2.4. İki Boyutlu Elektrostatik
Bir iki boyutlu elektrostatik alan, yüklü tellerin, tabakaların ve z-düzlemine dik silindirik iletkenlerin bir sistemi ile üretilir. Teller, tabakalar ve silindirler öyle uzun kabul edilir ki uç noktalardaki etkiler ihmal edilebilir. Bu kabul ile bir E x,y elektrik alanını
x,y noktasına yerleştirilmiş bir birimlik elektrik yüküne etki eden kuvvet olarak yorumlanabilir. Elektrostatik çalışmalarında E x,y vektör alanının konservatif olarak elektrostatik potansiyel denilen bir x,y fonksiyonundan türetilebildiği bilinmekte ve bu,
x y grad x y x y i x y E , , x , y , olarak ifade edilebilmektedir.
Eğer D bölgesi içinde yükün olmadığını ek olarak kabul edersek, bu durumda elektrostatik alanlar için Gauss kanunu gerektirir ki D de bulunan herhangi bir küçük dikdörtgen etrafında alınan E x,y nin dış normal bileşeninin eğri integrali özdeş olarak sıfırdır. x,y yerine T x,y alınarak kararlı durum sıcaklığı için benzer düşünce kullanılabilir. Görülür ki eğri integralinin değeri
xx x y yy x y xy
, ,
dir ve bu sıfırdır, böylece x,y nin harmonik olduğu ortaya çıkar. x,y , x,y nin harmonik eşleniği ise F z x,y i x,y kompleks potansiyeldir.
x,y K1
eğrilerine eşpotansiyel eğrileri ve x,y K2 eğrilerine de akı doğruları adı verilir. Eğer bir küçük test yüküne E x,y alanının etkisi altında hareket etme izni verilirse, bu durumda bu yük bir akı doğrusu boyunca gezecektir. x,y potansiyel fonksiyonu için sınır değer problemleri matematiksel olarak kararlı durum ısı akışındaki ile aynıdır ve bunlar harmonik fonksiyonu x,y olan Dirichlet probleminin uygulamasıdır.
Örnek 2.4.1. İki paralel iletken düzlemi göz önüne alalım öyle ki bunlar z düzlemine dik ve a
x ile x doğrularından geçsinler ve sırasıyla b U1 ve U2 potansiyellerde tutulmuş olsunlar. Bu durumda Örnek 1.2.1 den elektrik potansiyeli
x a
a b
U U U
y
x
1 2 1
, biçimindedir.
Örnek 2.4.2. r ve a r sonsuz silindirleri arasındaki bölgedeki, sırasıyla b U1 ve U2 potansiyellerinde tutulan, x,y elektrik potansiyelini bulunuz.
Çözüm. Örnek 0.2.5 de gösterildiği gibi wlogz ln z iargz fonksiyonu r ve a b
r çemberleri arasındaki halka bölgeyi w -düzlemindeki lnaulnb sonsuz şeridi üzerine dönüştürür. Sonsuz şeritteki u,v potansiyeli her v için
lna,vU1
ve lnb,vU2
sınır değerlerine sahiptir. Yukarıdaki Örnek 2.4.1 i kullanırsak
u a
a b
U U U
v
u ln
ln
, 1 ln 2 1
elektrik potansiyelini elde ederiz. ulnz olduğundan
z a
a b
U U U
y
x ln ln
ln
, 1 ln 2 1
dir. x,y sabit eşpotansiyelleri orijin merkezli eşmerkezli çemberlerdir ve akı doğruları orijinden çıkan ışın parçalarıdır. Eğer U2 U1 ise, bu durum aşağıda Şekil 18 de gösterilmiştir.
Şekil 18
Örnek 2.4.3. z-düzlemine dik ve x1,y0 ve x1,y0 ışınlarından geçen yüklü iki yarı düzlem tarafından üretilen x,y elektrik potansiyelini bulunuz. Burada düzlemler sabit
,0 300 , 1 1 ,
300 0
,
x x
x x
potansiyellerinde tutulmaktadır.
Çözüm. Örnek 0.2.4 de gösterildiği gibi w Arcsinz fonksiyonu x1,y0 ve 0
, 1
y
x ışınları boyunca kesilmiş z-düzleminden
2 2
u düşey şeridi üzerine bir bire-bir konform dönüşümdür. Şimdi şerit üzerindeki yeni sınır değer problemi "v için
300 2,
v
ve , 300 2
v
sınır değerlerine sahip bir u,v potansiyeli bulunuz" biçiminde olacaktır. Örnek 1.2.1 den
w 600Re 600u
2 u 600 300 600
u 2 2 2
300 300 300
v , u
dir. z-düzlemindeki çözüm
2
1 sin 1
600
sin 600Re
,
2 2 2 2
y x
y Arc x
z Arc y
x
dir. Eşpotansiyellerin bir kısmı Şekil 19 da gösterilmiştir.
Şekil 19
Örnek 2.4.4. D:z 1 diskinde
2 2 : ,
0 ,
0 2 : ,
80 ,
2 1
i i
e z C iy x z y
x
e z C iy x z y
x
sınır koşullarını sağlayan x,y elektrik potansiyelini bulunuz.
Çözüm.
1 1
z
i z z i
S
w dönüşümü D den Imw0 üst yarı-düzlemi üzerine bir birebir konform dönüşümdür öyle ki C1 negatif u -ekseni üzerine ve C2 de pozitif u -ekseni üzerine dönüştürülür. Üst yarı-düzlemdeki u,v potansiyeli yeni
,0 0 , 0 0 , 80 0 ,
u u
u u
sınır koşullarını sağlar ve
u
Arc v Argw
v
u 80 80 tan
,
(2.1)
ile verilir. Bir doğrudan hesaplama ile
2 2
2 2 2
2
1
1 1 1 1
y x
y x i y
z x S iv
u
olduğu görülür. (2.1) denkleminden, istenen çözüm
1 1 1 tan 1
, 80 2 2
2 2
y x
y Arc x
y
x
biçimindedir. Üst yarı-düzlemdeki v u, düzey eğrisi orijinden çıkan bir ışındır ve birim diskteki x,y ön görüntüsü 1 ve i noktalarından geçen bir çember yayıdır. Bir kısım düzey eğrileri Şekil 20 de gösterilmiştir.
Şekil 20
Problemler.
1. İç içe yerleştirilmiş r1 ve r 2 silindirleri arasında öyle bir ( yx, ) elektrostatik potansiyelini bulunuz ki
( , ) 200, 2 1 , 100 ) , (
z y
x
z y
x
sınır koşulları sağlansın.
2. 0 x2
sonsuz şeridinde öyle bir ( yx, ) elektrostatik potansiyelini bulunuz ki
0 , 100 )
, 0 (
; ,
0 ) 2, (
; 0 ,
100 ) , 0 (
y y
R y y
y y
sınır koşulları sağlansın. (Yol gösterme wsinz dönüşümünü kullanınız.)
3. Imz0 üst yarı düzleminde öyle bir ( yx, ) elektrostatik potansiyelini bulunuz ki ( , 0) 100, 1
( , 0) 10, 1 1 ( , 0) 100, 1
x x
x x
x x
sınır koşulları sağlansın.
4. Imz0 üst yarı düzleminin z 1 çemberinin dışında kalan kısmında (yani;
0
Imz , z 1) tanımlı öyle bir ( yx, ) elektrostatik potansiyelini bulunuz ki
( , ) 100, | | 1,0 arg
( ,0) 0, 1
x y z z
x x
sınır koşulları sağlansın.
5. Dz z: 5 z z: 2 2 bölgesinin 10
2 5
w z z
dönüşümü altında
w:1 w 2 bölgesine dönüştüğü bilinmektedir. Buna göre D bölgesinde öyle bir )
, ( yx
elektrostatik potansiyelini bulunuz ki
( , ) 100, 5
( , ) 200, 2 2
x y z
x y z
sınır koşulları sağlansın.
