y = y 0 (x), (1) Riccati denkleminin bir özel çözümü olsun. Böylece

2.8. Riccati Diferensiyel Denklemi

y ⁰ = P (x) + Q (x) y + R (x) y ² (1) formundaki bir diferensiyel denklem Riccati diferensiyel denklemi olarak ad- land¬r¬l¬r. P (x) ; Q (x) ; R (x) fonksiyonlar¬ bir I aral¬¼ g¬nda süreklidir. Riccati denkleminin bir özel çözümü biliniyorsa (1) denklemi lineer bir denkleme in- dirgenebilir ve çözümü bulunabilir.

y = y 0 (x), (1) Riccati denkleminin bir özel çözümü olsun. Böylece

y ₀ ⁰ = P (x) + Q (x) y 0 + R (x) y ² ₀ (2) sa¼ glan¬r. (1) de

y = y 0 (x) + 1 u (x)

de¼ gi¸ sken de¼ gi¸ stirmesi uygulan¬rsa y ⁰ = y ₀ ⁰ _u ^u

oldu¼ gundan

y ⁰ ₀ u ⁰

u ² = P (x) + Q (x) y 0 + 1

u + R (x) y ² ₀ + 2 y 0

u + 1 u ² ) y 0 ⁰

u ⁰

u ² = P (x) + Q (x) y 0 + R (x) y ² ₀ + 1

u Q (x) + R (x) 2 y 0

u + 1 u ² elde edilir. (2) denkleminden

u ⁰

u ² = Q (x)

u + R (x) 2y ₀ u + 1

u ² yaz¬l¬r. Bu e¸ sitlik düzenlendi¼ ginde

u ⁰ + (Q (x) + 2y ₀ R (x)) u + R (x) = 0

¸ seklindeki lineer denkleme ula¸ s¬l¬r.

Ilk olarak lineer denklemin u (x) çözümü bulunur sonra da · y = y ₀ (x) + 1

u (x)

de yerine yaz¬larak Riccati denkleminin çözümü elde edilir.

Örnek 1.

y ⁰ = y

x + x ³ y ² x ⁵ denklemini çözünüz.

Çözüm. y 0 = x bir çözümdür.

1

y = x + _u(x) ¹ , y ⁰ = 1 _u ^u

yerine yaz¬l¬rsa y ⁰ = y

x + x ³ y ² x ⁵ ) 1 u ⁰

u ² = 1

x x + 1

u + x ³ x + 1 u

2

x ⁵ ) u ⁰

u ² = 1 x 1 u + 2x ⁴

u + x ³ u ² ) u ⁰ + 1

x u + 2x ⁴ u + x ³ = 0 ) u ⁰ + 1

x + 2x ⁴ u = x ³ (lineer denklem) elde edilir. · Integral çarpan¬

F (x) = e ^R (

+2x

) ^dx = e ^{ln x+}

= xe

dir.

F (x) u = R

F (x) q (x) dx + C oldu¼ gundan xe

u =

Z

xe

x ³ dx + C = Z

x ⁴ e

dx + C = 1

2 e

+ C ve lineer denklemin çözümü

u (x) = 1 2x + C

x e

olur.

y = x + _u(x) ¹ oldu¼ gundan Riccati denkleminin genel çözümü

y = x + 1

1

2x + ^C _x e

olarak bulunur.

Problemler

A¸ sa¼ g¬daki diferensiyel denklemleri çözünüz.

a) dy dx

1

x y ² 2 1

x 1 y x + 1 = 0 ; y ₁ = ax b) 1 x ³ y ⁰ y ² + x ² y + 2x = 0 ; y ₁ = ax ² c) y ⁰ + y ² (1 + 2e ^x ) y + e ^2x = 0 ; y 1 = e ^mx d) y ⁰ y _x ²

y ² + x ² = 0 , y (1) = 4 ; y 1 = ax ²

2

Çözüm:

a) y 1 = ax ) y ⁰ 1 = a denklemde yerine yaz¬l¬rsa

a 1

x a ² x ² 2 1

x 1 ax x + 1 = 0 ) x a ² + 2a 1 + ( a + 1) 0

) a ² + 2a 1 = 0 ^ a + 1 = 0 ) a = 1

olup y 1 = x özel çözümdür.

y = x + _u(x) ¹ , y ⁰ = 1 _u ^u

yerine yaz¬ld¬¼ g¬nda

1 1

u ² du dx

1

x x + 1 u

2

2 1

x 1 x + 1

u x + 1 = 0

) du dx + 2

x u = 1

x (Lineer denklem) elde edilir. Burada integral çarpan¬

F (x) = e ^R

^dx = e ^{2 ln x} = x ² olmak üzere

F (x) u = Z

F (x) q (x) dx + c ) x ² u =

Z

x ² 1

x dx + c

= x ² 2 + c

dir. y = x + _u ¹ oldu¼ gundan Riccati denkleminin çözümü y = x + 1

1 2 + _x ^c

) y = 2x ² x ³ + 2cx x ² + 2c olarak bulunur.

c) y ₁ = e ^mx ) y 1 ⁰ = me ^mx denklemde yerine yaz¬l¬rsa me ^mx + e ^2mx (1 + 2e ^x ) e ^mx + e ^2x = 0 ) (m 1) e ^mx 2e ^(m+1)x + e ^2x + e ^2mx 0

olur. Bu e¸ sitlik m = 1 için sa¼ glan¬r. Böylece özel çözüm y ₁ = e ^x dir.

3

y = e ^x + _u(x) ¹ , y ⁰ = e ^x _u ^u

denklemde yerine yaz¬l¬rsa

e ^x 1

u ² u ⁰ + e ^2x + 2e ^x u + 1

u ² e ^x 1

u 2e ^2x 2e ^x

u + e ^2x = 0 ) u ⁰ + u 1 = 0 (De¼ gi¸ skenlerine ayr¬labilir denklem) ) du

1 u = dx

) ln (1 u) = x ln c

elde edilir, böylece ayr¬labilir denklemin çözümü u = 1 ce ^x

ve y = e ^x + _u ¹ oldu¼ gundan Riccati denkleminin çözümü y = e ^x + 1

1 ce ^x ) y = e ^x c + 1

1 ce ^x olarak bulunur.

4