• Sonuç bulunamadı

y = y 0 (x), (1) Riccati denkleminin bir özel çözümü olsun. Böylece

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "y = y 0 (x), (1) Riccati denkleminin bir özel çözümü olsun. Böylece"

Copied!
4
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

2.8. Riccati Diferensiyel Denklemi

y 0 = P (x) + Q (x) y + R (x) y 2 (1) formundaki bir diferensiyel denklem Riccati diferensiyel denklemi olarak ad- land¬r¬l¬r. P (x) ; Q (x) ; R (x) fonksiyonlar¬ bir I aral¬¼ g¬nda süreklidir. Riccati denkleminin bir özel çözümü biliniyorsa (1) denklemi lineer bir denkleme in- dirgenebilir ve çözümü bulunabilir.

y = y 0 (x), (1) Riccati denkleminin bir özel çözümü olsun. Böylece

y 0 0 = P (x) + Q (x) y 0 + R (x) y 2 0 (2) sa¼ glan¬r. (1) de

y = y 0 (x) + 1 u (x)

de¼ gi¸ sken de¼ gi¸ stirmesi uygulan¬rsa y 0 = y 0 0 u u

20

oldu¼ gundan

y 0 0 u 0

u 2 = P (x) + Q (x) y 0 + 1

u + R (x) y 2 0 + 2 y 0

u + 1 u 2 ) y 0 0

u 0

u 2 = P (x) + Q (x) y 0 + R (x) y 2 0 + 1

u Q (x) + R (x) 2 y 0

u + 1 u 2 elde edilir. (2) denkleminden

u 0

u 2 = Q (x)

u + R (x) 2y 0 u + 1

u 2 yaz¬l¬r. Bu e¸ sitlik düzenlendi¼ ginde

u 0 + (Q (x) + 2y 0 R (x)) u + R (x) = 0

¸ seklindeki lineer denkleme ula¸ s¬l¬r.

Ilk olarak lineer denklemin u (x) çözümü bulunur sonra da · y = y 0 (x) + 1

u (x)

de yerine yaz¬larak Riccati denkleminin çözümü elde edilir.

Örnek 1.

y 0 = y

x + x 3 y 2 x 5 denklemini çözünüz.

Çözüm. y 0 = x bir çözümdür.

1

(2)

y = x + u(x) 1 , y 0 = 1 u u

20

yerine yaz¬l¬rsa y 0 = y

x + x 3 y 2 x 5 ) 1 u 0

u 2 = 1

x x + 1

u + x 3 x + 1 u

2

x 5 ) u 0

u 2 = 1 x 1 u + 2x 4

u + x 3 u 2 ) u 0 + 1

x u + 2x 4 u + x 3 = 0 ) u 0 + 1

x + 2x 4 u = x 3 (lineer denklem) elde edilir. · Integral çarpan¬

F (x) = e R (

1x

+2x

4

) dx = e ln x+

2x55

= xe

2x55

dir.

F (x) u = R

F (x) q (x) dx + C oldu¼ gundan xe

2x55

u =

Z

xe

2x55

x 3 dx + C = Z

x 4 e

2x55

dx + C = 1

2 e

2x55

+ C ve lineer denklemin çözümü

u (x) = 1 2x + C

x e

2x55

olur.

y = x + u(x) 1 oldu¼ gundan Riccati denkleminin genel çözümü

y = x + 1

1

2x + C x e

2x55

olarak bulunur.

Problemler

A¸ sa¼ g¬daki diferensiyel denklemleri çözünüz.

a) dy dx

1

x y 2 2 1

x 1 y x + 1 = 0 ; y 1 = ax b) 1 x 3 y 0 y 2 + x 2 y + 2x = 0 ; y 1 = ax 2 c) y 0 + y 2 (1 + 2e x ) y + e 2x = 0 ; y 1 = e mx d) y 0 y x 2

3

y 2 + x 2 = 0 , y (1) = 4 ; y 1 = ax 2

2

(3)

Çözüm:

a) y 1 = ax ) y 0 1 = a denklemde yerine yaz¬l¬rsa

a 1

x a 2 x 2 2 1

x 1 ax x + 1 = 0 ) x a 2 + 2a 1 + ( a + 1) 0

) a 2 + 2a 1 = 0 ^ a + 1 = 0 ) a = 1

olup y 1 = x özel çözümdür.

y = x + u(x) 1 , y 0 = 1 u u

20

yerine yaz¬ld¬¼ g¬nda

1 1

u 2 du dx

1

x x + 1 u

2

2 1

x 1 x + 1

u x + 1 = 0

) du dx + 2

x u = 1

x (Lineer denklem) elde edilir. Burada integral çarpan¬

F (x) = e R

x2

dx = e 2 ln x = x 2 olmak üzere

F (x) u = Z

F (x) q (x) dx + c ) x 2 u =

Z

x 2 1

x dx + c

= x 2 2 + c

dir. y = x + u 1 oldu¼ gundan Riccati denkleminin çözümü y = x + 1

1 2 + x c

2

) y = 2x 2 x 3 + 2cx x 2 + 2c olarak bulunur.

c) y 1 = e mx ) y 1 0 = me mx denklemde yerine yaz¬l¬rsa me mx + e 2mx (1 + 2e x ) e mx + e 2x = 0 ) (m 1) e mx 2e (m+1)x + e 2x + e 2mx 0

olur. Bu e¸ sitlik m = 1 için sa¼ glan¬r. Böylece özel çözüm y 1 = e x dir.

3

(4)

y = e x + u(x) 1 , y 0 = e x u u

20

denklemde yerine yaz¬l¬rsa

e x 1

u 2 u 0 + e 2x + 2e x u + 1

u 2 e x 1

u 2e 2x 2e x

u + e 2x = 0 ) u 0 + u 1 = 0 (De¼ gi¸ skenlerine ayr¬labilir denklem) ) du

1 u = dx

) ln (1 u) = x ln c

elde edilir, böylece ayr¬labilir denklemin çözümü u = 1 ce x

ve y = e x + u 1 oldu¼ gundan Riccati denkleminin çözümü y = e x + 1

1 ce x ) y = e x c + 1

1 ce x olarak bulunur.

4

Referanslar

Benzer Belgeler

Ancak; buradan gelecek teğetlerin kesim noktası, sadece, geometrik yere ait bir nokta olurdu... Teğetler birbirine dik olacağına göre, bu denklemin köklerinin

[r]

Denklemin ¸c¨ oz¨ umleri, f nin k¨ okleri ile aynıdır.. Derste ispatlanan Teoremlerden, f t¨ um R de (dolayısıyla her aralıkta)

[r]

−1 de sı¸crama tipi s¨ureksizlik

Aşağıdaki her iddia için ya bir kanıt ya da bir karşıt

˙Istanbul Ticaret ¨ Universitesi M¨ uhendislik Fak¨ ultesi MAT121-Matematiksel Analiz I. 2019 G¨ uz D¨ onemi Alı¸ stırma Soruları 3: T¨

f fonksiyonunun ve te˘ get do˘ grusunun grafi˘ gini ¸