1
X-IŞINLARI KRİSTALOGRAFİSİ
“Nokta Grupları”
Prof. Dr. Ayhan ELMALI
2
Stereografik İzdüşüm
Kristalin dış yüzeyleri üzerinde görülen geometrik
düzlem parçaları iç yapıdaki simetrinin bir sonucudur.
Rasyonel düzlemlerin aralarındaki simetri ilişkilerini
incelemek için her düzlemin uzaydaki konumunun kağıt düzlemine doğru olarak geçiren izdüşüm yöntemleri
geliştirilmiştir. Bunlardan x-ışınları kristallografisinde kullanılan ‘stereografik izdüşüm’dür. Bu izdüşümlere
‘stereogram’ denir
3
Her düzlemin bir tane normal doğrultusu vardır.
Kristalin bir M yüzeyini alalım.
Kristal içindeki herhangi bir O
noktasından M yüzüne olan normali n çizelim.
O merkezli olmak üzere r yarıçaplı bir küre çizelim.
SN, z ekseni doğrultusunda olsun.
Normalin küreyi deldiği P noktasını S kutbun birleştirelim. PS
doğrusunun D ekvator düzlemini deldiği nokta Q ise, Q kristalin M yüzünün küresel izdüşümüdür.
z N
r
(hkl) P y O x
S
O
4
Kare Prizmanın İzdüşümleri
(100)
(010) (010)
(100)
P noktası kuzey yarım küresinde ise Q noktası
‘.’(nokta) olarak, güney yarım küresinde ise ‘o’(halka) olarak işaretlenir.
Z eksenine paralel
düzlemlerin izdüşümleri ekvator çemberinin
üzerindedir.
M düzlemi z’ye dikse
izdüşümü ekvator çemberinin merkezindedir.
.
5
Simetri Öğelerinin Stereografik İzdüşümle Gösterilmesi
Simetri öğelerinin izdüşümleri değil
kendileri stereografik
izdüşümde gösterilebilir.
Bu gösterimlerde simetri öğelerinin izdüşüm
küresi ile kesişme noktası veya eğrinin stereografik izdüşüm dairesi üzerindeki izi belirlenmiştir.
a) O noktasından izdüşüm
düzlemine dik geçen 1’li ekseni O noktasındaki x işareti ile
göstermektedir. Bu eksen bir A
noktasını 360º döndürerek kendisi ile çakıştırır.
A
1
x O
6
b) 1’li inversiyon ekseni:
O’dan geçen izdüşüm düzlemine dik 1
inversiyon ekseni A noktasını 360º
döndürerek tekrar A’ya getirdikten sonra
terslendirerek B’ye götürür. A noktası izdüşüm düzleminin
üstünde, B ise altındadır.
1 B A
O
7
c) Şekilde birbirine dik üç tane 2’li eksen
görülmektedir: O, K ve L.
O ekseni bir A noktasını (.), B ye götürür(.). K
ekseni A yı C ye (altta o) ve B yi D ye (altta o)
getirir. L ekseni de A yı D’ ye, C yi B’ ye, D yi A’
ye, B’ yü C ye getirir.
C, C’ B, B’
K A, A’ D, D’
L
8
d) O dan izdüşüm
denklemine dik geçen 3’lü eksen, A noktasını 120º döndürerek B ye, B yi de 120º döndürerek C ye götürür.
C O
A B
O
9
e) 4’lü eksen : A
noktasını 90º döndürerek B ye ve aynı işlemi iki
kere tekrarlayarak B yi C ye C yi D ye getirir.
Dördüncü kez
uygulamada D A ya gelir.
D C A B
O
10
f) 4’ lü inversion ekseni A noktasını D ye getirip
sonra inversini alarak B ye götürür. A, izdüşüm düzleminin üstünde bir nokta B ise altında bir
noktadır. Aynı işlem B ye uygulanarak C ve C ye uygulanarak D elde
edilir.
B C
A D
O
11
g) m ayna düzlemi XY düzlemi içinde ise
izdüşümde dolu bir
çember olarak çizilir. m üstte bulunan A noktası (.) yansıtarak B ye (o)
götürür. A,B m
.O
12
h) m simetri düzlemi z eksenini içeriyorsa
izdüşümde O dan geçen bir doğru parçası olarak görülür. Şekilde m
yansıma düzlemi örneğin sol üstteki bir A noktasını sağ üstte yani B ye
getirir.
O
m
13
i) Bir küpün 4’ lü, 3’ lü, 2’
li dönme eksenleri ile
bazı yansıma düzlemleri.
A’
c” c’
B’ B c’’’ c A
O
14
Bileşik Dönme Eksenleri
Dönme eksenleri bildiğimiz gibi dönme simetri öğeleridir.
Dönme eksenlerini iki grupta toplayabiliriz: a) Saf dönme eksenleri b) Bileşik dönme eksenleri. Eğer iki idantik ve kongrüant (sağ) şekil bir
dönme sonunda çakışırsa bu dönme işlemine saf dönme, bu işlemi yaptıran eksenede saf dönme ekseni denir.Daha önce görüğümüz eksenler saf dönme eksenlerdir.
Eğer iki enantiyamorfik (sol) şekil bir dönme ile üst üste gelirse bu dönme işlemine birlşik dönme, bu işlemi yaptıran eksene de birleşik eksen denir. Birleşik dönme
eksenleri “inversionlu”
eksenlerdir. Saf dönme ekseni “n”
ile inversionlu dönme ekseni n ile gösterilir. (Eğer bir eksen, bir saf dönme ekseni ile bu eksen
üzerinde bulunan bir inversion
merkezinin yaptığı işlemi yalnız
başına yerine getiriyorsa, böyle
bir eksene karışık dönme ekseni
denir. Şimdi bu eksenleri tek tek
tanıyalım.
15
a) 1 ekseni A noktasını 1 ekseni kendi etrafında döndürerek tekrar A’ ya
getirir.i inversion merkezi de A’ yı B’ ye götürür. B noktası etrafında 360 döndürülüp i de inversionu alınınca tekrar A ya dönmüş oluruz. Böylece işlem biter. 1≡+1i dir. Bu
eksenin çizim sembolü “o” ve yazım simgesi 1 dir.
A
i O
B
16
b) 2 ekseni bir A noktası kendi etrafında 180º döndürüp A’
noktasına, i inversion merkezide A’
nü B ye götürür. Çizimi tamamlamak için B’ yi 180º döndürüp B’ ye ve B’
nün inversini alıp sonuçta A’ ya
ulaşırız. Şu halde 2 ekseni A yı B ye getirir: A ve B m ayna düzlemine göre birbirinin simetriğidir. Şu halde 2 ekseni bir 1 li eksenle ona dik bir m ayna düzleminin işlevini yerine getirir.
2 ≡ 1/m
A’
A
i
B’
B
17
c) 3 ekseninin işlevi ve stereografik izdüşümü yanda gösterilmiştir. Bu eksen bir A noktasını B ye, B yi C ye, C yi D ye, D yi E ye ve E yi F ye götürür. Her iki şekilden 3 ≡ 3 + i olduğu görülür.
Bu eksenin çizim simgesi
“ “, yazım simgesi “3”
dür.
C A
E O
B
D F
C
B D
A E
F
18
d) 4 ekseni bir A
1noktasını kendi ekseni etrafında 90º döndürüp A
2ye getirdikten sonra B
3e götürür.
Yani A
1in simetriği B
3dür. B
3aynı yöntemle C
5e ve C
5de D
7ye
gelir. D
7yi önce D
8e sonrada inversini alarak A
1e getirir. İşlem tamamlanır. Sonuçta dört nokta elde edilir. A
1, B
3,C
5ve D
7. A
1ve C
5yukarıda, B
3ve D
7aşağıdadır.4 ekseninin bir simetri merkezi yoktur. 4 başka simetri elemanlarına ayrılmaz.
Gösterimi : ,4
C’
6C
5A
1A’
2
B
3D’
8
B’
4D
719
e) 6 ekseni üstte A, C, E ve altta B, D, F noktalarını
oluşturur. Üstteki ve alttaki noktalar m aynasına göre
simetriktirler. Diğer yandan A, C, ve E (aynı zamanda B, D, C ) bir üçlü eksene göre
simetriktirler. Şu halde,
6 ≡ 3/m
