• Sonuç bulunamadı

Diferensiyel Denklem Sistemleri için Say¬sal Yöntemler

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Diferensiyel Denklem Sistemleri için Say¬sal Yöntemler"

Copied!
136
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

Diferensiyel Denklem Sistemleri için Say¬sal Yöntemler

Erhan Co¸skun

Karadeniz Teknik Üniversitesi

Aral¬k, 2018

(2)

Diferensiyel Denklem Sistemleri için Say¬sal Yöntemleri

Bu bölümde

yüksek mertebeden lineer bir denklemin birinci mertebeden bir sisteme dönü¸stürülmesi,

diferensiyel denklem sistemleri için · Ileri Euler, Runge-Kutta(II) ve (IV) yöntemlerini ve

MATLAB/OCTAVE çözücülerin sistemler için nas¬l uygulanabilece¼ gi

konular¬n¬inceliyoruz .

(3)

Diferensiyel Denklem Sistemleri için Say¬sal Yöntemleri

Bu bölümde

yüksek mertebeden lineer bir denklemin birinci mertebeden bir sisteme dönü¸stürülmesi,

diferensiyel denklem sistemleri için · Ileri Euler, Runge-Kutta(II) ve (IV) yöntemlerini ve

MATLAB/OCTAVE çözücülerin sistemler için nas¬l uygulanabilece¼ gi

konular¬n¬inceliyoruz .

(4)

Diferensiyel Denklem Sistemleri için Say¬sal Yöntemleri

Bu bölümde

yüksek mertebeden lineer bir denklemin birinci mertebeden bir sisteme dönü¸stürülmesi,

diferensiyel denklem sistemleri için · Ileri Euler, Runge-Kutta(II) ve (IV) yöntemlerini ve

MATLAB/OCTAVE çözücülerin sistemler için nas¬l uygulanabilece¼ gi

konular¬n¬inceliyoruz .

(5)

Diferensiyel Denklem Sistemleri için Say¬sal Yöntemleri

Bu bölümde

yüksek mertebeden lineer bir denklemin birinci mertebeden bir sisteme dönü¸stürülmesi,

diferensiyel denklem sistemleri için · Ileri Euler, Runge-Kutta(II) ve (IV) yöntemlerini ve

MATLAB/OCTAVE çözücülerin sistemler için nas¬l uygulanabilece¼ gi

konular¬n¬inceliyoruz .

(6)

Tipik Uygulama alanlar¬

Diferensiyel denklem sistemleri, uygulamal¬bilimlerin çe¸sitli alanlar¬nda kar¸s¬m¬za ç¬karlar.

Özellikle fen bilimleri ve mühendislik ba¸sta olmak üzere,

çok say¬da ba¼ g¬ml¬de¼ gi¸skenin tek bir ba¼ g¬ms¬z de¼ gi¸skene ba¼ gl¬olarak bilinen yasalar çerçevesinde de¼ gi¸siminin söz konusu oldu¼ gu her problem bir diferensiyel denklem sistemi biçiminde modellenebilir: Örne¼ gin birbiri ile rekabet içerisinde ya¸sayan ve t an¬ndaki nüfuslar¬ s¬ras¬yla N

1

( t ) ve N

2

( t ) ile gösterilen canl¬nüfuslar¬n¬n zamanla de¼ gi¸simini modelleyen nonlineer lojistik model

dN

1

dt = aN

1

bN

1

N

2

(1)

dN

2

dt = cN

2

+ dN

1

N

2

biçiminde ifade edilebilir ve bu modeli bilinen analitik yöntemler

yard¬m¬yla çözemeyiz.

(7)

Tipik Uygulama alanlar¬

Diferensiyel denklem sistemleri, uygulamal¬bilimlerin çe¸sitli alanlar¬nda kar¸s¬m¬za ç¬karlar.

Özellikle fen bilimleri ve mühendislik ba¸sta olmak üzere,

çok say¬da ba¼ g¬ml¬de¼ gi¸skenin tek bir ba¼ g¬ms¬z de¼ gi¸skene ba¼ gl¬olarak bilinen yasalar çerçevesinde de¼ gi¸siminin söz konusu oldu¼ gu her problem bir diferensiyel denklem sistemi biçiminde modellenebilir: Örne¼ gin birbiri ile rekabet içerisinde ya¸sayan ve t an¬ndaki nüfuslar¬ s¬ras¬yla N

1

( t ) ve N

2

( t ) ile gösterilen canl¬nüfuslar¬n¬n zamanla de¼ gi¸simini modelleyen nonlineer lojistik model

dN

1

dt = aN

1

bN

1

N

2

(1)

dN

2

dt = cN

2

+ dN

1

N

2

biçiminde ifade edilebilir ve bu modeli bilinen analitik yöntemler

yard¬m¬yla çözemeyiz.

(8)

Tipik Uygulama alanlar¬

Diferensiyel denklem sistemleri, uygulamal¬bilimlerin çe¸sitli alanlar¬nda kar¸s¬m¬za ç¬karlar.

Özellikle fen bilimleri ve mühendislik ba¸sta olmak üzere,

çok say¬da ba¼ g¬ml¬de¼ gi¸skenin tek bir ba¼ g¬ms¬z de¼ gi¸skene ba¼ gl¬olarak bilinen yasalar çerçevesinde de¼ gi¸siminin söz konusu oldu¼ gu her problem bir diferensiyel denklem sistemi biçiminde modellenebilir:

Örne¼ gin birbiri ile rekabet içerisinde ya¸sayan ve t an¬ndaki nüfuslar¬ s¬ras¬yla N

1

( t ) ve N

2

( t ) ile gösterilen canl¬nüfuslar¬n¬n zamanla de¼ gi¸simini modelleyen nonlineer lojistik model

dN

1

dt = aN

1

bN

1

N

2

(1)

dN

2

dt = cN

2

+ dN

1

N

2

biçiminde ifade edilebilir ve bu modeli bilinen analitik yöntemler

yard¬m¬yla çözemeyiz.

(9)

Tipik Uygulama alanlar¬

Diferensiyel denklem sistemleri, uygulamal¬bilimlerin çe¸sitli alanlar¬nda kar¸s¬m¬za ç¬karlar.

Özellikle fen bilimleri ve mühendislik ba¸sta olmak üzere,

çok say¬da ba¼ g¬ml¬de¼ gi¸skenin tek bir ba¼ g¬ms¬z de¼ gi¸skene ba¼ gl¬olarak bilinen yasalar çerçevesinde de¼ gi¸siminin söz konusu oldu¼ gu her problem bir diferensiyel denklem sistemi biçiminde modellenebilir:

Örne¼ gin birbiri ile rekabet içerisinde ya¸sayan ve t an¬ndaki nüfuslar¬

s¬ras¬yla N

1

( t ) ve N

2

( t ) ile gösterilen canl¬nüfuslar¬n¬n zamanla de¼ gi¸simini modelleyen nonlineer lojistik model

dN

1

dt = aN

1

bN

1

N

2

(1)

dN

2

dt = cN

2

+ dN

1

N

2

biçiminde ifade edilebilir ve bu modeli bilinen analitik yöntemler

yard¬m¬yla çözemeyiz.

(10)

Tipik Uygulama alanlar¬: F=ma

ma = F

olarak bilinen Newton hareket kanunu kapsam¬nda de¼ gerlendirilebilen her …ziksel olaya ait matematiksel model birinci mertebeden bir lineer diferensiyel denklem sistemine dönü¸stürülebilir:

Öncelikle ideal yaylar için yay sal¬n¬m modelini gözönüne alal¬m:

my 00 = cy 0 ky + f ( t ) (2)

y ( 0 ) = α, y 0( 0 ) = β

Burada m kütle, c ortam direnci, k yay¬n esneklik düzeyini belirleyen sabit ve f ( t ) ise d¬¸s kuvveti temsil etmektedir.

Ayr¬ca t zaman de¼ gi¸skeni olmak üzere y = y ( t ) ise as¬l¬cismin statik denge konumundan yer de¼ gi¸stirmesidir.

A¸sa¼ g¬yön pozitif olarak seçilirse, pozitif y , cismin denge konumunun

a¸sa¼ g¬s¬nda, negatif y ise yukar¬s¬nda oldu¼ gunu ifade etmektedir.

(11)

Tipik Uygulama alanlar¬: F=ma

ma = F

olarak bilinen Newton hareket kanunu kapsam¬nda de¼ gerlendirilebilen her …ziksel olaya ait matematiksel model birinci mertebeden bir lineer diferensiyel denklem sistemine dönü¸stürülebilir:

Öncelikle ideal yaylar için yay sal¬n¬m modelini gözönüne alal¬m:

my 00 = cy 0 ky + f ( t ) (2)

y ( 0 ) = α, y 0( 0 ) = β

Burada m kütle, c ortam direnci, k yay¬n esneklik düzeyini belirleyen sabit ve f ( t ) ise d¬¸s kuvveti temsil etmektedir.

Ayr¬ca t zaman de¼ gi¸skeni olmak üzere y = y ( t ) ise as¬l¬cismin statik denge konumundan yer de¼ gi¸stirmesidir.

A¸sa¼ g¬yön pozitif olarak seçilirse, pozitif y , cismin denge konumunun

a¸sa¼ g¬s¬nda, negatif y ise yukar¬s¬nda oldu¼ gunu ifade etmektedir.

(12)

Tipik Uygulama alanlar¬: F=ma

ma = F

olarak bilinen Newton hareket kanunu kapsam¬nda de¼ gerlendirilebilen her …ziksel olaya ait matematiksel model birinci mertebeden bir lineer diferensiyel denklem sistemine dönü¸stürülebilir:

Öncelikle ideal yaylar için yay sal¬n¬m modelini gözönüne alal¬m:

my 00 = cy 0 ky + f ( t ) (2)

y ( 0 ) = α, y 0( 0 ) = β

Burada m kütle, c ortam direnci, k yay¬n esneklik düzeyini belirleyen sabit ve f ( t ) ise d¬¸s kuvveti temsil etmektedir.

Ayr¬ca t zaman de¼ gi¸skeni olmak üzere y = y ( t ) ise as¬l¬cismin statik denge konumundan yer de¼ gi¸stirmesidir.

A¸sa¼ g¬yön pozitif olarak seçilirse, pozitif y , cismin denge konumunun

a¸sa¼ g¬s¬nda, negatif y ise yukar¬s¬nda oldu¼ gunu ifade etmektedir.

(13)

Tipik Uygulama alanlar¬: F=ma

ma = F

olarak bilinen Newton hareket kanunu kapsam¬nda de¼ gerlendirilebilen her …ziksel olaya ait matematiksel model birinci mertebeden bir lineer diferensiyel denklem sistemine dönü¸stürülebilir:

Öncelikle ideal yaylar için yay sal¬n¬m modelini gözönüne alal¬m:

my 00 = cy 0 ky + f ( t ) (2)

y ( 0 ) = α, y 0( 0 ) = β

Burada m kütle, c ortam direnci, k yay¬n esneklik düzeyini belirleyen sabit ve f ( t ) ise d¬¸s kuvveti temsil etmektedir.

Ayr¬ca t zaman de¼ gi¸skeni olmak üzere y = y ( t ) ise as¬l¬cismin statik denge konumundan yer de¼ gi¸stirmesidir.

A¸sa¼ g¬yön pozitif olarak seçilirse, pozitif y , cismin denge konumunun

a¸sa¼ g¬s¬nda, negatif y ise yukar¬s¬nda oldu¼ gunu ifade etmektedir.

(14)

Tipik Uygulama alanlar¬: F=ma

ma = F

olarak bilinen Newton hareket kanunu kapsam¬nda de¼ gerlendirilebilen her …ziksel olaya ait matematiksel model birinci mertebeden bir lineer diferensiyel denklem sistemine dönü¸stürülebilir:

Öncelikle ideal yaylar için yay sal¬n¬m modelini gözönüne alal¬m:

my 00 = cy 0 ky + f ( t ) (2)

y ( 0 ) = α, y 0( 0 ) = β

Burada m kütle, c ortam direnci, k yay¬n esneklik düzeyini belirleyen sabit ve f ( t ) ise d¬¸s kuvveti temsil etmektedir.

Ayr¬ca t zaman de¼ gi¸skeni olmak üzere y = y ( t ) ise as¬l¬cismin statik denge konumundan yer de¼ gi¸stirmesidir.

A¸sa¼ g¬yön pozitif olarak seçilirse, pozitif y , cismin denge konumunun

a¸sa¼ g¬s¬nda, negatif y ise yukar¬s¬nda oldu¼ gunu ifade etmektedir.

(15)

Tipik Uygulama alanlar¬: F=ma(ideal yay)

(2) ba¸slang¬ç de¼ ger problemi u = y , v = y 0 de¼ gi¸sken dönü¸sümü ile

u 0 = v (3)

v 0 = 1/m ( cv ku + f ( t )) u ( 0 ) = α, v ( 0 ) = β

ba¸slang¬ç de¼ ger sistemine dönü¸stürülür.

(2) lineer bir denklem ve dolay¬s¬yla da (3) lineer bir diferensiyel

denklem sistemidir ve analitik çözümleri mevcuttur.

(16)

Tipik Uygulama alanlar¬: F=ma(ideal yay)

(2) ba¸slang¬ç de¼ ger problemi u = y , v = y 0 de¼ gi¸sken dönü¸sümü ile

u 0 = v (3)

v 0 = 1/m ( cv ku + f ( t )) u ( 0 ) = α, v ( 0 ) = β

ba¸slang¬ç de¼ ger sistemine dönü¸stürülür.

(2) lineer bir denklem ve dolay¬s¬yla da (3) lineer bir diferensiyel

denklem sistemidir ve analitik çözümleri mevcuttur.

(17)

Tipik Uygulama alanlar¬: F=ma(ideal yay)

(2) ba¸slang¬ç de¼ ger problemi u = y , v = y 0 de¼ gi¸sken dönü¸sümü ile

u 0 = v (3)

v 0 = 1/m ( cv ku + f ( t )) u ( 0 ) = α, v ( 0 ) = β

ba¸slang¬ç de¼ ger sistemine dönü¸stürülür.

(2) lineer bir denklem ve dolay¬s¬yla da (3) lineer bir diferensiyel

denklem sistemidir ve analitik çözümleri mevcuttur.

(18)

Tipik Uygulama alanlar¬: F=ma(· Ideal olmayan yay)

(2) ba¸slang¬ç de¼ ger problemi u = y , v = y 0 de¼ gi¸sken dönü¸sümü ile

Ancak yay¬n boyundaki de¼ gi¸sim ile olu¸san geri ça¼ g¬rma veya itme kuvvetini ili¸skilendiren Hook yasas¬, F

yay

= ku, ideal olmayan yaylar için geçerli de¼ gildir.

Bu durumda örne¼ gin

F

yay

= ku δu

3

, k > 0, δ > 0

biçiminde bir yakla¸s¬m¬n kullan¬lmas¬halinde elde edilen (2) ve (3)

s¬ras¬yla nonlineer denklem denklem sistemine dönü¸sürler ki bu

sistemin elemanter fonksiyonlar cinsinden analitik çözümü mevcut

de¼ gildir.

(19)

Tipik Uygulama alanlar¬: F=ma(· Ideal olmayan yay)

(2) ba¸slang¬ç de¼ ger problemi u = y , v = y 0 de¼ gi¸sken dönü¸sümü ile Ancak yay¬n boyundaki de¼ gi¸sim ile olu¸san geri ça¼ g¬rma veya itme kuvvetini ili¸skilendiren Hook yasas¬, F

yay

= ku, ideal olmayan yaylar için geçerli de¼ gildir.

Bu durumda örne¼ gin

F

yay

= ku δu

3

, k > 0, δ > 0

biçiminde bir yakla¸s¬m¬n kullan¬lmas¬halinde elde edilen (2) ve (3)

s¬ras¬yla nonlineer denklem denklem sistemine dönü¸sürler ki bu

sistemin elemanter fonksiyonlar cinsinden analitik çözümü mevcut

de¼ gildir.

(20)

Tipik Uygulama alanlar¬: F=ma(· Ideal olmayan yay)

(2) ba¸slang¬ç de¼ ger problemi u = y , v = y 0 de¼ gi¸sken dönü¸sümü ile Ancak yay¬n boyundaki de¼ gi¸sim ile olu¸san geri ça¼ g¬rma veya itme kuvvetini ili¸skilendiren Hook yasas¬, F

yay

= ku, ideal olmayan yaylar için geçerli de¼ gildir.

Bu durumda örne¼ gin

F

yay

= ku δu

3

, k > 0, δ > 0

biçiminde bir yakla¸s¬m¬n kullan¬lmas¬halinde elde edilen (2) ve (3)

s¬ras¬yla nonlineer denklem denklem sistemine dönü¸sürler ki bu

sistemin elemanter fonksiyonlar cinsinden analitik çözümü mevcut

de¼ gildir.

(21)

Tipik Uygulama alanlar¬: F=ma(Asmal¬köprü ask¬

sistemleri)

Daha de¼ gi¸sik kon…gürasyonlar da (3) türünde modeller yard¬m¬yla ifade edilebilirler.

Örne¼ gin bo¼ gaz köprüsü gibi bir asmal¬köprünün ask¬lar¬germeye kar¸s¬ direnç gösteren ve fakat s¬k¬¸smaya kar¸s¬direnç göstermeyen yaylar olarak dü¸sünülebilirler.

Bu durumda ask¬da olu¸san geri ça¼ g¬rma kuvveti F

yay

= ku + , u + = u, u > 0

0 u 0

olarak ifade edilebilir ve

bu kuvvet formülasyonunun kullan¬lmas¬halinde olu¸san nonlineer

modelin de analitik çözümü mevcut de¼ gildir.

(22)

Tipik Uygulama alanlar¬: F=ma(Asmal¬köprü ask¬

sistemleri)

Daha de¼ gi¸sik kon…gürasyonlar da (3) türünde modeller yard¬m¬yla ifade edilebilirler.

Örne¼ gin bo¼ gaz köprüsü gibi bir asmal¬köprünün ask¬lar¬germeye kar¸s¬

direnç gösteren ve fakat s¬k¬¸smaya kar¸s¬direnç göstermeyen yaylar olarak dü¸sünülebilirler.

Bu durumda ask¬da olu¸san geri ça¼ g¬rma kuvveti F

yay

= ku + , u + = u, u > 0

0 u 0

olarak ifade edilebilir ve

bu kuvvet formülasyonunun kullan¬lmas¬halinde olu¸san nonlineer

modelin de analitik çözümü mevcut de¼ gildir.

(23)

Tipik Uygulama alanlar¬: F=ma(Asmal¬köprü ask¬

sistemleri)

Daha de¼ gi¸sik kon…gürasyonlar da (3) türünde modeller yard¬m¬yla ifade edilebilirler.

Örne¼ gin bo¼ gaz köprüsü gibi bir asmal¬köprünün ask¬lar¬germeye kar¸s¬

direnç gösteren ve fakat s¬k¬¸smaya kar¸s¬direnç göstermeyen yaylar olarak dü¸sünülebilirler.

Bu durumda ask¬da olu¸san geri ça¼ g¬rma kuvveti

F

yay

= ku + , u + = u, u > 0

0 u 0

olarak ifade edilebilir ve

bu kuvvet formülasyonunun kullan¬lmas¬halinde olu¸san nonlineer

modelin de analitik çözümü mevcut de¼ gildir.

(24)

Tipik Uygulama alanlar¬: F=ma(Asmal¬köprü ask¬

sistemleri)

Daha de¼ gi¸sik kon…gürasyonlar da (3) türünde modeller yard¬m¬yla ifade edilebilirler.

Örne¼ gin bo¼ gaz köprüsü gibi bir asmal¬köprünün ask¬lar¬germeye kar¸s¬

direnç gösteren ve fakat s¬k¬¸smaya kar¸s¬direnç göstermeyen yaylar olarak dü¸sünülebilirler.

Bu durumda ask¬da olu¸san geri ça¼ g¬rma kuvveti F

yay

= ku + , u + = u, u > 0

0 u 0

olarak ifade edilebilir ve

bu kuvvet formülasyonunun kullan¬lmas¬halinde olu¸san nonlineer

modelin de analitik çözümü mevcut de¼ gildir.

(25)

n-inci basamaktan lineer denklemler

En genel halde n inci basamaktan

a

0

( t ) y (

n

) + a

1

( t ) y (

n 1

) + + a (

n 1

) y = f ( t ) , (4) y ( 0 ) = b

0

, y 0( 0 ) = b

1

, . . . , y (

n 1

) ( 0 ) = b

n 1

ba¸slang¬ç de¼ ger problemi

u

1

= y , u

2

= y 0 , . . . , u

n

= y (

n 1

)

isimli yeni de¼ gi¸skenler ile n bilinmeyenli n adet denklemden olu¸san u

1

0 = u

2

,

u

2

0 = u

3

, ...

u 0

n

= 1/a

0

( t )( f ( t ) a

1

( t ) u

n

. . . a

n 1

( t ) u

1

) , (5) u

1

( 0 ) = b

0

, u

2

( 0 ) = b

1

, . . . , u

n

( 0 ) = b

n

bir ba¸slang¬ç de¼ ger sistemine dönü¸stürülebilir.

(26)

n-inci basamaktan lineer denklemler

En genel halde n inci basamaktan

a

0

( t ) y (

n

) + a

1

( t ) y (

n 1

) + + a (

n 1

) y = f ( t ) , (4) y ( 0 ) = b

0

, y 0( 0 ) = b

1

, . . . , y (

n 1

) ( 0 ) = b

n 1

ba¸slang¬ç de¼ ger problemi

u

1

= y , u

2

= y 0 , . . . , u

n

= y (

n 1

)

isimli yeni de¼ gi¸skenler ile n bilinmeyenli n adet denklemden olu¸san

u

1

0 = u

2

, u

2

0 = u

3

, ...

u 0

n

= 1/a

0

( t )( f ( t ) a

1

( t ) u

n

. . . a

n 1

( t ) u

1

) , (5) u

1

( 0 ) = b

0

, u

2

( 0 ) = b

1

, . . . , u

n

( 0 ) = b

n

bir ba¸slang¬ç de¼ ger sistemine dönü¸stürülebilir.

(27)

n-inci basamaktan lineer denklemler

En genel halde n inci basamaktan

a

0

( t ) y (

n

) + a

1

( t ) y (

n 1

) + + a (

n 1

) y = f ( t ) , (4) y ( 0 ) = b

0

, y 0( 0 ) = b

1

, . . . , y (

n 1

) ( 0 ) = b

n 1

ba¸slang¬ç de¼ ger problemi

u

1

= y , u

2

= y 0 , . . . , u

n

= y (

n 1

)

isimli yeni de¼ gi¸skenler ile n bilinmeyenli n adet denklemden olu¸san u

1

0 = u

2

,

u

2

0 = u

3

, ...

u 0

n

= 1/a

0

( t )( f ( t ) a

1

( t ) u

n

. . . a

n 1

( t ) u

1

) , (5)

u

1

( 0 ) = b

0

, u

2

( 0 ) = b

1

, . . . , u

n

( 0 ) = b

n

(28)

n-inci basamaktan lineer denklemler

Özel baz¬durumlar hariç, de¼ gi¸sken katsay¬l¬ve (5) biçiminde ifade edilebilen genel bir sistemin de çözümünü analitik olarak ifade edebilmek mümkün de¼ gildir.

Bu durumda say¬sal yöntemlerin kulan¬lmas¬kaç¬n¬lmazd¬r.

· Ilk olarak önceki bölümde inceledi¼ gimiz · Ileri Euler yönteminin denklem

sistemleri için nas¬l uygulanabildi¼ gini görelim.

(29)

n-inci basamaktan lineer denklemler

Özel baz¬durumlar hariç, de¼ gi¸sken katsay¬l¬ve (5) biçiminde ifade edilebilen genel bir sistemin de çözümünü analitik olarak ifade edebilmek mümkün de¼ gildir.

Bu durumda say¬sal yöntemlerin kulan¬lmas¬kaç¬n¬lmazd¬r.

· Ilk olarak önceki bölümde inceledi¼ gimiz · Ileri Euler yönteminin denklem

sistemleri için nas¬l uygulanabildi¼ gini görelim.

(30)

n-inci basamaktan lineer denklemler

Özel baz¬durumlar hariç, de¼ gi¸sken katsay¬l¬ve (5) biçiminde ifade edilebilen genel bir sistemin de çözümünü analitik olarak ifade edebilmek mümkün de¼ gildir.

Bu durumda say¬sal yöntemlerin kulan¬lmas¬kaç¬n¬lmazd¬r.

· Ilk olarak önceki bölümde inceledi¼ gimiz · Ileri Euler yönteminin denklem

sistemleri için nas¬l uygulanabildi¼ gini görelim.

(31)

· Iki bilinmeyenli sistemler

dx

dt = f ( t, x, y ) (6)

dy

dt = g ( t, x, y )

x ( 0 ) = x

1

, y ( 0 ) = y

1

, t 2 [ 0, b ] ba¸slang¬ç de¼ ger problemini gözönüne alal¬m.

Vektör notasyonu yard¬m¬yla

X = x

y , F ( X ) = f ( t, x, y ) g ( t, x, y ) , X

(

1

)

= x

1

y

1

olarak tan¬mlayal¬m.

Bu durumda (6) sistemini dX

dt = F ( t, X ) , X ( 0 ) = X (

1

) (7)

biçiminde yazabiliriz.

(32)

· Iki bilinmeyenli sistemler

dx

dt = f ( t, x, y ) (6)

dy

dt = g ( t, x, y )

x ( 0 ) = x

1

, y ( 0 ) = y

1

, t 2 [ 0, b ] ba¸slang¬ç de¼ ger problemini gözönüne alal¬m.

Vektör notasyonu yard¬m¬yla

X = x

y , F ( X ) = f ( t, x, y ) g ( t, x, y ) , X

(

1

)

= x

1

y

1

olarak tan¬mlayal¬m.

Bu durumda (6) sistemini dX

dt = F ( t, X ) , X ( 0 ) = X (

1

) (7)

biçiminde yazabiliriz.

(33)

· Iki bilinmeyenli sistemler

dx

dt = f ( t, x, y ) (6)

dy

dt = g ( t, x, y )

x ( 0 ) = x

1

, y ( 0 ) = y

1

, t 2 [ 0, b ] ba¸slang¬ç de¼ ger problemini gözönüne alal¬m.

Vektör notasyonu yard¬m¬yla

X = x

y , F ( X ) = f ( t, x, y ) g ( t, x, y ) , X

(

1

)

= x

1

y

1

olarak tan¬mlayal¬m.

Bu durumda (6) sistemini dX

dt = F ( t, X ) , X ( 0 ) = X (

1

) (7)

biçiminde yazabiliriz.

(34)

Sistemler için · Ileri Euler yöntemi

h ad¬m uzunlu¼ gu ile (7) için · Ileri Euler yakla¸s¬mlar¬skaler denklemlere benzer biçimde

X (

i

+

1

) = X (

i

) + hF ( t

i

, X (

i

) ) , i = 1, 2, . . . , n (8) olarak tan¬mlan¬r.

(8) yakla¸s¬m¬n¬her bir bile¸sen için ayr¬ayr¬yazarak,

x

i

+

1

= x

i

+ hf ( t

i

, x

i

, y

i

) , y

i

+

1

= y

i

+ hg ( t

i

, x

i

, y

i

) ,

x ( 0 ) = x

1

, y ( 0 ) = y

1

, i = 1, . . . , n

elde ederiz.

(35)

Sistemler için · Ileri Euler yöntemi

h ad¬m uzunlu¼ gu ile (7) için · Ileri Euler yakla¸s¬mlar¬skaler denklemlere benzer biçimde

X (

i

+

1

) = X (

i

) + hF ( t

i

, X (

i

) ) , i = 1, 2, . . . , n (8) olarak tan¬mlan¬r.

(8) yakla¸s¬m¬n¬her bir bile¸sen için ayr¬ayr¬yazarak,

x

i

+

1

= x

i

+ hf ( t

i

, x

i

, y

i

) , y

i

+

1

= y

i

+ hg ( t

i

, x

i

, y

i

) ,

x ( 0 ) = x

1

, y ( 0 ) = y

1

, i = 1, . . . , n

elde ederiz.

(36)

Sistemler için · Ileri Euler yöntemi

h ad¬m uzunlu¼ gu ile (7) için · Ileri Euler yakla¸s¬mlar¬skaler denklemlere benzer biçimde

X (

i

+

1

) = X (

i

) + hF ( t

i

, X (

i

) ) , i = 1, 2, . . . , n (8) olarak tan¬mlan¬r.

(8) yakla¸s¬m¬n¬her bir bile¸sen için ayr¬ayr¬yazarak,

x

i

+

1

= x

i

+ hf ( t

i

, x

i

, y

i

) , y

i

+

1

= y

i

+ hg ( t

i

, x

i

, y

i

) ,

x ( 0 ) = x

1

, y ( 0 ) = y

1

, i = 1, . . . , n

elde ederiz.

(37)

Sistemler için · Ileri Euler yöntemi

Örnek 1

x 0 = 2x + 2y

y 0 = x

x ( 0 ) = 4, y ( 0 ) = 0 ba¸ slang¬ç de¼ger problemi verilsin. Verilen problemin

analitik çözümünü belirleyiniz,

h = 0.1 için [ 0, 5 ] aral¬¼g¬ndaki yakla¸ s¬k çözümlerini ileri Euler yöntemiyle belirleyerek

[ 4, 4 ] [ 4, 4 ] aral¬¼g¬nda uygun baz¬ ba¸ slang¬ç de¼gerleri ile çözüm

e¼grilerinin gra…¼gini çizdiriniz.

(38)

Sistemler için · Ileri Euler yöntemi

Örnek 1

x 0 = 2x + 2y

y 0 = x

x ( 0 ) = 4, y ( 0 ) = 0 ba¸ slang¬ç de¼ger problemi verilsin. Verilen problemin

analitik çözümünü belirleyiniz,

h = 0.1 için [ 0, 5 ] aral¬¼g¬ndaki yakla¸ s¬k çözümlerini ileri Euler yöntemiyle belirleyerek

[ 4, 4 ] [ 4, 4 ] aral¬¼g¬nda uygun baz¬ ba¸ slang¬ç de¼gerleri ile çözüm

e¼grilerinin gra…¼gini çizdiriniz.

(39)

Sistemler için · Ileri Euler yöntemi

Örnek 1

x 0 = 2x + 2y

y 0 = x

x ( 0 ) = 4, y ( 0 ) = 0 ba¸ slang¬ç de¼ger problemi verilsin. Verilen problemin

analitik çözümünü belirleyiniz,

h = 0.1 için [ 0, 5 ] aral¬¼g¬ndaki yakla¸ s¬k çözümlerini ileri Euler yöntemiyle belirleyerek

[ 4, 4 ] [ 4, 4 ] aral¬¼g¬nda uygun baz¬ ba¸ slang¬ç de¼gerleri ile çözüm

e¼grilerinin gra…¼gini çizdiriniz.

(40)

Sistemler için · Ileri Euler yöntemi

X = x

y , A = 2 2

1 0 , X (

1

) = X ( 0 ) = 4

0 notasyonu ile verilen denklem sistemini

dX dt = AX biçiminde ifade edilebiliriz.

A matrisinin özde¼ gerleri

λ

1

= 1 + i , λ

2

= 1 i dir.

Ayr¬ca λ

1

= 1 + i ye kar¸s¬l¬k gelen özvektör

V

1

= 1

( 1 + i ) /2

dir.

(41)

Sistemler için · Ileri Euler yöntemi

X = x

y , A = 2 2

1 0 , X (

1

) = X ( 0 ) = 4

0 notasyonu ile verilen denklem sistemini

dX dt = AX biçiminde ifade edilebiliriz.

A matrisinin özde¼ gerleri

λ

1

= 1 + i , λ

2

= 1 i dir.

Ayr¬ca λ

1

= 1 + i ye kar¸s¬l¬k gelen özvektör

V

1

= 1

( 1 + i ) /2

dir.

(42)

Sistemler için · Ileri Euler yöntemi

X = x

y , A = 2 2

1 0 , X (

1

) = X ( 0 ) = 4

0 notasyonu ile verilen denklem sistemini

dX dt = AX biçiminde ifade edilebiliriz.

A matrisinin özde¼ gerleri

λ

1

= 1 + i , λ

2

= 1 i dir.

Ayr¬ca λ

1

= 1 + i ye kar¸s¬l¬k gelen özvektör

V

1

= 1

( 1 + i ) /2

dir.

(43)

Sistemler için · Ileri Euler yöntemi

X = x

y , A = 2 2

1 0 , X (

1

) = X ( 0 ) = 4

0 notasyonu ile verilen denklem sistemini

dX dt = AX biçiminde ifade edilebiliriz.

A matrisinin özde¼ gerleri

λ

1

= 1 + i , λ

2

= 1 i dir.

Ayr¬ca λ

1

= 1 + i ye kar¸s¬l¬k gelen özvektör

V

1

= 1

( 1 + i ) /2

dir.

(44)

Sistemler için · Ileri Euler yöntemi

Buna göre denklemin bir çözümü

e

λ1t

V

1

= e (

1

+

i

)

t

1

( 1 + i ) /2 = e

t

cost + isint

1/2 ( cost sint ) + i /2 ( cost + sint )

olarak tan¬mlan¬r.

(45)

Sistemler için · Ileri Euler yöntemi

Ayr¬ca

Reel ( e

λ1t

V

1

) = e

t

cos t 1/2 ( cost sint ) ve

Sanal ( e

λ1t

V

1

) = e

t

sin t 1/2 ( cost + sint )

de çözüm olup, genel çözüm reel ve sanal k¬s¬mlar¬n kombinasyonu olarak

X ( t ) = C

1

Reel ( e

λ1t

V

1

) + C

2

Sanal ( e

λ1t

V

1

)

= C

1

e

t

cos t

1/2 ( cost sint ) + C

2

e

t

sin t

1/2 ( cost + sint )

elde ederiz.

(46)

Sistemler için · Ileri Euler yöntemi

Ayr¬ca

Reel ( e

λ1t

V

1

) = e

t

cos t 1/2 ( cost sint ) ve

Sanal ( e

λ1t

V

1

) = e

t

sin t 1/2 ( cost + sint )

de çözüm olup, genel çözüm reel ve sanal k¬s¬mlar¬n kombinasyonu olarak

X ( t ) = C

1

Reel ( e

λ1t

V

1

) + C

2

Sanal ( e

λ1t

V

1

)

= C

1

e

t

cos t

1/2 ( cost sint ) + C

2

e

t

sin t

1/2 ( cost + sint )

elde ederiz.

(47)

Sistemler için · Ileri Euler yöntemi

Ayr¬ca

Reel ( e

λ1t

V

1

) = e

t

cos t 1/2 ( cost sint ) ve

Sanal ( e

λ1t

V

1

) = e

t

sin t 1/2 ( cost + sint )

de çözüm olup, genel çözüm reel ve sanal k¬s¬mlar¬n kombinasyonu olarak

X ( t ) = C

1

Reel ( e

λ1t

V

1

) + C

2

Sanal ( e

λ1t

V

1

)

= C

1

e

t

cos t

1/2 ( cost sint ) + C

2

e

t

sin t

1/2 ( cost + sint )

elde ederiz.

(48)

Sistemler için · Ileri Euler yöntemi

X ( 0 ) = C

1

C

112

( 1 ) + C

212

( 1 ) = 4 0 olup, buradan

C

1

= 4, C

2

= 4 elde ederiz.

O halde arad¬¼ g¬m¬z çözüm

x ( t ) = 4e

t

( sint cost ) y ( t ) = 4e

t

sint

olarak elde ederiz.

(49)

Sistemler için · Ileri Euler yöntemi

X ( 0 ) = C

1

C

112

( 1 ) + C

212

( 1 ) = 4 0 olup, buradan

C

1

= 4, C

2

= 4 elde ederiz.

O halde arad¬¼ g¬m¬z çözüm

x ( t ) = 4e

t

( sint cost ) y ( t ) = 4e

t

sint

olarak elde ederiz.

(50)

Maxima ortam¬nda analitik çözüm

(51)

Sistemler için · Ileri Euler yöntemi

h ad¬m uzunlu¼ gu ile ileri Euler yöntemini [ 0, 5 ] aral¬¼ g¬nda uygulayal¬m.

( i + 1 ) inci ad¬mdaki yakla¸s¬mlar için

x

i

+

1

= x

i

+ 2h ( x

i

+ y

i

) y

i

+

1

= y

i

+ h ( x

i

) fark denklemlerini elde ederiz.

Örne¼ gin h = 0.1 ve ( x

1

, y

1

) = ( 4, 0 ) için ilk yakla¸s¬m x

2

= x

1

+ 0.1 2 ( x

1

+ y

1

)

= 4 + 0.1 2 ( 4 + 2 ) = 3.2 y

2

= y 1 + 0.1 ( x

1

)

= 0 + 0.1 ( ( 4 )) = 0.4

olarak elde edilir.

(52)

Sistemler için · Ileri Euler yöntemi

h ad¬m uzunlu¼ gu ile ileri Euler yöntemini [ 0, 5 ] aral¬¼ g¬nda uygulayal¬m.

( i + 1 ) inci ad¬mdaki yakla¸s¬mlar için

x

i

+

1

= x

i

+ 2h ( x

i

+ y

i

) y

i

+

1

= y

i

+ h ( x

i

) fark denklemlerini elde ederiz.

Örne¼ gin h = 0.1 ve ( x

1

, y

1

) = ( 4, 0 ) için ilk yakla¸s¬m x

2

= x

1

+ 0.1 2 ( x

1

+ y

1

)

= 4 + 0.1 2 ( 4 + 2 ) = 3.2 y

2

= y 1 + 0.1 ( x

1

)

= 0 + 0.1 ( ( 4 )) = 0.4

olarak elde edilir.

(53)

Sistemler için · Ileri Euler yöntemi

h ad¬m uzunlu¼ gu ile ileri Euler yöntemini [ 0, 5 ] aral¬¼ g¬nda uygulayal¬m.

( i + 1 ) inci ad¬mdaki yakla¸s¬mlar için

x

i

+

1

= x

i

+ 2h ( x

i

+ y

i

) y

i

+

1

= y

i

+ h ( x

i

) fark denklemlerini elde ederiz.

Örne¼ gin h = 0.1 ve ( x

1

, y

1

) = ( 4, 0 ) için ilk yakla¸s¬m x

2

= x

1

+ 0.1 2 ( x

1

+ y

1

)

= 4 + 0.1 2 ( 4 + 2 ) = 3.2 y

2

= y 1 + 0.1 ( x

1

)

= 0 + 0.1 ( ( 4 )) = 0.4

olarak elde edilir.

(54)

Sistemler için · Ileri Euler yöntemi

Benzer biçimde

x

3

= x

2

+ 0.1 2 ( x

2

+ y

2

)

= 3.2 + 0.1 2 ( 3.2 + 0.4 )

= 2.48

y

3

= y

2

+ 0.1 ( x

2

)

= 0.4 + 0.1 ( ( 3.2 ))

= 0.72

olarak elde edilir.

(55)

Sistemler için · Ileri Euler yöntemi

h = 0.1 ad¬m uzunlu¼ gu ile [ 0, 1 ] aral¬¼ g¬nda elde etti¼ gimiz yakla¸s¬m de¼ gerleri ( x

i

, y

i

) , i = 1, . . . 11 ile Tablo 1 de sunulmaktad¬r.

T x

i

y

i

0 4.0000 0

0.1 3.200 0.4000 0.2 2.4800 0.7200 0.3 1.8400 0.9680

... ... ...

1 0.6621 1.3260

Tablo 1: Örnek 1 için yakla¸s¬mlar

(56)

Sistemler için · Ileri Euler yöntemi(kod)

function [T,X]=ieulers(h,Tmax)

% · Ileri Euler yöntemi için Vektör Cebirsel Kod t=0;T=0; x1=4;y1=-3;

X=[x1,y1]; U=X’;

while (t < Tmax) U=U+h*f(t,U); t=t+h;

X=[X;U’]; T=[T;t]; end

plot(X(:,1),X(:,2));

function z=f(t,X)

x=X(1);y=X(2);

z=[-2*x+2*y;-x];

(57)

Sistemler için · Ileri Euler yöntemi(kod)

function [T,X]=ieulers(h,Tmax)

% · Ileri Euler yöntemi için Vektör Cebirsel Kod

t=0;T=0; x1=4;y1=-3; X=[x1,y1];

U=X’;

while (t < Tmax) U=U+h*f(t,U); t=t+h;

X=[X;U’]; T=[T;t]; end

plot(X(:,1),X(:,2));

function z=f(t,X)

x=X(1);y=X(2);

z=[-2*x+2*y;-x];

(58)

Sistemler için · Ileri Euler yöntemi(kod)

function [T,X]=ieulers(h,Tmax)

% · Ileri Euler yöntemi için Vektör Cebirsel Kod t=0;T=0; x1=4;y1=-3;

X=[x1,y1]; U=X’;

while (t < Tmax) U=U+h*f(t,U); t=t+h;

X=[X;U’]; T=[T;t]; end

plot(X(:,1),X(:,2));

function z=f(t,X)

x=X(1);y=X(2);

z=[-2*x+2*y;-x];

(59)

Sistemler için · Ileri Euler yöntemi(kod)

function [T,X]=ieulers(h,Tmax)

% · Ileri Euler yöntemi için Vektör Cebirsel Kod t=0;T=0; x1=4;y1=-3;

X=[x1,y1];

U=X’;

while (t < Tmax) U=U+h*f(t,U); t=t+h;

X=[X;U’]; T=[T;t]; end

plot(X(:,1),X(:,2));

function z=f(t,X)

x=X(1);y=X(2);

z=[-2*x+2*y;-x];

(60)

Sistemler için · Ileri Euler yöntemi(kod)

function [T,X]=ieulers(h,Tmax)

% · Ileri Euler yöntemi için Vektör Cebirsel Kod t=0;T=0; x1=4;y1=-3;

X=[x1,y1];

U=X’;

while (t < Tmax) U=U+h*f(t,U); t=t+h;

X=[X;U’]; T=[T;t]; end

plot(X(:,1),X(:,2));

function z=f(t,X)

x=X(1);y=X(2);

z=[-2*x+2*y;-x];

(61)

Sistemler için · Ileri Euler yöntemi(kod)

function [T,X]=ieulers(h,Tmax)

% · Ileri Euler yöntemi için Vektör Cebirsel Kod t=0;T=0; x1=4;y1=-3;

X=[x1,y1];

U=X’;

while (t < Tmax)

U=U+h*f(t,U); t=t+h;

X=[X;U’]; T=[T;t]; end

plot(X(:,1),X(:,2));

function z=f(t,X)

x=X(1);y=X(2);

z=[-2*x+2*y;-x];

(62)

Sistemler için · Ileri Euler yöntemi(kod)

function [T,X]=ieulers(h,Tmax)

% · Ileri Euler yöntemi için Vektör Cebirsel Kod t=0;T=0; x1=4;y1=-3;

X=[x1,y1];

U=X’;

while (t < Tmax) U=U+h*f(t,U);

t=t+h; X=[X;U’]; T=[T;t]; end

plot(X(:,1),X(:,2));

function z=f(t,X)

x=X(1);y=X(2);

z=[-2*x+2*y;-x];

(63)

Sistemler için · Ileri Euler yöntemi(kod)

function [T,X]=ieulers(h,Tmax)

% · Ileri Euler yöntemi için Vektör Cebirsel Kod t=0;T=0; x1=4;y1=-3;

X=[x1,y1];

U=X’;

while (t < Tmax) U=U+h*f(t,U);

t=t+h;

X=[X;U’]; T=[T;t]; end

plot(X(:,1),X(:,2));

function z=f(t,X)

x=X(1);y=X(2);

z=[-2*x+2*y;-x];

(64)

Sistemler için · Ileri Euler yöntemi(kod)

function [T,X]=ieulers(h,Tmax)

% · Ileri Euler yöntemi için Vektör Cebirsel Kod t=0;T=0; x1=4;y1=-3;

X=[x1,y1];

U=X’;

while (t < Tmax) U=U+h*f(t,U);

t=t+h;

X=[X;U’];

T=[T;t]; end

plot(X(:,1),X(:,2));

function z=f(t,X)

x=X(1);y=X(2);

z=[-2*x+2*y;-x];

(65)

Sistemler için · Ileri Euler yöntemi(kod)

function [T,X]=ieulers(h,Tmax)

% · Ileri Euler yöntemi için Vektör Cebirsel Kod t=0;T=0; x1=4;y1=-3;

X=[x1,y1];

U=X’;

while (t < Tmax) U=U+h*f(t,U);

t=t+h;

X=[X;U’];

T=[T;t];

end

plot(X(:,1),X(:,2));

function z=f(t,X)

x=X(1);y=X(2);

z=[-2*x+2*y;-x];

(66)

Sistemler için · Ileri Euler yöntemi(kod)

function [T,X]=ieulers(h,Tmax)

% · Ileri Euler yöntemi için Vektör Cebirsel Kod t=0;T=0; x1=4;y1=-3;

X=[x1,y1];

U=X’;

while (t < Tmax) U=U+h*f(t,U);

t=t+h;

X=[X;U’];

T=[T;t];

end

plot(X(:,1),X(:,2));

function z=f(t,X)

x=X(1);y=X(2);

z=[-2*x+2*y;-x];

(67)

Sistemler için · Ileri Euler yöntemi(kod)

function [T,X]=ieulers(h,Tmax)

% · Ileri Euler yöntemi için Vektör Cebirsel Kod t=0;T=0; x1=4;y1=-3;

X=[x1,y1];

U=X’;

while (t < Tmax) U=U+h*f(t,U);

t=t+h;

X=[X;U’];

T=[T;t];

end

plot(X(:,1),X(:,2));

function z=f(t,X)

x=X(1);y=X(2);

z=[-2*x+2*y;-x];

(68)

Sistemler için · Ileri Euler yöntemi(kod)

function [T,X]=ieulers(h,Tmax)

% · Ileri Euler yöntemi için Vektör Cebirsel Kod t=0;T=0; x1=4;y1=-3;

X=[x1,y1];

U=X’;

while (t < Tmax) U=U+h*f(t,U);

t=t+h;

X=[X;U’];

T=[T;t];

end

plot(X(:,1),X(:,2));

function z=f(t,X)

x=X(1);y=X(2);

z=[-2*x+2*y;-x];

(69)

Sistemler için · Ileri Euler yöntemi(kod)

function [T,X]=ieulers(h,Tmax)

% · Ileri Euler yöntemi için Vektör Cebirsel Kod t=0;T=0; x1=4;y1=-3;

X=[x1,y1];

U=X’;

while (t < Tmax) U=U+h*f(t,U);

t=t+h;

X=[X;U’];

T=[T;t];

end

plot(X(:,1),X(:,2));

function z=f(t,X) x=X(1);y=X(2);

z=[-2*x+2*y;-x];

(70)

Sistemler için · Ileri Euler yöntemi(kod)

function [T,X]=ieulers(h,Tmax)

% · Ileri Euler yöntemi için Vektör Cebirsel Kod t=0;T=0; x1=4;y1=-3;

X=[x1,y1];

U=X’;

while (t < Tmax) U=U+h*f(t,U);

t=t+h;

X=[X;U’];

T=[T;t];

end

plot(X(:,1),X(:,2));

function z=f(t,X) x=X(1);y=X(2);

z=[-2*x+2*y;-x];

(71)

Sistemler için · Ileri Euler yöntemi

Farkl¬ba¸slang¬ç de¼ gerleri için Örnek 1 e ait ( x ( t ) , y ( t )) çözüm e¼ grileri

¸

Sekil 1 de sunulmaktad¬r.

¸

Sekil 1: Örnek 1 e ait (x(t),y(t)) çözüm e¼ grileri

Her bir çözüm e¼ grisinin ( 0, 0 ) denge noktas¬na yak¬nsad¬¼ g¬n¬

gözlemleyiniz.

(72)

Sistemler için · Ileri Euler yöntemi

Farkl¬ba¸slang¬ç de¼ gerleri için Örnek 1 e ait ( x ( t ) , y ( t )) çözüm e¼ grileri

¸

Sekil 1 de sunulmaktad¬r.

¸

Sekil 1: Örnek 1 e ait (x(t),y(t)) çözüm e¼ grileri

Her bir çözüm e¼ grisinin ( 0, 0 ) denge noktas¬na yak¬nsad¬¼ g¬n¬

gözlemleyiniz.

(73)

Sistemler için · Ileri Euler yöntemi

Farkl¬ba¸slang¬ç de¼ gerleri için Örnek 1 e ait ( x ( t ) , y ( t )) çözüm e¼ grileri

¸

Sekil 1 de sunulmaktad¬r.

¸

Sekil 1: Örnek 1 e ait (x(t),y(t)) çözüm e¼ grileri

Her bir çözüm e¼ grisinin ( 0, 0 ) denge noktas¬na yak¬nsad¬¼ g¬n¬

(74)

Sistemler için II. Basamaktan Runge-Kutta yöntemi

Sistemler için Runge-Kutta yöntemleri skaler ba¸slang¬ç de¼ ger problemlerine benzer biçimde tan¬mlan¬r:

Örne¼ gin (7) için ikinci mertebeden Runge-Kutta yöntemi(RKIIs) a¸sa¼ g¬daki gibi ifade edilebilir:

M

1

= F ( t

i

, X (

i

) ) ;

M

2

= F ( t

i

+ h, X (

i

) + hM

1

) ; M = ( M

1

+ M

2

) /2;

X (

i

+

1

) = X (

i

) + hM, i = 1, 2, ... (9)

Burada M

i

lerin e¼ gimlerden olu¸san vektörler oldu¼ guna dikkat edelim.

(75)

Sistemler için II. Basamaktan Runge-Kutta yöntemi

Sistemler için Runge-Kutta yöntemleri skaler ba¸slang¬ç de¼ ger problemlerine benzer biçimde tan¬mlan¬r:

Örne¼ gin (7) için ikinci mertebeden Runge-Kutta yöntemi(RKIIs) a¸sa¼ g¬daki gibi ifade edilebilir:

M

1

= F ( t

i

, X (

i

) ) ;

M

2

= F ( t

i

+ h, X (

i

) + hM

1

) ; M = ( M

1

+ M

2

) /2;

X (

i

+

1

) = X (

i

) + hM, i = 1, 2, ... (9)

Burada M

i

lerin e¼ gimlerden olu¸san vektörler oldu¼ guna dikkat edelim.

(76)

Sistemler için II. Basamaktan Runge-Kutta yöntemi

Sistemler için Runge-Kutta yöntemleri skaler ba¸slang¬ç de¼ ger problemlerine benzer biçimde tan¬mlan¬r:

Örne¼ gin (7) için ikinci mertebeden Runge-Kutta yöntemi(RKIIs) a¸sa¼ g¬daki gibi ifade edilebilir:

M

1

= F ( t

i

, X (

i

) ) ;

M

2

= F ( t

i

+ h, X (

i

) + hM

1

) ; M = ( M

1

+ M

2

) /2;

X (

i

+

1

) = X (

i

) + hM, i = 1, 2, ... (9)

Burada M

i

lerin e¼ gimlerden olu¸san vektörler oldu¼ guna dikkat edelim.

(77)

Sistemler için II. Basamaktan Runge-Kutta yöntemi

Sistemler için Runge-Kutta yöntemleri skaler ba¸slang¬ç de¼ ger problemlerine benzer biçimde tan¬mlan¬r:

Örne¼ gin (7) için ikinci mertebeden Runge-Kutta yöntemi(RKIIs) a¸sa¼ g¬daki gibi ifade edilebilir:

M

1

= F ( t

i

, X (

i

) ) ;

M

2

= F ( t

i

+ h, X (

i

) + hM

1

) ; M = ( M

1

+ M

2

) /2;

X (

i

+

1

) = X (

i

) + hM, i = 1, 2, ... (9)

Burada M

i

lerin e¼ gimlerden olu¸san vektörler oldu¼ guna dikkat edelim.

(78)

Sistemler için II. Basamaktan Runge-Kutta yöntemi(örnek)

Örnek 2

dN

1

/dt = aN

1

bN

1

N

2

dN

2

/dt = cN

2

+ dN

1

N

2

N

1

( 0 ) = 10; N

2

( 0 ) = 5 modelini

a = 0.2, b = 0.1, c = 0.1, d = 0.3 parametreleri ile gözönüne alal¬m ve

ikinci Mertebeden Runge-Kutta RKII yöntemi yard¬m¬yla N

1

( t ) ve N

2

( t ) nüfuslar¬için uygun say¬sal yakla¸ s¬mlar¬

[ 0, 15 ] aral¬¼g¬nda h = 0.1 ad¬m uzunlu¼gu ile hesaplay¬n¬z

(79)

Sistemler için II. Basamaktan Runge-Kutta yöntemi(örnek)

Örnek 2

dN

1

/dt = aN

1

bN

1

N

2

dN

2

/dt = cN

2

+ dN

1

N

2

N

1

( 0 ) = 10; N

2

( 0 ) = 5 modelini

a = 0.2, b = 0.1, c = 0.1, d = 0.3 parametreleri ile gözönüne alal¬m ve

ikinci Mertebeden Runge-Kutta RKII yöntemi yard¬m¬yla N

1

( t ) ve N

2

( t ) nüfuslar¬için uygun say¬sal yakla¸ s¬mlar¬

[ 0, 15 ] aral¬¼g¬nda h = 0.1 ad¬m uzunlu¼gu ile hesaplay¬n¬z

(80)

Sistemler için II. Basamaktan Runge-Kutta yöntemi(örnek)

Örnek 2

dN

1

/dt = aN

1

bN

1

N

2

dN

2

/dt = cN

2

+ dN

1

N

2

N

1

( 0 ) = 10; N

2

( 0 ) = 5 modelini

a = 0.2, b = 0.1, c = 0.1, d = 0.3 parametreleri ile gözönüne alal¬m ve

ikinci Mertebeden Runge-Kutta RKII yöntemi yard¬m¬yla N

1

( t ) ve N

2

( t ) nüfuslar¬için uygun say¬sal yakla¸ s¬mlar¬

[ 0, 15 ] aral¬¼g¬nda h = 0.1 ad¬m uzunlu¼gu ile hesaplay¬n¬z

(81)

Sistemler için II. Basamaktan Runge-Kutta yöntemi(Kod)

% Yaz¬l¬m¬: RK2s(tan¬m,h), tanim=[t1,tson]

function RK2s(tanim,h)

N=[10 ;5];N1=N(1);N2=N(2);t=tanim(1);tson=tanim(2);T=t; a=0.2;b=0.1;c=0.1;d=0.3;

while t < tson

M1= F(t,N); M2= F(t+h,N+h*f(t,N)); M=(M1+M2)/2; N=N+h*M; t=t+h;

T=[T;t];N1=[N1;N(1)];N2=[N2;N(2)]; end

plot(T,N1,’.-k’); hold on;plot(T,N2,’.-r’); function yp=F(t,N)

yp=[a*N(1)-b*N(1)*N(2); -c*N(2)+d*N(1)*N(2)]; end

end

(82)

Sistemler için II. Basamaktan Runge-Kutta yöntemi(Kod)

% Yaz¬l¬m¬: RK2s(tan¬m,h), tanim=[t1,tson]

function RK2s(tanim,h)

N=[10 ;5];N1=N(1);N2=N(2);t=tanim(1);tson=tanim(2);T=t; a=0.2;b=0.1;c=0.1;d=0.3;

while t < tson

M1= F(t,N); M2= F(t+h,N+h*f(t,N)); M=(M1+M2)/2; N=N+h*M; t=t+h;

T=[T;t];N1=[N1;N(1)];N2=[N2;N(2)]; end

plot(T,N1,’.-k’); hold on;plot(T,N2,’.-r’); function yp=F(t,N)

yp=[a*N(1)-b*N(1)*N(2); -c*N(2)+d*N(1)*N(2)]; end

end

(83)

Sistemler için II. Basamaktan Runge-Kutta yöntemi(Kod)

% Yaz¬l¬m¬: RK2s(tan¬m,h), tanim=[t1,tson]

function RK2s(tanim,h)

N=[10 ;5];N1=N(1);N2=N(2);t=tanim(1);tson=tanim(2);T=t;

a=0.2;b=0.1;c=0.1;d=0.3; while t < tson

M1= F(t,N); M2= F(t+h,N+h*f(t,N)); M=(M1+M2)/2; N=N+h*M; t=t+h;

T=[T;t];N1=[N1;N(1)];N2=[N2;N(2)]; end

plot(T,N1,’.-k’); hold on;plot(T,N2,’.-r’); function yp=F(t,N)

yp=[a*N(1)-b*N(1)*N(2); -c*N(2)+d*N(1)*N(2)]; end

end

(84)

Sistemler için II. Basamaktan Runge-Kutta yöntemi(Kod)

% Yaz¬l¬m¬: RK2s(tan¬m,h), tanim=[t1,tson]

function RK2s(tanim,h)

N=[10 ;5];N1=N(1);N2=N(2);t=tanim(1);tson=tanim(2);T=t;

a=0.2;b=0.1;c=0.1;d=0.3;

while t < tson

M1= F(t,N); M2= F(t+h,N+h*f(t,N)); M=(M1+M2)/2; N=N+h*M; t=t+h;

T=[T;t];N1=[N1;N(1)];N2=[N2;N(2)]; end

plot(T,N1,’.-k’); hold on;plot(T,N2,’.-r’); function yp=F(t,N)

yp=[a*N(1)-b*N(1)*N(2); -c*N(2)+d*N(1)*N(2)]; end

end

(85)

Sistemler için II. Basamaktan Runge-Kutta yöntemi(Kod)

% Yaz¬l¬m¬: RK2s(tan¬m,h), tanim=[t1,tson]

function RK2s(tanim,h)

N=[10 ;5];N1=N(1);N2=N(2);t=tanim(1);tson=tanim(2);T=t;

a=0.2;b=0.1;c=0.1;d=0.3;

while t < tson

M1= F(t,N); M2= F(t+h,N+h*f(t,N)); M=(M1+M2)/2; N=N+h*M; t=t+h;

T=[T;t];N1=[N1;N(1)];N2=[N2;N(2)]; end

plot(T,N1,’.-k’); hold on;plot(T,N2,’.-r’); function yp=F(t,N)

yp=[a*N(1)-b*N(1)*N(2); -c*N(2)+d*N(1)*N(2)]; end

end

(86)

Sistemler için II. Basamaktan Runge-Kutta yöntemi(Kod)

% Yaz¬l¬m¬: RK2s(tan¬m,h), tanim=[t1,tson]

function RK2s(tanim,h)

N=[10 ;5];N1=N(1);N2=N(2);t=tanim(1);tson=tanim(2);T=t;

a=0.2;b=0.1;c=0.1;d=0.3;

while t < tson

M1= F(t,N); M2= F(t+h,N+h*f(t,N)); M=(M1+M2)/2;

N=N+h*M; t=t+h;

T=[T;t];N1=[N1;N(1)];N2=[N2;N(2)]; end

plot(T,N1,’.-k’); hold on;plot(T,N2,’.-r’); function yp=F(t,N)

yp=[a*N(1)-b*N(1)*N(2); -c*N(2)+d*N(1)*N(2)]; end

end

(87)

Sistemler için II. Basamaktan Runge-Kutta yöntemi(Kod)

% Yaz¬l¬m¬: RK2s(tan¬m,h), tanim=[t1,tson]

function RK2s(tanim,h)

N=[10 ;5];N1=N(1);N2=N(2);t=tanim(1);tson=tanim(2);T=t;

a=0.2;b=0.1;c=0.1;d=0.3;

while t < tson

M1= F(t,N); M2= F(t+h,N+h*f(t,N)); M=(M1+M2)/2;

N=N+h*M; t=t+h;

T=[T;t];N1=[N1;N(1)];N2=[N2;N(2)]; end

plot(T,N1,’.-k’); hold on;plot(T,N2,’.-r’); function yp=F(t,N)

yp=[a*N(1)-b*N(1)*N(2); -c*N(2)+d*N(1)*N(2)]; end

end

(88)

Sistemler için II. Basamaktan Runge-Kutta yöntemi(Kod)

% Yaz¬l¬m¬: RK2s(tan¬m,h), tanim=[t1,tson]

function RK2s(tanim,h)

N=[10 ;5];N1=N(1);N2=N(2);t=tanim(1);tson=tanim(2);T=t;

a=0.2;b=0.1;c=0.1;d=0.3;

while t < tson

M1= F(t,N); M2= F(t+h,N+h*f(t,N)); M=(M1+M2)/2;

N=N+h*M; t=t+h;

T=[T;t];N1=[N1;N(1)];N2=[N2;N(2)];

end

plot(T,N1,’.-k’); hold on;plot(T,N2,’.-r’); function yp=F(t,N)

yp=[a*N(1)-b*N(1)*N(2); -c*N(2)+d*N(1)*N(2)]; end

end

(89)

Sistemler için II. Basamaktan Runge-Kutta yöntemi(Kod)

% Yaz¬l¬m¬: RK2s(tan¬m,h), tanim=[t1,tson]

function RK2s(tanim,h)

N=[10 ;5];N1=N(1);N2=N(2);t=tanim(1);tson=tanim(2);T=t;

a=0.2;b=0.1;c=0.1;d=0.3;

while t < tson

M1= F(t,N); M2= F(t+h,N+h*f(t,N)); M=(M1+M2)/2;

N=N+h*M; t=t+h;

T=[T;t];N1=[N1;N(1)];N2=[N2;N(2)];

end

plot(T,N1,’.-k’); hold on;plot(T,N2,’.-r’); function yp=F(t,N)

yp=[a*N(1)-b*N(1)*N(2); -c*N(2)+d*N(1)*N(2)]; end

end

(90)

Sistemler için II. Basamaktan Runge-Kutta yöntemi(Kod)

% Yaz¬l¬m¬: RK2s(tan¬m,h), tanim=[t1,tson]

function RK2s(tanim,h)

N=[10 ;5];N1=N(1);N2=N(2);t=tanim(1);tson=tanim(2);T=t;

a=0.2;b=0.1;c=0.1;d=0.3;

while t < tson

M1= F(t,N); M2= F(t+h,N+h*f(t,N)); M=(M1+M2)/2;

N=N+h*M; t=t+h;

T=[T;t];N1=[N1;N(1)];N2=[N2;N(2)];

end

plot(T,N1,’.-k’); hold on;plot(T,N2,’.-r’);

function yp=F(t,N)

yp=[a*N(1)-b*N(1)*N(2); -c*N(2)+d*N(1)*N(2)]; end

end

(91)

Sistemler için II. Basamaktan Runge-Kutta yöntemi(Kod)

% Yaz¬l¬m¬: RK2s(tan¬m,h), tanim=[t1,tson]

function RK2s(tanim,h)

N=[10 ;5];N1=N(1);N2=N(2);t=tanim(1);tson=tanim(2);T=t;

a=0.2;b=0.1;c=0.1;d=0.3;

while t < tson

M1= F(t,N); M2= F(t+h,N+h*f(t,N)); M=(M1+M2)/2;

N=N+h*M; t=t+h;

T=[T;t];N1=[N1;N(1)];N2=[N2;N(2)];

end

plot(T,N1,’.-k’); hold on;plot(T,N2,’.-r’);

function yp=F(t,N)

yp=[a*N(1)-b*N(1)*N(2); -c*N(2)+d*N(1)*N(2)]; end

end

(92)

Sistemler için II. Basamaktan Runge-Kutta yöntemi(Kod)

% Yaz¬l¬m¬: RK2s(tan¬m,h), tanim=[t1,tson]

function RK2s(tanim,h)

N=[10 ;5];N1=N(1);N2=N(2);t=tanim(1);tson=tanim(2);T=t;

a=0.2;b=0.1;c=0.1;d=0.3;

while t < tson

M1= F(t,N); M2= F(t+h,N+h*f(t,N)); M=(M1+M2)/2;

N=N+h*M; t=t+h;

T=[T;t];N1=[N1;N(1)];N2=[N2;N(2)];

end

plot(T,N1,’.-k’); hold on;plot(T,N2,’.-r’);

function yp=F(t,N)

yp=[a*N(1)-b*N(1)*N(2); -c*N(2)+d*N(1)*N(2)];

end

end

(93)

Sistemler için II. Basamaktan Runge-Kutta yöntemi(Kod)

% Yaz¬l¬m¬: RK2s(tan¬m,h), tanim=[t1,tson]

function RK2s(tanim,h)

N=[10 ;5];N1=N(1);N2=N(2);t=tanim(1);tson=tanim(2);T=t;

a=0.2;b=0.1;c=0.1;d=0.3;

while t < tson

M1= F(t,N); M2= F(t+h,N+h*f(t,N)); M=(M1+M2)/2;

N=N+h*M; t=t+h;

T=[T;t];N1=[N1;N(1)];N2=[N2;N(2)];

end

plot(T,N1,’.-k’); hold on;plot(T,N2,’.-r’);

function yp=F(t,N)

yp=[a*N(1)-b*N(1)*N(2); -c*N(2)+d*N(1)*N(2)];

end

end

(94)

Sistemler için II. Basamaktan Runge-Kutta yöntemi(Kod)

% Yaz¬l¬m¬: RK2s(tan¬m,h), tanim=[t1,tson]

function RK2s(tanim,h)

N=[10 ;5];N1=N(1);N2=N(2);t=tanim(1);tson=tanim(2);T=t;

a=0.2;b=0.1;c=0.1;d=0.3;

while t < tson

M1= F(t,N); M2= F(t+h,N+h*f(t,N)); M=(M1+M2)/2;

N=N+h*M; t=t+h;

T=[T;t];N1=[N1;N(1)];N2=[N2;N(2)];

end

plot(T,N1,’.-k’); hold on;plot(T,N2,’.-r’);

function yp=F(t,N)

yp=[a*N(1)-b*N(1)*N(2); -c*N(2)+d*N(1)*N(2)];

end

end

(95)

Sistemler için II. Basamaktan Runge-Kutta yöntemi(test)

Çözüm e¼ grilerinden N

2

( t ) avc¬s¬n¬n N

1

( t ) yi tüketmek suretiyle

nüfusunu ço¼ galtt¬¼ g¬n¬, daha sonra da tek besin kayna¼ g¬olan N

1

( t )

nüfusunun tükenmesiyle N

2

( t ) nüfusunun da h¬zla azalarak yok

olmaya ba¸slad¬¼ g¬görülmektedir, ¸ Sekil 2

(96)

¸

Sekil 2: Canl¬nüfusunun zamana göre de¼ gi¸simi(N

1

( t ) (siyah),N

2

( t ) (mavi)

(97)

Sistemler için IV. Basamaktan Runge-Kutta yöntemi

Benzer biçimde (7) için dördüncü mertebeden Runge-Kutta yöntemi(RKIVs) a¸sa¼ g¬daki gibi ifade edilebilir:

M

1

= F ( t

i

, X (

i

) ) ;

M

2

= F ( t

i

+ h/2, X (

i

) + h/2M

1

) ; M

3

= F ( t

i

+ h/2, X (

i

) + h/2M

2

) ; M

4

= F ( t

i

+ h, X (

i

) + hM

3

) ;

M = ( M

1

+ 2M

2

+ 2M

3

+ M

4

) /6;

X (

i

+

1

) = X (

i

) + hM, i = 1, 2, ... (10)

(98)

Sistemler için IV. Basamaktan Runge-Kutta yöntemi(örnek)

u 00 + αu 0( u

2

1 ) + u = 0

u ( 0 ) = u

0

, u 0( 0 ) = u

1

ba¸slang¬ç de¼ ger problemi Van der Pol problemi olarak bilinir ve u ( t ) nonlineer devrelerde elektrik ak¬m¬n¬temsil eder.

u 0 = v dönü¸sümü ile

u 0 = v (11)

v 0 = αv ( 1 u

2

) u u ( 0 ) = u

0

, v ( 0 ) = u

1

birinci mertebeden nonlineer sistemini elde ederiz.

u ( 0 ) = 2, v ( 0 ) = 0.5 ve α = 0.2 de¼ gerleri için [ 0, 15 ] aral¬¼ g¬nda h = 0.1 ad¬m uzunlu¼ gu ile Runge-Kutta(IV) ve/veya

MATLAB/Octave ode45 yakla¸s¬mlar¬n gra…klerini çizdiriniz.

(99)

Sistemler için IV. Basamaktan Runge-Kutta yöntemi(örnek)

u 00 + αu 0( u

2

1 ) + u = 0

u ( 0 ) = u

0

, u 0( 0 ) = u

1

ba¸slang¬ç de¼ ger problemi Van der Pol problemi olarak bilinir ve u ( t ) nonlineer devrelerde elektrik ak¬m¬n¬temsil eder.

u 0 = v dönü¸sümü ile

u 0 = v (11)

v 0 = αv ( 1 u

2

) u u ( 0 ) = u

0

, v ( 0 ) = u

1

birinci mertebeden nonlineer sistemini elde ederiz.

u ( 0 ) = 2, v ( 0 ) = 0.5 ve α = 0.2 de¼ gerleri için [ 0, 15 ] aral¬¼ g¬nda h = 0.1 ad¬m uzunlu¼ gu ile Runge-Kutta(IV) ve/veya

MATLAB/Octave ode45 yakla¸s¬mlar¬n gra…klerini çizdiriniz.

(100)

Sistemler için IV. Basamaktan Runge-Kutta yöntemi(örnek)

u 00 + αu 0( u

2

1 ) + u = 0

u ( 0 ) = u

0

, u 0( 0 ) = u

1

ba¸slang¬ç de¼ ger problemi Van der Pol problemi olarak bilinir ve u ( t ) nonlineer devrelerde elektrik ak¬m¬n¬temsil eder.

u 0 = v dönü¸sümü ile

u 0 = v (11)

v 0 = αv ( 1 u

2

) u u ( 0 ) = u

0

, v ( 0 ) = u

1

birinci mertebeden nonlineer sistemini elde ederiz.

u ( 0 ) = 2, v ( 0 ) = 0.5 ve α = 0.2 de¼ gerleri için [ 0, 15 ] aral¬¼ g¬nda h = 0.1 ad¬m uzunlu¼ gu ile Runge-Kutta(IV) ve/veya

MATLAB/Octave ode45 yakla¸s¬mlar¬n gra…klerini çizdiriniz.

(101)

Sistemler için IV. Basamaktan Runge-Kutta yöntemi(Kod)

function RK4s(tanim,h)

U=[2 ;0.5];u=U(1);v=U(2);

t=tanim(1);tson=tanim(2); T=t; alfa=0.2; while t < tson

M1=F(t,U);

M2=F(t+h/2,U+h/2*m1); M3=F(t+h/2,U+h/2*m2); M4=F(t+h,U+h*m3);

M=(M1+2*M2+2*M3+M4)/6; U=U+h*M; t=t+h;

T=[T;t];u=[u;U(1)];v=[v;U(2)]; end

plot(T,u,’.-k’);hold on; plot(T,v,’.-b’); function Yp=F(t,U)

Yp=[U(2);alfa*U(2)*(1-U(1)^2)-U(1)]; end

end

(102)

Sistemler için IV. Basamaktan Runge-Kutta yöntemi(Kod)

function RK4s(tanim,h) U=[2 ;0.5];u=U(1);v=U(2);

t=tanim(1);tson=tanim(2); T=t; alfa=0.2; while t < tson

M1=F(t,U);

M2=F(t+h/2,U+h/2*m1); M3=F(t+h/2,U+h/2*m2); M4=F(t+h,U+h*m3);

M=(M1+2*M2+2*M3+M4)/6; U=U+h*M; t=t+h;

T=[T;t];u=[u;U(1)];v=[v;U(2)]; end

plot(T,u,’.-k’);hold on; plot(T,v,’.-b’); function Yp=F(t,U)

Yp=[U(2);alfa*U(2)*(1-U(1)^2)-U(1)]; end

end

Referanslar

Benzer Belgeler

[r]

Baz¬diferensiyel denklemler önceki bölümlerde gördü¼ gümüz denklem model- lerine uygun olmaz iken, uygun bir de¼ gi¸ sken de¼ gi¸ stirme ile bilinen denklemlerden birine

Madde zamanla azald¬¼ g¬ndan ve azalma h¬z¬mevcut madde miktar¬ile orant¬l¬oldu¼ gundan madde miktar¬n¬n de¼ gi¸ simini veren diferensiyel

ko¸ sulunu sa¼ gl¬yorsa, bu durumda bu fonksiyonlar I aral¬¼ g¬üzerinde lineer ba¼ g¬m- l¬d¬r denir... (1) denkleminin herhangi bir key… sabit içermeyen çözümüne (1)

O halde bu vektörler lineer ba¼ g¬ml¬d¬rlar.... Kolman

Ancak Q zamanla de¼ gi¸ sti¼ ginden, bir t an¬ndan itibaren dt kadar zaman geçmi¸ sse bu zaman aral¬¼ g¬ndaki maliyet,.. dC = I:f

I¸ · sletme problemlerinin matematiksel modellerinde n de¼ gi¸ sken taraf¬ndan ayn¬anda sa¼ glanmas¬gereken m adet lineer denklemden olu¸ san sistemlerle s¬kl¬kla kar¸

I¸ · sletme problemlerinin matematiksel modeller yard¬m¬yla analizinde lineer program- lama teknikleri önemli bir yer kaplar. · I¸ sletme problemleri aç¬s¬ndan lineer program-