Sistem Dinamiği

(1)

Sistem Dinamiği

Bölüm 3- Rijit Gövdeli Mekanik Sistemlerin Modellenmesi

Doç.Dr. Erhan AKDOĞAN

(2)

Sunumlarda kullanılan semboller:

Yorum El notlarına bkz.

Bolum No.Alt Başlık No.Denklem Sıra No

Denklem numarası

Şekil No

Şekil numarası Dikkat

Soru MATLAB

Şekil No

(3)

Yerdeğiştirme (öteleme-translational) içeren hareketler Sabit bir eksen etrafında dönme

Eşit kütle ve atalet

Genel düzlemsel hareket Ek örnekler

Bölüm gözden geçirme

Bölüm 3 içeriği:

(4)

Bir cismin hareketinin modellenmesinde

burulma(twisting) ve bükülme (bending) ihmal edilip rijit cisim gibi kabul edilerek çözüm yapılır.

Giriş:

(5)

3.1. Yerdeğiştirme (öteleme)

içeren hareket(translational

motion)

(6)

1. Bir cisim, üzerine sıfır bileşke kuvvet etkidiğinde durgun halde kalır veya sabit hıza sahipse sabit hızla hareketine devam eder.

2. Bir cisme etki eden net kuvvetin meydana getirdiği ivmeye oranı sabittir.

3. Eğer bir A cismi B cismine bir kuvveti uygularsa, B cismi de A cismine ’nin büyüklüğüne eşit fakat zıt yönlü bir kuvvet uygular.

Newton yasaları:

(7)

Newton’un ikinci kuralı:

Newton Kuralı:

Eğer kütle tek bir doğrultuda hareket ediyorsa:

Eğer Newton Kuralı skalar formda yazılırsa:

Şekil 3.1.1 (3.1.1)

(3.1.3) (3.1.2)

(3.1.4)

(8)

Yaklaşım:

Cismin rijit olduğu ve kuvvetin nesnedeki dağılımının ihmal edildiği, cismin bir merkezde toplanarak

bir nokta kütle olduğu

kabul edilir ise daha kolay biçimde modelleme gerçekleştirilir.

(9)

Her iki tarafı vdt ile çarpalım ve v=dx/dt yi kullanalım

3.1.1. Mekanik Enerji

(3.1.4)

Kinetik Enerji(KE)

(10)

Eğer iş yalnızca kuvvet tarafından yapılıyor, yoldan bağımsız ve sadece son noktaya bağlı ise, kuvvet f(x), V(x) gibi bir fonksiyondan elde edilebilir.

3.1.1. Mekanik Enerji

3.1.5 Konservatif kuvvet

yada denklem 3.1.4’ten İntegral

Potansiyel Enerji(PE) fonksiyonu

(11)

Denk. 3.1.6.’nın yorumu?

3.1.1. Mekanik Enerji

Konservatif kuvvetten başka kuvvet yok ise KE ve PE toplamı sabittir.

(Konservatif kuvvetten başka kuvvet uygulanmadı ise)

Eğer başlangıç hızı ve yerdeğiştirmesi var ise:

Denklem 3.1.6’yı da kullanarak

3.1.7

(12)

Bazı problemler için denk 3.1.9 kullanışlıdır.

3.1.1. Mekanik Enerji

3.1.9

3.1.10

3.1.11 Yerçekimi kuvveti örneği: Dikey yerdeğiştirme için

(13)

Örnek 3.1.1.

(14)

Çözüm 3.1.1

+

(15)

Nokta kütle modeli, ma=f denklemi, denk. 3.1.9, hızı yerdeğiştirmenin bir fonksiyonu olarak bulmak için kullanılabilir. Eğer f sabit ise

3.1.2. Sabit kuvvet durumu:

final enerji başlangıç enerjisi

iş yapan kuvvet

3.1.12 Mekanik enerjinin korunumu

(16)

Her sabit kuvvet korunumlu değildir.

Saf sürtünme kuvveti, korunumlu olmayan kuvvet örneğidir.

Kuvvet tarafından yapılan iş, alınan yola bağlıdır.

Saf sürtünme kuvveti yüzey sürtünmesinin bir fonksiyonudur.

3.1.3. Saf(dry) Sürtünme Kuvveti

:sürtünme katsayısı

N: sürtünme yüzey normaline etkiyen kuvvet

(17)

Statik sürtünme: Hareket başlamadan önceki sürtünme

Coloumb sürtünmesi (dinamik sürt., sliding fric., kinetic fric.):

Hareket başladıktan sonraki sürtünme

Potansiyel enerji fonksiyonundan Columb sürtünmesi bulunamaz.

Çünkü enerjinin korunumu yasası uygulanamaz.

Coloumb sürtünmesi deneysel olarak bulunabilir çünkü sürtünme kuvveti sıcaklık olarak enerjiyi tüketir ve kinetik ve potansiyel enerji içeren mekanik enerji korunmaz.

Toplam enerji tabiki korunur.

3.1.3. Saf(dry) Sürtünme Kuvveti:

(18)

Örnek 3.1.2.

(19)

Çözüm 3.1.2.

(20)

Çözüm 3.1.2.

(21)

3.2. Sabit bir eksen etrafında

dönme

(22)

Newton’un ikinci kuralından

açısal hız

atalet moment

Şekil 3.2.1

3.2.1

(23)

Belirli bir referans eksene göre atalet (I) Denk. 3.2.2 ile verilir:

3.2.1. Ataletin hesaplanması

r : dm kütlesinin referans eksenden uzaklığı

3.2.2 Eğer homojen rijit cismin dönme ekseni cismin simetri ekseni ile denk gelmez ise ancak d kadar bir uzaklığa paralel ise atalet paralel eksen teoremi ile verilir.

3.2.3 I s : Simetri

eksenine göre

(24)

(25)

Örnek 3.2.1.

(26)

Çözüm 3.2.1:

(27)

Örnek 3.2.2

a)Hareket eşitliğini bulunuz.

b)Tetayı küçük kabul ederek hareket eşitliğini tekrar

bulunuz.

(28)

Çözüm 3.2.2. İş yapan kuvvet teta yönüne ters

bu nedenle negatif alınması gerekir

(29)

Çözüm 3.2.2.

(30)

3.2.2. Enerji ve Dönel hareket

M momentinin teta dönmesi ile meydana getirdiği iş: 3.2.4

eşitliğinin her iki tarafını wdt ile çarpalım

İntegral

3.2.5

(31)

3.3. Eşdeğer kütle ve atalet

(32)

Yerdeğiştirme ve dönme elemanları içeren bazı

sistemler saf ötelenen veya saf dönen sistem olarak modellenebilir.

Bu amaçla eşdeğer kütle ve atalet yaklaşımı kullanılır.

Bu model kinetik enerji eşdeğerliğinden elde edilir.

Eşdeğer kütle ve eşdeğer atalet birbirini tamamlayan kavramlardır.

Bir sisteme eğer harici kuvvet uygulanırsa eşdeğer kütle, harici moment uygulanır ise eşdeğer atalet ile gösterilmelidir.

Eşdeğer kütle ve atalet kavramı:

(33)

Düz dişli çifti:

N: Çevrim oranı

N=Giriş dönme oranı(teta ₁ )/çıkış(teta ₂ ) dönme oranı N=w ₁ /w ₂

N>1 ise hız düşürücü olarak çalışır.

N=n ₂ /n ₁ , n:dişli oranı

Sürtünme ve dişli ataletleri ihmal edilir ise:

Girişte yapılan iş=çıkışta yapılan iş T ₁ x teta ₁ = T ₂ x teta ₂

3.3.1. Mekanik Sürücüler:

Şekil 3.3.1

(34)

Girişte meydana gelen ataleti bulunuz

Örnek 3.3.1:

(35)

Çözüm 3.3.1:

Bu sonucun manası sistem dinamiklerinin modeli ile tanımlanabileceğidir.

(36)

Şekildeki dişli sisteminde, motor ataleti I 1 =0.1 kgm ² , yük şaftı için atalet I 2 =0.4

kgm ² ‘dir. Motor hızı w 1 yük hızı w 2 ’den 5 kat büyüktür. bu nedenle cihaz hız

düşürücü olarak adlandırılır (speed reducer)

a)w 1 açısından hareket denklemini b)w 2 açısından hareket denklemini

T 1 ve T 2 ’ nin bilindiğini kabul ederek bulunuz.

Örnek 3.3.2.:

(37)

Çözüm 3.3.2.

(38)

Çözüm 3.3.2.

(39)

Örnek 3.3.3.

I

₁

=0.005 kgm

²_,

I

₂

=0.001 kgm

²

, I

₃

=0.02, I

₄

=0.2 ‘dir.

w1/w2=3/2, w2/w3=2 dir.

(40)

Çözüm 3.3.3.

(41)

Çözüm 3.3.3.

(42)

Örnek 3.3.4.

Giriş şaftında ortaya çıkan eşdeğer

atalet denklemini yazınız.

(43)

Çözüm 3.3.4.

(44)

Örnek 3.3.5.

Giriş şaftında ortaya çıkan eşdeğer

atalet denklemini yazınız.

(45)

Çözüm 3.3.5.

(46)

Örnek 3.3.6. (İnceleyiniz)

(47)

(48)

Şekil 3.3.6. daki sistemde üç farklı hareket mümkündür:

Saf dönme: v=R.w

Saf kayma: w=0, v=R.w

Kayma ve dönme : w=0, v=R.w

3.3.2. Dönme ve kayma

Şekil 3.3.6.

(49)

Eğer tanjantial kuvvet (f t )statik sürtünme kuvvetinden ( )

küçük ise tekerlek kayma olmasızın dönecektir.

Burada N yüzey normalinin tekerlek normaline uyguladığı kuvvettir.

Bu şartlar altında, tanjantial kuvvet iş yapmaz.

çünkü alınan yol boyunca aktif değildir.

Eğer statik sürtünme kuvveti f t ’den küçük ise

tekerlek kayacaktır.

(50)

3.4. Genel düzlemsel hareket

(51)

Bölüm 3.1. sadece yerdeğiştirme, Bölüm 3.2.’de sadece dönme ki bu eksende ivmelenmesi olmama durumunda, Bölüm 3.3’ te ise enerji modeli üzerinden saf dönme veya saf yerdeğiştirme durumunu inceledik.

Bu bölümde ise bir cismin belirli bir eksende hem dönmesi hem de yer değiştirmesi olması durumunda hareket denklemlerini inceleyeceğiz.

Hareketin bir düzlemde yapıldığına odaklanacağız. Bunun manası hareket iki düzlemde yer değiştirmekte ve bunlara dik olan bir eksende dönme yapmaktadır.

Bu konunun bir sonraki aşaması 3 eksende de dönme ve yer değiştirme olması durumudur ki bununla ilgili mekatronik mühendisliği

Giriş:

(52)

3.4.1. Kuvvet eşitlikleri:

3.4.1.

3.4.2. Şekil 3.4.1.

(53)

O noktasından geçen bir eksen etrafında dönme olduğunu kabul edelim. Bu şartlar altında moment eşitliği

3.4.2. Moment eşitlikleri:

O noktasından geçen eksen eksen etrafındaki dönmenin

açısal ivmesi O noktasından geçen eksen

eksen etrafındaki atalet

O noktası etrafında cisme etkiyen toplam moment

Aşağıdaki eşitlik dönme ekseni önemsenmeden moment denklemini vermektedir.

3.4.3.

3.4.4. Kütle merkezi G den geçen ve yüzeye dik olan eksen etrafındaki toplam moment

(54)

G noktası nesnenin kütle merkezi olmak zorundadır.

Birçok problemin çözümünde bir P noktasının ivmesi bilinir ve bu nokta ile işlem sabit bir noktaya göre veya kütle merkezine göre problem çözümünde kullanılabilir.