FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ 01

1)POLİNOM FONKSİYONLARININ GRAFİKLERİ

F(x)= a_nxn+a

n-1xn-1+an-2xn-2+....+a1x+a0 şeklindeki bir polinom

fonksiyonunun grafiğini çizerken aşağıdaki aşamalar izlenir:

1.f(x) in tanım kümesi bulunur.

Yani bu fonksiyonlar x  R için tanımlıdır.

2.f(x) in eksenleri kestiği noktalar bulunur. x=0 için oy eksenini kestiği nokta,

y=0 için ox eksenini kestiği nokta bulunur.

y=0 için bir x değeri bulunamıyorsa fonksiyonun ox eksenini kesmediği anlaşılır.

3.Fonksiyonun geliş ve gidiş yönüne bakılır.

im_{l x + _} (a_nxn+....) limiti hesaplanır,bulunan değerler eğrinin uç

noktalarının hangi bölgede olduğunu gösterir. I.bölge (+,+) II.bölge ( -,+) III.bölge (-,-) VI.bölge (+,-) y x x ₊ x x x + - için y y y y + + - ise I.bölge II.bölge III.bölge IV.bölge  için  için  için  ise  ise  ise

4. F(x)’in tam kareli bir çarpanı,veya başka bir deyişle için çift katlı bir kökü varsa bu kökte grafik ox eksenine teğettir.

0 

y

5. F(x)’in türevine bakılır;yani fonksiyonun birinci türevi alınıp sıfıra eşitlenir,varsa kökler bulunur,bulunan bu kökler fonksiyonda yerine yazılarak y değeri elde edilir.Bu değerler fonksiyonun

maksimum veya minimum değerini verir.

6.Değişim tablosu yapılır.Yukarıdaki bulunan tüm bilgiler tabloya

aktarılır,türevin işareti incelenir,fonksiyonun minimum ve maksimum noktaları belirlenir.

SONUÇ:

Bu bilgilerin tamamı koordinat düzlemine aktarılarak grafik çizilmiş olur.

f : R R , f(x) = x2-2x-3 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

1. Tanım kümesi tüm reel sayılardır.

2.Eksenleri kestiği noktalar.

0



x

_için

y





3

0



y

için

_x

2

-2x-3

0

)

3

)(

1

(

x

 x





ise

x

1

= -1 , x

2

=3

BASAMAK 3-4-5 6

3. Fonksiyonun uç noktaları;

x +

 için y + I.bölge

x +

 için y + II.bölge

4.Çift katlı kök yoktur.

5.Türevine bakalım.

bulunur.

1

ise

0

2

2

)

(

'

x



x





x



f

-4

3

-2

-1

f(1)

1









x

6

.

Değişim tablosunu inceleyelim.

x

)

('x

f

)

(x

f



-1 _{0 1 3} -- - + +



0 -3 -4 0 



-4 -3 -1 1 3 x y ÖRNEK

f(x)= (x-2)

2

(x+1)

fonksiyonun grafiğini

çiziniz.

1. F(x) bir polinom olduğundan x R için tanımlıdır. 2.Eksenleri kestiği noktalar

x=0 için y=4 , A(0,4) y=0 için (x-2)2_(x+1)=0

 

x₁=x₂=2, x₃=-1 bulunur.

3.Fonksiyonun uç noktaları

x için y I.bölge x- için y- III.bölge

4.Fonksiyonun (x-2)2 çarpanı tam kare olduğundan eğri x=2 apsisli

noktada x eksenine teğettir.

5.Türevine bakalım. F(x)=(x-2)2(x+1) ise f ‘(x)=2(x-2)(x+1) + 1 (x-2)2 =0 (x-2)



(2x  2)  x  2



₌₀ (x-2) (3x)=0 x=2 , x=0 türevin kökleri 6.Değişim tablosu

x

_

_{-1 0 2} -+ +





' y y + f(x) = (x-2)2(x+1) f(0) = (0-2)2(0+1) = 4 ise f(0) =4 f(2) = (2-2) (2+1) = 0 ise f(2)=0

Fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibidir

.

-1 2

2

x

x

2

x

)

x

(

f



3



2





Fonksiyonun grafiğini çiziniz.

1. F(x) fonksiyonunu x R için tanımlıdır.

2.Eksenlerin kestiği noktalar

 

2 dir. Çk ise 0 1 x veya 0 2 -x 0 ) 1 2).(x -(x 0 2 ) 2 ( x 0 2 2 için x 0 y -2 y için 0 2 2 2 2 3                  x x x x x

3.Fonksiyonun uç noktaları III.bölge -y için -x I.bölge y için         x

4.Fonksiyonda çift kat kök yoktur. 6.Değişim tablosu

x

_

0 1 -+ +





+ 5.Türevine bakalım. 1 x 1 x , 3 1 x ise 1 3x 0 ) 1 )( 1 3 ( 0 1 4 3 ) ( ' 2           x x x x x f 3 1 2 + 0 -2  ₂₇50 -2



) ( ' x f

)

(x

f

max min

27 50  3 1 -2 2 1 x y

) ( ) ( ) ( x Q x P x

f  _{kesirli fonksiyonunda paydayı sıfır yapan x}

değerine düşey asimptot denir.

b

x

a

x

0

)

).(

(

)

)(

(

)

(

)

(





















x

a

x

b

b

x

a

x

x

P

x

f

x x y _y a _b                       ) ( ) ( ) ( ) ( dıır ) ( ve ) (

lim

lim

lim

lim

lim

lim

-b x b x a x b x x f x f x f x f x f x f a x x

Not:Grafik hiçbir zaman düşey asimptotu kesmez,ancak düşey asimptota sonsuzda teğet olur.

) ( ) ( ) ( x Q x P x

f  _{kesirli fonksiyonu verildiğinde}

1.Q(x)=0 denkleminin kökleri düşey asimptotları verir.

Eğer kökleri yoksa fonksiyonun düşey asimptotlarıda yoktur.

2.Düşey asimptot grafiği parçalar yani düşey asimptot sayısı

n tane ise grafik n+1 parçadan oluşmaktadır.

3.Kesirli fonksiyonların paydası (x-a)2 gibi tam kare ise x=a

da eğrinin ‘a atılmış bir ekstremumu vardır.

(Aklımızda kalması için biz buna x=a da bir baca vardır diyeceğiz)

) (

x x

y _y

x=a de ‘a atılmış

bir ekstremum(baca) vardır.



 x=a da ‘a atılmış bir

ekstremu (baca) vardır.

UYARI: ) ( ) ( ) ( x Q x P x

f  kesirli fonksiyonunda Q(x)=0

minin kökleri P(x)=0 denkleminin kökü değilse düşey

asimptotturlar.Eğer Q(x)=0 denkleminin kökü,P(x)=0 denk leminin de kökü ise,bu noktada f(x)’in sağ ve sol limitlerine

4

2

2

)

(

₂

2

3











x

x

x

x

x

f

eğrisinin düşey asimptotu nedir?

Paydayı sıfıra eşitleyelim

4

2

2

)

(

₂ 2 3











x

x

x

x

x

f

. 2 , 2 0 4 2 bulunur x x x      

Bunlar düşey asimptot olabilmesi için bu noktalardaki limit-lerin ‘a gitmesi gerekir.()

4 5 2 . 2 1 2 . 4 2 . 3 2 1 4 3 0 0 4 2 2 2 2 2 2 2 3 2

lim

lim

              x x x x x x x x x

olduğundan x=2 düşey asimptot değildir.

               0 20 0 2 2 8 8 4 2 2 2 2 3 2

lim

x _xx x x

kesirli fonksiyonunda a x f x    ) (

lim

ve

lim

( )  (a,bR)

  b x f x

y=a ve y=b doğrularına yatay asimptot denir. Bu kesirli fonksiyon da;

i)Payın derecesi paydanın derecesinden büyükse

         ... ... ) ( ) (

lim

lim

q p x x bx ax x Q x P

olduğundan yatay asimptot yoktur(eğik veya eğri aimptot vardır)

) ( ) ( ) ( x Q x P x f 

ii)Payın derecesi paydanın derecesine eşitse eşit dereceli terimlerin önündeki katsayıları oranı limitin değeridir.

b a bx ax x Q x P q p x x         ... ... ) ( ) (

lim

lim

olduğundan yatay _asimptottur. b a

y 

iii)Paydanın derecesi payın derecesinden daha büyükse

0 ... ... ) ( ) (

lim

lim

        q p x x bx ax x Q x

P _{olduğundan y=0 yani x}

ekseni yatay asimptottur.

x _x

y _y

UYARI:Eğri düşey asimptotu kesmez.Fakat yatay asimptot eğri ve eğik asimptotları kesebilir.Fonksiyonla asimptot denklemi ortak çözüldüğünde bu kesim noktaları bulunur.

3 2 3

5

5

2

3

)

(

x

x

x

x

x

f









eğrisinin yatay asimptotu bulunuz...

3

5

5

2

3

3 2 3

lim











 

x

x

x

x

x

olduğundan y=-3 yatay asimptottur.

-3 y=-3

x y

) ( ) ( ) ( x Q x P x

f  kesirli fonksiyonunda payın derecesi paydanın derecesinden

bir derece büyükse eğik,daha fazla dereceden büyükse eğri asimptot vardır.

y=f(x) eğrisi için

0 ) ( ) ( veya 0 ) ( ) (

lim

lim

x         x K x f x K x f x

olacak şekilde bir K(x) polinomu varsa buna f(x) eğrisinin bir eğri veya eğri asimptotu denir.Bu asimptot K(x)=mx+n şeklinde ise eğik K(x)=mx2+nx+t şeklinde ise eğri asimptot adını alır.

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

x

Q

x

R

x

K

x

Q

x

P

x

2

2

)

(

2 3









x

x

x

x

x

f

Fonksiyonunun eğri asimptotunu bulunuz...

dir.

2'

kalan

ve

1

2

2

2 ₂ 3











x

x

x

x

x

SONUÇ=

2

2

1

2







x

x

olduğundan y=x2-1 eğri asimptottur.

-1

-1 1

Bir f(x) fonksiyonunu grafiğini çizmek için aşağıdaki yollar sırasıyla izlenir.

*) f(x) in tanımlı olduğu aralık bulnur,fonksiyon trigonometrik ise pe riyodu tespit edilir.

**) f(x) fonksiyonunun asimptotları bulunur.

***) f(x) fonsiyonunun eksenleri kestiği noktalar bulunur.

a) x=0 için y= f(0), A[0,f(0)] noktası fonksiyonunu y eksenini kestiği noktadır.

b) y=0 için f(x)=0,B(x,0) noktası fonksiyonunun x ekseninin kestiği noktadır.

****)Fonksiyon kesirli ise pay kesirsiz ise çarpanlardan biri tam kare ise tam karenin kökünde grafik x eksenine teğettir.

*****)Türevine bakılır.Yani f’(x)=0 denklemi çözülerek eğrinin

ekstremum noktaları bulunur.Değişim tablosu yapılarak artan ve

aza-lan olduğu aralıklar tesspit edilir.Bütün bilgiler bu değişim tablosu üzerine yazılır ve bu bilgiler ışığında grafik çizilir.

2

1





x

y

Fonksiyonunun grafiğini çiziniz....

i) f(x)=y nin tanım kümesi R-{2} dir. ii) x-2=0 ise x=2 düşey asimptot

0 y , 0 1 2 1

lim

       x x

doğrusu yani x ekseni yatay asimptottur. iii)Eksenleri kestiği noktalar x=0 için 

        2 1 , 0 2 1 A y noktası y

nini kestiği noktadır.

1 0 2 -x 1 0 için 0    

y yani eğri x eksenini kesmez.

iv)Değişim tablosu incelenirse olduğundan denklemin kökü yoktur dolayısıyla foksiyon her yerde azalandır.

0 ) 2 ( 1 ' ₂     x y

x y’ y 0 0 2 0 2 1        - _- -2 2 1  x y