• Sonuç bulunamadı

Rf ={y ∈ R : y = x− 2 x2+ x + 1 o.¸s bir x∈ Df var} ={y ∈ R : yx2+ (y− 1)x + (y + 2

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Rf ={y ∈ R : y = x− 2 x2+ x + 1 o.¸s bir x∈ Df var} ={y ∈ R : yx2+ (y− 1)x + (y + 2"

Copied!
2
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

MT 131 I. ARA SINAV C¸ ¨OZ ¨UMLER

1. Df ={x ∈ R : x2− 16 ≥ 0 ve x2− 2x − 15 ̸= 0} = (−∞, −4] ∪ [4, +∞) − {−3, 5}

= (−∞, −4] ∪ [4, 5) ∪ (5, +∞) 2. Rf ={y ∈ R : y = x− 2

x2+ x + 1 o.¸s bir x∈ Df var}

={y ∈ R : yx2+ (y− 1)x + (y + 2) = 0 o.¸s bir x ∈ Df var}

yx2+ (y− 1)x + (y + 2) = 0 denklemi, y = 0 iken 2. derece olmaz fakat

¸

c¨oz¨um¨u vardır (x = 2). y ̸= 0 i¸cin 2. derece bir denklem oldu˘gundan yalnızca ∆≥ 0 iken ¸c¨oz¨um¨u vardır.

Rf ={0} ∪ {y : y ̸= 0, −3y2− 10y + 1 ≥ 0} = {y : −3y2− 10y + 1 ≥ 0}

= [53237,−53+237] 3. x2− 9

x + 1− x + 1 = (x− 3)(x + 3)(√

x + 1 + x− 1) (

x + 1− x + 1)(√

x + 1 + x− 1) =(x− 3)(x + 3)(√

x + 1 + x− 1) x + 1− (x − 1)2

=(x− 3)(x + 3)(√

x + 1 + x− 1)

−x(x − 3) =(x + 3)(√

x + 1 + x− 1)

−x (x̸= 3 i¸cin) oldu˘gundan

xlim→3

x2− 9

√x + 1− x + 1 = lim

x→3

(x + 3)(√

x + 1 + x− 1)

−x =−8

4. x+

x2+ x + 7 = (x +√

x2+ x + 7)(x−√

x2+ x + 7) x−√

x2+ x + 7 = x2− (x2+ x + 7) x−√

x2+ x + 7

= −x − 7

x−√

x2+ x + 7 = −x − 7 x−√

x2

1 + 1x+x72

= x(−1 −7x) x− |x|

1 + 1x+x72

=

x(−1 −x7) x + x

1 +x1+x72

= −1 −7x 1 +

1 + 1x+x72

(x → −∞ oldu˘gundan x < 0 varsayabiliriz ve|x| = −x olur) Limit Teoremlerinden

x→−∞lim (x +

x2+ x + 7) = lim

x→−∞

−1 −7x 1 +

1 +1x+x72

= −1 − 0

1 +

1 + 0 + 0 =−1 2

5. (x−2) cos x = 1 denkleminin bir c¨oz¨um¨un¨u var oldu˘gunu g¨ostermek yeter- lidir. f (x) = (x− 2) cos x, λ = 1 olsun. f(0) = −1 < λ

f (2π) = (2π− 2) > λ (π > 2√

2 > 2 oldu˘gundan 2π − 2 > 4 − 2 > 2 olur.) f, [0, 2π] aralı˘gında s¨urekli (¸c¨unki t¨umR de s¨urekli) oldu˘gundan Ara De˘ger Teoreminden f (c) = λ yani (c− 2) cos c = 1 olacak ¸sekilde (en az) bir c∈ (0, 2π) sayısı vardır.

6. f(x) = lim

∆x→0

∆f

∆x, ∆f =√3

x + ∆x−√3 x

∆f

∆x =

3

x + ∆x−√3 x

∆x =(3

x + ∆x−√3 x)(3

(x + ∆x)2+3

x + ∆x√3 x +√3

x2)

∆x (3

(x + ∆x)2+3

x + ∆x√3 x +√3

x2)

= x + ∆x− x

∆x (3

(x + ∆x)2+3

x + ∆x√3 x +√3

x2) = 1

3

(x + ∆x)2+3

x + ∆x√3 x +√3

x2 f(x) = lim

∆x→0

∆f

∆x = lim

∆x→0

1

3

(x + ∆x)2+3

x + ∆x√3 x +√3

x2 = 1 33

x2

1

(2)

7. lim

x→0+f (x) = lim

x→0+

x3

1− cos x = lim

x→0+

( x sin x

)2

x(1 + cos x) = 12· 0 · 2 = 0

−1 < x < 0 i¸cin ⌊x2

x = 0 oldu˘gundan lim

x→0f (x) = lim

x→00 = 0 olur.

limx→0f (x) = 0 ve f, 0 da s¨ureksiz (¸c¨unki tanımlı de˘gil) oldu˘gundan 0 da kaldırılabilir s¨ureksizlik vardır.

−√

2 < x <−1 i¸cin 1 < x2< 2 olur ve ⌊xx2 = 1x oldu˘gundan lim

x→−1f (x) = lim

x→−1

⌊x2

x = lim

x→−1

1 x =−1

−1 < x < 0 i¸cin ⌊x2

x = 0 oldu˘gundan lim

x→−1+f (x) = lim

x→−1+0 = 0 olur. −1 de sı¸crama tipi s¨ureksizlik vardır.

8. −1 ≤ sin x ≤ 1, −1 ≤ cos x ≤ 1 oldu˘gundan (her x > 12 i¸cin)

x− 1 ≤ x + sin x ≤ x + 1 ve 0 < 4x2− 1 ≤ 4x2− cos x ≤ 4x2+ 1 olur x− 1

4x2+ 1 x + sin x

4x2− cos x x + 1 4x2− 1 olur. lim

x→+∞

x± 1

4x2∓ 1 = lim

x→+∞

1 x±x12

4x12

= 0± 0

4∓ 0 = 0 oldu˘gundan Sandvi¸c (Sıkı¸stırma) Teoreminden lim

x→+∞

x + sin x

4x2− cos x = 0 olur.

9. (a) dan lim

x→a+f (x) = f (a), (b) ve (c) den (ve S¨ureklilik i¸cin Limit Kri- terinden) (b = f (a) olmak ¨uzere) limt→bg(t) = g(b) olur. (Tek Taraflı

Limitler i¸cin De˘gi¸sken De˘gi¸stirme Teoreminden) limx→a+g(f (x)) = g(b) = g(f (a)) olur (Burada x̸= a iken f(x) ̸= b ko¸sulunun sa˘glanmasına gerek yoktur,

¸

c¨unki limt→bg(t) = g(b) olu¸sundan f (x) = b olsa da|g(f(x)) − g(b)| < 0 sa˘glanacaktır). Bu da gof nin a sayısında sa˘gdan s¨urekli olması demektir.

10. lim

x→a

1

f (x) = 0 ve a yı i¸ceren bir a¸cık aralıkta (belki a dı¸sında) f (x) > 0 olur.

limx→ag(x) = L, L > 0 oldu˘gundan (Limit tanımından hemen sonraki ikinci teoremden) a yı i¸ceren bir a¸cık aralıkta (belki a dı¸sında) g(x) > 0 olur. lim

x→a

1

f (x) g(x)

= lim

x→a

g(x) f (x) = lim

x→ag(x) 1

f (x) = L· 0 = 0 ve a yı i¸ceren bircık aralıkta (belki a dı¸sında) (f (x) > 0 ve g(x) > 0 oldu˘gundan)f (x)g(x) > 0 olur. Dolayısıyla lim

x→a

f (x)

g(x) = +∞ olur.

2

Referanslar

Benzer Belgeler

[r]

Denklemin ¸c¨ oz¨ umleri, f nin k¨ okleri ile aynıdır.. Derste ispatlanan Teoremlerden, f t¨ um R de (dolayısıyla her aralıkta)

[r]

[r]

B bölgesi bu e§rinin içinin üzerinde kalr.. B bölgesi, bu e§rinin içinin

B¨olgenin ve yo˘gunlu˘gun z eksenine g¨ore simetrik olması nedeniyle, k¨ utle merkezi z-ekseni

Ancak; buradan gelecek teğetlerin kesim noktası, sadece, geometrik yere ait bir nokta olurdu... Teğetler birbirine dik olacağına göre, bu denklemin köklerinin

Bu