Sayısal Analiz. Prof. Dr. Erhan Coşkun. Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fen Fakültesi, Ekim, 2018

(1)

Say¬sal Analiz

Prof. Dr. Erhan Co¸skun

Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü E-posta:erhan@ktu.edu.tr

Ekim, 2018

(2)

Matematiksel Analiz

Analitik

Say¬sal Kalitatif Sembolik

E. Co¸skun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 2 / 40

(3)

Matematiksel Analiz

Analitik Say¬sal

Kalitatif Sembolik

(4)

Matematiksel Analiz

Analitik Say¬sal Kalitatif

Sembolik

(5)

Matematiksel Analiz

Analitik Say¬sal Kalitatif Sembolik

(6)

Analitik Analiz

x² 3x+2=0 denkleminin çözüm kümesi ?

a11x+a12y = b1

a21x+a22y = b2

denklem sisteminin çözümü? R1

0

sin(x)dx integralinin sonucu?

(x0, y0),(x1, y1)noktalar¬ndan geçen do¼gru denklemini belirlenmesi? y⁰ =t y , t 2 (^{a, b}), y(a) =y0 ba¸slang¬ç de¼ger probleminin çözümünün belirlenmesi?

(7)

Analitik Analiz

a11x+a12y = b1

a21x+a22y = b2

denklem sisteminin çözümü?

R1 0

(8)

Analitik Analiz

a11x+a12y = b1

a21x+a22y = b2

R1 0

(9)

Analitik Analiz

a11x+a12y = b1

a21x+a22y = b2

R1 0

(x0, y0),(x1, y1)noktalar¬ndan geçen do¼gru denklemini belirlenmesi?

y⁰ =t y , t 2 (^{a, b}), y(a) =y0 ba¸slang¬ç de¼ger probleminin çözümünün belirlenmesi?

(10)

Analitik Analiz

a11x+a12y = b1

a21x+a22y = b2

R1 0

(x0, y0),(x1, y1)noktalar¬ndan geçen do¼gru denklemini belirlenmesi?

y⁰ =t y , t 2 (^{a, b}), y(a) =y0 ba¸slang¬ç de¼ger probleminin çözümünün belirlenmesi?

(11)

Say¬sal Analiz

a₅x⁵+a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀ =0 denkleminin

çözümü?(Derecesi 5 veya daha büyük polinomlar¬n kökleri için benzer formüller verilemez(Niels Henrik Abel(1802-1829)Norveçli

Matematikçi, Genellle¸stirme:Évariste Galois(1811-1832) Frans¬z Matematikçi).

AX =b denklem sisteminin çözümü veya en genel olarak F(X) =0 nonlineer sisteminin çözümü?

R1 0

sin²(x)dx integralinin sonucu?

(x₀, y₀),(x₁, y₁), ...,(x_n, y_n)noktalar¬ndan geçen polinomun belirlenmesi?

y0 = ^t ^y²^{, t} 2 (^{a, b}) y(a) = y₀

ba¸slang¬ç de¼ger probleminin çözümünün belirlenmesi?

(12)

Say¬sal Analiz

AX =b denklem sisteminin çözümü veya en genel olarak

F(X) =0 nonlineer sisteminin çözümü? R1

0

y0 = ^t ^y²^{, t} 2 (^{a, b}) y(a) = y₀

(13)

Say¬sal Analiz

R1 0

y0 = ^t ^y²^{, t} 2 (^{a, b}) y(a) = y₀

(14)

Say¬sal Analiz

R1 0

y0 = ^t ^y²^{, t} 2 (^{a, b}) y(a) = y₀

(15)

Say¬sal Analiz

R1 0

y0 = ^t ^y²^{, t} 2 (^{a, b}) y(a) = y₀

(16)

Say¬sal Analiz

R1 0

y0 = ^t ^y²^{, t} 2 (^{a, b}) y(a) = y₀

(17)

Kalitatif Analiz

Çözümü elde etmeden, çözüm hakk¬nda bilgi edinmek.Örne¼gi y⁰ = y(1 y)

y(0) = y0

problemini gözönüne alal¬m. y0 >1 için denklemin sa¼g taraf¬negatif olup, y0 <0 d¬r. Dolay¬s¬yla çözüm e¼grileri artan t de¼gerleri için azalarak y =1 asimtotuna yakla¸s¬rlar.

0<y₀<1 için denklemin sa¼g taraf¬pozitif, yani y0 >0 olup, çözüm e¼grileri artarak y =1 asimtotuna yakla¸s¬rlar.

Öte yandan y₀ <0 için denklemin sa¼g yan¬negatif olaca¼g¬için çözüm e¼grilerinin devaml¬olarak azalmas¬gerekti¼gi, çözümü belirlemeksizin anla¸s¬lmaktad¬r.

(18)

Kalitatif Analiz

y(0) = y0

Öte yandan y₀ <0 için denklemin sa¼g yan¬negatif olaca¼g¬için çözüm e¼grilerinin devaml¬olarak azalmas¬gerekti¼gi, çözümü belirlemeksizin anla¸s¬lmaktad¬r.

(19)

Kalitatif Analiz

y(0) = y0

Öte yandan y₀ <0 için denklemin sa¼g yan¬negatif olaca¼g¬için çözüm

(20)

Kalitatif Analiz

Gerçekten de a¸sa¼g¬da Maxima fonksiyonu plotdf fonksiyonu yard¬m¬yla elde etti¼gimiz çözüm e¼grileri tahmin edilen davran¬¸s¬

sergilemektedirler.

0 0 . 5 1 1 . 5

-2 -1 0 1 2

y

x

(21)

Sembolik analiz

Sembolik analitiz, analitik yöntemlerin bilgisayar ortam¬nda bilgisayar cebir sistemi ad¬verilen yaz¬l¬mlar yard¬m¬yla geçekle¸stirilen analiz yöntemidir.

Analitik çözümü kolayca elde edilebilen a¸sa¼g¬daki ba¸slang¬ç de¼ger probleminin Maxima ile çözümünün nas¬l elde edildi¼gi a¸sa¼g¬da görülmektedir.

(22)

Sembolik analiz

Sembolik analitiz, analitik yöntemlerin bilgisayar ortam¬nda bilgisayar cebir sistemi ad¬verilen yaz¬l¬mlar yard¬m¬yla geçekle¸stirilen analiz yöntemidir.

Analitik çözümü kolayca elde edilebilen a¸sa¼g¬daki ba¸slang¬ç de¼ger probleminin Maxima ile çözümünün nas¬l elde edildi¼gi a¸sa¼g¬da görülmektedir.

(23)

Sembolik analiz

y⁰⁰+y⁰ = x

y(0) = 0, y⁰(0) =0

(24)

Sembolik analiz

y⁰⁰+y⁰ = x

y(0) = 0, y⁰(0) =0

(25)

Say¬sal Analiz süreci

uygun bir matematiksel dille ifade edilmi¸s bir problem

problemin çözümü için gerekli say¬sal yöntem söz konusu say¬sal yöntem için geli¸stirilen algoritma

algoritman¬n uygun bir programlama diline dönü¸stürülmü¸s program¬ Program¬n örnek problemler üzerinde test edilmesi(uygulama) sonuç, yorum ve yöntemin kriti¼gi(k¬s¬tlamalar¬) ile mümkünse alternatif yöntem aray¬¸slar¬

(26)

Say¬sal Analiz süreci

uygun bir matematiksel dille ifade edilmi¸s bir problem problemin çözümü için gerekli say¬sal yöntem

söz konusu say¬sal yöntem için geli¸stirilen algoritma

(27)

Say¬sal Analiz süreci

(28)

Say¬sal Analiz süreci

algoritman¬n uygun bir programlama diline dönü¸stürülmü¸s program¬

Program¬n örnek problemler üzerinde test edilmesi(uygulama) sonuç, yorum ve yöntemin kriti¼gi(k¬s¬tlamalar¬) ile mümkünse alternatif yöntem aray¬¸slar¬

(29)

Say¬sal Analiz süreci

Program¬n örnek problemler üzerinde test edilmesi(uygulama)

sonuç, yorum ve yöntemin kriti¼gi(k¬s¬tlamalar¬) ile mümkünse alternatif yöntem aray¬¸slar¬

(30)

Say¬sal Analiz süreci

Program¬n örnek problemler üzerinde test edilmesi(uygulama) sonuç, yorum ve yöntemin kriti¼gi(k¬s¬tlamalar¬) ile mümkünse alternatif yöntem aray¬¸slar¬

(31)

Say¬sal Analiz süreci(Örnek-I:S¬f¬r yerini içeren aral¬¼ g¬

belirleme problemi)

Problem:Verilen bir fonksiyonun, verilen bir x_0b noktas¬

kom¸sulu¼gunda reel s¬f¬ryerini(e¼ger mevcutsa) içeren [a,b] aral¬¼g¬n¬

belirleme problemi

Say¬sal yöntem(sa¼g veya sol yönde tarama): x_0b noktas¬n¬içeren uygun bir [x_min, x_max]kümesine s¬f¬ryeri tarama aral¬¼g¬ad¬verelim. x0 =x_0b noktas¬ndan ba¸slayarak önce sa¼ga do¼gru, uygun bir h ad¬m uzunluklu

x_i₊₁ =x_i +h, i =0, 1, 2, ... ile tan¬mlanan noktalar¬nda x_i₊₁ <x_max oldu¼gu sürece

f(x_i)f(x_i₊₁) <=0

e¸sitsizli¼gini sa¼glayan ilk(x_i, x_i+1)nokta çiftini belirleyelim. Bu durumda a=x_i, b=x_i₊₁ dir.

(32)

Say¬sal Analiz süreci(Örnek-I:S¬f¬r yerini içeren aral¬¼ g¬

belirleme problemi)

Problem:Verilen bir fonksiyonun, verilen bir x_0b noktas¬

kom¸sulu¼gunda reel s¬f¬ryerini(e¼ger mevcutsa) içeren [a,b] aral¬¼g¬n¬

belirleme problemi

Say¬sal yöntem(sa¼g veya sol yönde tarama): x_0b noktas¬n¬içeren uygun bir [x_min, x_max]kümesine s¬f¬ryeri tarama aral¬¼g¬ad¬verelim.

x0=x_0b noktas¬ndan ba¸slayarak önce sa¼ga do¼gru, uygun bir h ad¬m uzunluklu

x_i₊₁ =x_i +h, i =0, 1, 2, ...

ile tan¬mlanan noktalar¬nda x_i₊₁ <x_max oldu¼gu sürece f(x_i)f(x_i₊₁) <=0

e¸sitsizli¼gini sa¼glayan ilk(x_i, x_i+1)nokta çiftini belirleyelim. Bu durumda a=x_i, b=x_i₊₁ dir.

(33)

Say¬sal Analiz süreci(Örnek-I:S¬f¬r yerini içeren aral¬¼ g¬

belirleme problemi)

E¼ger belirtilen kriterleri sa¼glayan nokta çifti bulunamaz ise, bu

durumda x0 =x0b noktas¬ndan ba¸slayarak, xi+1 >xmin oldu¼gu sürece x_i₊₁ =x_i h, i =0, 1, 2, ...

ile tan¬mlanan noktalarda yukar¬daki e¸sitsizli¼gin sa¼gland¬¼g¬ilk

(x_i₊₁, x_i)nokta çiftini belirleyelim. Bu durumda a=x_i₊₁, b=x_i dir.

E¼ger sol yönde tarama i¸sleminde de belirtilen kriteri sa¼glayan nokta çifti bulunamaz ise bu durumda [xmin, xmax] tarama aral¬¼g¬nda s¬f¬ryerini içeren alt aral¬k belirlenememi¸s olur.

(34)

Say¬sal Analiz süreci(Örnek-I:S¬f¬r yerini içeren aral¬¼ g¬

belirleme problemi)

E¼ger belirtilen kriterleri sa¼glayan nokta çifti bulunamaz ise, bu

durumda x0 =x0b noktas¬ndan ba¸slayarak, xi+1 >xmin oldu¼gu sürece x_i₊₁ =x_i h, i =0, 1, 2, ...

ile tan¬mlanan noktalarda yukar¬daki e¸sitsizli¼gin sa¼gland¬¼g¬ilk

(x_i₊₁, x_i)nokta çiftini belirleyelim. Bu durumda a=x_i₊₁, b=x_i dir.

E¼ger sol yönde tarama i¸sleminde de belirtilen kriteri sa¼glayan nokta çifti bulunamaz ise bu durumda [xmin, xmax] tarama aral¬¼g¬nda s¬f¬ryerini içeren alt aral¬k belirlenememi¸s olur.

(35)

Örnek-I:algoritma

Algoritma say¬sal yöntemin hangi ad¬mlar takip edilerek, nas¬l uygulanaca¼g¬n¬ifade eder. Algoritma

kullan¬c¬dan Girdi(input) ad¬verilen verilerin al¬nmas¬ yöntemin icras¬için gerekli her bir ad¬m ile

kullan¬c¬ya iletilecek sonuçlar¬n(Ç¬kt¬veya Output) aç¬k ve net bir biçimde ifade edildi¼gi komutlar kümesidir.

(36)

Örnek-I:algoritma

kullan¬c¬dan Girdi(input) ad¬verilen verilerin al¬nmas¬

yöntemin icras¬için gerekli her bir ad¬m ile

(37)

Örnek-I:algoritma

(38)

Örnek-I:algoritma

(39)

Örnek-I:Algoritma

Girdi : f , x_0b

Varsay¬lan parametreler:

R =10 varsay¬lan tarama yar¬çap¬

x_min =x_0b R, x_max =x_0b+R s¬f¬ryeri tarama aral¬¼gi

h =0.1 ard¬¸s¬k noktalar aras¬mesafe, x₀ =x_0b ilk tahmini de¼ger Sa¼g yönde tarama:

x1=x0+h

x₁<x_max oldu¼gu sürece

1 e¼ger f(x₀)f(x₁) 0 ise X = [x₀, x₁] tan¬mla ve ç¬k

(40)

Örnek-I:Algoritma

Sol yönde tarama x₀=x_0b, x₁=x₀ h x1>x_min oldu¼gu sürece

1 e¼ger f(x₀)f(x₁) 0 ise X = [x₁, x₀] tanýmla ve ç¬k

2 de¼gilse x₀=x₁, x₁=x₀ h olarak tan¬mla S¬f¬r yeri için tahmini aral¬k bulunamad¬yaz ve ç¬k.

(41)

Örnek-I:Kod

function X=bul(f,x0b)

x0=x0b; R =10;

xmin=x0 R; xmax =x0+R; h=0.1; x1=x0+h; test =1;

while test

if f(x0) f(x1)< =0 X = [x0, x1]; return; else

x0=x1; x1=x0+h; test =x1<xmax; end end

x0=x0b; x1=x0 h; test =1; while test

if f(x0) f(x1)< = 0 X = [x1, x0]; return; else

x0=x1; x1=x0 h; test =x1>xmin; end end

disp(⁰si…r yerini iceren aralik bulunamadi⁰); X = [];

(42)

Örnek-I:Kod

function X=bul(f,x0b) x0=x0b; R =10;

xmin=x0 R; xmax =x0+R; h=0.1; x1=x0+h; test =1;

while test

(43)

Örnek-I:Kod

xmin=x0 R; xmax =x0+R; h=0.1;

x1=x0+h; test =1; while test

(44)

Örnek-I:Kod

x1=x0+h; test =1;

while test

(45)

Örnek-I:Kod

x1=x0+h; test =1;

while test

(46)

Örnek-I:Kod

x1=x0+h; test =1;

while test

if f(x0) f(x1)< =0 X = [x0, x1]; return;

else

(47)

Örnek-I:Kod

x1=x0+h; test =1;

while test

else

(48)

Örnek-I:Kod

x1=x0+h; test =1;

while test

else

x0=x1; x1=x0+h; test =x1<xmax; end

end

(49)

Örnek-I:Kod

x1=x0+h; test =1;

while test

else

(50)

Örnek-I:Kod

x1=x0+h; test =1;

while test

else

x0=x0b; x1=x0 h; test =1;

while test

(51)

Örnek-I:Kod

x1=x0+h; test =1;

while test

else

while test

(52)

Örnek-I:Kod

x1=x0+h; test =1;

while test

else

while test

if f(x0) f(x1)< = 0 X = [x1, x0]; return;

else

(53)

Örnek-I:Kod

x1=x0+h; test =1;

while test

else

while test

(54)

Örnek-I:Kod

x1=x0+h; test =1;

while test

else

while test

else

x0=x1; x1=x0 h; test =x1>xmin; end

end

(55)

Örnek-I:Kod

x1=x0+h; test =1;

while test

else

while test

(56)

Örnek-I:Kod

x1=x0+h; test =1;

while test

else

while test

else

(57)

Örnek-I:Test

f(x) =exp(x) x 4 fonksiyonunun x₀ =0 noktas¬kom¸sulu¼gundaki s¬f¬ryerini içeren ve h=0.1 uzunluklu [a, b]aral¬¼g¬n¬belirleyiniz.

>> f=inline(’exp(x)-x-4’) f =

Inline function: f(x) = exp(x)-x-4

>> X=bul(f,0) X= 1.7000 1.8000

(58)

Örnek-I:Test

f(x) =exp(x) x 4 fonksiyonunun x₀ =0 noktas¬kom¸sulu¼gundaki s¬f¬ryerini içeren ve h=0.1 uzunluklu [a, b]aral¬¼g¬n¬belirleyiniz.

>> f=inline(’exp(x)-x-4’) f =

Inline function:

f(x) = exp(x)-x-4

>> X=bul(f,0) X= 1.7000 1.8000

(59)

Say¬sal Analiz süreci(Örnek-I:Test)

f(x) =log(x) x+4 fonksiyonunun x₀ =10 noktas¬

kom¸sulu¼gundaki s¬f¬ryerini içeren ve h=0.1 uzunluklu[a, b]aral¬¼g¬n¬

belirleyiniz.

>> f=inline(’log(x)-x+4’) f =

Inline function: f(x) = log(x)-x+4

>> X=bul(f,10) X=5.7000 5.8000

(60)

Say¬sal Analiz süreci(Örnek-I:Test)

f(x) =log(x) x+4 fonksiyonunun x₀ =10 noktas¬

kom¸sulu¼gundaki s¬f¬ryerini içeren ve h=0.1 uzunluklu[a, b]aral¬¼g¬n¬

belirleyiniz.

>> f=inline(’log(x)-x+4’) f =

Inline function:

f(x) = log(x)-x+4

>> X=bul(f,10) X=5.7000 5.8000

(61)

Örnek-I:K¬s¬tlamalar, alternatif aray¬¸slar

Süreksiz fonksiyonlar için süreksizlik noktalar¬n¬içeren aral¬k yukar¬da tan¬mlanan yöntem ile yanl¬¸sl¬kla s¬f¬ryeri olarak yorumlanabilir.

Örne¼gin f(x) =1/x fonsiyonuna s¬f¬r noktas¬n¬içeren bir aral¬kta yöntem uyguland¬¼g¬taktirde bu tür bir yanl¬¸s sonuç olu¸sabilir. Yöntem sürekli fonksiyonlar için arade¼ger teoremini esas ald¬¼g¬için sadece sürekli fonksiyonlara uygulanabilir.

Yöntem sürekli fonksiyonlar için arade¼ger teoremini esas almaktad¬r ve sadece s¬f¬r noktas¬kom¸sulu¼gunda i¸saret de¼gi¸stiren s¬f¬r yerlerini( basit yani tek katl¬s¬f¬ryerlerini) belirlemek amac¬yla kullan¬labilir, fakat f(x) =x² gibi çift katl¬s¬f¬ryerlerine sahip olan, yani s¬f¬ryeri kom¸sulu¼gunda i¸saret de¼gi¸stirmeyen fonksiyonlar¬n s¬f¬ryerlerinin belirlenmesinde kullan¬lamaz.

(62)

Örnek-I:K¬s¬tlamalar, alternatif aray¬¸slar

Süreksiz fonksiyonlar için süreksizlik noktalar¬n¬içeren aral¬k yukar¬da tan¬mlanan yöntem ile yanl¬¸sl¬kla s¬f¬ryeri olarak yorumlanabilir.

Örne¼gin f(x) =1/x fonsiyonuna s¬f¬r noktas¬n¬içeren bir aral¬kta yöntem uyguland¬¼g¬taktirde bu tür bir yanl¬¸s sonuç olu¸sabilir. Yöntem sürekli fonksiyonlar için arade¼ger teoremini esas ald¬¼g¬için sadece sürekli fonksiyonlara uygulanabilir.

Yöntem sürekli fonksiyonlar için arade¼ger teoremini esas almaktad¬r ve sadece s¬f¬r noktas¬kom¸sulu¼gunda i¸saret de¼gi¸stiren s¬f¬r yerlerini( basit yani tek katl¬s¬f¬ryerlerini) belirlemek amac¬yla kullan¬labilir, fakat f(x) =x² gibi çift katl¬s¬f¬ryerlerine sahip olan, yani s¬f¬ryeri kom¸sulu¼gunda i¸saret de¼gi¸stirmeyen fonksiyonlar¬n s¬f¬ryerlerinin belirlenmesinde kullan¬lamaz.

(63)

Say¬sal Analiz süreci(Örnek-II)

Yöntem yukar¬da bahsedilen durumlar için de uygulanabilecek ¸sekilde geli¸stirilebilir.

Problem(S¬f¬ryeri belirleme problemi):f fonksiyonu [a, b]aral¬¼g¬nda tan¬ml¬ve aral¬¼g¬n¬n uç noktalar¬nda i¸saret de¼gi¸stiren ( f(a)f(b) <0 ) sürekli bir fonksiyon olsun. Fonksiyonun [a, b]aral¬¼g¬ndaki s¬f¬r yerini e hatas¬ile belirleyiniz.

Sürekli fonksiyonlar için ara de¼ger teoremi!çözüm mevcut

(64)

Say¬sal Analiz süreci(Örnek-II)

Problem(S¬f¬ryeri belirleme problemi):f fonksiyonu [a, b] aral¬¼g¬nda tan¬ml¬ve aral¬¼g¬n¬n uç noktalar¬nda i¸saret de¼gi¸stiren ( f(a)f(b) <0 ) sürekli bir fonksiyon olsun. Fonksiyonun [a, b]aral¬¼g¬ndaki s¬f¬r yerini e hatas¬ile belirleyiniz.

(65)

Say¬sal Analiz süreci(Örnek-II)

Problem(S¬f¬ryeri belirleme problemi):f fonksiyonu [a, b] aral¬¼g¬nda tan¬ml¬ve aral¬¼g¬n¬n uç noktalar¬nda i¸saret de¼gi¸stiren ( f(a)f(b) <0 ) sürekli bir fonksiyon olsun. Fonksiyonun [a, b]aral¬¼g¬ndaki s¬f¬r yerini e hatas¬ile belirleyiniz.

(66)

Örnek-II:Say¬sal yöntem(ikiye bölme yöntemi)

Bu yöntem ile [a, b] aral¬¼g¬ile ba¸slayarak,

aral¬k her ad¬mda iki e¸sit parçaya bölünür ve fonksiyonun i¸saret de¼gi¸stirdi¼gi alt aral¬k belirlenir.

aral¬k bölme i¸slemine fonksiyonun i¸saret de¼gi¸stirdi¼gi yeni aral¬k ile devam edilir.

(67)

Örnek-II:Say¬sal yöntem(ikiye bölme yöntemi)

Bu yöntem ile [a, b] aral¬¼g¬ile ba¸slayarak, aral¬k her ad¬mda iki e¸sit parçaya bölünür ve

fonksiyonun i¸saret de¼gi¸stirdi¼gi alt aral¬k belirlenir.

(68)

Örnek-II:Say¬sal yöntem(ikiye bölme yöntemi)

Bu yöntem ile [a, b] aral¬¼g¬ile ba¸slayarak, aral¬k her ad¬mda iki e¸sit parçaya bölünür ve fonksiyonun i¸saret de¼gi¸stirdi¼gi alt aral¬k belirlenir.

(69)

Örnek-II:Say¬sal yöntem(ikiye bölme yöntemi)

Bu yöntem ile [a, b] aral¬¼g¬ile ba¸slayarak, aral¬k her ad¬mda iki e¸sit parçaya bölünür ve fonksiyonun i¸saret de¼gi¸stirdi¼gi alt aral¬k belirlenir.

(70)

Örnek-II:Say¬sal yöntem(ikiye bölme yöntemi)

f(x) =x² 2,[a, b] = [0, 5] fonksiyonunun gra…¼gi:

0 1 2 3 4 5

-10 0 10 20 30

[0,5],c=2.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5

-5 0 5

[0,2.5],c=1.25

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 -5

0 5

[1.25,2.5],c=1.875

1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 -2

-1 0 1 2

[1.25,1.875],c=1.5625

(71)

Örnek-II:Say¬sal yöntem(ikiye bölme yöntemi)

f(x) =x² 2,[a, b] = [0, 5] fonksiyonunun gra…¼gi:

0 1 2 3 4 5

-10 0 10 20 30

[0,5],c=2.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5

-5 0 5

[0,2.5],c=1.25

0 5

0 1 2

(72)

Örnek-II:algoritma

1 Girdi: f , a, b, e.

2 c = (a+b)/2

3 E¼ger f(a)f(c) <0 ise b=c, de¼gilse a=c

4 j^f(c)j >^{e oldu¼}gu sürece a, c, b, f(c) de¼gerlerini yaz ve (2) ye git de¼gilse i¸slemi durdur.

(73)

Örnek-II:algoritma

1 Girdi: f , a, b, e.

2 c = (a+b)/2

(74)

Örnek-II:algoritma

1 Girdi: f , a, b, e.

2 c = (a+b)/2

(75)

Örnek-II:algoritma

1 Girdi: f , a, b, e.

2 c = (a+b)/2

(76)

Örnek-II:Program

1 function c=ikibol (f,a,b, epsilon)

2 c = (a+b)/2; fc =f(c);

3 fprintf(Format, a, c, b, fc);

4 while abs(fc) >epsilon

5 if f(a) fc <0

6 b =c;

7 else

8 a=c;

9 end

10 c = (a+b)/2; fc =f(c);

12 end

(77)

Örnek-II:Program

2 c = (a+b)/2; fc =f(c);

5 if f(a) fc <0

6 b =c;

7 else

8 a=c;

9 end

10 c = (a+b)/2; fc =f(c);

12 end

(78)

Örnek-II:Program

2 c = (a+b)/2; fc =f(c);

5 if f(a) fc <0

6 b =c;

7 else

8 a=c;

9 end

10 c = (a+b)/2; fc =f(c);

12 end

(79)

Örnek-II:Program

2 c = (a+b)/2; fc =f(c);

5 if f(a) fc <0

6 b =c;

7 else

8 a=c;

9 end

10 c = (a+b)/2; fc =f(c);

12 end

(80)

Örnek-II:Program

2 c = (a+b)/2; fc =f(c);

5 if f(a) fc <0

6 b =c;

7 else

8 a=c;

9 end

10 c = (a+b)/2; fc =f(c);

12 end

(81)

Örnek-II:Program

2 c = (a+b)/2; fc =f(c);

5 if f(a) fc <0

6 b =c;

7 else

8 a=c;

9 end

10 c = (a+b)/2; fc =f(c);

12 end

(82)

Örnek-II:Program

2 c = (a+b)/2; fc =f(c);

5 if f(a) fc <0

6 b =c;

7 else

8 a=c;

9 end

10 c = (a+b)/2; fc =f(c);

12 end

(83)

Örnek-II:Program

2 c = (a+b)/2; fc =f(c);

5 if f(a) fc <0

6 b =c;

7 else

8 a=c;

9 end

10 c = (a+b)/2; fc =f(c);

12 end

(84)

Örnek-II:Program

2 c = (a+b)/2; fc =f(c);

5 if f(a) fc <0

6 b =c;

7 else

8 a=c;

9 end

10 c = (a+b)/2; fc =f(c);

12 end

(85)

Örnek-II:Program

2 c = (a+b)/2; fc =f(c);

5 if f(a) fc <0

6 b =c;

7 else

8 a=c;

9 end

c = (a+b)/2; fc =f(c);

12 end

(86)

Örnek-II:Program

2 c = (a+b)/2; fc =f(c);

5 if f(a) fc <0

6 b =c;

7 else

8 a=c;

9 end

10 c = (a+b)/2; fc =f(c);

12 end

(87)

Örnek-II:Program

2 c = (a+b)/2; fc =f(c);

5 if f(a) fc <0

6 b =c;

7 else

8 a=c;

9 end

c = (a+b)/2; fc =f(c);

(88)

Örnek-II:Uygulama

f(x) =e^x (x+2)fonksiyonunu [0, 2]aral¬¼g¬ndaki s¬f¬ryerini ikiye bölme yöntemi yard¬m¬yla belirleyelim.f fonksiyonunu

f =inline(⁰exp(x) (x+2)⁰); komutu ile tan¬mlayal¬m.

0.5 1.0 1.5 2.0

-1 0 1 2 3

x y

(89)

Örnek-II:Uygulama

0.5 1.0 1.5 2.0

-1 0 1 2 3

x y

(90)

Örnek-II:Uygulama

0.5 1.0 1.5 2.0

-1 0 1 2 3

x y

(91)

Örnek-II: Uygulama

Program¬çal¬¸st¬rarak, a, c, b, f(c)de¼gerleri a¸sa¼g¬daki gibi elde edilir:

>>ikibol(f,0,2,1e-4)

0.000000 1.000000 2.000000 -0.281718 1.000000 1.500000 2.000000 0.981689 1.000000 1.250000 1.500000 0.240343 1.000000 1.125000 1.250000 -0.044783 ... ... ... ...

1.146193 1.146193 1.146193 0.000000 ans=1.1462

Virgülden sonra onbe¸s basama¼ga kadar s¬f¬ryeri için yakla¸s¬m c =1.146193220620583 dir.

(92)

Örnek-II: Uygulama

Program¬çal¬¸st¬rarak, a, c, b, f(c)de¼gerleri a¸sa¼g¬daki gibi elde edilir:

>>ikibol(f,0,2,1e-4)

0.000000 1.000000 2.000000 -0.281718 1.000000 1.500000 2.000000 0.981689 1.000000 1.250000 1.500000 0.240343 1.000000 1.125000 1.250000 -0.044783 ... ... ... ...

1.146193 1.146193 1.146193 0.000000 ans=1.1462

Virgülden sonra onbe¸s basama¼ga kadar s¬f¬ryeri için yakla¸s¬m c =1.146193220620583 dir.

(93)

Örnek-II:Yak¬nsakl¬k Analizi

Yöntemin söz konusu aral¬ktaki s¬f¬ryerini her zaman belirleyip ya da belirleyemeyece¼gi(Teorem 1) S¬f¬ryerini belirleyebilme h¬z¬(orta noktalardan olu¸san dizinin yak¬nsama h¬z¬).

Teorem 1

f fonksiyonu [a, b] = [a1, b1]aral¬¼g¬n¬n uç noktalar¬nda i¸saret de¼gi¸stiren sürekli bir fonksiyon ve r de fonksiyonun her n için f(a_n)f(b_n) <0 ¸sart¬n¬ sa¼glayan [a_n, b_n]aral¬¼g¬ndaki s¬f¬ryeri ve f^cⁿg^∞n=1 ise c_n = (a_n+b_n)/2 ile tan¬mlanan orta noktalar dizisi olsun. Bu taktirde

nlim!∞c_n =r dir.

(94)

Örnek-II:Yak¬nsakl¬k Analizi

Yöntemin söz konusu aral¬ktaki s¬f¬ryerini her zaman belirleyip ya da belirleyemeyece¼gi(Teorem 1) S¬f¬ryerini belirleyebilme h¬z¬(orta noktalardan olu¸san dizinin yak¬nsama h¬z¬).

Teorem 1

f fonksiyonu [a, b] = [a1, b1]aral¬¼g¬n¬n uç noktalar¬nda i¸saret de¼gi¸stiren sürekli bir fonksiyon ve r de fonksiyonun her n için f(a_n)f(b_n) <0 ¸sart¬n¬

sa¼glayan [a_n, b_n]aral¬¼g¬ndaki s¬f¬ryeri ve f^cⁿg^∞n=1 ise c_n = (a_n+b_n)/2 ile tan¬mlanan orta noktalar dizisi olsun. Bu taktirde

nlim!∞c_n =r dir.

(95)

Örnek-II:Yak¬nsakl¬k Analizi

Teorem 2 r s¬f¬ryeri için

j^r ^cⁿj ^bⁿ ₂ ^aⁿ

oldu¼gu aç¬kt¬r. Öte yandan her bir alt aral¬¼g¬n uzunlu¼gu önceki alt aral¬¼g¬n uzunlu¼gunun yar¬s¬na e¸sit oldu¼gundan

j^r ^cⁿj ^bⁿ ₂ ^aⁿ = ^b^{n 1} ^a^{n 1}

2² = = ^b¹ ^a¹

2ⁿ

elde ederiz. Yukar¬daki e¸sitsizlikten limn!∞j^r ^cⁿj =0 elde ederiz. Öte yandan

(96)

Örnek-II:Yak¬nsakl¬k Analizi

Tan¬m 1

Bir r noktas¬na yak¬nsayan f^cⁿg^∞n=0 dizisi verilmi¸s olsun. E¼ger her n N için

j^r ^cⁿ⁺¹j ^αj^r ^cⁿj^β

e¸sitsizli¼gi sa¼glanacak biçimde α>0, β 1 reel say¬lar¬ve N >0 tamsay¬s¬

mevcutsa f^cⁿg^∞n=1 dizisi β-¬nc¬basamaktan yak¬nsak bir dizidir denir.

β=1 olmas¬durumunda yak¬nsama için α2 (^{0, 1})olmal¬d¬r ve bu durumda diziye lineer yak¬nsak dizi ad¬verilir. β=2 olmas¬durumda ise diziye kuadratik yak¬nsak dizi ad¬verilir.

(97)

Örnek-II:Yak¬nsakl¬k Analizi

·Ikiye bölme yöntemi için

j^r ^cⁿ⁺¹j ^bⁿ⁺¹ ₂ ^aⁿ⁺¹ = ¹ 2

b_n a_n 2 ve

j^r ^cⁿj ^bⁿ ₂ ^aⁿ e¸sitsizliklerini kar¸s¬la¸st¬rarak

j^r ^cⁿ⁺¹j = ¹₂j^r ^cⁿj

elde ederiz. O halde yöntem lineer olarak yak¬nsakt¬r.

(98)

Örnek-II: Alternatif Aray¬¸slar:Kiri¸ sle Bölme Yöntem

Genellikle Regula Falsi olarak bilinen yöntem, her ad¬mda aral¬¼g¬orta noktas¬ndan ikiye bölmek yerine,

(a, f(a)),(b, f(b)) noktalar¬n¬birle¸stiren kiri¸sin x eksenini kesim noktas¬yard¬m¬yla aral¬¼g¬iki alt parçaya böler ve söz konusu kesim noktas¬n¬s¬f¬r yeri için yakla¸s¬mlar dizisinin bir eleman¬olarak kabul eder.

(99)

Örnek-II: Alternatif Aray¬¸slar:Kiri¸ sle Bölme Yöntem

Genellikle Regula Falsi olarak bilinen yöntem, her ad¬mda aral¬¼g¬orta noktas¬ndan ikiye bölmek yerine,

(a, f(a)),(b, f(b)) noktalar¬n¬birle¸stiren kiri¸sin x eksenini kesim noktas¬yard¬m¬yla aral¬¼g¬iki alt parçaya böler ve söz konusu kesim noktas¬n¬s¬f¬r yeri için yakla¸s¬mlar dizisinin bir eleman¬olarak kabul eder.

(100)

Örnek-II: Alternatif Aray¬¸slar:Kiri¸ sle Bölme Yöntem

Di¼ger bir de¼gimle, (a, f(a)),(b, f(b)) noktalar¬ndan geçen birinci dereceden polinomun s¬f¬r yeri, fonksiyon s¬f¬r yeri için bir yakla¸s¬m olarak kabul edilir.

Kiri¸sin ekseni kesim noktas¬n¬belirlemek için öncelikle kiri¸s denklemini gözönüne alal¬m:

y =f(a) +^f(b) f(a)

b a (x a)

Bu do¼grunun x=c olarak adland¬raca¼g¬m¬z x eksenini kesim noktas¬, y =0 alarak

c =a f(a) (b a)

f(b) f(a) ⁽¹⁾

elde ederiz.

j^f(c)j >epsilon oldu¼gu sürece i¸sleme devam edilir.(Daha etki sonuçland¬rma kriterleri dü¸sünülebilir).

(101)

Örnek-II: Alternatif Aray¬¸slar:Kiri¸ sle Bölme Yöntem

y =f(a) +^f(b) f(a)

b a (x a)

c =a f(a) (b a)

f(b) f(a) ⁽¹⁾

elde ederiz.

(102)

Örnek-II: Alternatif Aray¬¸slar:Kiri¸ sle Bölme Yöntem

y =f(a) +^f(b) f(a)

b a (x a)

c =a f(a) (b a)

f(b) f(a) ⁽¹⁾

elde ederiz.

(103)

Örnek-II: Alternatif Aray¬¸slar:Kiri¸ sle Bölme Yöntem

y =f(a) +^f(b) f(a)

b a (x a)

c =a f(a) (b a)

f(b) f(a) ⁽¹⁾

(104)

Örnek-II: Alternatif Aray¬¸slar:Kiri¸ s(secant) yöntemi)

Sekant(secant(kiri¸s)) olarak bilinen yöntem, Kiri¸sle bölme yöntemindeki s¬f¬r yerini içeren aral¬kla ba¸slayarak, her ad¬mda s¬f¬yerini içeren alt aral¬kla devam etme k¬s¬tlamalar¬n¬kald¬rarak, s¬f¬r yeri kom¸sulu¼gunda seçilen herhangi iki a ve b noktas¬ile ba¸slayarak (1) ile belirlenen c noktas¬n¬yeni yakla¸s¬m olarak kabul eder.

Bir sonraki ad¬mda a noktas¬, önceki ad¬m¬n b noktas¬, b noktas¬ise önceki ad¬m¬n c noktas¬olarak seçilmek suretiyle i¸sleme devam edilir. j^f(c)j >epsilon oldu¼gu sürece i¸sleme devam edilir.(Daha etkin sonuçland¬rma kriterleri dü¸sünülebilir). Kriteri sa¼glamayan ilk c de¼geri s¬f¬r yeri olarak kabul edilebilir.