Sistem Dinamiği

(1)

Sistem Dinamiği

Bölüm 2- Dinamik Cevap ve Laplace Dönüşümü

Doç.Dr. Erhan AKDOĞAN

(2)

Sunumlarda kullanılan semboller:

Yorum El notlarına bkz.

Bolum No.Alt Başlık No.Denklem Sıra No

Denklem numarası

Şekil No

Şekil numarası Dikkat

Soru MATLAB

Şekil No

(3)

MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 2

Dr. Erhan AKDOĞAN

YTÜ-Mekatronik Mühendisliği

Diferansiyel denklemler Laplace Dönüşümü

Laplace kullanılarak eşitliklerin çözümü Kesirlere ayırma yöntemi

Cevap parametreleri ve kararlılık Transfer fonksiyonu

Impuls ve pay dinamikleri Uygulama örnekleri

MATLAB ile katsayı hesaplama

MATLAB ile transfer fonksiyonu analizi

3 Bölüm 2 içerik:

(4)

Dinamik modeller, bir dinamik sistemi tanımlayan diferansiyel denklemlerdir.

Bu bölümde mühendislik uygulamalarında sık kullanılan diferansiyel denklemlerin analitik

çözümleri üzerinde durulacaktır.

Giriş:

(5)

2.1.Diferansiyel Denklemler:

5

(6)

ODE (ordinary differential equation) adi diferansiyel denklemler kısmi türevler içermeyen denklemlerdir.

Çünkü sistem dinamikleri zamana bağlıdır. ODE lerin

bağımsız değişkeni zaman (t) parametresi olacaktır.

(7)

• Tüm fonksiyonların bağımlı değişkenleri eşitliğin sol yanında ve tüm izole sabitler ve izole fonksiyonlar ise eşitliğin sağ yanında yer alır.

• Eşitliğin sağ yanına giriş yada zorlama fonksiyonu denir.

• Zamana bağlı bağımlı değişken çözüm yada yanıt (cevap) adını alır.

7 Tanımlar:

Cevap veya giriş

Bağımlı değişken

x(t): Yanıt veya çözüm

(8)

ODE

Çözüm x(t)’yi bulmak

x(t)=Ce ^-3t +0.5 C:sabit

Herhangi bir anda x’in özel bir değerini bilmiyor isek C bulunamaz.

t ₀ : t=0 anı (başlangıç zamanı)

x ₀ : başlangıç koşulu (t ₀ anında x’in değeri)

2.1.1. Başlangıç koşulları:

(9)

Diferansiyel denklemleri lineer ve nonlineer olarak sınıflandırabiliriz.

Lineer dif. denklemde; bağımlı değişkenler ve bunların türevleri lineer fonksiyonlardır.

Bağımsız değişkenin nonlineer fonksiyonu bir diferansiyel denklemi nonlineer yapmaz (aşağıdaki örneklerde t bağımsız değişken).

Aşağıdaki denklemler lineerdir:

9 2.1.2. Diferansiyel denklemlerin sınıflandırılması:

(10)

Aşağıdaki denklemler nonlineerdir.

2.1.2. Diferansiyel denklemlerin sınıflandırılması:

(11)

Sabit katsayılı dif. denklemleri çözerken başlangıç koşulları genelde 0 alınır. Bu çözümü basitleştirir.

bağımlı değişkenin en yüksek dereceli türevinin derecesi denklemin derecesi kabul edilir. Aşağıda 2. derece bir dif. denklem verilmiştir.

11 Değişken ve sabit katsayılı dif. denklem:

Değişken katsayılı dif. denklem Sabit katsayılı dif. denklem

Bağlı (kuple=coupled)

diferansiyel denklem

(12)

2.1.3. Direk integrasyon ile çözüm:

(13)

13

(14)

2.1.4. Değişkenlerin ayrılması:

(15)

15 Örnek 2.1.1.

(16)

Şekil 2.1.1

(17)

17 2.1.6. Kökler ve Kompleks Sayılar:

Tablo 2.1.1. Kökler ve kompleks sayılar

(18)

2.1.6. Kökler ve Kompleks Sayılar:

(19)

19 Şekil 2.1.2 Şekil 2.1.3

(20)

Tablo 2.1.2. Eksponansiyel Fonksiyon

(21)

2.5. Cevap Parametreleri ve Kararlılık

21

(22)

Genel olarak sistem dinamiklerindeki diferansiyel denklemler lineer ve sabit katsayılıdır.

Herbiri genel olarak sağ-yanlıdır.

Temel olarak birinci derece ve ikinci derece olmak üzere iki tipte bulunur:

Birinci derece:

İkinci derece:

Giriş:

(23)

23 Tablo 2.3.2 Sabit bir giriş için Çözüm Formları

(24)

2.5.1. Sistem davranışının

(cevap veya çözüm=response)

değerlendirilmesi:

(25)

Osilasyon

Eksponansiyel azalma Sonuç

25 Sistem cevabının yorumu:

(26)

(27)

2.5.2. Zaman Sabiti (Time Constant)

27

(28)

Birinci dereceden sistem cevabı:

Aşağıdaki formda tekrar yazarsak:

: zaman sabiti olmak üzere:

Zaman sabiti, sistemin geçici durumu ve kalıcı hale ne zaman ulaşacağı konusunda bilgi verir.

(29)

MKT3131 Sistem Dinamiği Dr. Erhan AKDOĞAN

Zaman Sabiti:

29 Şekil 2.5.1 Sistem cevabı

4

(30)

Zorlanmış fonksiyon sabit ise;

Zaman sabiti:

(31)

t=4Tao sürede %98 kararlı hale gelir, t=5Tao sürede ise

%99 kararlı hale gelir.

Buradaki fark çok küçük olduğundan genellikle mühendislik problemlerinde 4Tao süre kararlı hale gelme süresi olarak tanımlanır. Diğer yandan x(t) fonksiyonu sonsuza kadar tam olarak kararlı hale oturmayacaktır.

31 Zaman sabiti:

(32)

Örnek 2.5.1:

Tablo 2.3.2’den

(33)

2.5.3. Baskın kök yaklaşımı

(Dominant root approximation):

33

(34)

Örnek 2.5.1 ‘de iki adet geçici zaman yanıt terimi vardır. Bunlar e ^-2t ve e ^-5t’ dir.

x(t)’nin zaman yanıtı incelenir ise e ^-2t’ nin diğer terime göre daha geç 0 ‘a gittiği görülür.

Yani bu terim zaman yanıtını daha çok etkiler. Bu nedenle bu terime “baskın kutup” adı verilir. Aynı terimin zaman sabitine ise

“baskın zaman sabiti” denir.

Ancak unutulmaması gereken bu terimlerin C ₁ ve C ₂ katsayılarının birbirine göre durumlarının da dikkate alınması gerekliliğidir.

Geçici durum yaklaşık olarak ne zaman tamamlanacaktır???

Dominant kutup ve dominant zaman sabiti:

(35)

35 Örnek (3.2.3 for 2nd Ed.):İkinci derece sistem cevabı, Kompleks

Kökler

(36)

Kökün negatif gerçek

kısmının etkisi

Her çift aynı zaman

Örnek 2.5.2 için sistem cevabı:

Örnek 2.5.2

c=0, x(0)=10, dx(0)/dt=0

1,33

(37)

2.5.4. Zaman sabitleri ve Kompleks Kökler

37

(38)

Örnek: İkinci derece, İmajiner Kökler

(39)

2.5.5. Doğal Frekans

(Natural Frequency):

39

(40)

Doğal Frekans Tanımı:

(41)

Sistem cevabı sabit genlikli bir osilasyon sinyalidir.

Genlik başlangıç koşullarına bağlıdır.

Osilasyon frekansı ve periyot başlangıç koşullarından bağımsızdır.

41 Doğal frekans tanımının yorumu:

(42)

2.5.6. Sönümlü(bastırılmış) doğal frekans

(damped natural frequency)

(43)

43

(44)

(45)

45 Sönümlü doğal frekans

(46)

(47)

En büyük osilasyon frekansı c=0’da mümkündür. Bu durumda w _n =w _d olur.

Eğer c yeterince büyük ise w _d sıfır veya imajinerdir. Kökler reeldir ve osilasyon yoktur.

w _d =0 ve kökler reel ve birbirine eşit ise bu değer kritik sönüm değeri olarak adlandırılır.

Eğer c>2sqrt(mk) ise cevap eksponansiyel

Eğer c<2sqrt(mk) ise cevap osilasyon yapan bir sinyaldir.

47 Sönümlü doğal frekansın yorumu:

(48)

2.5.7 Sönüm Oranı

(Damping Ratio):

(49)

Eğer iki kökte negatif veya negatif gerçek kısıma sahip ise 2. derece

sistemin zorlanmamış cevabı sönüm oranı tarafından karakterize edilir.

Bazen sönüm faktörü olarak da adlandırılabilir.

49 Sönüm oranı:

(50)

Sönüm oranı bize sistem cevabının karakterini kolayca yorumlamamıza yardım eder.

Sönüm oranı:

(51)

51

(52)

(53)

53

(54)

Tablo 2.5.1. İkinci derece modellerin cevap parametreleri:

(55)

2.5.8 Kararlılık (Stability):

55

(56)

Kararsız (unstable):

Bir sistemin zorlanmamış cevabı, zaman sonsuza gittikçe sonsuza gidiyor ise o sistem kararsızdır.

Kararlılık ile ilgili kavramlar:

Kararlı (stable): (asimptotik kararlı da denir)

Bir sistemin zorlanmamış cevabı, zaman sonsuza gittikçe 0’a

yaklaşıyor ise o sistem kararlıdır.

(57)

Kritik kararlı (critically stable=neutral stability):

Sistemin zorlanmamış cevabı kararlılık ve kararsızlık sınırında ise sistem kritik kararlıdır. Sistemin

zorlanmamış çözümü sonsuza veya 0’a yaklaşmaz.

57 Kararlılık ile ilgili kavramlar:

(58)

Bir sistemin kararlılığı karakteristik denklemin

kökleri incelenerek tespit edilir.

(59)

59

(60)

(61)

61 2. derece sistem yorumları:

Şekil 2.5.4

(62)

Bir modelin herhangi bir kökü pozitif reel kısma sahip ise kararsızdır.

Bir model sadece ve sadece karakteristik denkleminin tüm kökleri negatif reel kısma sahip ise kararlılıdır.

Bir modelin gerçek kısımları sıfır olmak üzere imajiner eksen üzerinde en az bir katsız kök bulunması ancak katlı kök

bulunmaması ve sağ yarı düzlemde hiçbir kökün bulunmaması durumunda kritik kararlıdır.

Lineer sabit katsayılı modellerin kararlılık testi:

(63)

2.5.9. Sarkaç örneği:

63

(64)

Sürtünme yok ise kritik

kararlı ‘dır.

Sürtünme var ise sistem

başlangıç

pozisyonuna döner.

Kararlıdır .

Sarkaç hareketinin kararlılık açısından

yorumu:

(65)

2.5.10. Routh-Hurwitz Durumu:

65

(66)

Karakteristik denklemi ms ² +cs+k=0 formunda olan sistemler için m, c ve k katsayılarının işaretleri aynı ise sistem kararlıdır.

Routh-Hurwitz Kriteri:

(67)

2.5.11. Kararlılık ve denge (equilibrium)

67

(68)

Değişiklik olmama durumuna denge denir.

Sarkaç eğer menzili teta=pi ise teta=0 derece konumunda dengededir.

Teta=0 ‘da dengede kararlıdır. Teta=pi denge konumunda ise kararsızdır.

Bu durum bize farklı denge durumlarında kararlılığın

değişebildiğini göstermektedir. Dolayısı ile sistemin tek

başına fiziksel özelliklerine göre değil dengede

bulunduğu yerlere göre kararlılık yorumlanmalıdır.

(69)

Vadinin alt ucunda sürtünme yok ise top sonsuza kadar salınır. Kritik kararlı.

Eğer sürtünme var ise vadi tabanında durur. Kararlı.

Sürtünme var ise vadi dengesi lokal kararlı fakat global kararsız. Çünkü büyük bir kuvvet ile biz vadiden topu dışarı gönderirsek asla dönmeyecektir.

Bir dengenin global kararlı olması için sistemin başlangıç koşullarına dönüş şarttır.

Tepe noktada ise denge global kararsızdır.

Lineer modeller için kararlılık analizi karakteristik denklemin kökleri kullanılarak global anlamda yapılabilir. Ancak nonlineer sistemler bu inceleme lokal kararlılığı verilen bir denge noktası civarında yapılabilir.

69 Lokal ve global kararlılık:

Vadi denge

Tepe

denge

(70)

2.6. TRANSFER FONKSİYONU

(71)

dx/dt+ax=f(t) (2.6.1) x(0)=0 kabul edelim.

sX(s)+aX(s)=F(s) T(s)=X(s)/F(s)

T(s): Transfer fonksiyonu

Transfer fonksiyonunun paydası karakteristik denklemdir. Sistem kararlılığı buradan analiz edilir.

Birden fazla giriş ve çıkış olan sistemlerde (MIMO) transfer fonksiyonları girişler için ayrı ayrı elde edilir. Sadece bir giriş aktif edilerek çıkışlar

bulunur. Daha sonra süperpozisyon yaklaşımı uygulanır.

71 Transfer fonksiyonu:

(72)

Örnek 2.6.2

(73)

73 Çözüm 2.6.2:

(74)

Çözüm 2.6.2:

(75)

75 Çözüm 2.6.2:

(76)

2.7. Impuls ve pay dinamikleri:

(77)

L’Hospital Limit Kuralı:

77 2.7.1 Impuls

Eğer A= 1 ise birim impuls adını alır. “Dirac delta” olarak da adlandırılır ve dinamik sistem analizinde sık kullanılır.

Darbenin kuvveti

Şekil 2.7.1

(78)

Giriş (g(t))’nin türevi transfer fonksiyonunun payına bir s terimi ekledi. Bu tip modellere pay dinamiklerine sahiptir denir.

2.7.2. Pay dinamikleri:

Eğer g(t), u _s (t) ise

(79)

2.8. Ek örnekler:

Örnek 2.8.1 Örnek 2.8.2 Örnek 2.8.3 Örnek 2.8.4 Örnek 2.8.5 Örnek 2.8.6 Örnek 2.8.7

79

(80)

Örnek 2.8.1.

(81)

81 Örnek 2.8.2.

(82)

Bölüm 2’nin özeti:

(83)

Diferansiyel denklemler ve Laplace transformasyonu

Zorlanmamış, zorlanmış, geçici hal ve kalıcı hal yanıtları İmpuls giriş ve girişin türevlerinin sistem cevabına etkileri Doğal frekans, sönüm oranı, zaman sabiti

Sistem Dinamiği

Sistem Dinamiği

Bölüm 2- Dinamik Cevap ve Laplace Dönüşümü

Doç.Dr. Erhan AKDOĞAN

Sunumlarda kullanılan semboller:

Yorum El notlarına bkz.

Bolum No.Alt Başlık No.Denklem Sıra No

Denklem numarası

Şekil No

Şekil numarası Dikkat

Soru MATLAB

Şekil No

Diferansiyel denklemler Laplace Dönüşümü

Laplace kullanılarak eşitliklerin çözümü Kesirlere ayırma yöntemi

Cevap parametreleri ve kararlılık Transfer fonksiyonu

Impuls ve pay dinamikleri Uygulama örnekleri

MATLAB ile katsayı hesaplama

MATLAB ile transfer fonksiyonu analizi

3

Bölüm 2 içerik:

Dinamik modeller, bir dinamik sistemi tanımlayan diferansiyel denklemlerdir.

Bu bölümde mühendislik uygulamalarında sık kullanılan diferansiyel denklemlerin analitik

çözümleri üzerinde durulacaktır.

Giriş:

2.1.Diferansiyel Denklemler:

5

ODE (ordinary differential equation) adi diferansiyel denklemler kısmi türevler içermeyen denklemlerdir.

Çünkü sistem dinamikleri zamana bağlıdır. ODE lerin

bağımsız değişkeni zaman (t) parametresi olacaktır.

• Tüm fonksiyonların bağımlı değişkenleri eşitliğin sol yanında ve tüm izole sabitler ve izole fonksiyonlar ise eşitliğin sağ yanında yer alır.

• Eşitliğin sağ yanına giriş yada zorlama fonksiyonu denir.

• Zamana bağlı bağımlı değişken çözüm yada yanıt (cevap) adını alır.

7

Tanımlar:

Cevap veya giriş

Bağımlı değişken

x(t): Yanıt veya çözüm

ODE

Çözüm x(t)’yi bulmak

x(t)=Ce -3t +0.5 C:sabit

Herhangi bir anda x’in özel bir değerini bilmiyor isek C bulunamaz.

t 0 : t=0 anı (başlangıç zamanı)

x 0 : başlangıç koşulu (t 0 anında x’in değeri)

2.1.1. Başlangıç koşulları:

Diferansiyel denklemleri lineer ve nonlineer olarak sınıflandırabiliriz.

Lineer dif. denklemde; bağımlı değişkenler ve bunların türevleri lineer fonksiyonlardır.

Bağımsız değişkenin nonlineer fonksiyonu bir diferansiyel denklemi nonlineer yapmaz (aşağıdaki örneklerde t bağımsız değişken).

Aşağıdaki denklemler lineerdir:

9

2.1.2. Diferansiyel denklemlerin sınıflandırılması:

Aşağıdaki denklemler nonlineerdir.

2.1.2. Diferansiyel denklemlerin sınıflandırılması:

Sabit katsayılı dif. denklemleri çözerken başlangıç koşulları genelde 0 alınır. Bu çözümü basitleştirir.

bağımlı değişkenin en yüksek dereceli türevinin derecesi denklemin derecesi kabul edilir. Aşağıda 2. derece bir dif. denklem verilmiştir.

11

Değişken ve sabit katsayılı dif. denklem:

Değişken katsayılı dif. denklem Sabit katsayılı dif. denklem

Bağlı (kuple=coupled)

diferansiyel denklem

2.1.3. Direk integrasyon ile çözüm:

13

2.1.4. Değişkenlerin ayrılması:

15

Örnek 2.1.1.

Şekil 2.1.1

17

2.1.6. Kökler ve Kompleks Sayılar:

Tablo 2.1.1. Kökler ve kompleks sayılar

2.1.6. Kökler ve Kompleks Sayılar:

19

Şekil 2.1.2 Şekil 2.1.3

Tablo 2.1.2. Eksponansiyel Fonksiyon

2.5. Cevap Parametreleri ve Kararlılık

21

Genel olarak sistem dinamiklerindeki diferansiyel denklemler lineer ve sabit katsayılıdır.

Herbiri genel olarak sağ-yanlıdır.

Temel olarak birinci derece ve ikinci derece olmak üzere iki tipte bulunur:

Birinci derece:

İkinci derece:

Giriş:

x(t)=Ce ^-3t +0.5 C:sabit

t ₀ : t=0 anı (başlangıç zamanı)

x ₀ : başlangıç koşulu (t ₀ anında x’in değeri)

Örnek 2.5.1 ‘de iki adet geçici zaman yanıt terimi vardır. Bunlar e ^-2t ve e ^-5t’ dir.

x(t)’nin zaman yanıtı incelenir ise e ^-2t’ nin diğer terime göre daha geç 0 ‘a gittiği görülür.

Ancak unutulmaması gereken bu terimlerin C ₁ ve C ₂ katsayılarının birbirine göre durumlarının da dikkate alınması gerekliliğidir.

En büyük osilasyon frekansı c=0’da mümkündür. Bu durumda w _n =w _d olur.

Eğer c yeterince büyük ise w _d sıfır veya imajinerdir. Kökler reeldir ve osilasyon yoktur.

w _d =0 ve kökler reel ve birbirine eşit ise bu değer kritik sönüm değeri olarak adlandırılır.