şeklinde verilmiş olsun. Buradan, ρ nun EKK tahmin edicisi,

5.5. Asimptotik Özellikler

Bu kısımda, birim köklü zaman serilerinde parametrelerin EKK tahmin edicilerinin bazı asimptotik özellikleri incelenecektir. Bu özelliklerin çoğu Hamilton (1994) den özetlenerek aktarılmıştır.

Birinci dereceden otoregresif zaman serisi modeli,

X _t = ρ X _t−1 +e _t , t=1,2,3, ...,n

şeklinde verilmiş olsun. Buradan, ρ nun EKK tahmin edicisi,

ρ ^ _n = [ ^{∑ t=1 n X t−1 2} ] ^{−1 ∑ t=1 n X t X t−1 = ρ +} [ ^{∑ t=1 n X t−1 2} ] ⁻¹ [ ^{∑ t=1 n e t X t−1} ] şeklinde olup, ρ∈[ 0 , 1]

ve ^n→∞ iken ρ ^ _n ⃗ ^P ρ _{ve | ρ |<1 için,}

√ ⁿ ( ^{ρ ^} n − ρ ) ^{⃗ D N (0 , 1−ρ 2 )}

olduğunu biliyoruz. ρ=1 için asimptotik dağılım normal değildir. Bilindiği gibi, ρ=1 _için n ( ^{ρ ^} n −1 ) ⁼ [ ^{n 1 2 ∑ t=1 n X t−1 2} ] ⁻¹ [ ^{1 n ∑ t=1 n X t−1 e t} ] ^{=O P ( 1)}

dir. Bu terimin payındaki istatistiğin asimptotik dağılımını bulmak kolaydır. X ₀ =0 olmak üzere,

X _n =( e ₁ +e ₂ +.. .+e _n ) olacağından,

∑ t=1 n

X _t−1 e _t = ∑

t=1

n [ ^{∑ t−1 j=1 e j} ] ^{e t = 1 2} [ ^{X n 2 − ∑ t=1 n e t 2} ]

yazılır. Ayrıca, e _t ~ WN (0, σ ² ) olduğundan zayıf büyük sayılar yasasına göre ^n→∞ iken,

1

n ∑

t =1 n

e _t ² ⃗ ^P σ ²

ve merkezi limit teoremine göre de ^n→∞ iken, (0, 2 )

D

n e n  N 

olduğunu biliyoruz. Buradan da ^n→∞ iken

  ^{2 2 2 2 2 1}

1

1 ⁿ n D

n t

t

n e e X

n n  



 

    

  

asimptotik dağılımı elde edilir. Bu iki sonuç Slutsky teoremi ile beraber, ρ nun EKK tahmin edicisinin payının asimptotik dağılımı ^n→∞ iken,

1

n ∑

t=1 n

X _t−1 e _t = 1

2 [ ^{X n n 2 − 1 n ∑ t=1 n e t 2} ] ^{⃗ D σ 2 2 ( χ 1 2 −1 )}

olarak bulunur. n ( ^{ρ ^} n −1 ) nin paydasındaki istatistiğin asimptotik dağılımı bu kadar kolay değildir.

1 ( 1 2 ... 1 )

t t

X _  e    e e _ olduğundan,

E( X _t−1 )=0 , Var( X _t−1 )= E ( X _t−1 ² )=σ ² ( t−1)

dir. O halde, paydadaki istatistiğin beklenen değeri

E [ ^{∑ t=1 n X t−1 2} ] ^{=σ 2 ∑ t=1 n ( t−1)= σ 2 n ( n−1) 2}

olduğundan,

n ⁻² ∑

t=1 n

X _t−1 ² =O _P (1)

dir. Asimptotik dağılımı elde etmek için Brownian Hareketini (Brownian Motion) hatırlayalım.

Brownian Hareketi: e _t ~ (0,1) N normal dağılımlı beyaz gürültü serisi olsun. Rasgele yürüyüş süreci (random walk), X ₀ =0 olmak üzere X _t = X _t−1 +e _t şeklindedir. Buna göre,

X _t ~ N ( 0 , t ) olup s >t için

X _s − X _t =e _t+1 + e _t+2 + .. .+e _s ~ N ( 0 , s−t )

dir. Ayrıca, 0<t <s <r<q _için ^X s − X _{t ile} X _q − X _r bağımsızdır.

Tanım 5.5.1 Standart Brownian Hareketi W (t ) , aşağıdaki üç özelliği her bir t∈[ 0 , 1 ] _için

sağlayan sürekli zamanlı stokastik süreçtir. Bunlar;

a) W (0) =0

b) 0     t ¹ ... t _k 1 için W t ( ) ²  W t ( ) , ¹ W t ( ) ³  W t ( ) ,..., ( ) ² W t _k  W t ( _{k } ¹ ) rasgele değişkenleri bağımsız normal dağılıma sahiptir.

c) W (t ) hemen hemen her yerde t nin sürekli bir fonksiyonudur 

Örnek 5.5.1 Aşağıda bazı asimptotik özellikler verilmiştir (Levin ve Lin (1992)). Bu örnekte aksi söylenmedikçe, W (r ) standart Brownian hareketidir. Aşağıdaki özelliklerden bazılarının çözümüne girilmemiştir.

1) W (0)=0 _dır.

2) E [ W (r ) ] =0 , ∀ r , E [ W (1) ] =0 _dır.

3) Var [ W (r) ] =r , ∀ r

4) W (r ) ~ N (0,r ) _dır.

5) Cov W s W t  ^{( ), ( )}   E W s W t  ^{( ) ( )}   ^{min{ , }} s t dir.

İspat: s≤t için iddia

   

 

( ) , ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ( )

( ( )) ( uncorrelated increments) Cov W s W t Cov W s W t W s W s

Cov W s W t W s Var W s Var W s s

  

  

 

eşitliğinden açıktır.

6) E [ W ² (r ) ] =r

7) ^{E W r} 

⁴

^{( )}  ^{ 3 r}

²

. Not: (6) ve (7) den Var W r ( ² ( ) ) 3  r ²  r ²  2 r ² bulunur.

8) E W s W t ( ² ( ) ² ( ))   s t 2 min{ , } s t ^{2 2} dir.

İspat: Yine, s≤t _için W t ² ( ) nin

W ² ( t ) =W (t ) W (t )= [ W (t )−W (s)+W ( s) ] [ W (t )−W ( s)+W (s) ]

şeklinde yazılması ile,

  ^{ }

 

 

2 2

2 2 2

2 2 3 4

2 2 2 2

( ) ( ) [ ( ) ( ) ( )][ ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )] 2 ( )[ ( ) ( )] ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) 2 ( )[ ( ) ( )] ( )

( ) 0 3 2 min{ , }

[

E W s W t E W t W s W s W t W s W s W s W s E W t W s W s W t W s W s W s E W t W s W s W s W t W s W s

t s s s t s s t s t s

    

    

    

       

 

 

bulunur.

9) Cov W s W t ( ² ( ), ² ( )) 2 min{ , }  t s ^{2 2} dir.

İspat: Yine, s≤t için kovaryansın tanımından

   

 

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

( ) , ( ) [ ( ) ( ( ))][ ( ) ( ( ))]

[ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )]

2 min{ , } 2 min{ , }

Cov W s W t E W t E W t W s E W s

E W t W s E W s E W t

s t t s s t t s

  

 

   

bulunur ⊗

Brownian hareketi, merkezi limit teoreminin genel bir kullanılmına olanak sağlar. Merkezi limit teoremi basit hali ile söyledir: Z ₁ , Z ₂ , ..., Z _n ,... beklenen değeri μ varyansı σ ² _olan

bağımsız aynı dağılımlı rasgele değişkenler ve Z ¯ _n de örneklem ortalaması olmak üzere, ^n→∞

iken

√ ⁿ ( ^{¯ Z} n − μ ) ^{⃗ D N ( 0 , σ 2 )}

dir.

Beklenen değeri sıfır varyansı σ ² olan aynı dağılımlı rasgele değişkenlerin dizisi , 1, 2,3,...

e t t  olsun. Örneklemin ilk yarısını (  n / 2  kadarını) kullanmak isteyelim. Burada, n çift ise  n / 2  ^*  n / 2 _, n tek olduğunda ise  n / 2  ^*  ( n  1) / 2 dir. Bu örnekleme merkezi limit teoremi uygulandığında,

/ 2 *

/ 2 *

1

1 / 2

n

n t

t

e e

n _

 ^  ^

  

olmak üzere ^n→∞ iken,

* 2

/ 2 _n / 2 ^D ( 0, ) n e   N 

 

yazılır. Aynı şekilde örneklemin ikinci yarısına merkezi limit teoremi uygulandığında aynı asimptotik özellik elde edilir. Bu iki dağılım birbirinden bağımsızdır. Bunun daha genel hali, r∈[ 0 , 1 ] _olmak

üzere X _n (r) _,

/ 2 *

1

( ) 1

n

n t

t

X r e

n _

 ^  ^

şeklinde verilebilir. Burada, X _n ( r) _{, r} ye göre bir basamak fonksiyonudur. Daha açık bir ifade ile X _n ( r) _,

1

1 2

1 2

0 , 0 (1/ )

/ , (1/ ) (2 / )

( ) / , (2 / ) (3/ )

( ) . . .

. . .

( ... ) / , 1

n

n

r n

e n n r n

e e n n r n

X r

e e e n r

  

  

    

  

 

    



olarak yazılabilir. Buradan,

* * *

|

1 * 1

1 1

( )

n r n r

n t t

t t

n X r e n r e

n ^ n n r ^

 

 

 

 

 

 

     

  dir. Diğer taraftan,

*

2

* 1

1 ( 0, )

n r

D t t

e N

n r 



 

 

  _ve

n r *

n r

 

  

 

 

 

olduğundan, ^n→∞ iken √ ^{n X} _n ^{( r) ⃗ D} N ( 0 , r σ ² ) _veya

√ ⁿ ( ^{X n} σ ^{( r )} ) ^{⃗ D} N ( 0 , r )

elde edilir. Benzer şekilde, r ₂ > r _{1 ve}  n r 1  ^* _ve  n r 2  ^* tam değer kısımlarını göstermek üzere ^n→∞ iken,

√ ⁿ ( ^{X n ( r 2 )−} σ ^{X n ( r 1 )} ) ^{⃗ D N ( 0 , r 2 −r 1 )}

dir. O halde, W (.) standart normal rasgele değişkeni göstermek üzere,

√ ⁿ ( ^{X n σ ( . )} ) ^{⃗ D W (. )}

dir. Bu gösterim, fonksiyonel merkezi limit teoremi (functional central limit theorem) olarak bilinir.

Burada, X _n ( .) rasgele bir fonksiyonu göstermekte olup, X _n (r) bu rasgele fonksiyonun ^r zamanındaki değeridir. Dolayısı ile, X _n ( .) bir fonksiyon olup X _n (r) de bir rasgele değişkendir. X _n ( 1) de bilinen örneklem ortalamasıdır. Yani,

X _n ( 1) =¯e _n =n ⁻¹ ∑

t=1 n

e _t

dir. Fonksiyonel merkezi limit teoreminden, bilinen merkezi limit teoremine geçiş r=1 ile yapılır.

Yani,

1

(1) / 1 ^{n n D} (1) ~ ( 0 , 1)

n t

t

n X e n e W N

 n

 _ 

   

dir. Bu sonuçlar ve sürekli dönüşüm teoremi (continuous mapping theorem) yardımı ile rasgele değişken dizilerinin bir çok özelliği elde edilir. Önce süreki dönüşüm teoremini hatırlayalım:

Sürekli Dönüşüm Theoremi (Continuous Mapping Theorem, Hamilton (1994) s.482) X _{n rasgele}

değişkenlerin bir dizisi, g :    sürekli bir fonksiyon ve X de bir rasgele değişken olsun.

Bu durumda ^n→∞ iken,

X _n ⃗ ^D X _ise g( X _n ) ⃗ D g( X )

dir 

Buna göre ^n→∞ iken, n X _n (.)  ^D  W (.) , W r ( ) ~ ( 0 , ) N r _ve

( ) ( )

n

n X r  D  W r _olup, ( ) ( ) 2

n n

S r    n X r   _ise √ ^{n X} n ( .)⃗ ^D σ W (. )

dir. Buradan da

S _n ( r ) ⃗ ^D σ ² W ² ( r )

elde edilmiş olur. Şimdi, sürekli dönüşüm teoremi kullanılarak durağan olmayan zaman serilerinde bu sonuçların uygulamalarını görelim.

Birim Köklü Zaman Serileri İçin Asimptotik Özellikler: Birim köklü zaman serilerinde parametrelerin EKK tahmin edicilerinin asimptotik dağılımlarının normal olmadığını biliyoruz. Önce, AR(1) modeli X ₀ =0 olmak üzere, X ^t   X ^t _ ¹  e ^t olarak verilmiş olsun. ρ=1 _için,

X _t = e ₁ + e ₂ +.. .+e _{t olup,} X _n (r) rasgele değişkenini,

1

1 2

1 2

0 , 0 (1/ )

/ , (1/ ) (2 / )

( ) / , (2 / ) (3/ )

( ) . . .

. . .

( ... ) / , 1

n

n

r n

e n n r n

e e n n r n

X r

e e e n r

  

  

    

  

 

    



şeklinde yazalım. Burada X _n ( r) _{, r} nin bir fonksiyonudur. Buradaki ⁿ tane dikdörtgenin alanları toplamı tüm eğri altındaki alanı verir. Örneğin, t. inci dikdörtgenin alanı, 1/n _uzunluğu

ile X _t−1 / n yüksekliğinin çarpımıdır. O zaman, X _n (r) fonksiyonunun integrali,

∫

0 1

X _n ( r ) d r =n ⁻² ∑

t=1 n

X _t−1

şeklinde yazılabilir. Bu aşağıdaki grafikte gösterilmeye çalışılmıştır.

Burada,

∫ 0 1

X _n (r ) d r =n ⁻² ∑

t=1 n

X _t−1

ifadesinin her iki tarafı √ ⁿ ile çarpılırsa,

∫ 0 1

√ ^{n X} _n ^{(r) d r =n −3 /2} ∑

t=1 n

X _t−1

eşitliği elde edilir. Buradan, sürekli dönüşüm teoremine göre ^n→∞ iken

1 1

0 0

( ) ^D ( )

n X r d r n    W r dr

 

veya

1 3 / 2

0

1 1

( )

n D

t t

n ^ X _  W r dr



 

 

asimptotik sonucu elde edilmiş olur. Daha açık olarak,

 

 

3/ 2 3/ 2

1 1 1 2 1 2 3 1 2 1

1

3/ 2 1 2 3 2 1

( ) ( ) ... ( ... )

( 1) ( 2) ( 3) ... 2

n

t n

t

n n

n X n e e e e e e e e e

n n e n e n e e e

 

 



  

          

        



3/ 2 1/ 2 3/ 2

1 1 1

( )

n n n

t t t

t t t

n ^ n t e n ^ e n ^ t e

  

      

yazılabilir. O halde,

2 1 1/ 2

1/ 2 1/ 3

V   

  

 

olmak üzere ^n→∞ iken,

 

1/ 2 3/ 2

1 1

, ,

n n

D

t t

t t

n ^ e n ^ t e N V

 

  

  

    ⁰

olup,

3 / 2 1 1 n

t t

n

^

X

_



 terimi beklenen değeri sıfır varyansı,

 

2 1 2 1/ 2 1/ 3 2 / 3

        

olan bir rasgele değişken olup asimptotik dağılımı normaldir. Buna göre, ^n→∞ iken

3/ 2 2

1 1

(0, / 3)

n D

t t

n ^ X _ N 



 

elde edilir. Burada N ( 0 , σ ² / 3) dağılımı

σ ∫

0 1

W (r ) dr

ile ifade edilmiştir. Drift (yığılma)

olmayan X _t = X _t−1 +e _t şeklindeki bir model için ^n→∞ iken

n ⁻¹ ∑

t=1 n

X _t

ıraksak,

n ^{−3 /2} ∑

t=1 n

X _t

yakınsaktır. Ayrıca, ^n→∞ iken

n ^{−3 /2} ∑

t=1 n

t e _t = n ^−1/2 ∑

t=1 n

e _t −n ^{−3 /2} ∑

t=1 n

X _t−1 ⃗ ^D σ W (1) −σ ∫

0 1

W (r ) dr

dir.

S _n ( r)=n [ ^X n ( r) ] ² _denirse S , n sonlu sayıdaki dikdörtgenin alanları toplamı olup,

1 n ² ∑

t=1 n

X _t−1 ² = ∫

0 1

S _n (r ) d r

dir. Sürekli dönüşüm teoremine göre ^n→∞ iken,

1 n ² ∑

t=1 n

X _t−1 ² ⃗ ^D σ ² ∫

0 1

W ² ( r ) d r

asimptotik yaklaşımı yazılır. Bu integral, S nin ⁿ

1 2 2 2

2

0 , 0 (1/ )

/ , (1/ ) (2 / ) / , (2 / ) (3/ )

( ) . . .

. . .

/ , 1

n

n

r n

X n n r n

X n n r n

S r

X n r

  

  

   

  

 

  



şeklindeki ifadesinden açıktır. Bilindiği gibi ^n→∞ iken

1 n ∑

t=1 n

X _t−1 e _t ⃗ ^D σ ²

2 [ ^{W 2 ( 1 ) − 1} ]

dir. Bu iki sonuç birleştirilirse X ^t   X ^t _ ¹  e ^t modeline göre H ₀ : ρ=1 hipotezini test etmek için kullanılan n ( ^ρ _n −1 ) istatistiğinin asimptotik dağılımı (Dickey-Fuller dağılımı) ^n→∞

iken,

n ( ^{ρ ^} n −1 ) ⁼

1 n ∑

t=1 n

X _t−1 e _t

1 n ² ∑

t=1 n

X _t−1 ²

⃗

D

σ ²

2 [ ^{W 2 ( 1)−1} ]

σ ² ∫

0 1

W ² ( r ) d r

= [ ^{W 2 ( 1 )−1} ]

2 ∫

0 1

W ² ( r ) d r

şeklinde ifade edilir. Diğer taraftan ^n→∞ iken,

n ^−5/2 ∑

t=1 n

t X _t−1 =n ^−3/2 ∑

t=1

n ( n ^t ) ^{X t−1 ⃗ D σ ∫} ₀ ¹ r W (r) d r

ve

n ⁻³ ∑

t=1 n

t X _t−1 ² =n ⁻² ∑

t=1

n ( ^{n t} ) ^{X t−1 2 ⃗ D σ 2 ∫} ₀ ^{1 r W 2 ( r) d r}

dir. Bununla birlikte,

1 n ∑

t=1 n

X _t−1 e _t = 1

2 n [ ^{X n 2 − ∑ t=1 n e t 2} ] ^{= S n 2 ( 1 ) − 2 n 1 ∑ t=1 n e t 2}

olup ^n→∞ iken,

S _n (1 )⃗ D σ ² W ² ( 1 ) _ve 1

n ∑

t =1 n

e _t ² ⃗ ^P σ ²

olduğundan, Slutsky teoremine göre ^n→∞ iken,

1 n ∑

t=1 n

X _t−1 e _t ⃗ ^D σ ²

2 [ ^{W 2 ( 1)−1} ]

asimptotik dağılım elde edilir. Burada, ^{W 2 (1) ~  1 2} dir. Özet olarak, e _t bağımsız aynı dağılımlı rasgele değişkenler olmak üzere, AR(1) modeli, ^X

^t

^{ X}

^t1

^{ e}

^t

olarak verildiğinde, aşağıdaki sonuçlar yazılabilir (Hamilton, 1994). Bunlar ^n→∞ iken,

a)

1

√ ⁿ ∑

t=1 n

e _t ⃗ ^D σ W (1)

b)

1 n ∑

t=1 n

X _t−1 e _t ⃗ ^D σ ²

2 [ ^{W 2 ( 1)−1} ]

c)

3/ 2 1

1 0

(1) ( )

n D

t t

n ^ t e  W  W r dr



 

 

d)

1 n ^3/2 ∑

t=1 n

X _t−1 ⃗ ^D σ ∫

0 1

W (r) d r

e)

1 n ² ∑

t=1 n

X _t−1 ² ⃗ ^D σ ² ∫

0 1

W ² ( r ) d r

f)

n ^−5/2 ∑

t=1 n

t X _t−1 ⃗ ^D σ ∫

0 1

r W ( r) d r

g)

1 n ³ ∑

t=1 n

t X _t−1 ² ⃗ ^D σ ² ∫

0 1

r W ² ( r ) d r

h)

1 n ^υ+1 ∑

t=1 n

t ^υ → 1

υ+1 , υ=0 , 1 , 2 , 3, ...

dır.

Şimdi bu sonuçları, birim kök testleri için neredeyse standart hale gelen Dickey-Fuller test

istatistiklerine uygulayalım. Üç farklı durum ayrı ayrı incelenecektir. Aşağıdaki her durumda beyaz

gürültü serisi, birbirinden bağımsız aynı dağılımlı rasgele değişkenler olarak alınacaktır.

Durum I: AR(1) modeli X _t = ρ X _t−1 +e _t olarak verildiğinde, H ₀ : ρ=1 hipotezi altında ρ nun EKK tahmin edicisi

1 2

1 1

1 1

ˆ _n ⁿ _t ⁿ _{t t}

t t

X X X





 

 

  

 

   

ve   ₂ ² ₁ ¹ ₁

1 1

1 1

ˆ _n 1 ⁿ _t ⁿ _{t t}

t t

n X X e

n n





 

 

   

 

   

şeklinde olup ^n→∞ iken,

2 2

1 1

1 (1) 1

2

n D

t t

t

X e W

n



        

 ve

2 2 1 2

2 0

1 1

1 ⁿ _t ^D ( )

t X W r d r

n _ 

  

 

olduğundan,

 

1 1

2 2

0

ˆ _n 1 ^D 2 ( ) (1) 1

n  W r d r W

  

 

           

olduğunu biliyoruz. AR(1) modeli regresyon modeline benzediğinden, H ₀ : ρ=1 hipotezini test etmek için t− türü istatistik daha yaygın şekilde kullanılmaktadır. Bu istatistiğin asimptotik dağılımı da bilinen t− dağılımı değildir. Dağılım farklı olduğundan, istatistik t yerine τ ^ _n

kullanılmıştır. τ ^ _n istatistiği de basit aritmetik işlemlerden sonra

2 1

1 1

1

1 2

ˆ 2 2 1

1 1

1

ˆ 1 ˆ 1

ˆ

n n t t t

n n t t

n n

n n

n t t t

t

X e X

S ^ S X X S

 

 ^{   }



  



 

  

 

 

 

 

 

1 1

1 1

2 2

1 2 1

1 1

1

1

n n

t t t t

t t

n n

n t n t

t t

X e X e

n

S X S X

n

 

 

 

 

   

 

olarak yazılabilir. Burada,

S _n ² = 1 n−1 ∑

t=1 n

( X _t − ^ ρ _n X _t−1 ) ²

ve

1

2 2 2

ˆ 1

1 n

t n

t

S _ X S



 

 

      dir. Ayrıca ^n→∞ iken,

S _n ² = 1

n−1 ∑

t =1 n

( X _t − ^ ρ _n X _{t −1} ) ² ⃗ ^P σ ²

olup τ ^ _n nin asimptotik dağılımı ^n→∞ iken,

τ ^ _n ⃗ ^D 1

2 [ ^{∫ 0 1 W 2 ( r ) d r} ] ^{−1/2 [ W 2 (1) −1 ]}

dir.

Durum II: AR(1) modeli ( X _t − μ )=ρ ( X _t−1 − μ )+e _t olarak verilmiş olsun. Model

α=μ(1− ρ) _için X _t = α+ ρ X _t−1 + e _t şeklinde de yazılabilir. H ₀ : ρ=1 hipotezi altında

X _t = X _t−1 + e _t şekline dönüşür. X _t = α+ ρ X _t−1 +e _t modeline göre ρ nun EKK tahmin edicisi Durum I den farklıdır. Parametrelerin EKK tahmin edicileri, ¹

1 1 1

1 2 1 1

1 1 1

ˆ ˆ

n n

t t

n t t

n n n

n t t t t

t t t

n X X

X X X X







  

  

  

   

   

      

     

     

   

   

 

  

denklem sisteminin çözümüleridir. H ₀ : ρ=1 hipotezi altında, X ^t _yerine X _{t  1}  e _t yazıldığında denklem sistemi, ¹

1 1 1

1 2 1 1

1 1 1

ˆ ˆ 1

n n

t t

n t t

n n n

n t t t t

t t t

n X e

X X X e







  

  

  

   

   

      

      

     

   

   

 

  

şekline dönüşür. Buradaki ifadelerin yakınsama hızları,

∑ t=1 n

X _t−1 =O _P ( n ^3/2 )

, ∑

t=1 n

X _t−1 e _t =O _P ( n)

,

∑ t=1 n

X _t−1 ² =O _P ( n ² )

, ∑

t=1 n

e _t =O _P ( n ^1/2 )

şeklinde olup ⁿ yeterince büyük ise bu ifadeleri,

3/2 1 1/2

3/2 2

ˆ ( ) ( ) ( )

ˆ 1 ( ) ( ) ( )

n P P P

n P P P

O n O n O n

O n O n O n





    

 

 

  

      

     

şeklinde yazalım. Son eşitliğin her iki tarafı A ⁿ matrisi ile çarpıldığında,

1

1/ 2 1 1/ 2

1

1 1

2

1 1

1 1

1/ 2

1 1

1 1

ˆ 0 0

0

ˆ 1

0 0 0

* 0 0

n

n t t

n n

n

t t

t t

n t t

n

t t

t

n X

n n

n

n n X X n

n e

n X e







  



 

 

 

 



 

 

   

       

             

           

       

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



 





veya

 

1

3/ 2 1

1 1

3/ 2 2 2

1 1 1

1 1 1

1 1 ˆ

ˆ 1 1

n n

t t

t t

n

n n n

n t t t t

t t t

n X e

n n

n n X n X X e

n







 

 

 

  

  

   

   

 

   

  

   

  

         

 

  

eşitliği elde edilir. Burada

0

n 0 A n

n

 

  

  _ve

1 0 A 0



 

  

 

dir. Buradan ^n→∞ iken,

3/ 2 1

1 1 0

1 1

3/ 2 2 2 2 2

1 1

1 1 0 0

1 ( )

1

( ) ( )

D n

t t

n n

t t

t t

W r d r

n X

n X n X W r d r W r d r



 

 



 

 

 

 

 

 

 

 

    

 

 

 

     

 

   

veya,

1 1

0 0

1 1 1 1

2 2 2

0 0 0 0

1 ( ) 1 ( )

( ) ( ) ( ) ( )

A A

W r d r W r d r

W r d r W r d r W r d r W r d r



 



   

   

   

   

   

   

   

 

   

elde edilir. Buna göre ^n→∞ iken,

2 2 2

1

1 1

(1) (1)

1 (1) 1

(1) 1 2 2

1

1 0 1 0

D n

t t n

t t

t

W W

W W n e

n X e



  



 

 



 

   

       

          

               

 

 





asimptotik dağılımı elde edilir. Bu sonuçlardan parametrelerin EKK tahmin edicilerinin asimptotik dağılımı ^n→∞ iken,

 

1 1

2 1 1

0

1 1

2

0 0

ˆ (1)

1 (1) 1

ˆ 1

2

1 ( )

( ) ( )

n D

n

n W

A A A

n W

W r dr

W r dr W r dr

 



 



 

 

   

       

       

 

       

 

 



 

2 1 1

0

1 1

2

0 0

0 (1)

0 1 1

(1) 1 2

1 ( )

( ) ( )

W

W W r dr

W r dr W r dr

 







   

   

 

   

 

   

 

   

 

             



 

olarak bulunur. Diğer taraftan,

Δ= ∫

0 1

W ² ( r) dr− [ ^{∫ 0 1 W (r ) dr} ] ²

denirse yukarıdaki matrisin tersi,

1

1 1 1 1

2

0 0 0

1 1 1

2

0 0 0

1 ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 1

W r d r W r d r W r d r

W r d r W r d r W r d r





 

   

    

   

   



   

   

   

  

  

olur. H ₀ : ρ=1 hipotezini test etmek için n ( ^ρ _n −1 ) test istatistiğinin kullanılabileceğini biliyoruz. Bunun asimptotik dağılımı ise ^n→∞ iken,

2 1

0 2

1 1

2

0 0

1 (1) 1 (1) ( )

ˆ 2 ( 1)

( ) ( )

n D

W W W r dr

n

W r dr W r dr



   

 

 

 

 

    



 

2 1

0

1 (1) 1 (1) ( )

2   W     W W r dr

 



şeklindedir. Denklem sisteminin çözümünden hem α ^ _{n hem de} ρ ^ _n EKK tahmin edicilerinin asimptotik dağılımları normal değildir. Ayrıca, ortak dağılım da asimptotik normal değildir.

Model ( X _t − μ )=ρ ( X _t−1 − μ )+e _t şeklinde ise ρ nun EKK tahmin edicisi ρ ^ _{μ ile}

gösterilir (örneklem hacmine bağlı olarak bazen ρ ^ _{n , μ} kullanılır).

Benzer şekilde, H ₀ : ρ=1 hipotezini test etmek için, t− türü istatistiğin asimptotik dağılımını elde etmeye çalışalım. Önce,

S _n ² = 1 n−2 ∑

t=1 n

( X _t − ^ α _n −^ ρ _μ X _t−1 ) ²

olmak üzere,

 

1 1 1

2 2

1 2 1

1 1

1 0

( ˆ ) 0 1

1

n t t

n n n n

t t

t t

X

S S

X X

 



 

 

 

 

   

 

      

 

 



 

den t− türü istatistik de

τ ^ _{n , μ} = [ ^{S ^ ρ} n

2 ] ^{−1 ( ^ ρ μ −1 )}

şeklinde yazılabilir. Buradan,

 

1 1 1

2 2 2

1 2 1

1 1

1 0

( ˆ ) 0

n t t

n n n n

t t

t t

X

n S S n

X X n

 



 

 

 

 

 

 

 

        

 

 



 

1 1 1

1 2 1

1 1

1 0

1

n t t

n n n

t t

t t

X

A

X X



 

 

 

 

   

 

        

 

 



 

olup,

1 1

1 1 1

2

1 1

1 1

1 1 1

1 2 1

1 1

1 1 ⁿ _t

t

n n n n n n

t t

t t

n t t

n n

t t

t t

X

A A A A

X X

X

X X



 

 

 

 



 

 

 



     

       

     

     

         

 



 



 

3/ 2 1

1

3/ 2 2 2

1 1

1 1

1 ⁿ _t

t

n n

t t

t t

n X

n X n X

 



 

 

 



 

 

 

 

 

 



 

eşitliği yukarıdaki sonuçlar ile kullanıldığında ^n→∞ iken S _n ² ⃗ P σ ² olduğu görülür.

Buradan da,

 

1 1

2 2 0

1 1

2

0 0

1 ( )

ˆ 0

( ) 0 1

( ) ( ) 1

n P

W r d r n S

W r d r W r d r

 

  

 

   

        

 

 



 

elde edilir. Ayrıca,

  ₂

1 1

2

0 0

1 1

0

1 1

2

0 0

0 1

0 1 1

( ) ( )

1 ( )

( ) ( ) _{W r d r W r d r}

W r d r

W r d r W r d r







 

 

   

       

   

 

     



 

olduğundan τ ^ _{n , μ} istatistiğinin asimptotik dağılımı da

 

1 2

, , 0

, , 2 2 , 1 2 1 2

0 0

1 (1) 1 (1) ( )

ˆ

ˆ 1 1 2

ˆ ( ˆ ) ( ˆ )

( ) ( )

n n D

n

n n n n

W W W r d r

n

S n S

W r d r W r d r

 



 

 

  

  

  



 

 

 

 

 

 



 

şeklinde elde edilmiş olur.

Durum III (Random Walk with Drift) Burada H ₀ : ρ=1 hipotezi altında model,

X _t = α + X _t−1 +e _t şeklinde yazılır. Daha açık olarak X _t için zaman serisi modeli,

X _t = X ₀ + α t +( e ₁ + e ₂ + .. .+e _t )= X ₀ + α t +ξ _t

olarak yazılabilir. Buna göre,

∑ t=1 n

X _t−1 = ∑

t=1 n

( X ₀ + α (t−1) +ξ _t−1 )

olup ^n→∞ iken,

1 n ² ∑

t=1 n

α (t−1) = α n ²

n(n−1) 2 = α

2 n−1

n → α 2

ve

n ^{−3 /2} ∑

t=1 n

ξ _t−1 ⃗ ^D σ ∫

0 1

W (r ) dr

yakınsamaları elde edilir. Buradan ⁿ örneklem hacmi yeterince büyük ise

2 3 / 2 2

1 0 1

1 1 1 1

( 1) ( ) ( ) ( ) ( )

n n n n

t t P P P P

t t t t

X _ X  t  _ O n O n O n O n

   

       

   

dir. Modeldeki α (t−1) terimi bütün asimptotik sonuçları etkilemektedir. Önce, ^n→∞ iken

1 1/ 2 3/ 2

2 1 0 2 1

1 1 1

1 1

( 1)

2

n n n P

t t

t t t

X n X t n n

n n

  

  

 

             

  

olduğu açıktır. Örneklem hacmi ⁿ yeterince büyük ise,

  ²

2 2 2 2 2

0 0

0 0 1

3 2 2 3 / 2 5 / 2 3

1 1 1

1

1 1 1 1 1

1 1 1

( 1) ( 1)

2 ( 1) 2 2 ( 1)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n t

P P P P P P P

n n n n n

t t t

n n

t

t t t t t

t t t

X X t X t

X t X t

O n O n O n O n O n O n O n

   

  _  

  



    

  

       

    

      

    

  

olup ^n→∞ iken

1 n ³ ∑

t =1 n

X _{t −1} ² ⃗ ^P α ²

3 dür. Diğer taraftan,

 

1 0 1 1 0 1

1 1 1 1 1

1/ 2 3/ 2 3 / 2

( 1) ( 1)

( ) ( ) ( ) ( )

n n n n n

t t t t t t t t

t t t t t

P P P P

X e X t e X e t e e

O n O n O n O n

   

   

    

       

   

    

olduğundan ⁿ yeterince büyük olduğunda,

3 / 2 3/ 2

1 1 1

( 1)

n n

t t t

t t

n ^ X e _ n ^  t e

 

 

 

yazılabilir. Başka bir ifade ile,

1 1/ 2

2

2 3 3/ 2

ˆ ( ) ( ) ( )

ˆ 1 ( ) ( ) ( )

n P P P

n P P P

O n O n O n

O n O n O n

 



  

 

  

    

      

      _ve

1/ 2 3/ 2

0

n 0 A n

n

 

  

 

 

özellikleri dikkate alınarak elde edilen sonuçlar toparlandığında,

 

 

1

2 1/ 2

1 1 1

2 3 2 3/ 2

1 1 1

1 1 1

ˆ 1 ˆ 1

n n

t t

n t t

n n n

n t t t t

t t t

n X n e

n

n n X n X n X e

 





 

  

  

  

  

   

   

       

 

   

  

     

   

 

  

eşitliği yazılır. Ayrıca, ^n→∞ iken

2 1

1

2 3 2 2

1 1

1 1

1 1 / 2

/ 2 / 3 :

n

t t P

n n

t t

t t

n X

Q

n X n X



 

 



 

 

 

 

   

     

   

 

 



 

olduğu da dikkate alınırsa,