• Sonuç bulunamadı

TÜREV 07 

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "TÜREV 07 "

Copied!
36
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)
(2)

İÇİNDEKİLER:

•TÜREV KAVRAMI

•TÜREV ALMA KURALLARI

•FONKSİYON TÜREVLERİ

•TÜREV UYGULAMALARI

(3)

TÜREV KAVRAMI:

Tanım:f:A B , y=f(x) fonksiyonu ve sürekli olmak üzere, limiti bir reel sayı ise;bu değere f fonksiyonunun x=a noktasındaki türevi denir.

Bu f fonksiyonunun x=a noktasındaki türevi, veya sembolleri ile gösterilir.

A

a

a x a f x f a x    ) ( ) (

lim

)

(

'

a

f

(a

)

dx

df

) ( ' a f

Dolayısıyla f fonksiyonunun a noktasındaki türevi; ( h>0 )

h a f h a f a x a f x f a f h a x ) ( ) ( lim ) ( ) ( lim ) ( 0 '        ‘dır

(4)

ÖRNEK:f:R R fonksiyonunun x=2 noktasındaki türevini bulalım. 2 ) (x x f  bulunur. ÇÖZÜM: fonksiyonu x =2 de süreklidir. Türev tanımından, dir.

2 ) (x x f  2 ) 2 ( ) ( lim ) 2 ( 2 '     x f x f f x

4

2

)

2

)(

2

(

lim

2

4

lim

)

2

(

2 2 2 '

 

x

x

x

x

x

f

x x O halde, tür.f '(2)  dfdx (2)  4

(5)

SOLDAN VE SAĞDAN TÜREV:

Tanım:A  R,a  A da sürekli ve f:A R fonksiyonunda:

1. limitinin bir reel sayı değeri varsa bu değere, f

fonksiyonunun a noktasındaki soldan türevi denir ve şeklinde gösterilir.

2. limitinin bir reel sayı değeri varsa bu değere, f

fonksiyonunun a noktasındaki sağdan türevi denir ve şeklinde gösterilir.

ise, f fonksiyonu a noktasında türevlidir ve

a x a f x f a x     ) ( ) ( lim ) ( ' af a x a f x f a x     ) ( ) ( lim ) ( ' af ) ( ) ( ' ' a f af

(6)

TÜREVİN SÜREKLİLİKLE İLİŞKİSİ:

Teorem:AB ,aA olmak üzere; f:A B fonksiyonu a noktasında

türevli ise ,bu noktada süreklidir.Bu teoremin tersi olarak f fonksiyonu a noktasında sürekli değilse,türevsizdir de diyebiliriz.

ÖRNEK: fonksiyonu hangi noktalarda türevsizdir?

ÇÖZÜM:f fonksiyonu paydanın sıfır olduğu noktalarda tanımsız, dolayısıyla süreksizdir.

 x = -1 ve x = 2 noktalarında süreksiz olduğundan

2

2

)

(

2 2

x

x

x

x

f

0 2 2  x x

(7)

TÜREV ALMA KURALLARI:

Sabit fonksiyonun türevi:A  B, f:A B, f(x) = c ile tanımlanan sabit fonksiyonun türevi f ’(x) = 0 dır.Örneğin;

f (x) = 5 ise, f ‘(x) =0

f (x) = -3 ise, f ‘(x) = 0 dır.

 n  N+ için Fonksiyonunun Türevi:

n  N+ için f:R R , fonksiyonunun türevi;

dir.Bu kural n negatif olsa da geçerlidir.Örneğin; dır. n x x f ( )  n x x f ( )  1 '(x) n.xnf 1 ) ( ) (xxf ' xf f (x)  x4  f '(x)  4x3

(8)

Bir Sabitle Bir Fonksiyonun Çarpımının Türevi:

c  R ve f fonksiyonu , x noktasında türevli bir fonksiyon ise , dır.Örneğin;

c. f (x)

'  c. f '(x) x x x f x x f ( )  5. 2  '( )  5.2. 10

İki Fonksiyonun Toplamının Türevi:

f :R R, g :R R türevlenebilen iki fonksiyon ise f+g fonksiyonunun türevi, [f(x) +g(x)] ’=f ’(x)+g’(x) dır.yani her fonksiyonun ayrı ayrı türevi alınarak bulunur.Örneğin;

(9)

İki Fonksiyonun Çarpımının Türevi:

f :R R, g :R R türevlenebilen iki fonksiyon ise f.g fonksiyonunun türevi, [f(x).g(x)]‘ =f ‘(x).g(x)+g ‘(x).f(x) dır.Örneğin;

fonksiyonu veriliyor.

dır.

Ikı Fonksiyonun Bölümünün Türevi:

f :R R, g :R R türevlenebilen iki fonksiyon ve g0 ise f/g

fonksiyonunun türevi, dır. ) 1 )( 1 ( ) ( ; : R R f x x2 x3 f x x x x x x x x f '( ) 2 .( 3 1) 3 2.( 2 1) 5 4 3 2 2

)

'

(

).

(

)

(

).

(

'

)

(

x

f

x

g

x

g

x

f

x

f

(10)

FONKSİYON TÜREVLERİ

Bileşke Fonksiyonun Türevi:

g ,x te türevlenebilen; f , g(x) te türevlenebilen birer fonksiyon olmak üzere fog fonksiyonu x te türevlenebilir ve

dır.

Bu işleme türevde zincir kuralı denir.Sonuç olarak,

biçiminde verilen üslü fonksiyonun türevi, bileşke fonksiyonun türev kuralı uygulanarak

şeklinde bulunur.

fog

(x) 

f

g

 

x

  f

g

 

x

  

.gx

n x g x f ( )  ( )

 

x n

g

 

x

g

 

x f   . n1. '

(11)

ÖRNEK:

1- fonksiyonunun türevini, şeklinde buluruz.

 

3 2

1998 1    x x x f

 

x

x x

 

x x

f  1998. 3  2 11997. 3 2  2

2- fonksiyonuna göre f ´(1) nedir?

türevinde x terine 1 yazarsak; buluruz.

 

3 2

5 3 2    x x x f

 

x

x

x



x

x

f

5

.

3

2

2

3

.

3

2

4

 

1

5

.

4

4

1280

f

(12)

Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri:

f:R R ,f(x) = sin x fonksiyonunun türevi f´(x) = cos x dir. f:R R ,f(x) = cos x fonksiyonunun türevi f´(x) = -sin x dir.

u x’e bağlı türevlenebilen bir fonksiyon olmak üzere;

f(x) = tan u dur. f(x) = cot u dur.

)

tan

1

.(

sec

.

cos

)

(

2

u

2

u

u

2

u

u

u

x

f

)

cot

1

.(

cos

.

sin

)

(

2

u

ec

2

u

u

2

u

u

u

x

f

(13)

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ

MUTLAK DEĞER FONKSİYONUNUN TÜREVİ:

f:A R , y=|f(x)| verilsin.aA , f(a)0 olmak üzere fonksiyonunun

türevi;

y`= f `(x)= -f `(x) , f(a) <0 f `(x) , f(a) >0

f(a)=0 ise ,fonksiyonun bu noktadaki türevi olmayabilir.Bunu araştırmak için ,fonksiyonun sağdan ve soldan türevine

bakılır.Soldan ve sağdan türevler eşitse ,fonksiyon bu noktada türevlidir.Aksi halde türevi yoktur.

(14)

ÖRNEK:

1 ) (x  x2 f fonksiyonu veriliyor.

f``(-2) ve f``(1) değerleri varsa hesaplayalım.

x=-2 için fonksiyon sıfırdan büyük olduğundan aynen çıkar yani, dır.

x=1 için fonksiyon sıfıra eşittir.Dolayısıyla sağdan ve soldan türevlere bakılır. olduğundan f `(1) yoktur.

ÇÖZÜM:

4 ) 2 ( 2 ) (        x x f f

)

1

(

)

1

(

f

f

(15)

 TAM DEĞER FONKSİYONUNUN TÜREVİ:

f:A R, verilsin.Eğer fonksiyonu aA nokyasında sürekli ise ,fonksiyonun bu noktadaki türevi sıfırdır. Sürekli değilse türevi yoktur.

fonksiyonunda f(x)Z ise süreklidir ve türevi sıfırdır.Fakat f(x)Z ise sürekli olup olmadığına bakılır.

Süreksizse türev yoktur.

) (x f yyf (x) ) (x f y

(16)

İŞARET FONKSİYONUNUN TÜREVİ:

f:A R ,y = sgn f(x) fonksiyonu verlsin.Eğer a  A noktasında sürekli ise ,bu noktada türevi sıfırdır.Süreksizse türevi yoktur. y´= 0 ,f(a)0 ise

Yoktur , f(a)= ise dır.Örneğin;

fonksiyonu veriliyor.f´(1) değerini bulalım. x=1 için ifadesinin değeri -6 0 olduğundan f´(1)=0 dır. ) 6 sgn( ) (xx2  xf

6

2

 x

x

(17)

KAPALI FONKSİYONLARIN TÜREVİ:

Tanım:x ve y değişken olmak üzere ,F(x,y)=0 denklemiyle verilen Bağıntılara kapalı fonksiyon denir.Kapalı fonksiyonların türevi hesaplanırken önce x sonra da y sabit alınarak türev bulunur.

)

,

(

)

,

(

0

).

,

(

)

,

(

y

x

F

y

x

F

dx

dy

y

y

y

x

F

y

x

F

y x y x

bulunur.

(18)

ÖRNEK: bağıntısı veriliyor. Bunun türevini bulalım.

0 24 2 ) , (x yx2  y2  x   F

ÇÖZÜM:Bu bağıntının türevini bulurken önce x’e daha sonra da y’ye göre türev alıp ,birbirine böleriz.

y

x

y

x

y

x

F

y

x

F

y

y x

1

2

2

2

)

,

(

)

,

(

buluruz.

(19)

PARAMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ:

Bu tür fonksiyonlarda, x ile y birbirine t parametresi ile bağlıdır. x=h(t) ve y=g(t) denklemlerinden t parametresi yok edilerek , x ile y arasında y=f(x) bağıntısı elde edilir.Buradan y nin x e göre türevi bulunur.

)

(

)

(

t

h

t

g

dt

dx

dt

dy

dx

dt

dt

dy

dx

dy

(20)

ÖRNEK: parametrik fonksiyonunun türevini bulalım. 3 2 2    t t y t x ÇÖZÜM:

x= t – 2  t = x+2 değeri türevde yerine konulursa y´= 2(x+2) – 1= 2x+3 bulunur. 1 2 1 1 2       t t dt dxdt dy y

(21)

TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ:

u x e bağlı türevlenebilen bir fonksiyon olmak üzere;

2 1 ) .(arcsin 1 u u u     2

1

)

.(arctan

3

u

u

2 1 ) .(arccos 2 u u      2 1 ) cot .( 4 u u u arc     

(22)

LOGARİTMA FONKSİYONUNUN TÜREVİ:

Bileşke fonksiyonda yazdığımız teoremden de yararlanarak logaritmik fonksiyonlar için şu sonuca varabiliriz;

u,x’e bağlı türevlenebilen bir fonksiyon olmak üzere;

1-

2-e

u

u

x

f

u

x

f

(

)

log

a

(

)

log

a

u

u

x

f

u

x

f

(

)

ln

(

)

(23)

ÖRNEK:

1-f(x)=ln(sin x) fonksiyonunun türevini bulunuz.

Çözüm: buluruz.

2-ln(sin y)+ln(cos x)-1= 0 ise dydx değerini bulunuz.

Çözüm: buluruz. x x x x x x f cot sin cos sin ) (sin ) (       y x y y y x x y F x F dx dy tan . tan cot tan coscos sin         

(24)

ÜSTEL FONKSİYONUN TÜREVİ:

u, x’e bağlı türevlenebilen bir fonksiyon olmak üzere;

1-2- Örneğin; fonksiyonunun türevini bulalım.

u u a x f a x f ( ) u ( ) u..ln u e x f e x f ( )  u  ( )  u. 

f

(

x

)

3

tanx

3

ln

.

)

.(tan

3

)

(

3

)

(

x

tan

f

x

tan

x

f

x x

3

ln

.

sec

.

3

)

(

x

tan 2

x

f

x

bulunur.

(25)

A.

Artan Ve Azalan Fonksiyonlar

1)

Her x

1

, x

2

 A için, x

1

<x

2

iken, f(x

1

)< f(x

2

)

ise, fonksiyonu, A kümesinde, artandır.

(26)

2)

Her x

1

, x

2

 A için, x

1

<x

2

iken, f(x

1

)> f(x

2

)

ise, f fonksiyonu, A kümesinde, azalandır.

(27)

SONUÇ:

f:[a,b]R fonksiyonu, (a,b) aralığında artan ve türevli ise, fonksiyonun bu aralıktaki türevi pozitiftir

Yani; f fonksiyonu, (a,b) aralığında artan bir fonksiyon ise bu

aralığın her elemanı için f’(x)>0’dır.

a b

(28)

Sonuç:

f:[a,b]R, fonksiyonu, (a,b) aralığında azalan ve türevli ise, fonksiyonun bu aralıktaki türevi negatiftir.

Yani; f fonksiyonu, (a,b) aralığında azalan fonksiyon ise bu aralığın her elemanı için, f’(x)<0’dır.

f’(x) f(x)

a b

- - - azalan

(29)

B) YEREL MAKSİMUM NOKTASI:

Tanım: f:[a,b]R, y=f(x) fonksiyonu verilsin. x0(a,b) ve  > 0 olsun. f fonksiyonu, (x0- ,xo+ ) aralığında en büyük

değerini x0 noktasında alıyorsa, (x0,f(x0)) noktasında bir yerel

maksimumu vardır.

f(x0) değerine, fonksiyonun bir yerel maksimum değeri denir.

f(x0) Y=f(x) f ’(x) f(x) a x0 b +

(30)

-C)YEREL MİNİMUM NOKTASI:

Tanım: f:[a,b]R, y=f(x) fonksiyonu verilsin. x0(a,b) ve

 > 0 olsun. f fonksiyonu, (x0- ,xo+ ) aralığında en küçük değerini x0 noktasında alıyorsa, (x0,f(x0)) noktasında bir yerel minimumu

vardır.

f(x0) değerine, fonksiyonun bir yerel minimum değeri denir.

Y=f(x) x0-  x0 xo+  f ’(x) f(x) a x0 b + -f(x0)

(31)

SONUÇ:

a f(a) b f(b) c f(c) d f(d) ++ ++ ++ - - -- -- ++ ++ ++ + y=f(x) Yerel maksimum Yerel minimum

(32)

f:[a,b] R fonksiyonu, (a,b) aralığında ikinci basamaktan türevli olsun: a b y=f(x) A B x1 x2

Eğrinin çukurluk yönü yukarı doğru bakmaktadır.

(33)

y=f(x) a b A B x1 x2 Bu teğetlerin eğimleri; m1= tan=f’(x1) ve m2=tan=f’(x2)

(34)

Şimdi de, eğrilik yönü aşağı doğru olan bir eğri inceleyelim: a b A B x1 x2  

a’dan b’ye , teğetlerin eğim açılarının küçüldüğüne dikkat! Bu teğetlerin eğimleri;

(35)

a b A

B

x1 x2

 

  tan> tanf’(x1) > f’(x2) ‘dir. Yani;

(36)

SONUÇ:

Bir f fonksiyonu için, aralığın her noktasında, f’’(x)<0 oluyorsa, f fonksiyonunun bu aralıktaki grafiğinin çukurluk yönü aşağı doğrudur.

Bir f fonksiyonu için, aralığın her noktasında, f’’(x)>0 oluyorsa, f fonksiyonunun bu aralıktaki grafiğinin çukurluk yönü yukarı doğrudur.

Referanslar

Benzer Belgeler

(˙Ipucu: ¨ Ozge inte- graller ile ilgili teorem(ler) kullanarak veya integral testi ile ¸c¨ oz¨ ulebilir) 6.. D¨ onel cisimlerin

−1 de sı¸crama tipi s¨ureksizlik

S nin t¨ urevlenebilir bir y¨ uzey oldu˘ gunu g¨ osterirken olu¸sturulan yamalarda bazı de˘ gi¸siklikler yaparak yeni ya- malar olu¸sturaca˘ gız.. Bu yamaların d¨ uzg¨ un ve

Eğri çizimleri için son aracımızı ele alalım: Asiptotlar. Bu iki eğik asimtot çakışık olabilir. Örnek: Aşağıda verilen eğrilerin asimtotlarını bulunuz.. 3)

Gerçel ( reel ) sayı ekseninde herhangi bir sayının sağında bulunan sayılar daima o sayıdan büyük, solunda bulunan sayılar da o sayıdan küçüktür. Bir eşitsizliğin her

Aşağıdaki her iddia için ya bir kanıt ya da bir karşıt

˙Istanbul Ticaret ¨ Universitesi M¨ uhendislik Fak¨ ultesi MAT121-Matematiksel Analiz I. 2019 G¨ uz D¨ onemi Alı¸ stırma Soruları 3: T¨

f fonksiyonunun ve te˘ get do˘ grusunun grafi˘ gini ¸