S : D nin alan¬

Guldin Teoremleri

Birinci Guldin Teoremi

D : Düzlem parças¬

S : D nin alan¬

G

: D nin a¼ g¬rl¬k merkezi

r : G

nin x eksenine (dönme ekseni) uzakl¬¼ g¬

V : D nin x ekseni etraf¬nda dönmesinden meydana gelen dönel cismin hacmi ise;

V = S:2 r

dir.

Örnek 1.

Kö¸ seleri ( 1; 4); ( 1; 1); (3; 4) ve (3; 1) olan homogen bir dikdörtgenler bölgesinin x y = 3 do¼ grusu etraf¬nda döndürülmesiyle olu¸ san cismin hacmini bulunuz.

Çözüm:

Birinci Guldin Teoreminden yararlanmak için D nin alan¬ve G

nin x y = 3 do¼ grusuna olan uzakl¬¼ g¬n¬bulmal¬y¬z. D dikdörtgensel bir bölge oldu¼ gu için D nin alan¬,

S = 3:4 = 12 br

ve a¼ g¬rl¬k merkezi,

G

= 1; 5 2

dir. Bir (x

; y

) noktas¬n¬n Ax + By + C = 0 do¼ grusuna olan dik uzakl¬¼ g¬r ise,

r = jAx

+ By

+ C j p A

+ B

1

olup, G

1;

noktas¬n¬n x y = 3 do¼ grusuna olan uzakl¬¼ g¬,

r = 1

3

p 2 = 9

2 p 2 br

olarak bulunur. O halde dönel cismin hacmi Birinci Guldin Teoreminden,

V = S:2 r = 108 p 2 br

dir.

Ikinci Guldin Teoremi ·

C : Düzlemsel homogen yay parças¬(aç¬k ya da kapal¬olabilir)

l : C yay¬n¬n uzunlu¼ gu

G

: C yay¬n¬n a¼ g¬rl¬k merkezi

: G

nin x eksenine (dönme eksenine) uzakl¬¼ g¬

J : C yay¬n¬n x ekseni etraf¬nda dönmesinden meydana gelen yüzeyin alan¬ise,

J = l:2

d¬r.

Örnek 2.

r = a (1 + cos ) kutupsal denklemiyle verilen kardiyoit e¼ grisi boyunca yerle¸ stirilmi¸ s homogen bir tel parças¬n¬n a¼ g¬rl¬k merkezini bulunuz. Bu telin r = 2a noktas¬ndaki te¼ geti etraf¬nda döndürülmesiyle meydana gelen dönel cismin yüzey alan¬n¬hesaplay¬n¬z.

Çözüm: Cisim olsun.

= f(r; ) : r = a (1 + cos ) ; 0 2 g

¸ seklindedir.

2

P (x; y) 2 noktas¬nda;

Yo¼ gunluk: (P ) = k Hacim eleman¬: dv = ds =

s

r

+ dr d

2

d = 2a cos 2 d Kütle eleman¬: dm = 2ak cos

2 d ¸ seklindedir.

Cisim ¸ sekil ve kütle bak¬m¬ndan x eksenine göre simetrik oldu¼ gundan y = 0 d¬r. Buna göre,

M =

Z

dm = 2ak Z

0

cos 2 d = 8ak birim kütle

M

= Z

x dm = 2ak Z

0

r cos cos 2 d

= 2a

k Z

0

(1 + cos ) cos cos 2 d

= 32a

k 5

bulunur. x = M

M oldu¼ gundan x = 4a

5 elde edilir. O halde a¼ g¬rl¬k merkezi G 4a

5 ; 0 d¬r.

Ikinci Guldin Teoremini uygulayabilmek için a¼ · g¬rl¬k merkezinin dönme eksenine olan uzakl¬¼ g¬n¬

bulal¬m.

= 2a 4a 5 = 6a

5 elde edilir. l yay uzunlu¼ gu da,

l = Z

ds = 8a br

olup, o halde dönel cismin yüzey alan¬,

J = l:2 = 96 5 a

olarak hesaplan¬r.

3