+Xt−d2 )]
−1kullanılır. Burada, iki tane regresyon modeli ele alınır. Birincisi, Xt nin Xt−d üzerine
regresyonu, diğeri Xt nin Xt +d üzerine regresyonudur. Xt d nin katsayısı için t− türü istatistik
~τd=√2
[ { ∑
t=1n (Xt2+Xt−d2 )}
−1 S2]
−1/2(~αd−1)şeklinde olup,
S2= 1
2 n−1 ∑
t=1 n
[
(Xt−~αdXt−d)2+(Xt−d−~αdXt)2]
dir. Ayrıca, verilen istatistiklerin tanımından −1≤~αd≤1 olmak üzere,
1
√2
~τd=−[(2 n−1) (1−~αd)]1 /2 (1+~αd)−1/2
dir. ~τd istatistiği ~αd istatistiğinin monoton bir fonksiyonudur. Dolayısı ile, ~τd ye bağlı
olarak kurulan test ile ~αd tahmin edicisine bağlı olarak kurulan testler özdeştir. Bu test istatistiklerinin kritik değerleri Dickey, Hasza ve Fuller (1984) tarafından verilmiştir. Burada göz önüne alınan modelde beklenen değer sıfırdır. Ancak, beklenen değerin sıfır olduğu durumlar çok nadirdir (standart Dickey-Fuller testlerinde olduğu gibi). Onun için, Dickey-Fuller birim kök test yönteminde τ^μ veya n ( ^αμ−1) test istatistiklerine karşılık gelen simetrik EKK tahmin edicileri yazılır. Model,
Xt=∑
i=1 d
θiδi t+αdXt−d+et , t=1,2,3, .. . ,n
olarak verilmiş olsun. Burada,
1 , mod ( )
0 , . .
i t
t i d
d d
dır. Xt nin δ1,t, δ2 ,t, ...,δd,t ve Xt−d üzerine regresyonundan ~θi , i=1,2,3,...,d ve
~αd parametrelerinin en EKK tahmin edicileri hesaplanır. Bu tahmin ediciler, ortalamaların aynı
olduğu varsayımı altında ( μi=μ , i=1,2,3,. .. ,d ), nün tahmin edicisi
~μ
∗¿=(n+d )−1
∑
t =−d+1 n
Xt
¿ ve
Xt¿=Xt−~μ∗¿
¿ olmak üzere, αd nin simetrik EKK tahmin edicisi
~αμ , d¿ =
{
∑t=1n[
(Xt¿)2+(Xt−d¿ )2] }
−12 ∑t=1n Xt¿ Xt−d¿olarak verilir. H0:αd=1 hipotezini test etmek için t− türü istatistik,
~τμ , d¿ =
{ [ ∑t=1n Xt−d2 −n−1( ∑
t=1n Xt−d)
2]
−1S¿2}
−12 (
~αμ , d¿ −1)
şeklindedir. Burada,
2 * 2
* ,
1
1 ( )
2
n
t d t d
t
S X X
n
dir. H0:αd=1 hipotezi altında, μi ler ne olursa olsun θi=0 dır. Dolayısı ile,
H0:αd=1 hipotezini test etmek için, n (~α¿μ , d−1) test istatistiği (kritik değerler Dickey, Hasza ve Fuller (1984) Tablo 4 de farklı d ler için verilmiştir) veya ~τμ, d¿ istatistiği (kritik değerler aynı çalışmada Tablo 5 de verilmiştir) kullanılabilir.
Örnek 5.4.2 Bir önceki örnekteki verileri göz önüne alalım (Örnek 5.4.1). Orada, otokorelasyonlarda periyodik bir dalgalanmanın gözlendiğini ve ∇4Xt=et şeklinde bir modelin uygun olabileceğini söylemiştik. Bu veriler için
(Xt−μ )=α4(Xt−4−μ )+et , t=1,2,3, . .., n
modeli önerilmiş olsun. DHF mevsimsel birim kök test yöntemini uygulayarak H0:α4=1
hipotezini Ha:|α4| <1 hipotezine karşı test edelim. Bunun için, α4 parametresinin simetrik EKK tahmin edicisinin değerinin hesaplanması gerekir. Simetrik tahmin edici d 4 için
~αμ , 4¿ =
{
∑t=1n[
(Xt¿)2+(Xt−4¿ )2] }
−1 2 ∑t=1n Xt¿ Xt−4¿şeklindedir. Buradan,
~μ
∗¿=(n+ 4 )−1 ∑
t = −3 n
Xt
¿ ve
Xt¿=Xt−~μ∗¿
¿
olmak üzere, * değeri ~μ¿=1094.5/64=17.10 olarak hesaplanmıştır. Bu değer kullanılarak formüldeki diğer toplamlar,
* 2
1
( t) 712.2561
n t
X
,
* 2
1 4
( ) 680.6004
n
t t
X
,
* *
1 4
611.7394
n
t t
t
X X
olarak bulunmuştur. Buradan simetrik EKK tahmin edicisinin değeri,
1
* * 2 * 2 * *
, 4 4 4
1 1
2(611.7394)
2 0.878
712.2561 680.6004
[( ) ( ) ] n t
n
t t t
t t
X X X X
dir. Ayrıca, n (~αμ, 4−1)=−7.2962 > −12.01 olduğundan H0:α4=1 hipotezi red edilemez (%5 lik kritik değer Dickey Hasza ve Fuller (1984) de Tablo 4 de -12.01 dir). Diğer taraftan, t−
türü istatistiğin değeri de
S¿2= 1 n−2∑
t=1 n
(Xt−~θ¿−~αμ, d Xt−4)2=125 . 7247
58 =2. 168
olmak üzere,
1
1 2
2
* 2 1 2 *
, 4 4 * , 4
1 1
n n 1
d t t
t t
X n X S
19569.49 (1031.1) / 562 1125.7247
1/ 2(0.878 1) 1.9966 2.38 58
olarak hesaplanmıştır.
*
,d 1.9966 2.38
olduğundan H0:α4=1 yokluk hipotezi %5 anlam düzeyinde red edilemez (Dickey Hasza ve Fuller (1984) Tablo 5 den kritik değer n=60 için
−2.38 dir). Dolayısı ile, simetrik EKK yöntemine göre veriler mevsimsel birim köke sahiptir ⊗
Simetrik en küçük kareler yönteminde test istatistiği değerinin paket programlar yardımı ile hesaplanması karmaşıktır. Bu yönteme alternatif olarak geliştirilen ve pratikte çok kullanılan yöntem aşağıda açıklanmaya çalışılmıştır.
HEGY Yöntemi: Mevsimsel birim kök testleri ile ilgili pratikte en çok kullanılan yöntemlerden biri Hylleberg, Engle, Granger ve Yoo (1990) tarafından önerilen ve literatürde HEGY testi olarak bilinen yöntemdir. Çeyreklik (quarterly) veriler için SAR4(1) modeli,
(Xt−μ )=α4(Xt−4−μ )+et , t=1,2,3, . .., n
şeklinde verilmiş olsun. Modelin karekteristik denklemi m4−α4=0 olup α4=1 için model durağan değildir ve beklenen değer ( μ ) modelden düşer. Denklemin kökleri m1,2=±1 ve i=√−1 olmak üzere, m2,4=±i olup bütün kökler mutlak değerce 1 dir. α4=1 için
α (B)=(1−B4) olmak üzere model α (B ) Xt=et olarak yazıldığında,
1−B4=(1−B) (1+B) (1−i B) (1+i B)=(1−B) (1+B) (1+B2)