Sistem Dinamiği

(1)

Sistem Dinamiği

Bölüm 5-Blok Diyagramlar, Durum-Değişken Modelleri ve Simülasyon Metodları

Doç.Dr. Erhan AKDOĞAN

(2)

MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 1

Doç.Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği

Sunumlarda kullanılan semboller:

2 Yorum El notlarına bkz.

Bolum No.Alt Başlık No.Denklem Sıra No

Denklem numarası

Şekil No

Şekil numarası Dikkat

Soru MATLAB

Şekil No

Tablo numarası

(3)

MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm

Bölüm içeriği:

3 Model formları

Transfer fonksiyonları ve blok diyagram modelleri Durum-değişken modeli

MATLAB Metodları

MATLAB ile durum değişken metodları MATLAB ode fonksiyonları

SIMULINK Metodları

Simulink ve Lineer Modeller

Simulink ve Nonlineer Modeller

(4)

GİRİŞ:

4

(5)

MKT3131 Sistem Dinamiği Doç.Dr. Erhan AKDOĞAN

YTÜ-Mekatronik Mühendisliği

Dinamik modeller farklı formlarda bulunabilir:

Tek eşitlik

1. dereceden eşitlik setleri (Caushy veya durum değişken formu)

Yüksek dereceden bağlı eşitlikler

5

(6)

Konu 1: Model Formları

6

(7)

Sistem cevabı zorlanmış ve zorlanmamış cevabın toplamıdır.

Başlangıç koşulları 0 ise zorlanmamış cevap 0 olur ve toplam cevap zorlanmış cevaba eşittir.

İlk olarak başlangıç koşullarının 0 olduğunu kabul ederek çözüm yapacağız.

7 5.1. Transfer fonksiyonları ve blok diyagram modelleri:

Transfer Fonksiyonu

(8)

8 Basit ODE ve Laplace

(9)

9 Birden fazla giriş durumu:

(10)

10 Örnek:

X(s)/V(s) ve Y(s)/V(s) bulunuz.

(11)

Sistem dinamiklerinin anlaşılmasını kolaylaştıran diyagramlardır.

Verilen bir sistemin transfer fonk. bulmakta da kullanılabilir.

Sistem elemanları Fiziksel bağlantılar Parametreler

Akış yönü

11 5.1.1. Blok Diyagramlar:

Bilgilerini içerir

(12)

12 5.1.2. Blok diagram sembolleri

Şekil 5.1.1

(13)

13 5.1.3. Bazı basit blok diyagramlar:

Şekil 5.1.2.

İntegratör

Çarpıcı veya kazanç

(14)

14 5.1.4.Eş değer blok diyagram:

Şekil 5.1.3.

(15)

15 5.1.5. Seri elemanlar ve geri besleme

Şekil 5.1.4.

(16)

16 Geribesleme

Şekil 5.1.4.

(17)

17 5.1.6. Blok diyagramların yeniden düzenlenmesi:

(18)

18 Şekil 5.1.5

(19)

Bir transfer fonksiyonu birden fazla şekilde farklı blok diyagram ile temsil edilebilir.

Bağımlı değişkenin en yüksek dereceli terimi yalnız bırakılmalı ve sonuç eşitliğinin sağ yanı bir

integratörün girişi olmalı.

19 Önemli hususlar:

(20)

20 Birden fazla giriş ile blok diyagramlar:

Şekil 5.1.6

(21)

Örnek 5.1.1 Seri bloklar ve çevre indirgeme

21 5.1.7.Blok diyagramlardan transfer fonk. eldesi

Şekil 5.1.7.

Transfer fonksiyonunu bulunuz.

(22)

22 Çözüm 5.1.1.

(23)

23 Şekil 5.1.7

(24)

24 Örnek 5.1.2.

Şekil 5.1.2.

Sistem modelini belirleyiniz.

(25)

25 Şekil

(26)

Uygulama saati

26 5.1.8.MATLAB kullanarak blok diyagram cebiri

(27)

5.2. Durum Değişken Modelleri (State-variable models)

27

(28)

Birinci derece diferansiyel eşitlikler şeklinde yazılan

formalara durum-değişken formu ve Cauchy formu adı verilir.

Bunları kullanarak yüksek dereceden eşitliklerin dereceleri indirgenir.

Bu durum analiz ve yazılım açısından daha kolay bir yapıyı oluşturur.

Bunlar matris yada vektör formlarda gösterilir.

28 Durum eşitlikleri:

(29)

29 durum eşitlikleri

durum değişkenleri

(30)

30 Kütle-yay-sönüm sisteminde durum değişkenleri:

5.2.1

5.2.2

5.2.3 Durum değişkenleri

Durum değişken modeli

(31)

Eğer durum değişkenlerini aşağıdaki gibi seçer isek:

31 Durum değişken modeli:

Durum değişkenlerinin seçimi mutlak ve tek değildir. Ancak seçimler muhakkak birinci

dereceden olmalıdır.

(32)

32 Örnek 5.2.1.

Şekil 5.2.1.

(33)

33 Çözüm 5.2.1.

(34)

34 Çözüm 5.2.1.

(35)

Vektör-matris notasyonu bize çoklu denklemleri tek bir matris eşitliğinde göstermemize olanak sağlar.

35 5.2.1.Durum değişken modellerinin vektör-matris formu

(36)

Yukarıda verilen tek kütle modelini vektör-matris formunda gösteriniz.

36 Örnek 5.2.2. Tek kütle modelinin vektör-matris formu

Çözüm:

(37)

37 Örnek 5.2.3.İki kütle modelinin vektör-matris formu

Çözüm:

(38)

Durum değişeni sayısı: n Giriş sayısı: m

38 5.2.2. Durum eşitliğinin standart formu:

5.2.9. Durum değişkenleri: x _i Giriş değişkenleri: u _i

Durum vektörü x, n satırlı sütun vektördür.

Sistem matrisi A, n satırlı n sütunlu kare matristir.

Giriş vektörü u, m satırlı sütun vektördür.

Kontrol yada giriş matrisi B, n satırlı m sütunludur.

(39)

Mesela kütle-yay sisteminde net kuvvet ve momentum ile ilgileniyor isek:

39 5.2.3. Çıkış eşitlikleri:

yada

(40)

40 Durum değişken sayısı: n Giriş sayısı: m

Çıkış sayısı: p Giriş sayısı: m

5.2.10 Çıkış vektörü y, p satırlı sütun vektör.

Durum çıkış matrisi C, p satır n sütunludur.

Kontrol çıkış matrisi D, p satırlı m sütunludur.

C ve D matrisleri durum değişkenleri ve girişlerin lineer kombinasyonudur. çıkış bir nonlineer

fonksiyon ise 5.2.10 standart formu uygulanamaz.

(41)

41 Örnek 5.2.4. İki kütle modeli için çıkış eşitliği:

2 Çözüm:

(42)

42

(43)

Mesela modelin bu hali ile zorlanmamış sistem cevabı sonraki bölümde

bahsi geçecek olan MATLAB “initial” fonksiyonu ile kolayca elde edilebilir.

43 5.2.5.Pay dinamiklerine sahip model formları:

Modelin zorlanmamış cevabı ile ilgilendiğimizi düşünelim:

(44)

Yukarıdaki modeli standart formda durum-değişken modeline çeviriniz.

44 Örnek 5.2.5. 1. derece sistemde pay dinamikleri:

(1)

(2)

(45)

1. yöntem:

45 Çözüm 5.2.5. İki yol mevcuttur:

(46)

46

(47)

İkinci yöntem:

47

(48)

48

(49)

49 Tablo 5.2.1.Pay dinamikleri için bir durum-değişken formu:

(50)

Konu 2.

MATLAB ile Durum-Değişken Metodları

50

(51)

initial fonksiyonu zorlanmamış yanıtı hesaplar ve sadece durum-değişken modelinde kullanılır.

MATLAB durum değişken ve transfer fonksiyonu formları arasında geçiş yapabilir.

51

5.3.1

5.3.2

(52)

52

(53)

ss (state-space)

Bir durum modelinden bir LTI nesnesi oluşturmak için ss(A,B,C,D) fonksiyonu kullanılır.

53 5.3.1.LTI Nesneleri ve ss(A,B,C,D) Fonksiyonu

(54)

54 ss(sys) ve ssdata(sys) fonksiyonları:

ekran çıktısı

durum denklemleri

(55)

55 5.3.4. tfdata fonksiyonu:

tfdata, tf fonksiyonu ile tanımlanmış sistemin pay ve paydasını verir.

(56)

Örnek 5.2.3’de verilen sistemin durum-değişken modelini elde etmiştik.

X1(s)/F(s) ve X2(s)/F(s) transfer fonksiyonlarını elde ediniz. Buna göre;

56 Örnek 5.3.1.

(57)

x1 ve x2 fonksiyonlarının transfer matrislerini istediğimizden dolayı öncelikli olarak C ve D matrislerini tanımlanması gerekir.

57 Çözüm 5.3.1.

Örnek 5.2.1.den

(58)

58 Tablo 5.3.1.LTI Nesne Fonksiyonları:

Şekil

(59)

MATLAB Control System Toolbox, lineer modeller için bazı çözücüler sağlar.

Bunlar giriş fonksiyon çeşidine göre sınıflandırılabilir.

0 giriş

Impuls giriş Adım giriş

Genel giriş fonksiyonu

59 5.3.5. Lineer ODE Çözücüler:

(60)

Bu fonksiyon bir durum modelinin zorlanmamış cevabını hesaplar ve çizer.

Bu MATLAB dokümanlarında bazen initial condition response veya undriven response olarak da yer alır.

Komut…….. >>initial(sys,x0);

sys: durum değişkeni formunda LTI nesne x0: başlangıç koşul vektörü

Örnekleme zamanı ve çözüm için alınan nokta sayısı otomatik olarak ayarlanır.

60 5.3.6. MATLAB “initial” fonksiyonu:

(61)

61 Örnek 5.3.2.İki kütle modelinin zorlanmamış cevabı:

2

(62)

62 Çözüm 5.3.2.

(63)

step fonksiyonu ile program y çıkış fonksiyonunu ve zaman vektörü t’yi geri döndürür. [y,t]=step(sys,..). Grafik çizdirilmez.

[y,t,x]=step(sys,…) ile durum uzayı modeli için durum vektör çözümü elde edilir.

lsim fonksiyonu durum-uzayı modeli ile 0 olmayan başlangıç koşulları için kullanılır.

>>lsim (sys,u,t,x0)

63 5.3.7.impulse, step ve sim fonksiyonları:

(64)

64 Tablo 5.3.2

(65)

65 Örnek 5.3.3.İki kütle modelinin toplam cevabı:

% InitialPlusStep.m

A = [0,0,1,0;0,0,0,1;-1,4/5,-12/5,8/5;4/3,-4/3,8/3,-8/3];

B = [0;0;0;1/3];

C = [1,0,0,0;0,1,0,0];

D = [0;0];

sys = ss(A,B,C,D);

[ystep,t] = step(3*sys);

yfree = initial(sys,[5,1,-3,2],t);

y = yfree + ystep;

plot(t,y),xlabel('t'),gtext('x_1'),gtext('x_2')

Eğer iki kütle modelinde giriş 3 genlikli bir step ile zorlanırsa toplam

cevabı bulunuz.

(66)

A matrisi yukarıda verilmiştir. İlgili eşitliği yazınız.

Karakteristik denklem aşağıdaki komut satırı ile elde edilir.

66 5.3.8.Karakteristik polinomun elde edilmesi:

Karakteristik kökler roots(poly(A)) komutu ile elde edilir.

Ayrıca A matrisinin eigen değerlerinden, karakteristik denklem kullanılmadan,

karakteristik denklemin kökleri elde edilebilir. Bunun için eig(A) komutu kullanılır.

İpucu:

(67)

5.4. MATLAB ode Fonksiyonları

67

(68)

Sayfa 279

Bağımsız değişkenlerin nonlineer fonksiyonları nonlineer dif. denklem üretmez.

68 Lineer ve nonlineer eşitlikler:

(69)

Laplace metodu ve Bölüm 5.3.1. deki durum değişkenli MATLAB çözüm metodları değişken katsayılı diferansiyel denklemlerin ve nonlineer eşitliklerin çözümünde kullanılamaz.

Birinci dereceden olmak üzere nonlineer diferansiyel denklemlerin kapalı formdaki çözümlerinin elde edilmesi için bazen kullanılabilir.

Bunların dışındaki durumlarda çözüm nümerik olarak elde edilmelidir.

Bu bölümde dif. denklemlerin nümerik çözüm metodlarını vereceğiz.

Öncelikli olarak birinci dereceden durumlar göz önüne alınacak daha sonra ise yüksek dereceli diferansiyel denklemler incelenecektir.

69 5.4.1. Bir çözüm metodunun seçilmesi:

(70)

Nümerik metodların temeli dif. denklemin bir fark denklemine

dönüştürülmesidir. Böylece bir bilgisayar tarafından çözülebilecek forma getirilir.

Nümerik algoritmalar belirli bir algoritmik yapıya sahiptir.

Çözümün doğruluğu, programın karmaşıklığı ile paraleldir.

Önemli olan step size (adım büyüklüğü) ve onun çözümün doğruluğu üzerindeki etkisinin doğru anlaşılmasıdır.

Bu nedenle en basit metod olan Euler metodu ile başlayacağız.

70

(71)

71 5.4.2. Euler Metodu:

(72)

72

(73)

73

(74)

74

(75)

75 Tablo 5.4.1.Bu bölüme ait MATLAB fonksiyonları

(76)

dy/dx=r.y olarak veriliyor.

0<=t<=0.5 aralığında çözüm çizdirilecektir.

r=-10 olarak veriliyor.

y(0)=2 (Başlangıç koşulu) tao=-1/r=0.1 (Zaman sabiti) y(t)=2.exp(-10t) olacaktır

deltat=0.02 (zaman sabiti taonun %20’si) seçilmiştir.

76 Örnek:

(77)

%Sayfa 281 Euler Metod r=-10; delta=0.02;y(1)=2;

k=0;

for time=[delta:delta:.5]

k=k+1;

**y(k+1)=y(k)+ry(k)delta;**

end

t=(0:delta:0.5);

**y_exact=2exp(-10t);**

plot(t,y,'o') hold on

plot(t,y_exact);

xlabel('t'),ylabel('y')

77

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

t

y

(78)

Solvers: MATLAB tarafından denklem çözmek için kullanılan fonksiyonlara verilen isimdir.

ode45, 4. ve 5. derece Runge-Kutta algoritması tabanlı geliştirilen bir çözücüdür.

Detaylı bilgi için https://www.mathworks.com/help/

matlab/ref/ode45.html

78 ode45

(79)

79 5.4.3.Çözücü yazım stili:

Tablo 5.4.2. ode45 çözücü temel yazım stili

(80)

80 Örnek 5.4.1.

(81)

81 Şekil

(82)

82 5.4.4.Yüksek dereceden eşitliklerin genişletilmesi:

(1)

(2)

(83)

83 Şekil 5.4.5

(84)

Konu 3: SIMULINK Metodları

84

(85)

Blok yapısı

Veri depolama Veri çekme

Matematiksel fonksiyonlar ve ihtiyaca uygun toolboxlar.

http://www.mathworks.com/products/?s_tid=gn_ps

85 5.5. Simulink ve Lineer Modeller:

(86)

86 5.5.1 Simulasyon diyagramları

Şekil

(87)

87 Örnek 5.5.1.

Şekil 5.5.4.

(88)

88 Verinin workspace’e kaydı:

Şekil 5.5.5

(89)

89 Örnek 5.5.3.

Şekil 5.5.6.

(90)

90 5.5.2.Durum değişken modellerinin simülasyonu:

Şekil 5.5.7

(91)

91 Şekil

(92)

92 5.6.1.Transfer fonksiyon modellerinin simülasyonu:

Şekil 5.6.6

Dead-zone Ölü Bölge

(giriş fonksiyonu ölü

bölgeye maruz kalıyor)

Kütle-yay-sönüm sistem modeli

(93)

93 Şekil 5.6.7

(94)

94 Örnek 5.6.3. Nonlineer pendulumun simulink modeli:

Şekil 5.6.11

(95)

95

(96)

96 Şekil 5.6.12

(97)

97 5.6.2. Araç süspansiyon cevabı:

Şekil 5.6.13

Şekil 5.6.14

Şekil 5.6.15 Şekil 5.6.16

(98)

Sistem modeli:

98 Çözüm:

md ² x/dt ² =f s +f d

Şekil 5.6.17

Şekil 5.6.18

(99)

99 Şekil 5.6.19

(100)