(Gra…kleri ile ilgili bilgiler verilebilir) 2-) Kuvvet fonksiyonlar¬: a bir sabit say¬ olmak üzere f (x

2.2 Baz¬özel fonksiyonlar

Kuvvet fonksiyonu, polinomlar ve rasyonel fonksiyonlar, mutlak de¼ger ve tam de¼ger fonksiyonlar¬, pratik gra…k çizimleri.

1-) Lineer fonksiyonlar: m ve n sabit say¬lar olmak üzere f (x) = mx + n biçimindeki bir fonksiyona lineer fonksiyon denir. n = 0 için f (x) = mx orijinden geçen do¼grular¬ göstermektedir. m = 1 ve n = 0 için f (x) = x fonksiyonuna birim fonksiyon denir. m = 0 olmas¬durumunda sabit fonksiyon ortaya ç¬kar. (Gra…kleri ile ilgili bilgiler verilebilir)

2-) Kuvvet fonksiyonlar¬: a bir sabit say¬ olmak üzere f (x) = x^a biçi- mindeki fonksiyonlara kuvvet fonksiyonlar¬denir. Kuvvet fonksiyonlar¬n¬n baz¬

özel durumlar¬¸su ¸sekildedir.

i) a = n, n bir pozitif tam say¬. f (x) = xⁿ fonksiyonunun n = 1; 2; 3; 4; 5 için gra…kleri çizilebilir.

ii) a = _n¹; n bir pozitif tam say¬. f (x) = xⁿ¹ = pⁿx fonksiyonuna kök fonksiyonu denir. (n = 2; 3 için gar…kler çizilebilir)

iii) a = 1 ve a = 2 durumlar¬ için kuvvet fonksiyonunun gra…kleri hakk¬nda bilgi verilebilir.

3-) Polinomlar: n negatif olmayan bir tam say¬ve a₀; a₁; a_nreel say¬lar olmak üzere

P (x) = anxⁿ+ + a1x + a0

¸seklindeki fonksiyonlara polinom ad¬verilir. Bütün polinomlar R üzerinde tan¬m- l¬d¬r. a0; a1; an ye polinomun kat say¬lar¬, an6= 0 ise n ye polinomun derecesi denir. (Bir kaç örnek verilebilir). Derecesi 1 olan polinom P (x) = mx+n tipinde olaca¼g¬ndan bir lineer fonksiyondur. Derecesi 2 olan polinom P (x) = ax²+bx+c biçimindedir ve kuadratik fonksiyon (ikinci dereceden polinom) ad¬n¬ta¸s¬r. ·Ik- inci dereceden polinomlar¬n gra…kleri parabol olur. (Gra…kleri hakk¬nda bilgi verilebilir) Derecesi 3 olan polinom P (x) = ax³+ bx²+ cx + d biçimindedir ve kübik fonksiyon ad¬n¬al¬r.

4-) Rasyonel fonksiyonlar: P ve Q gibi iki fonksiyonun oran¬olarak ifade edilebilen

f (x) = P (x) Q(x)

biçimindeki fonksiyonlara rasyonel fonksiyon ad¬verilir. Tan¬m kümesi Q(x) 6= 0 olan tüm x reel say¬lar¬n¬n kümesidir. (Bir kaç örnek verilebilir).

5-) Cebirsel fonksiyonlar: Polinomlardan cebirsel i¸slemlerle elde edilebilen (toplama, ç¬karma, çarpma, bilme, kök alma) fonksiyonlara cebirsel fonksiyon denir. Örne¼gin f (x) = ^x2_x⁺¹ p³

x 1 bir cebirsel fonksiyondur. Rasyonel fonksiyonlar cebirsel fonksiyonlard¬r.

6-) Transandant fonksiyonlar: Bunlar cebirsel olmayan fonksiyonlard¬r.

Trigonometrik fonksiyonlar, ters trigonometrik fonksiyonlar, üstel ve logaritmik fonksiyonlar bu s¬n¬ftad¬r. Bu s¬n¬ftaki baz¬özel fonksiyonlar hakk¬nda detayl¬

bilgileri ileride görece¼giz.

7-) Mutlak de¼ger fonksiyonu: f bir fonksiyon olmak üzere

jfj (x) = jf(x)j = 8<

:

f (x) ; f (x) 0 f (x) ; f (x) < 0

¸seklinde tan¬mlanan jfj fonksiyonuna f nin mutlak de¼ger fonksiyonu denir.

(Mutlak de¼ger fonksiyonunun gar…¼gi hakk¬nda bilgi verilebilir).

8-) Tam de¼ger fonksiyonu: f (x) = kxk ¸seklinde tan¬mlanan fonksiyona tam de¼ger fonksiyonu ad¬verilir. ([ 2; 2] aral¬¼g¬nda f (x) = kxk, g(x) = x kxk, h(x) = x² fonksiyonlar¬n¬n gra…kleri çizilebilir)

2.3 Fonksiyonlar¬n dönü¸sümleri ve pratik gra…k çizimleri

Bir fonksiyonun gra…¼gine dönü¸sümler uygulayarak yeni fonksiyonlar elde ede- biliriz. Bu bize bir çok fonksiyonun gra…¼gini h¬zl¬ biçimde çizebilme yetene¼gi sa¼glar. ¸Simdi c > 0 olsun.

y = f (x) + c nin gra…¼gini çizebilmek için y = f (x) in gra…¼gi c kadar yukar¬, y = f (x) c nin gra…¼gini çizebilmek için y = f (x) in gra…¼gi c kadar a¸sa¼g¬, y = f (x c) nin gra…¼gini çizebilmek için y = f (x) in gra…¼gi c kadar sa¼ga, y = f (x + c) nin gra…¼gini çizebilmek için y = f (x) in gra…¼gi c kadar sola kayd¬r¬l¬r. Yine

y = cf (x) in gra…¼gini çizebilmek için y = f (x) in gra…¼gi dü¸sey olarak c kadar gerilir.

y = f (cx) in gra…¼gini çizebilmek için y = f (x) in gra…¼gi yatay olarak c kadar gerilir.

y = f (x) in gra…¼gini çizebilmek için y = f (x) in gra…¼ginin x-eksenine göre yans¬mas¬al¬n¬r.

y = f ( x) in gra…¼gini çizebilmek için y = f (x) in gra…¼ginin y-eksenine göre yans¬mas¬al¬n¬r.

Örnek 18 y =p

x fonksiyonunun gra…¼ginden yararlanarak, y =p

x 2; y = px 2, y = p

x, y = 2p

x, y =p

x fonksiyonlar¬n¬n gra…¼gini çiziniz.

Örnek 19 y = x² fonksiyonunun gra…¼ginden yararlanarak y = x²+ 6x + 10 fonksiyonunun gra…¼gini çiziniz.

Örnek 20 y = x² fonksiyonunun gra…¼ginden yararlanarak y = (x 4)², y = x²+ 3, y = ^x₃², y = (x + 4)² fonksiyonlar¬n¬n gra…¼gini çiziniz.

Örnek 21 y = 1 +px, y =p³

x + 2, y = _{x 3}¹ , y = 2 p

x + 1 fonksiyonlar¬n¬n gra…¼gini çiziniz.

y = jf(x)j in gra…¼gi çizebilmek için önce y = f (x) in gra…¼gi çizilir Daha sonra x-ekseninin alt¬nda kalan parçan¬n x-eksenine göre simetri¼gi al¬n¬r.

y = f (jxj) in gra…¼gi çizebilmek için önce y = f (x) in x 0 için gra…¼gi çizilir.

Bu e¼grinin y-eksenine göre simetri¼gi al¬n¬r.

y = jf(jxj)j in gra…¼gi çizebilmek için yukar¬daki iki i¸slem gerçekle¸stirilir.

Örnek 22 f (x) = x² 3x 4 , g(x) = x² 4 jxj, h(x) = x² 2 jxj , k(x) = pjxj fonksiyonlar¬n¬n gra…¼gini çiziniz.

Örnek 23 A¸sa¼g¬daki fonksiyonlar¬n tan¬m ve görüntü kümelerini bulunuz.

1. f (x) =p

x 2 (Tan¬m kümesi [2; 1) dur. Görüntü kümesinin ise [0; 1) oldu¼gu aç¬kt¬r.)

2. f (x) = x² 4x + 5 (Tan¬m kümesi R dir. Görüntü kümesini bulmak için f (x) = (x 2)²+ 1 yazal¬m. Buradan görüntü kümesinin [1; 1) oldu¼gu görülmektedir. Di¼ger bir yol ise x² 4x + 5 = y ifadesinde x reel iken y reel say¬lar¬n¬n kümesini bulmakt¬r. Buradan x² 4x + 5 y = 0 ise x1;2=^{4 p}₂^{4y 4} olup y 1 olmal¬d¬r.)

3. f (x) = x³ 1 (Tan¬m kümesi R dir. Görüntü kümesini bulmak x³ 1 = y ifadesinde x reel iken y reel say¬lar¬n¬n kümesini bulal¬m. Buradan x = p3

y + 1 olup y 2 R dir. ) 4. f (x) =

q3 x

x+1 (Tan¬m kümesi ( 1; 3] dür. Görüntü kümesini bulmak q3 x

x+1 = y ifadesinde x 2 ( 1; 3] iken y reel say¬lar¬n¬n kümesini bulal¬m.

Öncelikle y nin negatif olamayaca¼g¬aç¬kt¬r. Di¼ger taraftan 3 x = y²x+y² ise x = ^{3 y}_y2+1² olup y 2 R olur. Böylece verilen fonksiyonun görüntü kümesi [0; 1) dur.)

5. f (x) = ^x_x²2 ^3x+43x+2 (Tan¬m kümesi Rnf1; 2g dir. Görüntü kümesini bulmak

x² 3x+4

x² 3x+2 = y ifadesinde x 2 Rnf1; 2g iken y reel say¬lar¬n¬n kümesini bulal¬m. Buradan x² 3x + 4 = y(x² 3x + 2) ise (1 y)x²+ (3y 3)x + 4 2y = 0 olup x1;2 = ^{3 3y}

py²+6y 7

2(1 y) bulunur. Buradan y 6= 1 ve y²+ 6y 7 0 olmas¬ gerekti¼gi ve dolay¬s¬yla y 2 ( 1; 7] [ (1; 1) oldu¼gu bulunur.)

Uyar¬24 P (x) = anxⁿ+ + a1x + a0 tipinde n: dereceden polinomun gra…¼gi için a¸sa¼g¬daki bilgiler kullan¬labilir. Böyle bir polinomun gra…¼gi uçlarda (x in büyük ve küçük de¼gerleri için) y = a_nxⁿ nin gra…¼gine benzerdir. Buna göre n nin çift olmas¬ halinde a_n > 0 ise uçlardaki kollar yukar¬, a_n < 0 ise a¸sa¼g¬

do¼grudur. n nin tek olmas¬ halinde a_n > 0 ise sa¼g taraftaki kol yukar¬ sol taraftaki kol a¸sa¼g¬, a_n < 0 ise durum tam tersidir. Uçlardaki bu davran¬¸s¬

belirledikten sonra polinomun arada nas¬l davrand¬¼g¬n¬ö¼grenmek için polinomun s¬f¬r yerlerinden yararlanabiliriz. Bilindi¼gi gibi bir x0reel say¬s¬n¬n n. dereceden bir polinomun s¬f¬r yeri (kök) olmas¬ için gerek ve yeter ¸sart (x x0) ¬n bu polinomun bir çarpan¬ olmas¬d¬r. Yani P (x) = (x x0)Q(x) olmas¬d¬r. E¼ger (x x0)^m P nin bir çarpan¬ ise x0 a katl¬ kök denir. m nin tek olmas¬ halinde P nin gra…¼gi x-eksenini (x0; 0) noktas¬nda kesip geçer. Tek olan m nin derecesi artt¬kça gra…k kesim noktas¬nda yass¬la¸s¬r. E¼ger m nin derecesi çift ise gra…k (x0; 0) noktas¬nda x-eksenine te¼gettir. (Polinomun tek veya çift olup olmad¬¼g¬

bilgiside ihtiyaç oldu¼gunda kullan¬labilir)

Örnek 25 A¸sa¼g¬daki fonksiyonlar¬n gra…¼gini çiziniz.

1. f (x) = x³ 9x (Uçlarda y = x³ ün gra…¼gine benzer, f nin s¬f¬rlar¬ 0, 3 ve 3 dür. Bu noktalar için m = 1 oldu¼gundan bu noktalarda gra…k x-eksenin kesip geçer. f nin tek fonksiyon oldu¼guna da dikkat ediniz)

-4 -2 2 4

-10 10

x y

2. g(x) = (1 x)(x+1)²(Uçlarda y = x³ün gra…¼gine benzer. f nin s¬f¬rlar¬

1 ve 1 dir. 1 çift katl¬ kökdür. )

-2 2

-4 -2 2 4

x y

3. h(x) = (x + 4)(x 2)³ (Uçlarda y = x⁴ ün gra…¼gine benzer. f nin s¬f¬rlar¬ 4 ve 2 dir. Bu noktalar tek katl¬ kök oldu¼gundan e¼gri bu nok- talarda x-eksenin kesip geçer. Fakat 4 noktas¬ için m = 1 ve 2 noktas¬

için m = 3 oldu¼gundan 4 noktas¬ndaki kesim daha diktir)

-4 -2 2 4

-100 100

x y

2.4 Trigonometrik Fonksiyonlar

Bu bölümde radyan ölçüsünü ve temel trigonometrik fonksiyonlar¬ele alaca¼g¬z.

Bilindi¼gi gibi aç¬lar derece veya radyan olarak ölçülür. 1 derece bir çemberin merkez aç¬s¬n¬n tamam¬n¬n ölçüsünün 360 da biridir. Di¼ger taraftan birim çem- berde bir merkez aç¬ya kar¸s¬l¬k gelen yay¬n uzunlu¼guna o aç¬n¬n radyan olarak ölçüsü denir. Yar¬ çap¬ 1 birim olan çemberin çevresi 2 birimdir. Merkez aç¬n¬n tamam¬n¬n ölçüsü 360 oldu¼gundan 2 radyan= 360 derecedir. Buna göre derece cinsinden verilen tüm aç¬lar¬radyan cinsinden yazabiliriz. Örne¼gin 45 = ₄ radyan, 60 = ₃ radyan ve 120 = ²₃ radyand¬r.

¸

Simdi ayn¬merkezli birim çember ile r yar¬çapl¬çember çizelim. Daire dil- imlerinin benzerli¼ginden

C A B

D E

t s

t

jCAj = s

jCBj ) s = rt bulunur.

Örnek 26 Yar¬çap¬ 6 birim olan bir çemberde bir merkez aç¬ya kar¸s¬l¬k gelen yay¬n uzunlu¼gu 2 birim ise merkez aç¬n¬n ölçüsü kaç radyand¬r.

s = rt ) 2 = 6t ) t = 3 bulunur.

Bir aç¬n¬n kö¸sesi xy-düzleminde orijinde ise ve ba¸slang¬ç ¬¸s¬n¬ x-ekseni üz- erinde bulunuyorsa bu aç¬n¬n standart konumda oldu¼gu söylenir. x-ekseninden saat yönünün tersine ölçülen aç¬lar pozitif ölçüde, saat yönünde ölçülen aç¬lar negatif ölçüdedir.

x y

Başlangıç Işını Bitiş Işını

x y

Başlangıç Işını

Bitiş Işını

Pozitif aç¬ Negatif aç¬

Aç¬lar birden fazla dönüm yaparakta elde edilebilir.

x y

t

t = 3

¸

Simdi merkezi orijinde ve yar¬çap¬1 birim olan çember çizelim.Yine bir kenar¬

OH olan ve ölçüsü olan aç¬y¬ çizelim. Bu durumda çember üzerinde bir P noktas¬elde edilir.

-1 1

-1 1

x y

P noktas¬n¬n apsisi cos , ordinat¬sin olarak tan¬mlan¬r. Böylece her bir aç¬s¬na kar¸s¬l¬k bir cos (kosinüs) ve sin (sinüs) bulunur. ¸Sekildende anla¸s¬la- ca¼g¬üzere

1 sin 1 ve 1 cos 1

dir. ¸Simdi de merkezleri orijinde olan birim çember ile yar¬çap¬r olan bir çember çizelim.

x y

ölçülü standart bir aç¬n¬n çemberleri kesti¼gi noktalar P ve Q olsun. sin = jAP j ve cos = jOAj d¬r. Üçgenlerin benzerli¼ginden

jAP j

jOP j =jBQj

jOQj ) sin = jBQj r

bulunur. Benzer ¸sekilde cos =^jOBj_r elde edilir. Buna göre bir dik üçgende

x y

A

B a C

b c

sin = ^b_c ve cos = ^a_c

olur. Sinüs ve Kosinüs ten ba¸ska en çok kullan¬lan di¼ger dört oran tanjant (tan), kotanjant (cot), sekant (sec) ve kosekant (csc) t¬r. Bunlar ¸su ¸sekilde tan¬mlan¬r.

tan = sin

cos , cot =cos

sin , sec = 1

cos , csc = 1 sin :

Bunlar¬n tan¬ml¬ olmas¬ için paydan¬n s¬f¬rdan farkl¬ olmas¬ gerekir. Baz¬ özel aç¬lar¬n trigonometrik oranlar¬a¸sa¼g¬dad¬r. Bunlar uygun üçgenler çizilerek hesa- planabilir.

sin 6 = 1 2; cos

6 = p3

2 ; tan 6 = 1

p3; cot 6 =p

3

sin 3 = p3

2 ; cos 3 = 1

2; tan 3 =p

3; cot 3 = 1

p3 sin 4 = 1

p2 = cos 4, tan

4 = 1 = cot 4:

Birim çember üzerinde bir noktan¬n apsis ve ordinat¬n¬n i¸sareti göz önüne al¬narak trigonometrik oranlar¬n i¸sareti bulunabilir.

x y

+,+,+,+

+,-,-,-

-,-,+,+ -,+,-,-

sin; cos; tan; cot

Örnek 27 cos²₃ ve sin²₃ ifadelerini hesaplay¬n¬z. cos²₃ = ¹₂, sin²₃ =^p₂³. Her bir x yay uzunlu¼guna bir sin x ve bir cos x kar¸s¬l¬k geldi¼ginden f (x) = sin x ve g(x) = cos x fonksiyonlar¬na ve bunlar yard¬m¬yla elde edilen tan x, cot x, sec x ve csc x fonksiyonlar¬na trigonometrik fonksiyonlar denir.

2.4.1 Trigonometrik Özde¸slikler

Birim çember üzerindedeki bir P (x; y) noktas¬ için x²+ y² = 1 denkleminin sa¼gland¬¼g¬n¬biliyoruz. Buna göre OP ¬¸s¬n¬n¬n x-ekseni ile pozitif yönde yapt¬¼g¬

aç¬ olmak üzere x = cos ve y = sin oldu¼gundan

cos² + sin² = 1 (1)

denklemi bulunur.

(x; y) noktas¬(x; y) noktas¬n¬n y-eksenine göre simetri¼gi oldu¼gundan

cos( ) = cos ve sin( ) = sin (2)

e¸sitlikleri de sa¼glan¬r. Buradan kosinüsün çift, sinüsün tek fonksiyon olduklar¬ve yine tanjant¬n ve kotanjant¬n da tek fonksiyon olduklar¬anla¸s¬lmaktad¬r. Ayr¬ca birim çember üzerindedeki bir P (x; y) noktas¬n¬n konumu dikkate al¬nd¬¼g¬nda

sin(2 ) = cos ve cos(

2 ) = sin (3)

olduklar¬da görülmektedir.

Iki yay¬n fark¬n¬n kosinüsü:·

cos( ) = cos cos + sin sin (4)

e¸sitli¼gi ile hesaplanabilir. (Bu e¸sitli¼gin ispat¬ödev olarak b¬rak¬labilir. Bölmün sonunda verilen ek sorular aras¬nda ispat¬yap¬lacakt¬r).

Di¼ger bütün trigonometrik özde¸slikler (1), (2), (3) ve (4) ba¼g¬nt¬lar¬ndan elde edilebilir. Örne¼gin (4) de yerine yaz¬larak

cos( + ) = cos cos sin sin bulunur. Yine

sin( ) = cos(

2 ( ))

= cos((

2 ) + )

oldu¼gundan

sin( ) = sin cos cos sin bulunur. Burada yerine yaz¬larak ta

sin( + ) = sin cos + cos sin elde edilir. Ayr¬ca

tan( + ) = sin( + ) cos( + )

= sin cos + cos sin cos cos sin sin

=

sin cos

cos cos +_cos^cos _cos^sin 1 _cos^{sin sin}_cos

= tan + tan 1 tan tan d¬r. Yine

tan( ) = tan tan

1 + tan tan oldu¼gunu da görmek kolayd¬r.

Toplam formüllerinde = yaz¬l¬rsa

cos 2 = cos² sin² = 1 2 sin² = 2 cos² 1 sin 2 = 2 sin cos

tan 2 = 2 tan 1 tan² e¸sitlikleri elde edilir.

Toplam ve fark formülleri taraf tarafa toplan¬r veya ç¬kar¬l¬r ve gerekli sadele¸stirmeler yap¬l¬rsa sin sin , sin cos ve cos cos çarp¬mlar¬ ile ilgili ba¼g¬nt¬lar elde edilebilir.

Örnek 28 cos(³₂ ), sin(³₂ ), cos(³₂ + ), sin(³₂ + ) ifadelerini toplam ve fark formüllerini kullanarak daha sade biçimde yazabiliriz.

Örnek 29 sin⁷₁₂ yi sin(₄ + ₃) ¸seklinde yazarak hesaplayabiliriz. Yine cos¹¹₁₂ yi cos(₄ +²₃ ) ¸seklinde yazarak hesaplayabiliriz.

Örnek 30 cos₁₂ ve sin⁵₁₂ yi hesaplay¬n¬z.

2.4.2 Peryodiklik ve Trigonometrik Fonksiyonlar¬n Gra…kleri Tan¬m 31 f : A ! R bir fonksiyon olsun. Her x 2 A için x+p tan¬m kümesine ait iken

f (x + p) = f (x)

olacak ¸sekilde pozitif bir p say¬s¬ varsa f ye peryodik fonksiyon, p ye de f nin bir peryodu denir. Bu e¸sitli¼gi sa¼glayan p say¬lar¬n¬n en küçü¼gü varsa buna f nin esas peryodu (k¬saca peryot olarak kullan¬lacakt¬r) denir.

Esas peryodu p olan bir f fonksiyonunun p birim uzunlu¼gunda bir aral¬kta gra…¼ginin çizilmesi halinde tüm gra…¼gi çizilebilir. Bunun için gra…¼gin sa¼ga ve sola p birim uzunlu¼gunda kayd¬r¬lmas¬yeterlidir.

Örnek 32 f (x) = x kxk ve g(x) = p

x kxk fonksiyonlar¬ peryodiktirler.

Bunlar¬n esas peryodu p = 1 dir. [0; 1] aral¬¼g¬nda gar…k çizilip ve öteleme yap¬larak tüm gra…k elde edilebilir.

Örnek 33 Sabit fonksiyon peryodiktir fakat esas peryodu yoktur.

Örnek 34 f (x) = sin x ve g(x) = cos x fonksiyonlar¬ peryodiktir. Bunlar¬n esas peryodu p = 2 dir.

f (x + p) = f (x) ) sin(x + p) = sin x

) sin x cos p + cos x sin p = sin x ) sin p = 0 ve cos p = 1

) p = 2n ; n 2 Z olur. O halde esas peryot p = 2 olur.

Örnek 35 h(x) = tan x ve k(x) = cot x fonksiyonlar¬ da peryodiktir. Bunlar¬n esas peryodu p = dir.

[0; 2 ] aral¬¼g¬nda x e baz¬özel de¼gerler vererek f (x) = sin x fonksiyonunun bu aral¬kta gra…¼gi çizilebilir. Öteleme ile gra…¼gin a¸sa¼g¬daki gibi oldu¼gu görülebilir.

-10 10

-2 2

x y

Benzer ¸sekilde [0; 2 ] aral¬¼g¬nda g(x) = cos x fonksiyonunun gra…¼gi çizilip öteleme yap¬l¬rsa gra…¼gin

-10 10

-2 2

x y

¸seklinde oldu¼gu görülebilir.

h(x) = tan x fonksiyonunun peryodu oldu¼gundan ( ₂;₂) aral¬¼g¬nda gra…k çizmek yeterlidir. Bu fonksiyonun gra…¼gi

-5 5

-2 2

x y

¸seklindedir.

k(x) = cot x fonksiyonunun da peryodu oldu¼gundan (0; ) aral¬¼g¬nda gra…k çizmek yeterlidir. Bu fonksiyonun gra…¼gi ise

-5 5

-2 2

x y

Gerekli görülmesi halinde sec x ve csc x onksiyonlar¬n¬n da gra…kleri ver- ilebilir. Bunlar s¬ras¬ile

-10 10

-5 5

x y

-10 10

-5 5

x y

sec x csc x

Örnek 36 Pratik gra…k çizimleri kullan¬larak a¸sa¼g¬daki fonksiyonlar¬n gra…¼gini çiziniz.

1. y = 3 sin x 2. y = ¹₂cos x 3. y = jsin xj 4. y = sin 4x 5. y = sin(x ₄) 6. y = 1 + sin 2x

Örnek 37 A¸sa¼g¬daki fonksiyonlar¬n peryodik olup olmad¬¼g¬n¬ ara¸st¬r¬n¬z.

1. y = jsin xj 2. y =p

sin x

Örnek 38 A¸sa¼g¬daki fonksiyonlar¬n tek veya çift olup olmad¬¼g¬n¬ ara¸st¬r¬n¬z 1. f (x) = x + sin x

2. g(x) = sin²x + cos x 3. h(x) = _{2+cos x}^{sin x}

Örnek 39 A¸sa¼g¬daki e¸sitliklerin do¼grulu¼gunu gösteriniz.

1. sin 3x = 3 sin x 4 sin³x 2. cos 4x = 8 cos⁴x 8 cos²x + 1 3. tan x = _{1+cos 2x}^{sin 2x}

4. tan 2x = cos x tan x²

Örnek 40 A¸sa¼g¬daki e¸sitsizliklerin do¼grulu¼gunu gösteriniz.

1. j j sin j j 2. j j 1 cos j j

-1 1

-1 1

x y

P

O H A

¸

Sekildeki AOP aç¬s¬ olsun. Buna göre

jP Hj²+ jAHj² = jP Aj² sin² + (1 cos )² = jP Aj^{2 2} olup

sin^{2 2} ve (1 cos )^{2 2} e¸sitsizliklerinden istenenler görülür.