L˙IM˙IT VE S ¨UREKL˙IL˙IK
2.1. Limit
Not 2.1.35.
A¸sa˘gıda bazı limit kuralları verilmi¸stir:
(i) a>1 i¸cin lim x→+∞a x = +∞ ve lim x→−∞a x =0 dır. (ii)0<a<1 i¸cin lim x→+∞a x =0 ve lim x→−∞a x= +∞ dur.
2.1. Limit
(iii)
lim
x→af(x)
mevcut isen∈N i¸cin
lim x→a[f(x)] n =h lim x→af(x) in dir.
(iv) n tek do˘gal sayı ise ya dan ¸cift do˘gal sayı oldu˘gunda a noktasının bir kom¸sulu˘gundaf(x) ≥0 ise
lim x→a n q f(x) = n q lim x→af(x) dir.
2.1. Limit
(v)lim
x→af(x) =0 ve a noktasının bir kom¸sulu˘gunda g(x) sınırlı ise
lim x→a[f(x)g(x)] =0 dır. (vi) lim x→+∞u(x) =0 , x→+lim∞v(x) = +∞ ve limx→+∞u(x)v(x) =λ ise lim x→+∞[1+u(x)] v(x) =eλ dır.
2.1. Limit
¨
Ornek 2.1.36.
A¸sa˘gıdaki ifadeleri hesaplayınız.
(i) lim x→+∞ " 1 2 −x + 3 x # (ii) lim x→+∞ 1+1 x x (iii) lim x→0(1+3x) 1 x (iv) lim x→+∞ x2+2x+3 x2+4 2x+3
2.2. S¨ureklilik
Tanım 2.2.1.
A⊂R k¨ume, f : A→R fonksiyon ve a∈A olsun. lim
x→af(x) =f(a)
isef fonksiyonu a noktasında s¨ureklidir denir. E˘gerf fonksiyonu A k¨umesinin her noktasında s¨urekli ise fonksiyonA k¨umesi ¨uzerinde s¨ureklidir denir.
Yukardaki tanıma g¨ore, birf fonksiyonunun bir a noktasında s¨urekli olması i¸cin
(i) f fonksiyonu a noktasında tanımlı olmalıdır,
(ii)f fonksiyonunun a noktasında limiti olmalıdır,
(iii) Fonksiyonuna noktasındaki limiti, fonksiyonun a noktasındaki de˘gerine e¸sit olmalıdır.
2.2. S¨ureklilik
Tanım 2.2.2.
A⊂R k¨ume, f : A→R fonksiyon ve a∈A olsun. Her e>0 sayısı i¸cin
|x−a| <δ
ko¸sulunu sa˘glayan herx∈A i¸cin
|f(x) −f(a)| <e
olacak ¸sekilde bir δ>0 sayısı bulunabiliyorsa f fonksiyonu a noktasında s¨ureklidir denir.
2.2. S¨ureklilik
¨
Ornek 2.2.3.
f(x) =x−JxK ¸seklinde tanımlananf :R→R fonksiyonu s¨urekli
midir? A¸cıklayınız.
¨
Ornek 2.2.4.
f(x) =sin x ¸seklinde tanımlanan f :R→R fonksiyonunun her
2.2. S¨ureklilik ¨ Ornek 2.2.5. R ¨uzerinde f(x) = −x2 ; x<0 0 ; x=0 1 ; x>0
¸seklinde tanımlanan f fonksiyonunun x=0 noktasındaki s¨ureklili˘gini inceleyiniz.
2.2. S¨ureklilik
Tanım 2.2.6.
A⊂R k¨ume, f : A→R fonksiyonu a∈A noktasında s¨urekli de˘gilse fonksiyona noktasında s¨ureksizdir denir. Bir fonksiyon bir a noktasında s¨ureksiz ise ¸su durumlardan biri mevcuttur:
(1)
lim
x→af(x)
ifadesi mevcut fakat bu limit, fonksiyonuna noktasındaki de˘geri olanf(a) dan farklı olabilir ya da fonksiyona noktasında tanımlı olmayabilir. Bu durumdaki fonksiyonuna noktasındaki
2.2. S¨ureklilik (2) lim x→a+f(x) ve xlim→a−f(x) ifadeleri mevcut ve lim x→a+f(x) 6=xlim→a−f(x)
ise bu durumdaki fonksiyonuna noktasındaki s¨ureksizli˘gine sı¸crama s¨ureksizli˘gi adı verilir.
J = xlim→a+ f(x) − lim x→a−f(x)
2.2. S¨ureklilik
(3)
lim
x→a+f(x) ve xlim→a−f(x)
ifadelerinden en az biri+∞ ya da −∞ ya da mevcut de˘gilse bu
durumdaki fonksiyonuna noktasındaki s¨ureksizli˘gine sonsuz s¨ureksizlik adı verilir.
2.2. S¨ureklilik
Tanım 2.2.7.
A⊂R k¨ume, f : A→R fonksiyonu a∈A olsun.
(i)
lim
x→a+f(x) =f(a)
isef fonksiyonuna a noktasında sa˘gdan s¨ureklidir denir.
(ii)
lim
x→a−f(x) =f(a)
2.2. S¨ureklilik
Teorem 2.2.8.
A⊂R k¨ume, f : A→R fonksiyon ve a∈A olsun. f
fonksiyonununa noktasında s¨urekli olması i¸cin gerek ve yeter ¸sart bu fonksiyonuna noktasında sa˘gdan ve soldan s¨urekli olmasıdır.
2.2. S¨ureklilik
Not 2.2.9.
[a, b]aralı˘gında tanımlı birf fonksiyonu aralı˘gın i¸c noktalarında s¨urekli,a noktasında sa˘gdan s¨urekli,b noktasında soldan s¨urekli olması durumundaf fonksiyonu [a, b] aralı˘gında s¨ureklidir denilecektir. ¨ Ornek 2.2.10. f(x) = x2+1 ; x≥1 2x−x2 ; x<1
¸seklinde tanımlı fonksiyonun x=1 noktasındaki s¨ureklili˘gini inceleyiniz.
2.2. S¨ureklilik
Teorem 2.2.11.
A⊂R k¨ume, f : A→R ile g : A→R fonksiyonları a∈A noktasında s¨urekli olsun. α, β ∈R olmak ¨uzere
αf +βg ve f ·g
fonksiyonları daa noktasında s¨ureklidir. Ayrıca, e˘ger g(a) 6=0 ise f
g fonksiyonu daa noktasında s¨ureklidir.
