Bir fonksiyonun gra…gi sonsuz çoklukta nokta içerebilece¼ginden, bu noktalar¬
koordinat düzleminde i¸saretlemek mümkün olmayabilir. Ayr¬ca e¼gri üzerindeki bir kaç noktan¬n belirlenerek gra…¼gin çizilmesi de sa¼gl¬kl¬olmaz. Çünkü böyle bir durumda iki nokta aras¬nda kalan parçan¬n davran¬¸s¬ hakk¬nda kesin bir bilgi bulunmaz. Bu nedenle fonksiyonun baz¬ özelliklerini kullanarak gra…¼gini düzgün bir ¸sekilde çizebiliriz. Bu özelliklerin ba¸s¬nda fonksiyonun kritik nokta- lar¬ile artanl¬k ve azalanl¬k kavramlar¬gelmektedir. Yine fonksiyonun konvek- slik ve konkavl¬k durumu ile varsa asimtotlar¬n¬n belirlenmesi gra…¼gin daha net çizilmesinde yarar sa¼glar. Gra…k çizimine geçmeden fonksiyonun konvekslik ve konkavl¬k durumu ile asimtotlar¬n¬n nas¬l belirlenece¼gini inceleyelim.
Düzlemde bir kümenin herhangi iki noktas¬n¬birle¸stiren do¼gru parças¬yine bu küme içinde kal¬yorsa bu kümeye konveks küme ad¬ verilir. Örne¼gin üç- genlerin, karelerin ve çemberlerin iç bölgeleri birer konveks kümedir. Ancak düzlemde y¬ld¬z ¸seklinde bir küme konveks de¼gildir.
Bu dü¸sünce ile [a; b] üzerinde tan¬ml¬ sürekli bir f fonksiyonu verildi¼ginde e¼ger fonksiyonun gra…¼ginin üst taraf¬nda kalan bölge konveks ise f fonksiyonu konvekstir veya yukar¬bükümlüdür denir. E¼ger fonksiyonun gra…¼ginin alt taraf¬nda kalan bölge konveks ise f fonksiyonu konkavd¬r veya a¸sa¼g¬büküm- lüdür denir. Örne¼gin y = x2 fonksiyonu konveks, y = 1 x2 fonksiyonu
Gra…k Çizimi
konkavd¬r. Yine y = x3 fonksiyonu ( 1; 0] aral¬¼g¬nda konkav, [0; 1) aral¬¼g¬nda konvekstir.
Buradan da anla¸s¬laca¼g¬ üzere x, (a; b) aral¬¼g¬nda artarken f nin gra…¼gine te¼get olan do¼grular¬n e¼gimleri artarsa fonksiyon bu aral¬kta konvekstir. E¼ger te¼get olan do¼grular¬n e¼gimleri azal¬rsa fonksiyon bu aral¬kta konkavd¬r. Buna göre a¸sa¼
¼
ger f0 fonksiyonu (a; b) aral¬¼g¬nda artan ise f nin gra…¼gi bu aral¬kta konvekstir.
2. E¼ger f0 fonksiyonu (a; b) aral¬¼g¬nda azalan ise f nin gra…¼gi bu aral¬kta konkavd¬r.
Bir fonksiyonun artan ve azalan oldu¼gu bölgeleri onun türevinini i¸sareti yard¬m¬yla belirlenebilmektedir. E¼ger (a; b) aral¬¼g¬nda f0fonksiyonu türevlenebilir ve bu aral¬ktaki her x için (f0)0(x) = f00(x) > 0 ise f0 fonksiyonu artan, dolay¬s¬yla f fonksiyonu konvekstir. E¼ger (a; b) aral¬¼g¬ndaki x için (f0)0(x) = f00(x) < 0 ise f0 fonksiyonu azalan, dolay¬s¬yla f fonksiyonu konkavd¬r. Buna göre f fonksiyonunu ikinci türevinin i¸sareti yard¬m¬yla konveks ve konkav oldu¼gu aral¬klar¬belirleyebiliriz.
m¬verebiliriz.
Tan¬ g¬nda türevlenebilir olsun.
1. E¼
g¬daki tan¬
m f fonksiyonu (a; b) aral¬
¸
Simdi de gra…k çiziminde kullan¬lacak bir ba¸ska kavran olan asiptot ile ilgili baz¬temel bilgiler verelim. Asimtot kavram¬n¬n daha bilimsel bir tan¬m¬n¬n ol- mas¬na ra¼gmen kabaca fonksiyonun gra…¼ginin sonsuzda te¼get oldu¼gu e¼gri veya do¼gru olarak tan¬mlayabiliriz. Asiptotlar, Yatay-E¼gik-E¼grisel Asiptotlar ve Dü¸sey Asimtotlar olmak üzere iki guruba ayr¬l¬r.
1-) Yatay-E¼gik-E¼grisel Asiptotlar: y = f (x) fonksiyonu x ! 1 için g(x) ! 0 olmak üzere
f (x) = (x) + g(x)
biçiminde yaz¬labiliyorsa (x) fonksiyonu f fonksiyonunu gra…¼ginin bir asim- totu olur. E¼ger (x) = a (sabit) biçiminde ise yatay asimtot, (x) = ax + b biçiminde ise e¼gik asimtot ve derecesi birden büyük bir polinom ise e¼grisel asim- tot olur. Yatay, e¼gik ve e¼grisel asimtotlardan bir tanesi var ise di¼gerleri var olmaz. Fonksiyonun gra…¼gi sonsuzda asimtota te¼get oldu¼gundan fonksiyonun gra…¼gi baz¬hallerde bu tip asimtotlar¬sonlu x de¼gerlerine kar¸s¬l¬k gelen nokta- larda kesebilir.
Örnek 224 f (x) = 2x 1x fonksiyonu f (x) = 2 1xbiçiminde yaz¬labilir. Burada (x) = 2 ve g(x) = x1 olarak dü¸sünüldü¼günde (x) = 2 nin bir yatay asim- tot oldu¼gu görülebilir. Dikkat edilirse limx! 1f (x) = 2 dir. Bu fonksiyonun gra…¼gi a¸sa¼g¬da verilmi¸stir.
-4 -2 2 4
1 2 3 4
x y
Uyar¬225 E¼ger y = f (x) fonksiyonu bir rasyonel fonksiyon ise bir polinom bölmesi i¸slemi ile yatay, e¼gik veya e¼gri asimtot bulunabilir.
Örnek 226 f (x) = 2x2+3x 1x fonksiyonu f (x) = 2x+3 1xbiçiminde yaz¬labilir.
Buradan (x) = 2x + 3 bu fonksiyonun bir e¼gik asimtotu olur.
-4 -2 2 4
10
x y
Örnek 227 f (x) = x3x+1+x+1 fonksiyonu ise f (x) = x2 x + 2 x+11 biçiminde yaz¬labilece¼ginden (x) = x2 x + 2 e¼grisi f nin bir e¼grisel asimtotu olur.
-4 -2 2 4 10
20 30
x y
Uyar¬228 Rasyonel fonksiyonlar¬n bu tip asimtotlar¬n¬bulmak kolay olmas¬na ra¼gmen bu durum her hangi bir fonksiyon için bu kadar kolay olmayabilir. Ancak e¼ger limx! 1f (x) = a oluyorsa (x) = a sabiti f nin yatay asimtotu olur.
Örnek 229 f (x) = ln xx fonksiyonu için limx!1ln xx = 0 oldu¼gundan (x) = 0 yatay asimtottur.
10 20 30 40 50
-1 0 1
x y
Uyar¬230 a > 0 olmak üzere f (x) = p
ax2+ bx + c tipindeki fonksiyonlar için (x) =p
a x +2ab fonksiyonu e¼gik asimtottur. x ! 1 için nin pozitif parças¬, x ! 1 için negatif parças¬ kullanul¬r. a < 0 için f nin asimtotu yoktur.
Örnek 231 f (x) =p
x2 x egrisi için 1(x) = x 12 ve 2(x) = x +12 e¼gik asimtotlard¬r.
-3 -2 -1 0 1 2 3
2 4
x y
2-) Dü¸sey Asiptotlar: a bir reel say¬olmak üzere
xlim!a+f (x) = 1, lim
x!a f (x) = 1, lim
x!a+f (x) = 1, lim
x!a f (x) = 1 e¸sitliklerinden biri sa¼glan¬yorsa x = a do¼grusuna y = f (x) fonksiyonunu gra…¼gi için bir dü¸sey asimtottur denir. Fonksiyonlar¬n gra…kleri dü¸sey asimtotlar¬
kesmez.Bir fonksiyounu birden fazla dü¸sey asimtotu olabilir
Uyar¬232 f (x) =Q(x)P (x) tipinde rasyonel bir fonksiyon için Q(x) = 0 denklemi- nin kökleri dü¸sey asimtot olabilir. Bu denklemin bir kökü P (x) = 0 denkleminin bir kökü deyilse bu bir yatay asimtottur. E¼ger bu kök ayn¬ zamanda P (x) = 0 denkleminin de bir kökü ise bu noktada f nin limitine bakmak gerekir.
Örnek 233 f (x) = x2x+5x 143 4x e¼grisinin dü¸sey asimtotlar¬n¬bulal¬m. x3 4x = 0 ise x1 = 2, x2 = 0 ve x3 = 2 olur. Bunlardan x1 = 2, x2 = 0 dü¸sey asimtotturlar, ancak limx!2f (x) = 98 oldu¼gundan x3= 2 dü¸sey asimtot de¼gildir.
-4 -2 2 4
-40 -20 20 40
x y
Uyar¬234 Rasyonel fonksiyonlar için dü¸sey asimtot bulmak için paydan¬n kök- lerini bulmak i¸si kolayla¸st¬rmaktad¬r. Ancak herhangi bir fonksiyon için limit al¬nmas¬ gereken a say¬s¬n¬ tahmin etmek gerekir.
Örnek 235 f (x) = 2x1 e¼grisi için x = 0 do¼grusundan ba¸ska bir do¼grunun dü¸sey asimtot olamayaca¼g¬n¬ anlamak gerekmektedir. Bu noktada ise limx!0+f (x) = 1 oldu¼gundan x = 0 bir dü¸sey asimtottur. Dikkat edelimki burada limx!0 f (x) = 0 d¬r.
-4 -2 2 4
2 4
x y
Yukar¬da belirtilen bilgiler dikkate al¬narak bir fonksiyonun gra…¼gi çizilebilir.
Bunun için a¸sa¼g¬da bahsedilen yolu izlemekte yarar vard¬r.
1. ·Ilk olarak fonksiyonun tan¬m kümesi bulunur.
2. Asimtotlar bulunur.
3. E¼grinin koordinat eksenlerini kesti¼gi noktalar bulunur.
4. Birinci türevin i¸sareti incelenir. Böylece fonksiyonun artan ve azalan oldu¼gu aral¬klar ile yerel ekstremum noktalar¬tesbit edilir.
5. ·Ikinci türevin i¸sareti incelenir. Böylece fonksiyonun konveks ve konkav olu¼gu aral¬klar ile büküm noktalar¬tesbit edilir.
6. Bu bilgiler bir tablo haline dönü¸stürülerek gra…k çizilir.
Örnek 236 f (x) = x4 8x2
-4 -2 2 4
20 40
x y
Örnek 237 f (x) = (x+1)x2 42
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-6 -4 -2 2
x y
Örnek 238 f (x) = x + 1x
-4 -2 2 4
-4 -2 2 4
x y
Örnek 239 f (x) = ex+1x
-4 -2 2 4
10 20
x y
Örnek 240 f (x) = ln(x 1x+1)
-4 -2 2 4
-10 -5 5 10
x y
4.8 Ek Sorular
Örnek 241 A¸sa¼g¬da verilen fonksiyonlar¬n gra…¼gini türev yard¬m¬yla çiziniz.
1. f (x) = 1 xx2
2. f (x) = x3x+2 3. f (x) = x2e x 4. f (x) = xe1 x2 5. f (x) = 1 (x 2)23 6. f (x) = x (x 1)2=3
