Yöntem yukar¬da bahsedilen durumlar için de uygulanabilecek ¸sekilde geli¸stirilebilir.
Problem(S¬f¬ryeri belirleme problemi):f fonksiyonu [a, b]aral¬¼g¬nda tan¬ml¬ve aral¬¼g¬n¬n uç noktalar¬nda i¸saret de¼gi¸stiren ( f(a)f(b) <0 ) sürekli bir fonksiyon olsun. Fonksiyonun [a, b]aral¬¼g¬ndaki s¬f¬r yerini e hatas¬ile belirleyiniz.
Sürekli fonksiyonlar için ara de¼ger teoremi!çözüm mevcut
Say¬sal Analiz süreci(Örnek-II)
Yöntem yukar¬da bahsedilen durumlar için de uygulanabilecek ¸sekilde geli¸stirilebilir.
Problem(S¬f¬ryeri belirleme problemi):f fonksiyonu [a, b] aral¬¼g¬nda tan¬ml¬ve aral¬¼g¬n¬n uç noktalar¬nda i¸saret de¼gi¸stiren ( f(a)f(b) <0 ) sürekli bir fonksiyon olsun. Fonksiyonun [a, b]aral¬¼g¬ndaki s¬f¬r yerini e hatas¬ile belirleyiniz.
Sürekli fonksiyonlar için ara de¼ger teoremi!çözüm mevcut
E. Co¸skun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 19 / 40
Say¬sal Analiz süreci(Örnek-II)
Yöntem yukar¬da bahsedilen durumlar için de uygulanabilecek ¸sekilde geli¸stirilebilir.
Problem(S¬f¬ryeri belirleme problemi):f fonksiyonu [a, b] aral¬¼g¬nda tan¬ml¬ve aral¬¼g¬n¬n uç noktalar¬nda i¸saret de¼gi¸stiren ( f(a)f(b) <0 ) sürekli bir fonksiyon olsun. Fonksiyonun [a, b]aral¬¼g¬ndaki s¬f¬r yerini e hatas¬ile belirleyiniz.
Sürekli fonksiyonlar için ara de¼ger teoremi!çözüm mevcut
Örnek-II:Say¬sal yöntem(ikiye bölme yöntemi)
Bu yöntem ile [a, b] aral¬¼g¬ile ba¸slayarak,
aral¬k her ad¬mda iki e¸sit parçaya bölünür ve fonksiyonun i¸saret de¼gi¸stirdi¼gi alt aral¬k belirlenir.
aral¬k bölme i¸slemine fonksiyonun i¸saret de¼gi¸stirdi¼gi yeni aral¬k ile devam edilir.
E. Co¸skun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 20 / 40
Örnek-II:Say¬sal yöntem(ikiye bölme yöntemi)
Bu yöntem ile [a, b] aral¬¼g¬ile ba¸slayarak, aral¬k her ad¬mda iki e¸sit parçaya bölünür ve
fonksiyonun i¸saret de¼gi¸stirdi¼gi alt aral¬k belirlenir.
aral¬k bölme i¸slemine fonksiyonun i¸saret de¼gi¸stirdi¼gi yeni aral¬k ile devam edilir.
Örnek-II:Say¬sal yöntem(ikiye bölme yöntemi)
Bu yöntem ile [a, b] aral¬¼g¬ile ba¸slayarak, aral¬k her ad¬mda iki e¸sit parçaya bölünür ve fonksiyonun i¸saret de¼gi¸stirdi¼gi alt aral¬k belirlenir.
aral¬k bölme i¸slemine fonksiyonun i¸saret de¼gi¸stirdi¼gi yeni aral¬k ile devam edilir.
E. Co¸skun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 20 / 40
Örnek-II:Say¬sal yöntem(ikiye bölme yöntemi)
Bu yöntem ile [a, b] aral¬¼g¬ile ba¸slayarak, aral¬k her ad¬mda iki e¸sit parçaya bölünür ve fonksiyonun i¸saret de¼gi¸stirdi¼gi alt aral¬k belirlenir.
aral¬k bölme i¸slemine fonksiyonun i¸saret de¼gi¸stirdi¼gi yeni aral¬k ile devam edilir.
Örnek-II:Say¬sal yöntem(ikiye bölme yöntemi)
Örnek-II:Say¬sal yöntem(ikiye bölme yöntemi)
Örnek-II:algoritma
1 Girdi: f , a, b, e.
2 c = (a+b)/2
3 E¼ger f(a)f(c) <0 ise b=c, de¼gilse a=c
4 jf(c)j >e oldu¼gu sürece a, c, b, f(c) de¼gerlerini yaz ve (2) ye git de¼gilse i¸slemi durdur.
E. Co¸skun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 22 / 40
Örnek-II:algoritma
1 Girdi: f , a, b, e.
2 c = (a+b)/2
3 E¼ger f(a)f(c) <0 ise b=c, de¼gilse a=c
4 jf(c)j >e oldu¼gu sürece a, c, b, f(c) de¼gerlerini yaz ve (2) ye git de¼gilse i¸slemi durdur.
Örnek-II:algoritma
1 Girdi: f , a, b, e.
2 c = (a+b)/2
3 E¼ger f(a)f(c) <0 ise b=c, de¼gilse a=c
4 jf(c)j >e oldu¼gu sürece a, c, b, f(c) de¼gerlerini yaz ve (2) ye git de¼gilse i¸slemi durdur.
E. Co¸skun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 22 / 40
Örnek-II:algoritma
1 Girdi: f , a, b, e.
2 c = (a+b)/2
3 E¼ger f(a)f(c) <0 ise b=c, de¼gilse a=c
4 jf(c)j >e oldu¼gu sürece a, c, b, f(c) de¼gerlerini yaz ve (2) ye git de¼gilse i¸slemi durdur.
Örnek-II:Program
1 function c=ikibol (f,a,b, epsilon)
2 c = (a+b)/2; fc =f(c);
Örnek-II:Program
1 function c=ikibol (f,a,b, epsilon)
2 c = (a+b)/2; fc =f(c);
3 fprintf(Format, a, c, b, fc);
4 while abs(fc) >epsilon
5 if f(a) fc <0
6 b =c;
7 else
8 a=c;
9 end
10 c = (a+b)/2; fc =f(c);
11 fprintf(Format, a, c, b, fc);
12 end
Örnek-II:Program
1 function c=ikibol (f,a,b, epsilon)
2 c = (a+b)/2; fc =f(c);
Örnek-II:Program
1 function c=ikibol (f,a,b, epsilon)
2 c = (a+b)/2; fc =f(c);
3 fprintf(Format, a, c, b, fc);
4 while abs(fc) >epsilon
5 if f(a) fc <0
6 b =c;
7 else
8 a=c;
9 end
10 c = (a+b)/2; fc =f(c);
11 fprintf(Format, a, c, b, fc);
12 end
Örnek-II:Program
1 function c=ikibol (f,a,b, epsilon)
2 c = (a+b)/2; fc =f(c);
Örnek-II:Program
1 function c=ikibol (f,a,b, epsilon)
2 c = (a+b)/2; fc =f(c);
3 fprintf(Format, a, c, b, fc);
4 while abs(fc) >epsilon
5 if f(a) fc <0
6 b =c;
7 else
8 a=c;
9 end
10 c = (a+b)/2; fc =f(c);
11 fprintf(Format, a, c, b, fc);
12 end
Örnek-II:Program
1 function c=ikibol (f,a,b, epsilon)
2 c = (a+b)/2; fc =f(c);
Örnek-II:Program
1 function c=ikibol (f,a,b, epsilon)
2 c = (a+b)/2; fc =f(c);
3 fprintf(Format, a, c, b, fc);
4 while abs(fc) >epsilon
5 if f(a) fc <0
6 b =c;
7 else
8 a=c;
9 end
10 c = (a+b)/2; fc =f(c);
11 fprintf(Format, a, c, b, fc);
12 end
Örnek-II:Program
1 function c=ikibol (f,a,b, epsilon)
2 c = (a+b)/2; fc =f(c);
Örnek-II:Program
1 function c=ikibol (f,a,b, epsilon)
2 c = (a+b)/2; fc =f(c);
3 fprintf(Format, a, c, b, fc);
4 while abs(fc) >epsilon
5 if f(a) fc <0
6 b =c;
7 else
8 a=c;
9 end
c = (a+b)/2; fc =f(c);
11 fprintf(Format, a, c, b, fc);
12 end
Örnek-II:Program
1 function c=ikibol (f,a,b, epsilon)
2 c = (a+b)/2; fc =f(c);
Örnek-II:Program
1 function c=ikibol (f,a,b, epsilon)
2 c = (a+b)/2; fc =f(c);
3 fprintf(Format, a, c, b, fc);
4 while abs(fc) >epsilon
5 if f(a) fc <0
6 b =c;
7 else
8 a=c;
9 end
c = (a+b)/2; fc =f(c);
Örnek-II:Uygulama
f(x) =ex (x+2)fonksiyonunu [0, 2]aral¬¼g¬ndaki s¬f¬ryerini ikiye bölme yöntemi yard¬m¬yla belirleyelim.f fonksiyonunu
f =inline(0exp(x) (x+2)0);
Örnek-II:Uygulama
f(x) =ex (x+2)fonksiyonunu [0, 2]aral¬¼g¬ndaki s¬f¬ryerini ikiye bölme yöntemi yard¬m¬yla belirleyelim.f fonksiyonunu
f =inline(0exp(x) (x+2)0); komutu ile tan¬mlayal¬m.
0.5 1.0 1.5 2.0
-1 0 1 2 3
x y
Örnek-II:Uygulama
f(x) =ex (x+2)fonksiyonunu [0, 2]aral¬¼g¬ndaki s¬f¬ryerini ikiye bölme yöntemi yard¬m¬yla belirleyelim.f fonksiyonunu
f =inline(0exp(x) (x+2)0);
Örnek-II: Uygulama
Program¬çal¬¸st¬rarak, a, c, b, f(c)de¼gerleri a¸sa¼g¬daki gibi elde edilir:
>>ikibol(f,0,2,1e-4)
0.000000 1.000000 2.000000 -0.281718 1.000000 1.500000 2.000000 0.981689 1.000000 1.250000 1.500000 0.240343 1.000000 1.125000 1.250000 -0.044783 ... ... ... ...
1.146193 1.146193 1.146193 0.000000 ans=1.1462
Virgülden sonra onbe¸s basama¼ga kadar s¬f¬ryeri için yakla¸s¬m c =1.146193220620583 dir.
Örnek-II: Uygulama
Program¬çal¬¸st¬rarak, a, c, b, f(c)de¼gerleri a¸sa¼g¬daki gibi elde edilir:
>>ikibol(f,0,2,1e-4)
0.000000 1.000000 2.000000 -0.281718 1.000000 1.500000 2.000000 0.981689 1.000000 1.250000 1.500000 0.240343 1.000000 1.125000 1.250000 -0.044783 ... ... ... ...
1.146193 1.146193 1.146193 0.000000 ans=1.1462
Virgülden sonra onbe¸s basama¼ga kadar s¬f¬ryeri için yakla¸s¬m c =1.146193220620583 dir.
E. Co¸skun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 25 / 40
Örnek-II:Yak¬nsakl¬k Analizi
Yöntemin söz konusu aral¬ktaki s¬f¬ryerini her zaman belirleyip ya da belirleyemeyece¼gi(Teorem 1) S¬f¬ryerini belirleyebilme h¬z¬(orta noktalardan olu¸san dizinin yak¬nsama h¬z¬).
Teorem 1
f fonksiyonu [a, b] = [a1, b1]aral¬¼g¬n¬n uç noktalar¬nda i¸saret de¼gi¸stiren sürekli bir fonksiyon ve r de fonksiyonun her n için f(an)f(bn) <0 ¸sart¬n¬ sa¼glayan [an, bn]aral¬¼g¬ndaki s¬f¬ryeri ve fcng∞n=1 ise cn = (an+bn)/2 ile tan¬mlanan orta noktalar dizisi olsun. Bu taktirde
nlim!∞cn =r dir.
Örnek-II:Yak¬nsakl¬k Analizi
Yöntemin söz konusu aral¬ktaki s¬f¬ryerini her zaman belirleyip ya da belirleyemeyece¼gi(Teorem 1) S¬f¬ryerini belirleyebilme h¬z¬(orta noktalardan olu¸san dizinin yak¬nsama h¬z¬).
Teorem 1
f fonksiyonu [a, b] = [a1, b1]aral¬¼g¬n¬n uç noktalar¬nda i¸saret de¼gi¸stiren sürekli bir fonksiyon ve r de fonksiyonun her n için f(an)f(bn) <0 ¸sart¬n¬
sa¼glayan [an, bn]aral¬¼g¬ndaki s¬f¬ryeri ve fcng∞n=1 ise cn = (an+bn)/2 ile tan¬mlanan orta noktalar dizisi olsun. Bu taktirde
nlim!∞cn =r dir.
E. Co¸skun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 26 / 40
Örnek-II:Yak¬nsakl¬k Analizi
Teorem 2 r s¬f¬ryeri için
jr cnj bn 2 an
oldu¼gu aç¬kt¬r. Öte yandan her bir alt aral¬¼g¬n uzunlu¼gu önceki alt aral¬¼g¬n uzunlu¼gunun yar¬s¬na e¸sit oldu¼gundan
jr cnj bn 2 an = bn 1 an 1
22 = = b1 a1
2n
elde ederiz. Yukar¬daki e¸sitsizlikten limn!∞jr cnj =0 elde ederiz. Öte yandan
Örnek-II:Yak¬nsakl¬k Analizi
Tan¬m 1
Bir r noktas¬na yak¬nsayan fcng∞n=0 dizisi verilmi¸s olsun. E¼ger her n N için
jr cn+1j αjr cnjβ
e¸sitsizli¼gi sa¼glanacak biçimde α>0, β 1 reel say¬lar¬ve N >0 tamsay¬s¬
mevcutsa fcng∞n=1 dizisi β-¬nc¬basamaktan yak¬nsak bir dizidir denir.
β=1 olmas¬durumunda yak¬nsama için α2 (0, 1)olmal¬d¬r ve bu durumda diziye lineer yak¬nsak dizi ad¬verilir. β=2 olmas¬durumda ise diziye kuadratik yak¬nsak dizi ad¬verilir.
E. Co¸skun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 28 / 40
Örnek-II:Yak¬nsakl¬k Analizi
·Ikiye bölme yöntemi için
jr cn+1j bn+1 2 an+1 = 1 2
bn an 2 ve
jr cnj bn 2 an e¸sitsizliklerini kar¸s¬la¸st¬rarak
jr cn+1j = 12jr cnj
elde ederiz. O halde yöntem lineer olarak yak¬nsakt¬r.
Örnek-II: Alternatif Aray¬¸slar:Kiri¸ sle Bölme Yöntem
Genellikle Regula Falsi olarak bilinen yöntem, her ad¬mda aral¬¼g¬orta noktas¬ndan ikiye bölmek yerine,
(a, f(a)),(b, f(b)) noktalar¬n¬birle¸stiren kiri¸sin x eksenini kesim noktas¬yard¬m¬yla aral¬¼g¬iki alt parçaya böler ve söz konusu kesim noktas¬n¬s¬f¬r yeri için yakla¸s¬mlar dizisinin bir eleman¬olarak kabul eder.
E. Co¸skun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 30 / 40
Örnek-II: Alternatif Aray¬¸slar:Kiri¸ sle Bölme Yöntem
Genellikle Regula Falsi olarak bilinen yöntem, her ad¬mda aral¬¼g¬orta noktas¬ndan ikiye bölmek yerine,
(a, f(a)),(b, f(b)) noktalar¬n¬birle¸stiren kiri¸sin x eksenini kesim noktas¬yard¬m¬yla aral¬¼g¬iki alt parçaya böler ve söz konusu kesim noktas¬n¬s¬f¬r yeri için yakla¸s¬mlar dizisinin bir eleman¬olarak kabul eder.
Örnek-II: Alternatif Aray¬¸slar:Kiri¸ sle Bölme Yöntem
Di¼ger bir de¼gimle, (a, f(a)),(b, f(b)) noktalar¬ndan geçen birinci dereceden polinomun s¬f¬r yeri, fonksiyon s¬f¬r yeri için bir yakla¸s¬m olarak kabul edilir.
Kiri¸sin ekseni kesim noktas¬n¬belirlemek için öncelikle kiri¸s denklemini gözönüne alal¬m:
y =f(a) +f(b) f(a)
b a (x a)
Bu do¼grunun x=c olarak adland¬raca¼g¬m¬z x eksenini kesim noktas¬, y =0 alarak
c =a f(a) (b a)
f(b) f(a) (1)
elde ederiz.
jf(c)j >epsilon oldu¼gu sürece i¸sleme devam edilir.(Daha etki sonuçland¬rma kriterleri dü¸sünülebilir).
E. Co¸skun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 31 / 40
Örnek-II: Alternatif Aray¬¸slar:Kiri¸ sle Bölme Yöntem
Di¼ger bir de¼gimle, (a, f(a)),(b, f(b)) noktalar¬ndan geçen birinci dereceden polinomun s¬f¬r yeri, fonksiyon s¬f¬r yeri için bir yakla¸s¬m olarak kabul edilir.
Kiri¸sin ekseni kesim noktas¬n¬belirlemek için öncelikle kiri¸s denklemini gözönüne alal¬m:
y =f(a) +f(b) f(a)
b a (x a)
Bu do¼grunun x=c olarak adland¬raca¼g¬m¬z x eksenini kesim noktas¬, y =0 alarak
c =a f(a) (b a)
f(b) f(a) (1)
elde ederiz.
jf(c)j >epsilon oldu¼gu sürece i¸sleme devam edilir.(Daha etki sonuçland¬rma kriterleri dü¸sünülebilir).
Örnek-II: Alternatif Aray¬¸slar:Kiri¸ sle Bölme Yöntem
Di¼ger bir de¼gimle, (a, f(a)),(b, f(b)) noktalar¬ndan geçen birinci dereceden polinomun s¬f¬r yeri, fonksiyon s¬f¬r yeri için bir yakla¸s¬m olarak kabul edilir.
Kiri¸sin ekseni kesim noktas¬n¬belirlemek için öncelikle kiri¸s denklemini gözönüne alal¬m:
y =f(a) +f(b) f(a)
b a (x a)
Bu do¼grunun x=c olarak adland¬raca¼g¬m¬z x eksenini kesim noktas¬, y =0 alarak
c =a f(a) (b a)
f(b) f(a) (1)
elde ederiz.
jf(c)j >epsilon oldu¼gu sürece i¸sleme devam edilir.(Daha etki sonuçland¬rma kriterleri dü¸sünülebilir).
E. Co¸skun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 31 / 40
Örnek-II: Alternatif Aray¬¸slar:Kiri¸ sle Bölme Yöntem
Di¼ger bir de¼gimle, (a, f(a)),(b, f(b)) noktalar¬ndan geçen birinci dereceden polinomun s¬f¬r yeri, fonksiyon s¬f¬r yeri için bir yakla¸s¬m olarak kabul edilir.
Kiri¸sin ekseni kesim noktas¬n¬belirlemek için öncelikle kiri¸s denklemini gözönüne alal¬m:
y =f(a) +f(b) f(a)
b a (x a)
Bu do¼grunun x=c olarak adland¬raca¼g¬m¬z x eksenini kesim noktas¬, y =0 alarak
c =a f(a) (b a)
f(b) f(a) (1)
Örnek-II: Alternatif Aray¬¸slar:Kiri¸ s(secant) yöntemi)
Sekant(secant(kiri¸s)) olarak bilinen yöntem, Kiri¸sle bölme yöntemindeki s¬f¬r yerini içeren aral¬kla ba¸slayarak, her ad¬mda s¬f¬yerini içeren alt aral¬kla devam etme k¬s¬tlamalar¬n¬kald¬rarak, s¬f¬r yeri kom¸sulu¼gunda seçilen herhangi iki a ve b noktas¬ile ba¸slayarak (1) ile belirlenen c noktas¬n¬yeni yakla¸s¬m olarak kabul eder.
Bir sonraki ad¬mda a noktas¬, önceki ad¬m¬n b noktas¬, b noktas¬ise önceki ad¬m¬n c noktas¬olarak seçilmek suretiyle i¸sleme devam edilir. jf(c)j >epsilon oldu¼gu sürece i¸sleme devam edilir.(Daha etkin sonuçland¬rma kriterleri dü¸sünülebilir). Kriteri sa¼glamayan ilk c de¼geri s¬f¬r yeri olarak kabul edilebilir.
E. Co¸skun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 32 / 40
Örnek-II: Alternatif Aray¬¸slar:Kiri¸ s(secant) yöntemi)
Sekant(secant(kiri¸s)) olarak bilinen yöntem, Kiri¸sle bölme yöntemindeki s¬f¬r yerini içeren aral¬kla ba¸slayarak, her ad¬mda s¬f¬yerini içeren alt aral¬kla devam etme k¬s¬tlamalar¬n¬kald¬rarak, s¬f¬r yeri kom¸sulu¼gunda seçilen herhangi iki a ve b noktas¬ile ba¸slayarak (1) ile belirlenen c noktas¬n¬yeni yakla¸s¬m olarak kabul eder.
Bir sonraki ad¬mda a noktas¬, önceki ad¬m¬n b noktas¬, b noktas¬ise önceki ad¬m¬n c noktas¬olarak seçilmek suretiyle i¸sleme devam edilir.
jf(c)j >epsilon oldu¼gu sürece i¸sleme devam edilir.(Daha etkin sonuçland¬rma kriterleri dü¸sünülebilir). Kriteri sa¼glamayan ilk c de¼geri s¬f¬r yeri olarak kabul edilebilir.
Örnek-II: Alternatif Aray¬¸slar:Kiri¸ s(secant) yöntemi)
Sekant(secant(kiri¸s)) olarak bilinen yöntem, Kiri¸sle bölme yöntemindeki s¬f¬r yerini içeren aral¬kla ba¸slayarak, her ad¬mda s¬f¬yerini içeren alt aral¬kla devam etme k¬s¬tlamalar¬n¬kald¬rarak, s¬f¬r yeri kom¸sulu¼gunda seçilen herhangi iki a ve b noktas¬ile ba¸slayarak (1) ile belirlenen c noktas¬n¬yeni yakla¸s¬m olarak kabul eder.
Bir sonraki ad¬mda a noktas¬, önceki ad¬m¬n b noktas¬, b noktas¬ise önceki ad¬m¬n c noktas¬olarak seçilmek suretiyle i¸sleme devam edilir.
jf(c)j >epsilon oldu¼gu sürece i¸sleme devam edilir.(Daha etkin sonuçland¬rma kriterleri dü¸sünülebilir). Kriteri sa¼glamayan ilk c de¼geri s¬f¬r yeri olarak kabul edilebilir.
E. Co¸skun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 32 / 40
Örnek-II: Alternatif Aray¬¸slar:Kiri¸s yöntemi geli¸stirebilir mi?
S¬f¬r yeri kom¸sulu¼gunda iki nokta yerine, x0, x1 ve x2 gibi üç nokta alarak,
(x0, f(x0)),(x1, f(x1)),(x2, f(x2)) noktalar¬ndan geçen ikinci dereceden polinomun x3 ile gösterece¼gimiz s¬f¬r yerini fonksiyonun s¬f¬r yeri için yakla¸s¬m kabul edelim.
Bir sonraki ad¬mda x0 =x1, x1=x2, x2 =x3 alarak i¸sleme devam edelim.
jf(x3)j >epsilon oldu¼gu sürece i¸sleme devam edelim. Kriteri sa¼glamayan ilk x3 de¼gerini s¬f¬r yeri olarak kabul edelim.
Yukar¬da ana hatlar¬yla bahsedilen yöntem Muller yöntemi olarak bilinir( [6]).
Örnek-II: Alternatif Aray¬¸slar:Kiri¸s yöntemi geli¸stirebilir mi?
S¬f¬r yeri kom¸sulu¼gunda iki nokta yerine, x0, x1 ve x2 gibi üç nokta alarak,
(x0, f(x0)),(x1, f(x1)),(x2, f(x2)) noktalar¬ndan geçen ikinci dereceden polinomun x3 ile gösterece¼gimiz s¬f¬r yerini fonksiyonun s¬f¬r yeri için yakla¸s¬m kabul edelim.
Bir sonraki ad¬mda x0 =x1, x1=x2, x2 =x3 alarak i¸sleme devam edelim.
jf(x3)j >epsilon oldu¼gu sürece i¸sleme devam edelim. Kriteri sa¼glamayan ilk x3 de¼gerini s¬f¬r yeri olarak kabul edelim.
Yukar¬da ana hatlar¬yla bahsedilen yöntem Muller yöntemi olarak bilinir( [6]).
E. Co¸skun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 33 / 40
Örnek-II: Alternatif Aray¬¸slar:Kiri¸s yöntemi geli¸stirebilir mi?
S¬f¬r yeri kom¸sulu¼gunda iki nokta yerine, x0, x1 ve x2 gibi üç nokta alarak,
(x0, f(x0)),(x1, f(x1)),(x2, f(x2)) noktalar¬ndan geçen ikinci dereceden polinomun x3 ile gösterece¼gimiz s¬f¬r yerini fonksiyonun s¬f¬r yeri için yakla¸s¬m kabul edelim.
Bir sonraki ad¬mda x0 =x1, x1 =x2, x2 =x3 alarak i¸sleme devam edelim.
jf(x3)j >epsilon oldu¼gu sürece i¸sleme devam edelim. Kriteri sa¼glamayan ilk x3 de¼gerini s¬f¬r yeri olarak kabul edelim.
Yukar¬da ana hatlar¬yla bahsedilen yöntem Muller yöntemi olarak bilinir( [6]).
Örnek-II: Alternatif Aray¬¸slar:Kiri¸s yöntemi geli¸stirebilir mi?
S¬f¬r yeri kom¸sulu¼gunda iki nokta yerine, x0, x1 ve x2 gibi üç nokta alarak,
(x0, f(x0)),(x1, f(x1)),(x2, f(x2)) noktalar¬ndan geçen ikinci dereceden polinomun x3 ile gösterece¼gimiz s¬f¬r yerini fonksiyonun s¬f¬r yeri için yakla¸s¬m kabul edelim.
Bir sonraki ad¬mda x0 =x1, x1 =x2, x2 =x3 alarak i¸sleme devam edelim.
jf(x3)j >epsilon oldu¼gu sürece i¸sleme devam edelim. Kriteri sa¼glamayan ilk x3 de¼gerini s¬f¬r yeri olarak kabul edelim.
Yukar¬da ana hatlar¬yla bahsedilen yöntem Muller yöntemi olarak bilinir( [6]).
E. Co¸skun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 33 / 40
Örnek-II: Alternatif Aray¬¸slar:Kiri¸s yöntemi geli¸stirebilir mi?
S¬f¬r yeri kom¸sulu¼gunda iki nokta yerine, x0, x1 ve x2 gibi üç nokta alarak,
(x0, f(x0)),(x1, f(x1)),(x2, f(x2)) noktalar¬ndan geçen ikinci dereceden polinomun x3 ile gösterece¼gimiz s¬f¬r yerini fonksiyonun s¬f¬r yeri için yakla¸s¬m kabul edelim.
Bir sonraki ad¬mda x0 =x1, x1 =x2, x2 =x3 alarak i¸sleme devam edelim.
jf(x3)j >epsilon oldu¼gu sürece i¸sleme devam edelim. Kriteri sa¼glamayan ilk x3 de¼gerini s¬f¬r yeri olarak kabul edelim.
Yukar¬da ana hatlar¬yla bahsedilen yöntem Muller yöntemi olarak
Örnek-III Say¬sal Analiz Örne¼ gi(Verilen bir nokta kom¸sulu¼ gundaki s¬f¬r yerini belirleme problemi)
Problem: Verilen bir f fonksiyonunun yine verilen bir x0 noktas¬
kom¸sulu¼gundaki s¬f¬ryerini belirleyiniz.
Yöntem(karma yöntem): Öncelikle verilen bir f fonksiyonunun yine verilen bir x0 noktas¬kom¸sulu¼gundaki s¬f¬ryerini içeren[a, b]aral¬¼g¬n¬ Örnek 1 de geli¸stirdi¼gimiz yöntem ile belirledikten sonra, elde edilen aral¬¼g¬Örnek 2 deki ikiye bölme yöntemine göndererek fonsiyonunu s¬f¬ryerini belirleyebiliriz.
Algoritma Yönteme ait algoritma a¸sa¼g¬da verilmektedir.
E. Co¸skun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 34 / 40
Örnek-III Say¬sal Analiz Örne¼ gi(Verilen bir nokta kom¸sulu¼ gundaki s¬f¬r yerini belirleme problemi)
Problem: Verilen bir f fonksiyonunun yine verilen bir x0 noktas¬
kom¸sulu¼gundaki s¬f¬ryerini belirleyiniz.
Yöntem(karma yöntem): Öncelikle verilen bir f fonksiyonunun yine verilen bir x0 noktas¬kom¸sulu¼gundaki s¬f¬ryerini içeren[a, b]aral¬¼g¬n¬
Örnek 1 de geli¸stirdi¼gimiz yöntem ile belirledikten sonra, elde edilen aral¬¼g¬Örnek 2 deki ikiye bölme yöntemine göndererek fonsiyonunu s¬f¬ryerini belirleyebiliriz.
Algoritma Yönteme ait algoritma a¸sa¼g¬da verilmektedir.
Örnek-III Say¬sal Analiz Örne¼ gi(Verilen bir nokta kom¸sulu¼ gundaki s¬f¬r yerini belirleme problemi)
Problem: Verilen bir f fonksiyonunun yine verilen bir x0 noktas¬
kom¸sulu¼gundaki s¬f¬ryerini belirleyiniz.
Yöntem(karma yöntem): Öncelikle verilen bir f fonksiyonunun yine verilen bir x0 noktas¬kom¸sulu¼gundaki s¬f¬ryerini içeren[a, b]aral¬¼g¬n¬
Örnek 1 de geli¸stirdi¼gimiz yöntem ile belirledikten sonra, elde edilen aral¬¼g¬Örnek 2 deki ikiye bölme yöntemine göndererek fonsiyonunu s¬f¬ryerini belirleyebiliriz.
Algoritma Yönteme ait algoritma a¸sa¼g¬da verilmektedir.
E. Co¸skun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 34 / 40
Örnek-III Say¬sal Analiz Örne¼ gi(Verilen bir nokta kom¸sulu¼ gundaki s¬f¬r yerini belirleme problemi)
1 Girdi f,x0
f nin s¬f¬r yerini içeren [a,b] aral¬¼g¬Örnek 1 deki yöntem ile belirle
2 31 e¼ger f(a)=0 ise c=a,
2 de¼gil ve e¼ger f(b)=0 ise c=b dir,
3 de¼gilse Örnek 2 deki yöntem ile c=ikibol(f,a,b) ile c yi bul
:Ǭkt¬: c
Örnek-III Say¬sal Analiz Örne¼ gi(Verilen bir nokta kom¸sulu¼ gundaki s¬f¬r yerini belirleme problemi)
4 1 Girdi f,x0
f nin s¬f¬r yerini içeren [a,b] aral¬¼g¬Örnek 1 deki yöntem ile belirle
2 31 e¼ger f(a)=0 ise c=a,
2 de¼gil ve e¼ger f(b)=0 ise c=b dir,
3 de¼gilse Örnek 2 deki yöntem ile c=ikibol(f,a,b) ile c yi bul
:Ǭkt¬: c
E. Co¸skun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 35 / 40
Örnek-III Say¬sal Analiz Örne¼ gi(Verilen bir nokta kom¸sulu¼ gundaki s¬f¬r yerini belirleme problemi)
4 1 Girdi f,x0
f nin s¬f¬r yerini içeren [a,b] aral¬¼g¬Örnek 1 deki yöntem ile belirle
2 31 e¼ger f(a)=0 ise c=a,
2 de¼gil ve e¼ger f(b)=0 ise c=b dir,
3 de¼gilse Örnek 2 deki yöntem ile c=ikibol(f,a,b) ile c yi bul
:Ǭkt¬: c
Örnek-III Say¬sal Analiz Örne¼ gi(Verilen bir nokta kom¸sulu¼ gundaki s¬f¬r yerini belirleme problemi)
4 1 Girdi f,x0
f nin s¬f¬r yerini içeren [a,b] aral¬¼g¬Örnek 1 deki yöntem ile belirle
2 31 e¼ger f(a)=0 ise c=a,
2 de¼gil ve e¼ger f(b)=0 ise c=b dir,
3 de¼gilse Örnek 2 deki yöntem ile c=ikibol(f,a,b) ile c yi bul :Ǭkt¬: c
E. Co¸skun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 35 / 40
Örnek-III Say¬sal Analiz Örne¼ gi(Verilen bir nokta kom¸sulu¼ gundaki s¬f¬r yerini belirleme problemi)
4 1 Girdi f,x0
f nin s¬f¬r yerini içeren [a,b] aral¬¼g¬Örnek 1 deki yöntem ile belirle
2 31 e¼ger f(a)=0 ise c=a,
2 de¼gil ve e¼ger f(b)=0 ise c=b dir,
3 de¼gilse Örnek 2 deki yöntem ile c=ikibol(f,a,b) ile c yi bul :Ǭkt¬: c
Örnek-III Say¬sal Analiz Örne¼ gi(Verilen bir nokta kom¸sulu¼ gundaki s¬f¬r yerini belirleme problemi)
4 1 Girdi f,x0
f nin s¬f¬r yerini içeren [a,b] aral¬¼g¬Örnek 1 deki yöntem ile belirle
2 31 e¼ger f(a)=0 ise c=a,
2 de¼gil ve e¼ger f(b)=0 ise c=b dir,
3 de¼gilse Örnek 2 deki yöntem ile c=ikibol(f,a,b) ile c yi bul :Ǭkt¬: c
E. Co¸skun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 35 / 40
Örnek-III Say¬sal Analiz Örne¼ gi(Verilen bir nokta kom¸sulu¼ gundaki s¬f¬r yerini belirleme problemi)
4 1 Girdi f,x0
f nin s¬f¬r yerini içeren [a,b] aral¬¼g¬Örnek 1 deki yöntem ile belirle
2 31 e¼ger f(a)=0 ise c=a,
2 de¼gil ve e¼ger f(b)=0 ise c=b dir,
3 de¼gilse Örnek 2 deki yöntem ile c=ikibol(f,a,b) ile c yi bul
:Ǭkt¬: c
Örnek-III Say¬sal Analiz Örne¼ gi(Verilen bir nokta kom¸sulu¼ gundaki s¬f¬r yerini belirleme problemi)
4 1 Girdi f,x0
f nin s¬f¬r yerini içeren [a,b] aral¬¼g¬Örnek 1 deki yöntem ile belirle
2 31 e¼ger f(a)=0 ise c=a,
2 de¼gil ve e¼ger f(b)=0 ise c=b dir,
3 de¼gilse Örnek 2 deki yöntem ile c=ikibol(f,a,b) ile c yi bul :Ǭkt¬: c
E. Co¸skun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 35 / 40
Örnek-III: Verilen nokta kom¸sulu¼ gundaki s¬f¬r yerini belirleme problemi
4 Algoritmaya ait program a¸sa¼g¬da verilmektedir.
function c=fsi…r(f,x0);
Örnek-III: Verilen nokta kom¸sulu¼ gundaki s¬f¬r yerini belirleme problemi
Algoritmaya ait program a¸sa¼g¬da verilmektedir.
function c=fsi…r(f,x0);
Örnek-III: Verilen nokta kom¸sulu¼ gundaki s¬f¬r yerini belirleme problemi
Algoritmaya ait program a¸sa¼g¬da verilmektedir.
function c=fsi…r(f,x0);
Örnek-III: Verilen nokta kom¸sulu¼ gundaki s¬f¬r yerini belirleme problemi
Algoritmaya ait program a¸sa¼g¬da verilmektedir.
function c=fsi…r(f,x0);
Örnek-III: Verilen nokta kom¸sulu¼ gundaki s¬f¬r yerini belirleme problemi
Algoritmaya ait program a¸sa¼g¬da verilmektedir.
function c=fsi…r(f,x0);
Örnek-III: Verilen nokta kom¸sulu¼ gundaki s¬f¬r yerini belirleme problemi
Algoritmaya ait program a¸sa¼g¬da verilmektedir.
function c=fsi…r(f,x0);
Örnek-III: Verilen nokta kom¸sulu¼ gundaki s¬f¬r yerini belirleme problemi
Algoritmaya ait program a¸sa¼g¬da verilmektedir.
function c=fsi…r(f,x0);
Örnek-III: Verilen nokta kom¸sulu¼ gundaki s¬f¬r yerini belirleme problemi
Algoritmaya ait program a¸sa¼g¬da verilmektedir.
function c=fsi…r(f,x0);
Örnek-III: Verilen nokta kom¸sulu¼ gundaki s¬f¬r yerini belirleme problemi
Algoritmaya ait program a¸sa¼g¬da verilmektedir.
function c=fsi…r(f,x0);
Örnek-III: Verilen nokta kom¸sulu¼ gundaki s¬f¬r yerini belirleme problemi
Algoritmaya ait program a¸sa¼g¬da verilmektedir.
function c=fsi…r(f,x0);
Örnek-III: Verilen nokta kom¸sulu¼ gundaki s¬f¬r yerini belirleme problemi
Algoritmaya ait program a¸sa¼g¬da verilmektedir.
function c=fsi…r(f,x0);
Örnek-III: Verilen nokta kom¸sulu¼ gundaki s¬f¬r yerini belirleme problemi
Algoritmaya ait program a¸sa¼g¬da verilmektedir.
function c=fsi…r(f,x0);
Örnek-III: Verilen nokta kom¸sulu¼ gundaki s¬f¬r yerini belirleme problemi
Algoritmaya ait program a¸sa¼g¬da verilmektedir.
function c=fsi…r(f,x0);
X=bul(f,x0);
if isempty(X) c = []; return;
else
a=X(1); b =X(2); if f(a) ==0 c =a;
elseif f(b) == 0 c =b;
else
Örnek-III: Verilen bir nokta kom¸sulu¼ gundaki s¬f¬r yerini belirleme problemi
f(x) =log(x) x+4 fonksiyonunun x0 =4 noktas¬kom¸sulu¼gundaki s¬f¬ryerini belirleyiniz.
>> f=inline(’log(x)-x+4’) f =
Inline function: f(x) = log(x)-x+4
>> fsifir(f,4) ans =
5.7490
E. Co¸skun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 37 / 40
Örnek-III: Verilen bir nokta kom¸sulu¼ gundaki s¬f¬r yerini belirleme problemi
f(x) =log(x) x+4 fonksiyonunun x0 =4 noktas¬kom¸sulu¼gundaki s¬f¬ryerini belirleyiniz.
>> f=inline(’log(x)-x+4’) f =
Inline function:
f(x) = log(x)-x+4
>> fsifir(f,4) ans =
Örnek-III :Verilen bir nokta kom¸sulu¼ gundaki s¬f¬r yerini belirleme problemi
Ayn¬i¸slem MATLAB/OCTAVE fzero fonksiyonu yard¬m¬yla da gerçekle¸stirilebilir:
>> fzero(f,4) ans =
5.7490
E. Co¸skun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 38 / 40
Örnek-III :Verilen bir nokta kom¸sulu¼ gundaki s¬f¬r yerini belirleme problemi
f(x) =xsin(1/x)fonksiyonunun x0 =4 noktas¬kom¸sulu¼gundaki s¬f¬ryerini belirleyiniz.
>> f=inline(’x*sin(1/x)’) f =
Inline function: f(x) = x*sin(1/x)
>> fsifir(f,4) ans =
0.3183
Örnek-III :Verilen bir nokta kom¸sulu¼ gundaki s¬f¬r yerini belirleme problemi
f(x) =xsin(1/x)fonksiyonunun x0 =4 noktas¬kom¸sulu¼gundaki s¬f¬ryerini belirleyiniz.
>> f=inline(’x*sin(1/x)’) f =
Inline function:
f(x) = x*sin(1/x)
>> fsifir(f,4) ans =
0.3183
E. Co¸skun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 39 / 40
Kaynaklar
Atkinson, K. An Introduction to Numerical Analysis, John Wiley &
Sons, 1988.
Co¸skun, E. OCTAVE ile Say¬sal Hesaplama ve Kodlama(URL:aves.ktu.edu.tr/erhan/dokumanlar).
Co¸skun, E. Maxima ile Sembolik Hesaplama ve Kodlama(URL:aves.ktu.edu.tr/erhan/dokumanlar).
Co¸skun, E. Say¬sal Analize
Giri¸s(URL:aves.ktu.edu.tr/erhan/dokumanlar).
Kincaid, D., Cheney, W., Numerical Analysis, Brooks/Cole, 1991.