X-IŞINLARI KRİSTALOGRAFİSİ

X-IŞINLARI

KRİSTALOGRAFİSİ

“Uzay Grupları”

Prof. Dr. Ayhan ELMALI

• Tanım: kristal uzayında bir atom yada bir molekülü simetri işlemleri ile eşlenik noktalara götüren simetri öğelerinin oluşturduğu gruba uzay grubu denir.

• Nokta grupları ile ötelemelerin bileşimleri uzay gruplarını verir. Ötelemeler iki kaynaktan gelir.

Birincisi örgü ötelemeleri, ikincisi de dönme eksenlerine paralel vida ötelemeleri ile simetri düzlemine paralel kayma ötelemeleridir. Örgü

ötelemelerinin on dört çeşit Bravais uzay örgü tipini

verdiğini biliyoruz.

İşlemlerin Çarpım Şeklinde Gösterilmesi

• Bir A işleminden sonra B işlemi uygulanırsa,

“A.B” ile bu işlemler gösterilebilir. Aynı işlemin tekrarlanması, A.A.A…=A

şeklinde yazılır.

• A.A

= A

= 1 bir işlemin yapılmadığını veya bir işlemin iki yönde art arda tapıldığını belirtir.

• Bir çarpımın tersi, öğelerinin terslerinin ters yönde çarpımıdır.

• C

.B

.A

.A.B.C=C

.B

.B.C =C

.C = 1

Bir İşlemin Başka Biri İle Dönüşümü

• A^-1.B.A şeklindeki bir çarpımın geometrik olarak ne anlama geldiğini görelim. A ve B kesişen iki dönme eksenini belirtiyor.

A^-1, K→L B, L →M A, M →N

A^-1.B.A, K →N getirmiştir.

A^-1.B.A = B’ yazabiliriz.

• B’ ye, B nin A aracılığıyla ya da kısaca A ile dönüşümü denir.

• B ekseninin A vasıtası ile dönüşmüşü B’ eksenidir.

A

L A-1 K

B’

B

M N A

• A ve B nin dönme işlemi

olması zorunlu değildir. B bir dönme ve T de öteleme ise;

• T^-1 .B.T = B’

• Bir çarpımda

değişme(permütasyon)

özelliğinin olması için birinin diğeri ile dönüşmüşünün

kendisine eşit olması gerekir.

• A.B = B.A

• Her iki tarafı önden B^-1 ile çarpalım.

• B^-1.A.B = B^-1. B.A = A

• B nin T ≡ t ile dönüşümü B’ dür.

T^-1

2 T = t 1

B t B’

3 4

Vida Eksenleri

• Dönme ve Ötelemenin Bileşimi

• Dönme ile buna dik bir (T_┴) ötelemesinin bileşimini biliyoruz.

A_α ekseni etrafındaki α dönmesi ile bu eksene dik bir t

ötelemesinin A_α ya paralel bir B_α dönmesine eşdeğer olduğunu ve B_α nın başlangıçtan geçen ve A_α ya dik olan düzlemde, t nin ortasından çıkılan dikme üzerinde h= (t/2)cotα/2 uzaklıkta

bulunduğunu biliyoruz. Bunu kısaca A_α .T_┴=B_α şeklinde yazabiliriz.

• B^-1_α .A_α . T_┴ = B^-1_α .B_α = 1 ya da B^-1_α .A_α = T^-1_┴ , B-_α .A_α = T^-1_┴

Yani eşit dönmeli iki dönme ekseninin bileşimi bir dik ötelemeye eşdeğerdir.

• Şimdi herhangi bir T ötelemesi ile bir A_α ekseninin bileşimini

görelim. Herhangi bir T ötelemesi biri A_α eksenine dik T_┴ ve diğeri A_α ya

paralel T_ll bileşenlerine ayrılmıştır. Sadece T_┴ bileşeni var olsaydı B_α

ekseni elde edilirdi. Sadece T_ll bileşeni var olsaydı ne olurdu?

T T_ll

h

O T┴

• A_α, P→V T_ll , V→Q Bu döndürme ve öteleme

hareketleri P noktasına aynı zamanda, yani birlikte

uygulansa ve devam ettirilse P noktası, PQ parçası kesik çizgilerle görülen bir helis çizer. Bu bileşik hareket şu denklemle verilebilir.

A_α .T_ll = T_ll . A_α =A_α,T ( T_ll=τ)

Q

T_ll Tll

O _α V

P

Vida Eksenlerinin Çeşitleri

• Kristalin birim hücrelerinin birbirinin kopyaları olduğunu biliyoruz.

Simetri öğeleri bir molekülü birim hücre içerisinde belli eşlenik

noktalara taşırlar. Bir kristalde bulunan tüm simetri öğelerinin kullanılışı sonunda bir birim hücre içeriği oluşur. Artık bütün birim hücrelerde belli olmuş demektir.

Ötelemelerin daima birim hücre

boyutları ile ilişkili olma zorunluluğu vardır. Aksi halde birim hücrelerin birbirlerinin kopyaları olma özelliği bozulurdu. Şu halde kristal

içerisindeki her türlü t ötelemesi ya a, b, c kadar ya bunların belli

kesirleri kadar ya da bunların

toplamları kadar olmak zorundadır .

• n ye bağlı olarak ד vida

ötelemesi de a, b, c nin bir tam sayıda biri kadar olmalıdır.

Yani α dönmeleri 360º ye tamamlandığında n.ד da örgü boyutunun bir m tam katı olmalıdır.

• n. ד = m.t → ד=mt/n

• t; a, b veya c yi göstermektedir.

n=1, 2, 3, 4, 6 ve m=0, 1,…n-1 olabilir. Çünkü ד nun; a, b, c den büyük olması durumunda birim hücrenin dışına çıkılmış olur.

• Birli eksen vida ekseni

olamaz. 4’lü eksen halinde vida adımları;

• 0 t, 1 t, 2 t, 3 t=ד 4 4 4 4

ד

=

0 için 4₀≡4, 1/4)=ד)t→41 2/4)=ד)t →4₂ ve

ד )=

3/4 )t→4₃ simgeleri kullanılır.

• Karışık dönme eksenleri vida

ekseni olamaz.

4

4

4 ₂ 4 ₃ 2 2 ₁

3 3 ₁ 3 ₂

m

6 6 ₃ 6 ₁ 6 ₅

m

6 ₂ 6 ₄

m

Vida Eksenlerinin Belirlediği Eşlenik Noktaların Koordinatları

• Örnek olarak başlangıçtan geçen ve x-y düzlemine dik olan 4₁ ekseninde 1 numaralı atomun

koordinatları (x, y, z) olsun. Diğer eşlenik

noktalar;

1(x, y, z)

2(y, x, 1/4+z) 3(x, y, 2/4+z) 4(y, x, ¾+z)

3 y x x 2 y

y x

4 x x y 1 y

• Yine başlangıçtan geçen ve x, y

düzlemine dik olan 1 4

ekseninin

belirlediği 1, 2, 3 ve 4 eşlenik noktaların

koordinatları;

• 1(x,y,z); 2(y,x,2/4+z);

3(x,y,4/4+z  z);

4(y,x,6/4+z  2/4+z)

• 4

ekseninin

belirlediği eşlenik noktaların

koordinatları;

• 1(x,y,z); 2(y,x,3/4+z);

3(x,y,6/4+z  2/4+z);

4(y,x,9/4+z  1/4+z)