X-IŞINLARI KRİSTALOGRAFİSİ

1

X-IŞINLARI

KRİSTALOGRAFİSİ

“Nokta Grupları”

Prof. Dr. Ayhan ELMALI

Eksenlerin bileşimi (Kombinasyonu)

• Her kristalin sonsuz sayıda 1’ li ekseni vardır 2 ve daha mertebeli αeksenler bir kristalde ya bir tanedir veya üç tane olabilir. İki tane olamaz.A ekseni izdüşüm küresi üzerinde bir P α K

noktasına götürür.B_β ekseni de kendi etrafında β açısı kadar döndürerek K β L götürür.

-γ Cγ α β A

B

O

P K L

3

• P ve L ile kürenin merkezi o noktasından geçen düzlemin küre ile ara kesiti bir büyük çemberdir.bu çemberin o dan geçen kutup kutup

doğrusu OC olsun. OC, L noktasını bir γ açısı kadar döndürerek tekrar

P ye getirir. Şu halde OC bir Cγ dönme eksenidir. A

. B

= Cַγ ya da

A

. B

.Cγ = 1 grup bileşimini verir.

• A

, B

ve Cγ aynı türden veya farklı türden eksenler olabilirler. Hangi türden

eksenlerin bileşimi mümkündür ve kaç tane bileşim elde ederiz? Bunun için α, β ve γ dönme açıları o şekilde olmalıdır ki,

• Cosw =cosγ/2+cosα/2+cosβ/2 sinα/2 . sin β/2

Cosv =cosβ/2+cosα/2cosγ/2 sinα/2 . sinγ/2

Cosu =cosα/2+cosβ/2cosγ/2

sinβ/2 . sinγ/2

5

• bağıntıları gerçekleşsin. Burada w, A

ile B

eksenleri arasındaki açıyı, v A

ile Cγ arasındaki açıyı, u, B

ile Cγ arasındaki açıyı gösterir.

B

A

Cγ

u

• Bu formüller küresel üçgen kurallarından yararlanılarak Euler tarafından

bulunmuştur.α, β, γ açıları 180º, 120º, 90º ve 60º olabileceği için aralarındaki açılar: u, v, w Euler bağıntısından yararlanılarak bulunur. Bir örnek olarak 224 bileşimini düşünelim. İki 2 li eksen arasındaki açıyı bulalım.

• α/2=90º, β/2=90º, γ/2=45º dir.

• Cosw = cos45 + cos90 . Cos90 = (2)

sin90 . Sin90 2

7

• A

ve B

arasındaki açının 45º olduğu anlaşılır. Eğer cosw veya cosu, cosv için makul bir değer bulunmazsa o eksen grubunun bileşiminin mümkün olmadığı anlaşılır. Örneğin 246 eksen bileşimi için

• Cosw=cos30 + cos90 . Cos45 =(3)^1/2+0.(2)^1/2

• sin90 . Sin45 1 . (2)^1/2

• cosw=(3)^1/2 /(2)^1/2>1 bulunur.

• Bu yolla inceleyerek ancak; 222, 223, 224, 226, 233, 234 eksen bileşimlerinin mümkün olduğu anlaşılır.

222 223 224 226

9

Kristalografik Nokta Grupları

• Nokta Grupları İle İlgili Genel Bilgiler

En az bir noktayı kendisi ile çakıştıran simetri işlemleri grubuna “nokta grubu” denir. Bu tanımı nedeniyle nokta grubunda öteleme işlemi içeren bütün işlemler bir kenara bırakılmıştır. Nokta grupları, kristalografik olanlar ve olmayanlar olmak üzere ikiye ayrılır. Kristalografik nokta grubu bir nokta örgüsünü kendisi ile çakıştırır. Bu nedenle dönme ve inversiyonlu eksenler bu gruplarda 1, 2, 3, 4, 6 ve 1, 2 = m, 3, 4, 6 ile sınırlıdır. Kristalografik olmayan gruplar için böyle bir eksen

sınırlaması yoktur. 32 tane kristalografik nokta grubu vardır. Kristalografik olmayan grupların sayısı sonsuzdur.

Kristalografik Nokta Grupları

i) Kristal dış şekillerinin simetrileri olarak oluşur.

ii) Nokta uzayında örgüdeki noktaların veya kristal yapılarda atom

gruplarının ve koordinasyon

çokgenlerinin simetrilerinde oluşur.

iii) Katı moleküllerin

simetrisinde(moleküler simetri) oluşur.

iv) Kristallerin fiziksel özelliklerinde

• Aynı nokta grubu simetrisine sahip bütün kristallerin takımına bir kristal sınıf denir. Sınıf burada bir sınıflama terimidir. İrili ufaklı veya şekilleri değişmiş bir çok kristal aynı nokta grubuna sahip iseler bunların sınıfı da aynıdır. Kristal sınıfının simgesi nokta grubunun simgesinin aynı olarak belirlenegelmiştir.

11

Kristalografik Nokta Grupları

Genel

simgesi Kristal sistemi Triklinik Monoklinik(üst)

ve

ortorombik(alt)

tetragonal trigonal heksagona

l Kübik

n n

n/m n22nmm

n2m n 2 2 m m m

1 C₁ 1

C₁

2 C₂ m=2 C_s 2/m C_2h

4 C₄ 4  S₄ 4/m C_4h 422 D₄ 4mm C_4v

 42m D_2d 4 2 2 D_4h m m m

3 C₃

 3 C_3i

32 D₃ 3m C_3v

 32/m D_3d

6 C₆

 6=3/mC_3h 6/m C_6h 622 D₆ 6mm C_6v

 62m D_3h 6 2 2 D_6h m m m

23 T 2  3 T_h m

432 O

 43m T_d 4 3 2 O_h

m m

222 D₂ 2mm C_2v 2 2 2 D_2h m m m

Kristalografik Nokta Gruplarının Çıkarılışı

• Her nokta grubu adı üzerinde bir “grup” tur. Bu 32 nokta grubunu matematiksel olarak grup

kuramı ile çıkarabiliriz. Nokta grupları stereografik izdüşümleri ile ve bir de Hermann Mauguin ya da Schoenflies simgeleri ile gösterilebilir ve çıkartılabilir. I) Hermann Mauguin Simgeleri

a) Kristalin ya bir tane ya da üç tane simetri ekseni olduğunu biliyoruz.

Bie tane olduğunda kristalin bu ekseninin adı nokta grubunun da adıdır. Beş çeşit saf dönme ekseni olduğundan beş çeşit de saf eksenli nokta grubu vardır. Bunlar; 1, 2, 3, 4 ve 6 nokta gruplarıdır.(1 nokta

grubu, 2 nokta grubu…vb.) eksenin adı grubunda adıdır. Bu eksenlerin

13

• Yani;  1 , ^ 2=m, ^ 3, ^ 4, ^ 6. Bu gruplar daha anlaşılır olduğundan, ^ 1, 1/m, 3.i, ^ 4, 3/m olarak da yazılır.

b) Bir kristalde bir doğrultuda aynı mertebeli biri saf diğeri karışık iki eksen de çakışmış olabilir: (n/ 

n) ve

(n/  n, n/  n, n/  n) şeklinde. Bu tür bileşimler yeni nokta grubu verebilirler. Önce n/  n bileşimlerini stereografik izdüşüm yardımı ile bulalım.

1/1=1 2/2=2/m

3/3=3 4/4=4/m

6/6=6/m

• n/n eksen bileşimleri: Yukarıdaki şekiller çakışık iki eksen var olduğuna göre simetri işlemi

yürütülerek elde edilmiştir. Bunları inceleyerek 1/1 ve 3/3 eksen bileşimlerinin yeni bir simetri vermediği görülebilir. Üç yeni nokta grubu elde edilmiştir. 2/m, 4/m, 6/m

• c) Daha önceki eksen bileşimlerinden, 222, 322, 422, 622, 332, 432, bileşimleri vardı. Bu altı bileşimlerin her biri bir nokta grubunu belirler.

• d) bu gruplardaki eksenlerin kendilerine paralel ve çakışık karışık eksenlerle kombine edilmesiyle aşağıda nokta grupları elde edilir.

15

n n n bileşimler n n n

Saf eksen

bileşimleri

Saf ve karışık eksenlerin bileşimleri

222 322 422 622 332 432

2 2 2 = 2 2 2 2 2 2 m m m

3 2 2 = 3 2 2 (3 2 de yazılabilir)

3 2 2 m m m 4 2 2 = 4 2 2

4 2 2 m m m 6 2 2 = 6 2 2 6 2 2 m m m

3 3 2 = 3 3 2 (2 3 olarak da yazılır) 3 3 2 m m

4 3 2 = 4 3 2 4 3 2 m m

• Bir olasılık daha kaldı: nnn şeklindeki üçlü gruplarda eksenlerden bazılarının saf bazılarının karışık olması. Bunun için stereografik izdüşüm küresini inceleyelim. A_α ve B_β nın ikisi de saf olsun. A_α , 1R (sağ) noktasını 2R (sağ) noktasına, B_β ekseni de 2R yi 3R ye getirir. 1R ve 3R noktaları iki sağ şekli belirtiyor.

A

B

1R 3R

C

17

• Şu halde C

da bir saf eksendir. A

bir inversiyonlu eksen ise 1R yi 2L ye götürür. 2L, 1R nin inversi olduğundan bir sol şekildir. B

ekseni de 2L yi inversini de alarak 3R ye getirir. 1R ve 3R birer sağ şekil olduğundan C

da bir saf eksendir. Eğer A

karışık B

saf olsaydı C

karışık olurdu. Şu halde A

B

C

bileşiminde eksenleri ya

üçü de saf yada ikisi karışık birisi saftır. Bunları nnn gruplarına uygularsak; SSS ve

KKS (KSK, SKK) olabilir.

Saf bileşimler

Geçerli karışık bileşimler

SSS SKK KSK KKS

222 322 422 622 332

222=2mm 322=3mm 422=4mm 622=6mm 332=2 3 m

Aynı

322=32m 422=42m

622=3 2 1 =6 2 2 m m m m m Aynı

Aynı Aynı Aynı Aynı

332 =2 3 m

19

• Altı çizili olmayanlar yeni grup değildir.

• Böylece 13 tane tek eksenli, 19 tane de (di hedral) üç eksenli kristalografik nokta grubu elde edildi.

• Hermann Mauguin simgeleri “uluslar arası” simgeler olarak daha çok

kullanılır.

II) Şimdi de Schoenflies simgelerini bulalım

• Simetri düzlemi ve inversion merkezinden yaralanarak kristal nokta gruplarının

çıkarılışı: Buraya kadar saf eksenlerle karışık eksenlerin bileşimlerini bularak kristal nokta gruplarını çıkardık. Şimdi aynı işlemi saf eksenlerle simetri düzlemi ve

inversion merkezinin birleşimi olarak yapacağız.

• İnversionlu eksenlerin saf eksenle inversion merkezi ve simetri düzlemine

ayrılabildiğini4 hariç)görmüştük. Bu simetri öğeleri yardımıyla 32 kristal sınıfını

çıkaralım.

21

a) İki simetri düzleminin bileşimi

• Herhangi m

ve m

simetri düzleminin ara kesit doğrusu A

dır m

, 1R 2L

m

, 2L 3R

Sonuçta 1R 3R gider.

m

m

=θ ise 1R A

3R=2θ

→ m

, m

= A

= A

A

1R 3R φ φ

m

m

• Yukarıdaki bağıntı ancak θ nın değerleri uygun olarak seçilirse, geçerli olur ve A ara kesit doğrusu bu takdirde bir simetri ekseni olur.

Aralarındaki açı 90º ise A bir ikili eksen, 60º ise üçlü eksen ve 45º ise dörtlü eksen adını alır. Bu işlemler için genel bağıntı;

m

.m

.A

=1 şeklinde tanımlanır.

23

• m düzlemi ile bunun içinde bir i inversion merkezi verilmiş olsun.

m, 1R 2L i, 2L 3R

1R ile 3R birbirine A_Π ekseni ile bağlıdır. Şu halde, m.i = A_Π veya m.A_Π ≡ i Genel olarak, m.i.A_Π = 1 1R AΠ 3R

m

2L

• Şimdi kristal sınıflarını çıkarabiliriz. Bu çıkarmada prensip saf dönme eksenlerini ve bileşimlerini almak ve bunlara birde inversion merkezi veya uygun doğrultularda simetri düzlemi katmaktan ibarettir.

• Daha önce 1,2,3,4,6 saf eksenleri ile 222, 322, 422, 622, 332, 432 eksen bileşiminin mümkün olduğunu biliyoruz. Şu halde ou bir tane kristal sınıfını bunlar oluşturur. Bu sınıflar sadece

kongrüant (sağ) şekiller verir. Bu sınıflara i ve m in katılmasıyla bulunacak sınıflar ise enantiamorfik şekiller verir. Bu sınıflara i ve m katılmasıyla yine bu sınıflara daha önce yatığımız gibi inversionlu dönme eksenlerinin katılması aynı sonuçları verir.

25

• Schoenflies 1, 2, 3, 4, 6 sınıflarına dönme grupları C_n adını verdi

• 222, 322, … sınıflarına da Dihedral (ikili) gruplar adını verdi.

• S_n ayrıcalıklı 4 grubudur.

• C_nh grupları: C_n dönme eksenine bir yatay (horizontal) m eklemesiyle bulunur.

• C_n dönme eksenine düşey (vertical) yani eksene paralel m düzleminin eklenmesiyle C_nv elde edilir.