İÇİNDEKİLER:
•TÜREV KAVRAMI
•TÜREV ALMA KURALLARI
•FONKSİYON TÜREVLERİ
•TÜREV UYGULAMALARI
TÜREV KAVRAMI:
Tanım:f:A B , y=f(x) fonksiyonu ve sürekli olmak üzere, limiti bir reel sayı ise;bu değere f fonksiyonunun x=a noktasındaki türevi denir.
Bu f fonksiyonunun x=a noktasındaki türevi, veya sembolleri ile gösterilir.
A
a
a x a f x f a x ) ( ) (lim
)
(
'a
f
(a
)
dx
df
) ( ' a fDolayısıyla f fonksiyonunun a noktasındaki türevi; ( h>0 )
h a f h a f a x a f x f a f h a x ) ( ) ( lim ) ( ) ( lim ) ( 0 ' ‘dır
ÖRNEK:f:R R fonksiyonunun x=2 noktasındaki türevini bulalım. 2 ) (x x f bulunur. ÇÖZÜM: fonksiyonu x =2 de süreklidir. Türev tanımından, dir.
2 ) (x x f 2 ) 2 ( ) ( lim ) 2 ( 2 ' x f x f f x
4
2
)
2
)(
2
(
lim
2
4
lim
)
2
(
2 2 2 '
x
x
x
x
x
f
x x O halde, tür.f '(2) dfdx (2) 4SOLDAN VE SAĞDAN TÜREV:
Tanım:A R,a A da sürekli ve f:A R fonksiyonunda:
1. limitinin bir reel sayı değeri varsa bu değere, f
fonksiyonunun a noktasındaki soldan türevi denir ve şeklinde gösterilir.
2. limitinin bir reel sayı değeri varsa bu değere, f
fonksiyonunun a noktasındaki sağdan türevi denir ve şeklinde gösterilir.
ise, f fonksiyonu a noktasında türevlidir ve
a x a f x f a x ) ( ) ( lim ) ( ' a f a x a f x f a x ) ( ) ( lim ) ( ' a f ) ( ) ( ' ' a f a f
TÜREVİN SÜREKLİLİKLE İLİŞKİSİ:
Teorem:AB ,aA olmak üzere; f:A B fonksiyonu a noktasında
türevli ise ,bu noktada süreklidir.Bu teoremin tersi olarak f fonksiyonu a noktasında sürekli değilse,türevsizdir de diyebiliriz.
ÖRNEK: fonksiyonu hangi noktalarda türevsizdir?
ÇÖZÜM:f fonksiyonu paydanın sıfır olduğu noktalarda tanımsız, dolayısıyla süreksizdir.
x = -1 ve x = 2 noktalarında süreksiz olduğundan
2
2
)
(
2 2
x
x
x
x
f
0 2 2 x xTÜREV ALMA KURALLARI:
Sabit fonksiyonun türevi:A B, f:A B, f(x) = c ile tanımlanan sabit fonksiyonun türevi f ’(x) = 0 dır.Örneğin;
f (x) = 5 ise, f ‘(x) =0
f (x) = -3 ise, f ‘(x) = 0 dır.
n N+ için Fonksiyonunun Türevi:
n N+ için f:R R , fonksiyonunun türevi;
dir.Bu kural n negatif olsa da geçerlidir.Örneğin; dır. n x x f ( ) n x x f ( ) 1 '(x) n.xn f 1 ) ( ) (x x f ' x f f (x) x4 f '(x) 4x3
Bir Sabitle Bir Fonksiyonun Çarpımının Türevi:
c R ve f fonksiyonu , x noktasında türevli bir fonksiyon ise , dır.Örneğin;
c. f (x)
' c. f '(x) x x x f x x f ( ) 5. 2 '( ) 5.2. 10İki Fonksiyonun Toplamının Türevi:
f :R R, g :R R türevlenebilen iki fonksiyon ise f+g fonksiyonunun türevi, [f(x) +g(x)] ’=f ’(x)+g’(x) dır.yani her fonksiyonun ayrı ayrı türevi alınarak bulunur.Örneğin;
İki Fonksiyonun Çarpımının Türevi:
f :R R, g :R R türevlenebilen iki fonksiyon ise f.g fonksiyonunun türevi, [f(x).g(x)]‘ =f ‘(x).g(x)+g ‘(x).f(x) dır.Örneğin;
fonksiyonu veriliyor.
dır.
Ikı Fonksiyonun Bölümünün Türevi:
f :R R, g :R R türevlenebilen iki fonksiyon ve g0 ise f/g
fonksiyonunun türevi, dır. ) 1 )( 1 ( ) ( ; : R R f x x2 x3 f x x x x x x x x f '( ) 2 .( 3 1) 3 2.( 2 1) 5 4 3 2 2
)
'
(
).
(
)
(
).
(
'
)
(
x
f
x
g
x
g
x
f
x
f
FONKSİYON TÜREVLERİ
Bileşke Fonksiyonun Türevi:
g ,x te türevlenebilen; f , g(x) te türevlenebilen birer fonksiyon olmak üzere fog fonksiyonu x te türevlenebilir ve
dır.
Bu işleme türevde zincir kuralı denir.Sonuç olarak,
biçiminde verilen üslü fonksiyonun türevi, bileşke fonksiyonun türev kuralı uygulanarak
şeklinde bulunur.
fog
(x)
f
g
x
f
g
x
.g x
n x g x f ( ) ( )
x n
g
x
g
x f . n1. 'ÖRNEK:
1- fonksiyonunun türevini, şeklinde buluruz.
3 2
1998 1 x x x f
x
x x
x x
f 1998. 3 2 11997. 3 2 22- fonksiyonuna göre f ´(1) nedir?
türevinde x terine 1 yazarsak; buluruz.
3 2
5 3 2 x x x f
x
x
x
x
x
f
5
.
3
2
2
3
.
3
2
4
1
5
.
4
4
1280
f
Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri:
f:R R ,f(x) = sin x fonksiyonunun türevi f´(x) = cos x dir. f:R R ,f(x) = cos x fonksiyonunun türevi f´(x) = -sin x dir.
u x’e bağlı türevlenebilen bir fonksiyon olmak üzere;
f(x) = tan u dur. f(x) = cot u dur.
)
tan
1
.(
sec
.
cos
)
(
2u
2u
u
2u
u
u
x
f
)
cot
1
.(
cos
.
sin
)
(
2u
ec
2u
u
2u
u
u
x
f
ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ
MUTLAK DEĞER FONKSİYONUNUN TÜREVİ:
f:A R , y=|f(x)| verilsin.aA , f(a)0 olmak üzere fonksiyonunun
türevi;
y`= f `(x)= -f `(x) , f(a) <0 f `(x) , f(a) >0
f(a)=0 ise ,fonksiyonun bu noktadaki türevi olmayabilir.Bunu araştırmak için ,fonksiyonun sağdan ve soldan türevine
bakılır.Soldan ve sağdan türevler eşitse ,fonksiyon bu noktada türevlidir.Aksi halde türevi yoktur.
ÖRNEK:
1 ) (x x2 f fonksiyonu veriliyor.f``(-2) ve f``(1) değerleri varsa hesaplayalım.
x=-2 için fonksiyon sıfırdan büyük olduğundan aynen çıkar yani, dır.
x=1 için fonksiyon sıfıra eşittir.Dolayısıyla sağdan ve soldan türevlere bakılır. olduğundan f `(1) yoktur.
ÇÖZÜM:
4 ) 2 ( 2 ) ( x x f f)
1
(
)
1
(
f
f
TAM DEĞER FONKSİYONUNUN TÜREVİ:
f:A R, verilsin.Eğer fonksiyonu aA nokyasında sürekli ise ,fonksiyonun bu noktadaki türevi sıfırdır. Sürekli değilse türevi yoktur.
fonksiyonunda f(x)Z ise süreklidir ve türevi sıfırdır.Fakat f(x)Z ise sürekli olup olmadığına bakılır.
Süreksizse türev yoktur.
) (x f y y f (x) ) (x f y
İŞARET FONKSİYONUNUN TÜREVİ:
f:A R ,y = sgn f(x) fonksiyonu verlsin.Eğer a A noktasında sürekli ise ,bu noktada türevi sıfırdır.Süreksizse türevi yoktur. y´= 0 ,f(a)0 ise
Yoktur , f(a)= ise dır.Örneğin;
fonksiyonu veriliyor.f´(1) değerini bulalım. x=1 için ifadesinin değeri -6 0 olduğundan f´(1)=0 dır. ) 6 sgn( ) (x x2 x f
6
2 x
x
KAPALI FONKSİYONLARIN TÜREVİ:
Tanım:x ve y değişken olmak üzere ,F(x,y)=0 denklemiyle verilen Bağıntılara kapalı fonksiyon denir.Kapalı fonksiyonların türevi hesaplanırken önce x sonra da y sabit alınarak türev bulunur.
)
,
(
)
,
(
0
).
,
(
)
,
(
y
x
F
y
x
F
dx
dy
y
y
y
x
F
y
x
F
y x y x
bulunur.ÖRNEK: bağıntısı veriliyor. Bunun türevini bulalım.
0 24 2 ) , (x y x2 y2 x F
ÇÖZÜM:Bu bağıntının türevini bulurken önce x’e daha sonra da y’ye göre türev alıp ,birbirine böleriz.
y
x
y
x
y
x
F
y
x
F
y
y x
1
2
2
2
)
,
(
)
,
(
buluruz.PARAMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ:
Bu tür fonksiyonlarda, x ile y birbirine t parametresi ile bağlıdır. x=h(t) ve y=g(t) denklemlerinden t parametresi yok edilerek , x ile y arasında y=f(x) bağıntısı elde edilir.Buradan y nin x e göre türevi bulunur.
)
(
)
(
t
h
t
g
dt
dx
dt
dy
dx
dt
dt
dy
dx
dy
ÖRNEK: parametrik fonksiyonunun türevini bulalım. 3 2 2 t t y t x ÇÖZÜM:
x= t – 2 t = x+2 değeri türevde yerine konulursa y´= 2(x+2) – 1= 2x+3 bulunur. 1 2 1 1 2 t t dt dxdt dy y
TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ:
u x e bağlı türevlenebilen bir fonksiyon olmak üzere;
2 1 ) .(arcsin 1 u u u 2
1
)
.(arctan
3
u
u
2 1 ) .(arccos 2 u u 2 1 ) cot .( 4 u u u arc LOGARİTMA FONKSİYONUNUN TÜREVİ:
Bileşke fonksiyonda yazdığımız teoremden de yararlanarak logaritmik fonksiyonlar için şu sonuca varabiliriz;
u,x’e bağlı türevlenebilen bir fonksiyon olmak üzere;
1-
2-e
u
u
x
f
u
x
f
(
)
log
a
(
)
log
au
u
x
f
u
x
f
(
)
ln
(
)
ÖRNEK:
1-f(x)=ln(sin x) fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm: buluruz.
2-ln(sin y)+ln(cos x)-1= 0 ise dydx değerini bulunuz.
Çözüm: buluruz. x x x x x x f cot sin cos sin ) (sin ) ( y x y y y x x y F x F dx dy tan . tan cot tan coscos sin
ÜSTEL FONKSİYONUN TÜREVİ:
u, x’e bağlı türevlenebilen bir fonksiyon olmak üzere;
1-2- Örneğin; fonksiyonunun türevini bulalım.
u u a x f a x f ( ) u ( ) u. .ln u e x f e x f ( ) u ( ) u.
f
(
x
)
3
tanx3
ln
.
)
.(tan
3
)
(
3
)
(
x
tan
f
x
tanx
f
x x3
ln
.
sec
.
3
)
(
x
tan 2x
f
x
bulunur.A.
Artan Ve Azalan Fonksiyonlar
1)
Her x
1, x
2 A için, x
1<x
2iken, f(x
1)< f(x
2)
ise, fonksiyonu, A kümesinde, artandır.
2)
Her x
1, x
2 A için, x
1<x
2iken, f(x
1)> f(x
2)
ise, f fonksiyonu, A kümesinde, azalandır.
SONUÇ:
f:[a,b]R fonksiyonu, (a,b) aralığında artan ve türevli ise, fonksiyonun bu aralıktaki türevi pozitiftir
Yani; f fonksiyonu, (a,b) aralığında artan bir fonksiyon ise bu
aralığın her elemanı için f’(x)>0’dır.
a b
Sonuç:
f:[a,b]R, fonksiyonu, (a,b) aralığında azalan ve türevli ise, fonksiyonun bu aralıktaki türevi negatiftir.
Yani; f fonksiyonu, (a,b) aralığında azalan fonksiyon ise bu aralığın her elemanı için, f’(x)<0’dır.
f’(x) f(x)
a b
- - - azalan
B) YEREL MAKSİMUM NOKTASI:
Tanım: f:[a,b]R, y=f(x) fonksiyonu verilsin. x0(a,b) ve > 0 olsun. f fonksiyonu, (x0- ,xo+ ) aralığında en büyük
değerini x0 noktasında alıyorsa, (x0,f(x0)) noktasında bir yerel
maksimumu vardır.
f(x0) değerine, fonksiyonun bir yerel maksimum değeri denir.
f(x0) Y=f(x) f ’(x) f(x) a x0 b +
-C)YEREL MİNİMUM NOKTASI:
Tanım: f:[a,b]R, y=f(x) fonksiyonu verilsin. x0(a,b) ve
> 0 olsun. f fonksiyonu, (x0- ,xo+ ) aralığında en küçük değerini x0 noktasında alıyorsa, (x0,f(x0)) noktasında bir yerel minimumu
vardır.
f(x0) değerine, fonksiyonun bir yerel minimum değeri denir.
Y=f(x) x0- x0 xo+ f ’(x) f(x) a x0 b + -f(x0)
SONUÇ:
a f(a) b f(b) c f(c) d f(d) ++ ++ ++ - - -- -- ++ ++ ++ + y=f(x) Yerel maksimum Yerel minimumf:[a,b] R fonksiyonu, (a,b) aralığında ikinci basamaktan türevli olsun: a b y=f(x) A B x1 x2
Eğrinin çukurluk yönü yukarı doğru bakmaktadır.
y=f(x) a b A B x1 x2 Bu teğetlerin eğimleri; m1= tan=f’(x1) ve m2=tan=f’(x2)
Şimdi de, eğrilik yönü aşağı doğru olan bir eğri inceleyelim: a b A B x1 x2
a’dan b’ye , teğetlerin eğim açılarının küçüldüğüne dikkat! Bu teğetlerin eğimleri;
a b A
B
x1 x2
tan> tan f’(x1) > f’(x2) ‘dir. Yani;
SONUÇ:
Bir f fonksiyonu için, aralığın her noktasında, f’’(x)<0 oluyorsa, f fonksiyonunun bu aralıktaki grafiğinin çukurluk yönü aşağı doğrudur.
Bir f fonksiyonu için, aralığın her noktasında, f’’(x)>0 oluyorsa, f fonksiyonunun bu aralıktaki grafiğinin çukurluk yönü yukarı doğrudur.