Sistem Dinamiği

(1)

Sistem Dinamiği

Bölüm 4-Mekanik Sistemlerde Yay ve Sönüm Elemanı

Doç.Dr. Erhan AKDOĞAN

(2)

MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 4

Doç.Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği

Sunumlarda kullanılan semboller:

2 Yorum El notlarına bkz.

Bolum No.Alt Başlık No.Denklem Sıra No

Denklem numarası

(3)

Yay elemanları

Kütle-Yay sisteminin modellenmesi Enerji Yöntemleri

Sönüm (Damping) Elemanları Ek Modelleme Soruları

Çarpma ve Impuls Cevapları MATLAB Uygulamaları

Bölüm 4 içeriği:

(4)

Bölüm 3 ‘te rijit cisimleri inceledik.

Bu bölümde deforme olan veya deforme olmuş bir elemanla diğer cisimlere bağlantı yapılma durumlarını inceleyeceğiz.

Deforme olan eleman direnç kuvvetini ortaya çıkarır veya biriktirir. Bu kuvvet yerdeğiştirmenin bir fonksiyonu olarak

temsil edilebilir. Bu elemana ise yay veya elastik eleman denir.

Deforme olan eleman direnç kuvvetini ortaya çıkarır veya

biriktirir. Bu kuvvet hızın bir fonksiyonu olarak temsil edilebilir.

Bu elemana ise sönümlenme veya sönüm elemanı denir.

4 Giriş:

(5)

4.1. Yay (spring) elemanı:

(6)

Elemanın elastik olması yada olmaması(büyük kuvvet etkisi)

Birçok uygulamada dönel yaylar kullanılır Amaç kuvvetin depo edilmesidir.

6

(7)

Yayın sıkışması veya açılması sapma (deflection) olarak adlandırılır.

Bu hareket lineer kuvvet - sapma modeli ile açıklanır.

4.1.1. Kuvvet-Sıkışma veya sapma (deflection) İlişkisi:

Şekil 4.1.1

k: yay katsayısı veya esneklik(stiffness).

Her zaman pozitiftir.

Birimi: lb(pound)/ft(foot), N/m

Hooke Kanunu olarak bilinir. (Robert 4.1.1

n: Sarım sayısı

G: Elastiklik kayma modülü d: Kablo çapı

R: Sargı yarıçapı

(8)

Yay katsayısı elemanın geometrisi ve malzeme özelliklerinden belirlenir. Bu malzeme mekaniği alanı ile ilgilidir.

8 4.1.3. Yay katsayısının analitik belirlenmesi:

(9)

Tablo 4.1.1. Yay katsayıları:

(10)

Silindirdeki burulma hareketi “torsiyon” olarak adlandırılır.

10 4.1.4. Torsiyonal (burulma) yay elemanı:

Şekil 4.1.5

4.1.2 k T: torsiyonal yay katsayısı (Nm/rad)

(11)

(12)

Doç.Dr. Erhan AKDOĞAN

YTÜ-Mekatronik Mühendisliği

12 4.1.5.Seri ve paralel yay elemanları:

Şekil 4.1.7

Her iki yayda aynı yerdeğiştirmeye maruz kalacak

Eğer sistem statik dengede ise

Eşdeğer sistem şekil 4.1.7 (b)

Eşdeğer yay katsayısı

Formül 4.1.3 teki gibi genişletilebilir

4.1.3. PARALEL YAY

(13)

Eğer yaylar uç uca bağlandı veya seri şekilde bağlandı ise toplam yer değiştirme:

4.1.4 SERİ YAY

4.1.5.Seri ve paralel yay elemanları:

Şekil 4.1.8

(14)

14 Örnek 4.1.3.

(15)

Örnek 4.1.5.

Şekil 4.1.11

Çözüm:

Yataydaki yer

(16)

16 4.1.6. Nonlineer yay elemanı

Şekil 4.1.12

(17)

Sert ve yumuşak nonlineer yay elemanları

Şekil 4.1.13

b) yumuşayan yay elemanı

a) sertleşen yay elemanı

(18)

4.2. Kütle-yay sistemlerinin modellenmesi

18

(19)

Yay elemanları rijit değildir ve kütleleri vardır.

Kütle-yay sistem modellemede en büyük problem bir

veya daha fazla rijit cisim ile bunun nasıl yapılacağıdır.

Buradaki yaklaşımlardan biri yayın kütlesini ihmal

etmektir. Ancak buradaki en sağlıklı yaklaşım nesne ve yayın kütlelerinin bilinmesi yolu ile bu ihmalin

yapılmasıdır.

4.2.1. İdeal ve gerçek yay elemanları

(20)

20 4.2.2. Geometri ve yayın serbest uzunluğunun etkisi:

Şekil 4.2.1

4.2.1.

(21)

4.2.3. Yerçekimi etkisi

Şekil 4.2.2

:Statik yay sapması 0

(22)

22 4.2.4. Koordinat referansı olarak denge konumunun seçimi:

Şekil 4.2.3

(Statik kuvvet terimi eşitlikten çıkarılmamıştır.)

(23)

Kütle-yay sisteminde statik sapma

Şekil 4.2.4

(24)

Şekil 4.2.5. teki tüm durumlar için

24 Kütle-yay modeli için koordinat doğrultusu seçimi

Şekil 4.2.5

(25)

Kütle-yay sisteminin bir harici kuvvet ile modellenmesi:

Şekil 4.2.6

(26)

26 4.2.5. Hareket eşitliğinin çözümü:

4.2.2

4.2.3

(27)

Sistem doğal frekansını bulunuz. Kiriş kütlesini ihmal ederek ideal yay gibi modelleyiniz.

Örnek 4.2.1 (Kiriş titreşimi)

Şekil 4.2.7

(28)

28 Çözüm 4.2.1.

(29)

Teta açısından hareket eşitliğini bulunuz ve doğal frekansı hesaplayınız. Bağlantı elemanı(çubuk) ataletini ihmal ederek ideal torsiyonal yay olarak kabul ediniz.

Örnek 4.2.2 (Torsiyonal yay)

(30)

30 8b

(31)

x koordinatı açısından hareket eşitliğini bulunuz.

Kütle merkezinde silindir ataleti I’dır.

Örnek 4.2.3(rampa üzerindeki silindir)

(32)

32 Çözüm 4.2.3.

(33)

Çözüm 4.2.3.

(34)

34 4.2.6.Yerdeğiştirmeye neden olan girişler ve yay elemanları

Şekil 4.2.10

(35)

Basit harmonik hareket

4.2.7.Basit harmonik hareket:

4.2.4

4.2.3

(36)

36 Basit harmonik hareket için ivme, hız, yerdeğiştirme profili

Şekil 4.2.11

(37)

4.2.8.İki veya daha fazla kütleli sistemler:

Örnek 4.2.4

(38)

Bir yay tarafından oluşturulan kuvvet konservatif kuvvettir.

Eğer yay lineer ise kuvvet f=-k.x şeklinde verilir.

Böylece potansiyel enerji lineer bir yay için;

38 4.3. Enerji Metodları:

4.3.1

(39)

Eğer bir yay buruldu ise bu torsiyonal yay M kadar bir moment üretir.

Eğer yay lineer ise M=k _T .Teta ‘dır. Burada teta burulma açısıdır.

İş bu yay tarafından yapılır ve yayda depolanan potansiyel enerji:

4.3.2.

(40)

Enerjinin korunumu yasasından:

40 Yatay düzlem:

=Sabit T: Kinetik en. V: Potansiyel en.

(41)

Düşey düzlem ve yerçekimi etkisi:

V s : yayın potansiyel enerjisi

V g : Yerçekiminden kaynaklı potansiyel enerji

(42)

Maksimum yay sıkışması ve

maksimum iletilen kuvveti a)W=64N ve b)W=256N için hesaplayınız.

k ₁ =10 ⁴ N/m

k ₂ =1.5x10 ⁴ N/m d=0.1 m

h=0.5 m

42 Örnek 4.3.1(Kuvvet izolasyon sistemi)

Şekil 4.3.2

(43)

(44)

44

(45)

(46)

Kütle-yay sisteminde sürtünme ve sönüm ihmal edilerek, sıklıkla enerjinin korunumu prensibi kullanılarak, hareket eşitliği elde edilebilir. Basit harmonik hareket için hareket eşitliği elde edilmeksizin titreşim frekansı bulunabilir.

46 4.3.1. Hareket eşitliğinin elde edilmesi:

(47)

Örnek 4.3.2. Kütle-yay sisteminin hareket eşitliği:

Enerjinin korunumu prensibinden hareket eşitliğini bulunuz.

(48)

Basit harmonik harekette, denge noktası x=0’da, kinetik enerji maksimum potansiyel enerji minimumdur.

Yerdeğiştirme maksimum olduğunda potansiyel enerji maksimum, kinetik enerji 0 olur.

Enerjinin korunumu yasasından

48 4.3.2. Rayleigh Metodu:

Rayleigh Metodu

(49)

(50)

Rayleigh metodunu kullanarak şekildeki silindirin doğal frekansını bulunuz.

50 Örnek 4.3.3.

(51)

Çözüm 4.3.3.

(52)

52 Çözüm 4.3.3.

(53)

Şekilde bir arabanın ön tekerleğinin süspansiyonu görülmektedir. L1=0,4 m, L2=0.6m, k=3.6x104 N/m, arabanın ağırlığı 3500N’dur. Süspansiyonun doğal frekansını yatay hareket için hesaplayınız.

Örnek 4.3.4 (Bir süspansiyon sisteminin doğal frekansı)

(54)

54 Çözüm 4.3.3.

(55)

Şekilde görülen sistemde eleman kütleleri ya bağlı olan m kütlesi yanında ihmal edilir yada kütleye dahil edilir. Dahil edilmiş kütleye elemanın eşdeğer kütlesi denir.

Bunu sistemin toplu parametreli bir modelini elde edebilmek için yaparız.

Rijit gövdeli cisimler için bunu Bölüm 3’te, kinetik enerji eşitliğini kullanarak yapmış idik.

Çünkü kütle enerji eşitliği ile ilgili bir parametre idi.

4.3.3. Elastik elemanların eşdeğer kütlesi:

Şekil 4.3.6 (a)

(56)

Eksenel uygulanan kuvvet ile çubuk geriliyor. Çubuğun eşdeğer kütlesini hesaplayınız.

56 Örnek 4.3.5.

Şekil 4.3.6 (b)

(57)

Çözüm 4.3.5.

6

(58)

58 Tablo 4.3.1. Ötelemeli sistemler için eşdeğer kütle ve atalet

(59)

Tablo 4.3.1. Dönel sistemler için eşdeğer kütle ve atalet

(60)

Kiriş iki noktadan sabitlenmiştir.

Motor hareketi ile motor dönel hızına eş olarak oluşan bir

frekansta motor dengesizliği bir f kuvveti oluşturuyor. Frekans

doğal frekansa yaklaşırsa kirişin hareketi aşırı olarak kirişin

bozulmasına yol açabilir. Motor- kiriş sisteminin doğal frekansını bulunuz.

60 Örnek 4.3.6. Sabitlenmiş kirişin eşdeğer kütlesi

Şekil 4.3.7

(61)

Çözüm 4.3.6.

(62)

I ₁ ataleti I ₂ ataletli iki şafta bağlanmıştır. T ₁ kadar bir tork uygulanıyor.

a)Hareket eşitliğini bulunuz.

b)Sistemin doğal frekansını I 1 5cm çaplı ve 3 cm uzunluğunda ise, silindir şaftları 2 cm ve çaplı ve 6 cm uzunluğunda ise bulunuz. (Üç silindir için malzeme özellikleri: çelik, G=1.73x10 ⁹ ve yoğunluk=15.2)

62 Örnek 4.3.7. Sabitlenmiş torsiyonal titreşim

(63)

Çözüm 4.3.7(a)

(64)

64 Çözüm 4.3.7.(b)

(65)

4.4. Sönüm (damping) elemanları:

(66)

Sönüm elemanı hıza karşı direnç gösterir.

Damperler, akışkan içeren silindirler örnek olarak verilebilir.

Değişken hızda direnç etkisi ortaya çıkar.

66 Şekil 4.4.1

(67)

4.4.1. Kapı damperleri:

(68)

68 Dönel damper

Şekil 4.4.3 Dönel Damper

(69)

Hidrolik dikme (oleo strut):

4.4.2 Şok emiciler:

Şekil 4.4.4 Şekil 4.4.5

geri tepme

sıkışma

(70)

İdeal damper elemanı kütlesiz kabul edilir.

70 4.4.3. İdeal Damperler:

(71)

Lineer damper modeli:

4.4.4. Damper elemanının temsili:

sönüm(damping) katsayısı:Ns/m hız

Sönüm kuvveti her zaman relatif hızın tersidir.

4.4.1

4.4.2

(72)

72 Ötelemeli ve dönel tip sönüm elemanları:

torsiyonal sönüm katsayısı açısal hız Nms/rad

viskos sürt. meydana gelen rulmanlar

genel gösterim torsiyonal tip

(73)

Örnek 4.4.1.

4.4.5. Kütle-sönüm sisteminin modellenmesi:

(74)

74

(75)

Çözüm 4.4.1.

(76)

76 Örnek 4.4.2.

(77)

Çözüm 4.4.2.

(78)

78 Örnek 4.4.3.(Kütle-yay-sönüm sistemi)

Şekil 4.4.10 (a)

(79)

Çözüm 4.4.3.

Şekil 4.4.10 (b)

(80)

Çözüm:

80 Örnek 4.4.4. (Sönüm etkisi)

(81)

(82)

82

(83)

(84)

84 Örnek 4.4.5: (yay ve sönüm bağlantılı sistem)

Transfer fonksiyonunu bulunuz ( X(s)/F(s) )

Free body diagram of system

(85)

Çözüm 4.4.5:

(86)

86 Tartışma:

(87)

4.4.6. Sönüm elemanları ile giriş hareketi

Şekil 4.4.13 Hız girişli sistem

(88)

88 Örnek 4.4.6. (inceleyiniz)

Şekil 4.4.14

Hareket eşitliğini bulunuz

(89)

Çözüm 4.4.6.

14

(90)

90

14

(91)

transfer fonksiyonu:

4.5.1. Girişin türevi ile basamak cevabı:

4.5.1.

4.5.2. pay dinamikleri

direk damper üzerine etki ile yerdeğiştirme varsa ortaya çıkar

(92)

92 Sabit giriş ile step girişin karşılaştırılması:

(93)

(94)

4.6. Çarpışmalar ve Impuls Cevabı

94

(95)

Impulsif bir girişin gücü o giriş eğrisinin altındaki alan ile hesaplanır.

Dirak delta fonksiyonu alanı 1 olan bir fonksiyondur.

Kısa süreli ortaya çıkan çarpışmaların için çok kullanışlı bir fonksiyondur. Mesela iki cismin çarpışması gibi.

Sistem parametrelerinin deneysel olarak tahmini için kullanılabilir. Ayrıca

süreksiz fonksiyonların etkisinin analizi için de etkilidir.

(96)

96

(97)

Impuls momentum prensibi(sabit kütle durumu):

4.6.1. Başlangıç koşulları ve Impuls Cevabı

4.6.1. Mekanik alanında kuvvet-zaman eğrisi altında kalan alan lineer impuls olarak adlandırılır.

Lineer impuls, lineer kuvvetin gücüdür.

Ancak bir kuvvet lineer impuls üretmek için impulsif olmak zorunda değildir.

4.6.2. integral

Eğer ise

(98)

98 Örnek 4.6.1. Elastik olmayan çarpışma

Şekil 4.6.1

(99)

Çözüm 4.6.1.

(100)

100 İnceleyiniz

(101)

(102)

İnceleyiniz

102 Örnek 4.6.2. (Tam elastik çarpışma)

(103)

Çözüm 4.6.2.

(104)

104

(105)

4.7. MATLAB Uygulamaları:

(106)