İlköğretim 6. Sınıf Öğrencilerine Geometrik Dönüşümlerden Öteleme
Kavramının Bilgisayar Destekli Ortamda Öğretiminin İncelenmesi
YÜKSEK LİSANS TEZİ
Hazırlayan Seda FAYDACI
T.C.
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
EĞİTİM BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ ANABİLİM DALI
İlköğretim 6. Sınıf Öğrencilerine Geometrik Dönüşümlerden Öteleme
Kavramının Bilgisayar Destekli Ortamda Öğretiminin İncelenmesi
YÜKSEK LİSANS TEZİ
Hazırlayan Seda FAYDACI
Tez Danışmanı Yrd. Doç. Dr. Dursun SOYLU
ÖNSÖZ
Son yıllarda yapılandırmacı yaklaşımın etkisinde kalan ve bu doğrultuda büyük bir reform sürecine giren eğitim sistemimizdeki yenilikler matematik müfredatını ve öğretim şeklini de etkilemiştir. Bu konuda müfredata ilk kez katılan birçok kavramın geometri alanına dâhil olduğu açıktır.
Bu araştırmada programa yeni katılan geometrik dönüşümlerden ötelemenin öğretimi üzerine tasarlanmış bir dizi etkinliği içerdiği gibi hazırlanan bu öğretimin uygulamaları da analiz edilerek öğrenmeye etkisi üzerine birçok saptamalarda bulunulmuştur.
Bu çalışmalar sırasındaki katkılarından dolayı danışmanım Yrd. Doç. Dr. Dursun SOYLU’ ya, araştırmanın her aşamasında sorularıma her daim cevap bulduğum, büyük bir sabırla yurt dışında olmasına rağmen desteğini esirgemeyen ve bilgisini her durumda paylaşan değerli hocam Yrd. Doç. Dr. İsmail Özgür ZEMBAT’a, araştırmanın uygulamalarına katılan öğrencilerime, bu uygulamaları yapmama izin veren okuluma, ev arkadaşım Aslı’ya ve her zaman yanımda olduklarını hissettiren annem, babam ve kardeşim Hatice’ye sevgi, saygı ve şükranlarımı sunuyorum.
ÖZET
İLKÖĞRETİM 6. SINIF ÖĞRENCİLERİNE GEOMETRİK DÖNÜŞÜMLERDEN ÖTELEME KAVRAMININ BİLGİSAYAR DESTEKLİ ORTAMDA
ÖĞRETİMİNİN İNCELENMESİ FAYDACI, Seda
Yüksek Lisans, Gazi Üniversitesi Eğitim Bilimleri Enstitüsü Tez danışmanı: Yrd. Doç. Dr. Dursun SOYLU
2008
Bu araştırmanın amacı ilköğretim matematik programına yeni katılan geometrik dönüşümlerden öteleme dönüşümünün ilköğretim öğrencilerince nasıl algılandığını ve yapılandırıldığını ortaya çıkarmaktır. Bu dönüşümün öğretimi için teknoloji destekli (Wingeom-tr yazılımı yardımıyla) bir müfredat parçası geliştirilmiş ve bu müfredat parçası dört tane altıncı sınıf öğrencisi üzerinde birebir yapılan öğretim deneyi vasıtasıyla uygulanmıştır. Bu uygulamada öğrencilerin öteleme dönüşümünü ve içinde barındırdığı kavramları nasıl ele aldıkları ve anlamlandırdıkları üzerine analizler yapılmıştır. Her öğrenci ile ayrı ayrı yapılan dörder saatlik öğretim deneyi ve bu uygulamaların başında ve sonunda yapılan mülakatlar nitel yöntemlerle analiz edilmiştir. Bu analizler sırasında öğrencilerin bilgisayar ekranında gördükleri çizimlerden hareketle mi yoksa arka plandaki matematiğe odaklanarak mı bazı algılamalar yaptıklarına bakılmıştır.
Araştırmada yapılandırmacı yaklaşımın prensipleri (asimilasyon vs.) dikkate alınarak hazırlanan müfredat parçasının öğrencilerin ötelemenin matematiksel yapısını düşündürücü soyutlama yaparak öğrenmelerine katkı sağladığı görülmüştür. Ayrıca teknoloji kullanımının ötelemeyi öğrenirken çizimden figüre geçişte etkin bir rol oynadığı belirlenmiştir. Bu yönlendirmede vektörün anlamının anlaşılmasının bir kilit husus olduğu anlaşılmıştır.
THE RESEARCH OF TEACHING TRANSLATION WHICH IS ONE OF THE CONCEPT OF TRANSFORMATIONS GEOMETRY İN COMPUTER ASSISTED
ENVIRONMENT FOR PRIMARY SIXTH CLASS STUDENTS FAYDACI, Seda
Master thesis, Gazi University Institute of Educational Sciences Supervisor: Asst. Prof. Dr. Dursun SOYLU
ABSTRACT
The purpose of this study was to explore how elementary school students understand and conceptually develop the meaning of translations – a topic that has been added to the National Curriculum Standards recently. In order to teach this concept, a technology-intensive curricular piece (with use of Wingeom-tr) was developed and applied to four sixth graders through a teaching experiment. Throughout the study, the focus was on how participants understood and conceptualize the necessary constructs for understanding translations and an analysis was provided. The data gathered from the 4-hour teaching sessions with each participant, and individual pre- and post-interviews were analyzed using qualitative research analyses techniques. The focus of such analyses was on students’ treatment of translations and related constructs as drawing (operating from what was available on screen) or as figure (operating from the mathematics of what was seen on screen). As a result, the curricular piece that was designed by taking into account the main tenets of constructivism (e.g., assimilation, etc.) seemed to help the participants reflectively abstract translations. In addition, it was found that use of technology played an important and effective role in moving thinking from drawing to figure while learning translations. In such movement, it was realized that conceptualizing vectors was a key.
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ...i ÖZET...ii ABSTRACT...iii İÇİNDEKİLER...iv TABLOLAR LİSTESİ...vii ŞEKİLLER LİSTESİ………...viii BÖLÜM I 1. GİRİŞ...1 1.1. Problem Durumu...7 1.2. Araştırmanın Amacı...7 1.3. Araştırmanın Önemi...7 1.4. Araştırmanın Sınırlılıkları...8 1.5. Araştırmanın Sayıltıları...8 1.6. Tanımlar ve Kısaltmalar...9 BÖLÜM II 2. KAVRAMSAL ÇERÇEVE...10
2.1. Soyutlama Çeşitleri ve Araştırmadaki Önemi………...10
2.2. Geometride Çizim-Figür Ayrımı……….…..……15
2.3. van Hiele’nin Geometrik Düşünme Aşamaları………..18
2.4. İlgili araştırmalar...………19
BÖLÜM III 3. YÖNTEM……….23
3.1. Araştırmanın Modeli………..………23
3.2. Katılımcılar………23
3.3. Verilerin Toplama Yöntemi ve Araçları………....24
3.3.1. Gözlem………24 3.3.2. Öğretim Deneyi ……….…..………...………26 3.3.3. Klinik Mülakatlar………..………...27 3.3.4. Wingeom-tr Yazılımı…..………32 3.3.5. Pilot çalışmalar………37 3.3.6. Öğretim Tasarımı……….………...38
BÖLÜM IV
4.BULGULAR………...53
4.3. İLK MÜLAKAT ANALİZLERİ……….54
4.1.1. Nokta Kavramının Algılanışı……….54
4.1.2. Eğri Kavramının Algılanışı………57
4.1.3. Doğru kavramının algılanışı………..58
4.1.4. Doğru parçası kavramının algılanışı……..………60
4.1.5. Vektörün algılanışı……….61
4.1.6. Öteleme dönüşümünün algılanışı………..63
4.1.7. Uzunluk ölçme becerisi………..64
4.1.8. Eş-benzer şekillerin algılanması………....67
4.2. ÖĞRETİMİN ANALİZİ………...70
4.2.1.VEKTÖRÜN ANLAMININ YAPILANDIRILMASI………..71
4.2.2.ÖTELEMENİN ANGILANIŞI………..77
4.2.2.1. Öteleme Fonksiyonu için Tanım ve Değer Kümelerinin Algılanılışı……….…..77
1. "Esas nokta" ve "Görüntü" Kümeleri ve bu iki kümenin dönüşümdeki rolünün anlaşılması………...78
2. Geometrik şekillerin ötelenmesi ve İçerdikleri Noktaların tanım kümesine dâhil olduğunun anlaşılması……….…81
A.Vektörün Ötelenmesinde Tanım ve Değer Kümelerine Odaklanılması………...81
B.Doğru parçasının ötelenmesinde tanım ve değer kümelerine odaklanılması………96
C.Kapalı Geometrik Şekiller Ötelenirken Tanım ve Değer Kümelerine Odaklanılması………...93
3.Düzlemdeki bütün noktaların öteleme için tanım kümesi ifade ettiğinin anlaşılması………..97
4.2.2.2.Dönüşümde vektörün rolünün algılanışı………....98
1.Serbest noktaların ötelenmesinde vektörün rolü……….99
a)Vektörün noktaların dönüşümde araç olarak kullanılması…………....100
b) Öğrencilerin esas nokta ile görüntü arasındaki mesafeye ve yön faktörüne odaklanmaları………...101
c) Vektörün işaretli noktaların dönüşümündeki rolünün kavramsallaştırılması………103
2.Geometrik şekillerin ötelenmesinde vektörün rolü……….105
a)Vektörün geometrik şekillerin dönüşümde araç olarak kullanılması….105 b) Öğrencilerin esas şekil ile görüntüsü arasındaki mesafeye odaklanmaları………106
c) Vektörün geometrik şekillerin dönüşümündeki rolünün
kavramsallaştırılması………....109
4.2.2.3.Ötelemede korunan özelliklerin algılanışı……….111
4.3.SON MÜLAKAT ANALİZLERİ…...………....…117
4.3.1.Vektörün algılanışı………...……….120 4.3.2.Ötelemenin Algılanışı………121 BÖLÜM V 5.SONUÇLAR VE ÖNERİLER ………...129 5.1.SONUÇLAR………...129 5.2. ÖNERİLER………..………139 KAYNAKÇA...141 EKLER...147
Ek-1. İzin Yazıları ...149
Ek-2. İlk –son mülakat soruları...152
Öğretim düzeneği………157
TABLOLAR LİSTESİ
Tablo 3. 1. İlk ve son mülakat tarihleri………29 Tablo 3. 2. Öğretimin uygulama tarihleri………...39
ŞEKİLLER LİSTESİ
Şekil 3. 1. Wingeom-tr ekran menüsü………33
Şekil 3. 2. Wingeom-tr iki boyutlu gri ekran………..33
Şekil 3. 3. Wingeom-tr iki boyutlu kareli zemin………33
Şekil 3. 4. Wingeom-tr seçenekler menüsü………34
Şekil 3. 5. Wingeom-tr doğru parçası oluşturma menüsü………...35
Şekil 3. 6. Wingeom-tr ölçme menüsü………36
Şekil 3. 7. Wingeom-tr dönüşüm menüsü………...37
Şekil 3. 8. Wingeom-tr’da bir ekran kesiti………43
Şekil 3. 9. Noktaların ötelenmesi………....45
Şekil 3.10. Vektörün ötelenmesi……….46
Şekil 3.11. Doğru parçasının ötelenmesi………48
Şekil 3.12. Ötelemede açı- kenar ve şekilleri arası mesafelerin korunumu…………49
Şekil 3.13. Öğrencilere sorulan değerlendirme sorularından bir örnek (Bölüm 3.5. Soru 1)……….50
Şekil 4. 2. İlk mülakatlarda eşlik kavramı üstüne bir örnek………...68
Şekil 4. 3. İlk mülakatlarda benzerlik üzerine bir örnek……….69
Şekil 4. 4. Vektörün öğretimi için kullanılan sinema salonu modeli………..72
Şekil 4. 5. Efe’ye ait bir çalışma………75
Şekil 4. 6. Esas noktalar ve görüntüleri………..79
Şekil 4. 7. Ozan’ın vektörün ötelenmesinde tanım ve değer kümesini yapılandırılmasında kullanılan ekran kesiti………82
Şekil 4. 8. Öznur- Ozan –Berk’in vektörün ötelenmesinde tanım ve değer kümelerini yapılandırılmasında kullanılan düzenek……….84
Şekil 4. 9. Doğru parçasının ötelenmesinde tanım ve değer kümesinin yapılandırılması için kullanılan düzenek………87
Şekil 4.10. doğrusal şekillerin ötelenmesi üzerine hazırlanmış bir soru……….89
Şekil 4.11. Berk’in doğru parçaların ötelenmesini ifade etmek için kullandığı bir düzenek………...90
Şekil 4.12. Doğru parçalarını ötelenmesi üzerine sorulan bir soru……….92
Şekil 4.13. Kapalı geometrik şekillerin ötelenmesinde tanım ve değer kümelerinin yapılandırılması için kullanılan ekran kesiti………...94
Şekil 4.14. Kapalı geometrik şekillerin ötelenmesi üzerine hazırlanmış bir soruda
Efe’ye ait bir çalışma………..95
Şekil 4.15. Kapalı geometrik şekillerin ötelenmesi üzerine hazırlanmış bir soruda kullanılan düzenek……….96
Şekil 4.16. Ozan’a ait bir çalışma………...98
Şekil 4.17. Efe’ye ait bir çalışma………98
Şekil 4.18. Serbest noktaların ötelenmesinde kullanılan ekran kesiti………...100
Şekil 4.19. Vektörün dönüşümdeki serbest noktalara etkisini test etmek için hazırlanmış bir soru………...102
Şekil 4.20. Vektörün dönüşümdeki bir noktaya etkisini test etmek amacıyla Berk’e sorulan bir soru……….104
Şekil 4.21. Geometrik şekillerin ötelenmesinde vektörün rolünü yapılandırmak için kullanılan düzenek………106
Şekil 4.22. Doğru parçasının ötelenmesinde vektörün etkisini yapılandırmak için Berk ile çalışılan bir ekran kesiti………..109
Şekil 4.23. Dönüşüme etki eden vektörün tespit edilmesine yönelik hazırlanmış bir soru………110
Şekil 4.24. Doğru parçasının ötelenmesinde korunumun yapılandırılması üzerine kullanılan ekran kesiti………...112
Şekil 4.25. Efe’nin yazılımda doğru parçalarının eşliğini ifade ederken kullandığı düzenek……….113 Şekil 4.26. Ozan ve Berk’in yazılımda üçgenlerin eşliğini ifade ederken kullandığı düzenek……….115 Şekil 4.27. Kapalı şekillerin ötelenmesine dair hazırlanan bir soruda Berk’in çözüm yolu………...116 Şekil 4.28. Eğrisel şekillerin ötelenmesi üzerine hazırlanmış bir mülakat sorusu…124
Şekil 4.29. Sıfır vektörünün etkisi üzerine hazırlanmış bir mülakat sorusu…….…125 Şekil 4.31. Kareli olmayan bir zeminde düzlemin ötelenmesi üzerine hazırlanmış bir mülakat sorusu………..127
GİRİŞ:
Günlük hayatta matematiği kullanabilme ve anlayabilme gereksinimi önem kazanmakta ve sürekli artmaktadır. Yeni bilgiler ve teknolojiler, matematik yapmanın ve matematik öğretiminin yollarını sürekli değiştirmektedir (Ersoy, 1997). Bilindiği gibi Türkiye’de örgün eğitimin bir parçası olan ilköğretim okullarında matematik dersi müfredatı öğrencilere istenilen matematik kültürünü vermek ve arzu edilen matematik becerileri yanında matematiksel düşünme yeteneğini de geliştirmekle yükümlüdür (MEB TTKB, 2005).
Son yıllarda uluslararası ortamda NCTM’nin belirlediği standartlara göre okul matematiği öğrencileri ezbercilikten kurtarıp, onları anlayarak öğrenmeye teşvik eden, onlara düşünmeyi öğreten bir ortam sunmalıdır. (NCTM, 2000)
Bununla birlikte bazı ülkelerde olduğu gibi Türkiye’de de matematik öğrenme ve öğretmede bir dizi sorun olduğu görülmektedir. 1999 yılında sekizinci sınıflar arasında yapılan ve 38 ülkenin katıldığı 3. Uluslararası Matematik ve Fen Araştırmasında (TIMSS–1999) matematik genelinde Türkiye 31. sırada yer alabilmiştir (Olkun ve Aydoğdu, 2003). Benzer şekilde OECD'ye üye ülkelerin katılımıyla gerçekleşen ve bu ülkelerin Eğitim - Öğretim düzeyini belirlemek üzere 2003 yılında uygulanan PISA – Projesi sonucunda da ülkemizdeki öğrencilerin matematik alanında ortalamanın altında olduğu görüşülmüştür (MEB EARGED, 2005). Bu durum ülkemizde uzun zamandır benimsenen davranışçı ve öğretmen merkezli yaklaşımın çağımızın değişen ihtiyaçlarına cevap veremediğini göstermektedir. Bilginin doğrudan öğrenciye aktarımını amaçlayan bu yaklaşım doğası gereği, problem çözme, eleştirel düşünme, akıl yürütme, düşüncelerini açıklama ve savunma gibi üst düzey becerilerin geliştirilmesinde yetersiz kalmaktadır. Uluslararası boyutta Türkiye’deki eğitimi değerlendirme imkânı sağlayan bu araştırmalar, matematik eğitiminde köklü değişiklikler yapılması gerektiğini göstermektedir.
Bu durumda İngiltere, ABD, Kanada, Fransa, Singapur ve Japonya gibi eğitim yönünden ileride olan ülkelerin matematik programları incelenmesinde fayda vardır. Bu ülkelerin programlarındaki ortak anlayış, öğrencinin öğretimin merkezine olması, öğrencinin aktif bir biçimde katılımının sağlanması, matematiğin özellikle estetik ve eğlenceli yönünün ön plana çıkarılmasıdır (Bulut,2004). Bu yaklaşımlar Türkiye’deki yenilik çalışmalarına yol gösterici olmuş ve bu doğrultuda sınıflardaki öğretmen ve öğrenci rollerinde bir takım değişiklikler yapılması gerektiği anlaşılmıştır. Bu düşünce tarzını destekleyen yapılandırmacı yaklaşımın getirdiği yenikleri dikkate alan Milli Eğitim Bakanlığı, öğrenciyi kendi bilgisinin otoritesi olma yolunda cesaretlendirerek köklü bir reform sürecine girmiştir (Zembat, 2007a). Matematik Dersleri Öğretim Programı MEB-TTKB tarafından oluşturulan komisyonun çalışmalarıyla yenilenmiş, tüm ülke genelinde uygulamaya konmadan önce 1000 kadar okulda 2004–2005 öğretim yılında pilot çalışmalar başlatılmıştır (TTKB, 2004). İlköğretim programlarının yapılandırmacılık anlayışına göre yeniden yapılandırılması ve 2005–2006 öğretim yılında uygulanmaya konulması kuşkusuz önemli bir gelişmedir.
Matematik programları; kurallar, formüller ve işlemlerden ibaret değil, içinde bir anlam bütünlüğü olan düzenler ve ilişkiler ağı olarak ele alınmalıdır (van de Walle, 2000). Oysa Türkiye’de daha önceki programlarda (örneğin, MEB, 1998) tamamen davranış bilimlerinin etkisinde, hedef davranışlara dayalı bir öğretim gerçekleştirilmekteydi (Altun, 1995; Baykul, 1999). Bu nedenle yeni matematik programıyla öğrencilerin problem çözme, akıl yürütme, iletişim, ilişkilendirme, araştırma yapma, teknoloji kullanma, psikomotor ve öz yönetim becerilerini geliştirmelerinin yanı sıra matematiği sevme, matematikte kendine güvenmeyi içeren olumlu duyuşsal özellikleri de kazanmaları beklenmektedir (Bulut, 2004).
Matematik programı, sekiz yıllık ilköğretim bütünlüğü ve matematiğin evrensel bir dil olduğu göz önüne alınarak hazırlanmıştır. Kavramlardaki ilişkili bölümler bir araya getirilerek iç içe geçen sarmal bir ünitelendirme yoluna gidilmiştir. Programa eklenen konular olduğu gibi çıkarılan konular da vardır. Örneğin, varlıklar arası ilişkiler, ayrı birer ünite olmaktan çıkarılarak ilgili öğrenme alanlarında gerekli kazanımlar yazılmıştır. Yeni alt öğrenme alanları arasında;
giren kavramlar ise; örüntü (pattern) ve süslemeler (tessellation) alt öğrenme alanında fraktallar; dönüşüm geometrisi ile iz düşümü alt öğrenme alanlarında,
öteleme, dönme, yansıma, ötelemeli yansıma ve perspektiftir. Uzay duygusunu geliştirmek için boyut kavramı genel anlamda ele alınmıştır. Şekil ve cisimler, boyutları temel alınarak sınıflandırılmıştır ( MEB TTKB, 2005).
İçerik açısından bakıldığında, konulardaki değişimin daha çok matematiğin geometri alanında olduğu görülmektedir. Geometri içerisinde ise matematik programına ilk kez katılan dönüşüm geometrisi üzerinde durulduğu dikkat çekmektedir. Dönüşüm konusu çocuklar için oldukça eğlenceli ve onlara yaratıcı düşüncenin kapılarını açabilecek bazı özelliklere sahiptir. Öğrenciler bu konuda edinecekleri deneyim, bilgi ve beceriler ile matematik ve sanat arasında bağ kurabileceklerdir. Örneğin, günlük hayatta karşılaşabilecekleri birçok desende ötelenmiş, döndürülmüş geometrik şekilleri görmek mümkündür (Duatepe ve Ersoy, 2003). Derslerde bu konunun matematiksel anlamının yapılandırılmasıyla öğrencilerin çevrelerinde gördükleri bu temsili örneklere farklı gözlerle bakmaları sağlanabilir. Ayrıca, bunun yanında dönüşümler konusu yapısı gereği içinde barındırdığı matematiksel kavramların birbirine bağlı bir disiplin olarak görülmesine imkân tanır. Matematikteki kavramların birbirine bağlı bir disiplin olarak görülmesi ise, öğrencilerin daha sağlam bir matematik anlayışı geliştirmelerine olanak sağlayabilir (Hollebrands, 2003).
Bu konunun öğrencilerin matematiksel anlamda gelişimini sağladığı kuşkusuz ortadadır. Fakat daha önemli bir konu, dönüşüm geometrisi konusunun öğrencilere nasıl öğretileceğidir. Dönüşüm geometrisi, birçok matematik konusu ile bağlantı kurmayı gerektirir. Bu nedenle okullarda öğrencilerin bu ilişkilendirmeleri yapabilmelerini sağlamak için yeni programın da uygun gördüğü gibi yapılandırmacı yaklaşıma uygun bir strateji izlemek gereklidir. Bu da öğrencilerin muhakeme yeteneklerini kullanarak kendi bilgilerini yapılandırmalarına uygun bir ortam hazırlamakla mümkündür.
Yeni İlköğretim Matematik Programı da yukarıda bahsedildiği gibi öğrencileri merkeze almayı amaçlamasına rağmen, ders kitaplarında bu konunun ele alınış şekli gereği buradaki öğrenci merkezli eğitimin öğrencinin sadece bedensel olarak aktif rol aldığı yönünde bir izlenim yaratmaktadır. Çünkü ders kitapları
(örneğin, MEB, 2006) öğrencilerin dönüşüm konusunun matematiksel yapısından çok, düzlemdeki temsili çizimine odaklatılmak istendiği yönündedir. Kitaplarda belirtilen etkinlikler öğrencinin dönüşümü anlaması için sadece istenilen şeklin dönüşüm altındaki görüntüsünü çizmesinin yeterli olacağı fikrini uyandırmaktadır. Bu da öğrencileri sadece yaptıkları deneysel etkinlikleri yüzeysel olarak ezberlemekten öteye götüremez. Ayrıca dönüşümleri yapılandırırken günlük hayatla ilişkilendirmek maksadı ile bazı fiziksel olaylarla (örneğin, “ötelemeye yüklenen anlam açıkça kaydırma eylemi olarak ifade edilmektedir”) öğretilmek istenmesi, öğrencilerin dönüşümlerin matematiksel yapısı üzerinde düşünmeden deneysel soyutlama (Piaget, 2001) yapmasına neden olabilir. Bu anlamda henüz programla yeni tanışan öğretmenlerin ders kitabına bağlı olarak öğretimlerini gerçekleştirme ihtimali düşünülürse, dönüşümler konusunda derslerin sadece teknik çizim dersi niteliğinde geçmesi muhtemel bir durumdur. Oysaki yapılandırmacılığın temele alındığı bir öğretim, öncelikle öğrencileri düşündürücü soyutlamaya sevk etmelidir. Bu kısımda öğrencinin sadece bir eylemi gerçekleştirmesinden ziyade matematiksel ilişkileri yorumlayarak yeni kavramı kendi bilişsel mekanizmasına yedirmeleri gerekmektedir (Zembat, 2007a).
Bu durumda yapılması gereken ilk şey dönüşüm konusunun matematiksel bir analizidir. Bu konuda öğretmenin gerekli alan bilgisi yanında etkili öğretim için nasıl bir yol izlemesi gerektiğini bilmesi gerekmektedir (Çakmak, 2004). Amaç yapılandırmacı yaklaşıma uygun olarak dönüşümler konusunun öğrencilere öğretimi olduğu için öncelikle öğretmenlerin bu anlayışa uygun olarak ders düzeneğini nasıl oluşturabileceği üzerine düşünmelidirler. Bu tasarım aşamasında öğretmenlerin yapılandırmacılığın kilit noktası olan asimilasyon prensibi üzerine yoğunlaşmaları gerekmektedir (Zembat, 2007b). Piaget’in (2001) ortaya attığı bu prensibe göre, yeni bir bilginin öğrenilmesi öğrencilerin geçmiş bilgi ve deneyimlerine bağlıdır. Yani yeni bilginin öğrenciler tarafından hazmedilmesi için öncelikle bu bilginin yapılandırılabileceği bir temele ihtiyaç vardır. Bu durumda yapılması gereken şey, öğrencilerin bildikleri ya da sonucunu tahmin edebilecekleri eylemlerin belirlenmesidir. Daha sonra ise, bu eylemleri belli bir amaç doğrultusunda kullandırarak istenilen kavramları yapılandırmaları sağlanmalıdır.
Flanagan (2001) doktora tez çalışmasında dönüşümlerin daha derinden kavranmasını sağlamak amacıyla bazı kilit noktaları belirlemiştir. Bunlar: somut nesnelerden ziyade teorik nesnelere odaklanma, çoklu temsillerin nasıl kullanılacağını ve nasıl yorumlanacağını kavrayıştır. Zembat’ın (2007a) öğrencilerin yansıma dönüşümünü nasıl algıladığına dair yaptığı bir araştırmada ise yine öğrencilerin geçmiş yaşantılarının önemi vurgulanmıştır. Çalışmaları sırasında ölçme becerisi ve izdüşümü bilgisi gibi iki kavramın yansımayı anlamak açısından önemi fark edilmiştir. Bu örneklere ek olarak Duatepe ve Ersoy (2003) da yaptıkları bir araştırmada geometri konularının öğretiminde öğrencilerin hazır bulunuşluk seviyelerinin önemini vurguladıkları gibi buna ilaveten geometri alanında yapılan sınıf uygulamalarının öğrencilerin uzamsal düşüncelerini geliştirebileceği, görselliğin ön planda tutulması gerektiğini de ifade etmiştirler.
Bu çalışmalar öğrencilerin dönüşümleri yapılandırabilmesi için iki önemli nokta üzerinde durmak gerektiğini vurgulamaktadır. İlk olarak dönüşümün anlamlandırılabilmesi için, öğrencilerin ön koşul birçok kavram hakkında bilgi sahibi olmaları gerektiğidir. İkinci olarak ise konunun öğretimini kolaylaştırıcı görsel unsurların destekleyici etkisinin yadsınamaz olduğudur.
Geometri kavramlarının şekiller üzerinde sunulması öğrencilerin algılamalarına görsel anlamda bağlamsal bir destek niteliğindedir (Aydın ve diğerleri, 2006). Dönüşüm fonksiyonunu temsil eden gösterimlerin etkili bir şekilde işlenmesi hassas çizimler yapılmasına bağlıdır. Bu konunun özünde hareketlilik içermesi, kâğıt ortamında öğrencilerce konunun yapılandırılmasını zorlaştırmakta ve dolayısıyla da öğretmenin işini zorlaştırmaktadır. Bu konuda yetenekli bir öğretmen her ne kadar iyi çizimler yapsa da öğrencinin sabit bir ortamda (tahta veya kağıt üzerinde) gördükleri dönüşüm temsillerini algılamaları oldukça zordur. Parzysz’e (1988) göre geometrik kavramlar çizime döküldüğünde bilgi kaybı yaşanmaktadır. Bunun anlamı bir geometrik kavramı (örneğin, dönüşüm) temsil eden bir gösterimi çizerek ifade etmek gerçek manasından (veya matematiksel anlamından) uzaklaşmaya neden olabilir. Dönüşüm konusu da dinamiklik gerektiren bir öğrenme alanıdır. Bu nedenle kağıt ya da bunun gibi sabit bir ortama çizim yolu ile ifade edilmesi öğrencilerin kavramı algılamalarını zorlaştırabilir.
Böyle bir durumda gelişen teknolojinin eğitim sistemimize sunduğu birçok yardımcı materyalin kullanılması olası bir durumdur. ABD'de 2000 yılında yayınlanan "Matematik Eğitiminde Müfredat ve Değerlendirme Standartları”nda teknolojinin, matematik öğretmek ve öğrenmek için önemli olduğu, öğretilen matematiği büyük ölçüde etkilediği ve öğrenme ortamlarını zenginleştirdiği belirtilmiştir (NCTM, 2000). Günümüz teknolojisinde bilgisayar yazılımları ve grafik çizer hesap makineleri sayesinde öğrencilerin birden fazla matematiksel temsile ulaşmasını mümkün hale getirmiştir. Öğrenciler bilgisayarlarla istedikleri grafikleri çizebilir, istedikleri tabloları yapabilir ve sembolik hesaplamaları yapabilirler (Durmuş ve Yaman, 2002).
Bu amaçlar doğrultusunda, teknolojinin özellikle bilgisayarların uygun bir şekilde kullanılması durumunda, öğrencilerin dönüşüm konusunun geometrik yapısını anlayacakları ve sezgilerini geliştirebilecekleri zengin bir ortam sunacağı düşünülmüştür. Birçok araştırmacı, dinamik bilgisayar yazılımlarının kullanılarak öğrencilerin geometriyi anlamlandırmasının ve problem-çözme yeteneklerinin geliştirilmesinin sağlanacağını belirtmektedir (örneğin, Üstün ve Ubuz, 2005). Bilgisayar ortamlarında faydalanılan en önemli teknolojik araçlar genellikle matematiği öğrenmede yardımcı olarak kullanılan yazılımlardır (örneğin, Wingeom-tr yazılımı). Bu tür dinamik yazılımlar öğretmen-öğrenci–bilgisayar üçlü etkileşimine imkân sağlayarak dönüşümün temsili gösteriminde öğrencilere sağladığı hareketlilikle konunun matematiksel yapısını daha anlaşılır yapabilmektedir.
Bilgisayar ortamı eylemsel ve somut bir yaklaşımı teşvik ederken, öğrencilerin bu ortamda çalıştıkları kavramlar hakkındaki muhakemesi bilişsel anlamda algılamayı ve yorum yapmayı gerektirir. Genellikle öğrencilerin dinamiklik sayesinde yaptıkları somut eylemler ile kavramların teorik anlamları arasındaki etkileşim çok önemlidir (Flanagan, 2001). Yani öğrenciler dinamik yazılımların olduğu ortamda her ne kadar deneysel bir takım becerileri sergiliyor gibi de görünseler, bu eylemler üzerine düşündürüldükçe kavramların teorik yapılarını daha iyi anlama fırsatı bulurlar. Böylece yazılımlardaki dinamiklikle yapılan işlemler matematiksel bir algıya dönüşmüş olur. Bu araştırmada da aşağıda ayrıntılarının verildiği üzere bahsedilen bu soruna odaklanılmıştır.
1.1. Problem durumu
Dönüşümler konusu birçok matematiksel kavramı barındırdığından öğretimi ayrı bir özen gerektirmektedir. Bu özen literatürün de ön gördüğü üzere teknoloji kullanımının olduğu ortamlarda daha iyi verilebilmektedir (örneğin, Hollebrands, 2003). Bu bilgiler ışığında teknolojiyi de kullanarak (Wingeom-tr yazılımı) geometrik dönüşümlerden öteleme dönüşümünün temel alındığı yapılandırmacı bir öğretimin tasarlanması ve ilköğretim 6. sınıf öğrencilerine öğretiminin incelenmesi araştırılmaya değer bir problemdir.
1.2.Araştırmanın Amacı
Bu araştırmanın amacı 6. sınıf öğrencilerine geometrik dönüşümlerden öteleme için yapılandırmacılık teorisine uygun bir öğretim tasarlamak ve bu tasarımın öğretimini incelemektir.
Bu genel amaca ulaşabilmek için aşağıdaki alt amaçlara cevap aranacaktır; 1. Öğrenciler geometrik dönüşümlerden ötelemenin yapılandırılabilmesi için ön koşul bilgi ve becerilere sahip midir?
2. Geometrik dönüşümlerden öteleme dönüşümünün öğretimine temel teşkil eden kavramlar nelerdir? Bu yapıların öğrencilerin dönüşümü yapılandırmasında nasıl bir etkisi vardır?
3. Öteleme dönüşümünün öğretimi esnasında öğrenciler “ekranda görünenlerden (çizim)” hareketle arka plandaki “matematiksel yapılara (figür)” nasıl odaklanabilir? Ötelemenin öğreniminde ve öğretiminde çizimden figüre geçişi sağlamada neler etken olmuştur?
1.2.Araştırmanın Önemi
Geometrik dönüşümler öğrencilerin simetri, eşlik, benzerlik gibi soyut matematik kavramlarını öğrenmelerine önderlik edebilir ve böylelikle öğrencilerin geometrik deneyimini, geometri hayal gücünü ve geometrik düşüncesini zenginleştirebilir (Song, 1989). Bu nedenle birçok ülkede yaygın olarak öğretilmiş olan bu konunun önemi ve geometri müfredatını olumlu yönde etkilediği eğitimciler ve araştırmacılar tarafından açıklanmıştır. Türkiye’de ilköğretim programlarına yeni katılan geometrik dönüşümler konusunun öğretimi üzerine, daha önce pek fazla araştırma yapılmamıştır. Bu araştırma içerik bazında farklı bir konuyu ele aldığı gibi, bu konunun öğretilmesine temel teşkil eden kavramları da belirlemektedir.
Ders kitaplarında da henüz bu konuya dair öğretimlerin yetersiz olduğu gözlenmektedir. Bu da kitapların kullanıcısı olan öğrencilerin kavramların matematiksel anlamını soyutlamalarına engel teşkil edebilecek bir durumdur. Bu araştırma da dönüşüm geometrisi kavramlarının öğrencilerce yapılandırılma yollarının saptanması ve yeni programa uygun yapılandırmacı bir öğretimin oluşturulması açısından önemlidir. Ayrıca hazırlanan öğretim tasarımının belli teorilere dayandırılması ve uygulamalar esnasında teknolojiden faydalanılması geçerliliğini arttırıcı bir yeniliktir. Bunun yanında araştırma sırasında kullanılan yazılım sayesinde konunun görsel kısmından matematiksel anlamına nasıl geçilebileceğine dair saptamalarda bulunulmuştur.
Sonuç olarak tüm bu katkılar, öğretmenleri dönüşüm geometrisi konusunda uyarıcı ve bilgilendirici nitelikte olduğu gibi, oluşturulan öğretim tasarımı okullarda matematik derslerinde uygulama fırsatı da sağlamaktadır. Ayrıca araştırmanın bulguları, üzerinde henüz pek fazla çalışma yapılmamış dönüşümler konusu ile ilgili yeni araştırmalara ışık tutabilecek niteliktedir.
1.3 Araştırmanın Sınırlılıkları
1. Bu araştırma yeni ilköğretim programındaki (2005) geometrik dönüşümlerden öteleme konusu ile sınırlıdır.
2. Araştırmanın uygulama aşaması, her öğrenci ile belli aralıklarla yapılan toplam dört saatlik öğretimuygulamaları ve bunu desteklemek için yapılan ilk ve son mülakatlarla sınırlıdır.
1.4. Araştırmanın Sayıltıları
1. Öğrenciler uygulamalara gönüllü olarak katılmışlardır.
2. Uygulama yapılan ortam dış faktörler tarafından olumsuz etkilenmemektedir.
1.5. Tanımlar ve Kısaltmalar
Dönüşüm Geometrisi: 2005 yılında İlköğretim Matematik Programında geometri
öğrenme alanına yeni eklenen alt öğrenme alanlarından birisidir. Bu bölüm öteleme, yansıma, ötelemeli yansıma ve dönme gibi dönüşümleri kapsamaktadır.(MEB TTKB, 2005)
MEB: Milli Eğitim Bakanlığı
EARGED: Eğitim Araştırma Geliştirme Dairesi Başkanlığı TTKB: Talim Terbiye Kurulu Başkanlığı
NCTM: National Council of Teachers of Mathematics
TIMSS: Trends in International Mathematics and Science Study PISA: Programme for International Student Assessment
BÖLÜM II
2. KAVRAMSAL ÇERÇEVE
Araştırma temelde bir öğretim deneyine (teaching experiment) dayanmaktadır. Bu öğretim deneyi tasarlanırken belli bir kavramsal çerçeve araştırmaya rehberlik etmiştir. Öğretim sırasındaki uygulamalar öğrencinin matematiksel anlamda gelişimini hedeflemiş ve sonuçta öğrenci algıları ve kavramsal gelişimleri üzerine analizler yapılmıştır. Bu amaçla öncelikle öğretimin aşamaları planlanırken öğrencilerin pedagojik gelişimleri göz önüne alınarak, onlara bazı bilgisayar destekli deneyimler verilip soyutlamalar yapmalarına yardımcı olunması amaçlanılmıştır. Bunun yanında öğretimin uygulaması sırasında öğrencilerin öteleme dönüşümünü nasıl yapılandırdıklarını ve bu süreç içerisinde teknolojiden nasıl yararlandıklarını incelerken de, ileriki kısımlarda açıklanacak olan bazı teorik yapılardan (örneğin, çizim-figür) yararlanılmıştır. Bu durumda araştırmayı genel anlamda yönlendiren üç temel teoriden bahsetmek mümkündür.
2.1. Soyutlama Çeşitleri ve Araştırmadaki Önemi:
Bu yaklaşımlardan ilki yapılandırmacılıkla ilgilidir. Öncelikle yapılandırmacılığın (constructivism) prensipleri dikkate alınarak tasarlanmaya çalışılan öğretim, yeni ilköğretim programına 2006 yılında ilk kez eklenen dönüşüm geometrisi alt öğrenme alanındaki öteleme konusu üzerinedir. Bu konu uygulamaya katılan öğrencilerin ilk defa karşılaştıkları bir konudur. Çünkü tasarlanan öğretimin amacı herhangi bir anlayış hakkındaki bilgiyi ölçmek ya da yanlış bir algıyı düzeltmek değil, öğrencilerin belli bir düzen dâhilinde yeni bir kavramı yapılandırmalarını sağlamaktır.
Piaget’e (2001) göre birey, karşılaştığı yeni durumu veya bilgiyi ancak eski bilgi ve deneyimleri yardımıyla tanımayıp özümseyebilir. Bu durum asimilasyon prensibi olarak tarif edilmektedir. Öteleme dönüşümü öğretilirken de bu prensip ciddi anlamda dikkate alınmış ve öğrencilerin bu dönüşümü öğrenebilmeleri için gerekli olan vektör kavramının öğretimine öncelik verilmiştir. Çünkü dönüşümlerin
öğretilebilmesi için öncelikle dönüşüm için bir parametre olan vektörün kendi kavramsal yapısının bilinmesi gerekmektedir. Örneğin, nasıl yansıma dönüşümü öğretimi için simetri doğrusunun öncelikle bilinmesine gereksinim (Zembat, 2007) varsa, öteleme dönüşümü için de vektörün anlamının yapılandırılması mecburidir.
Araştırma sırasında amaç, öğrencilerin vektör kavramını kendi bilişsel mekanizmalarında var olan önceki bilgilerinden yararlanarak yapılandırmalarına yardımcı olmaktır. Bu nedenle öncelikle öğrencilerin vektörü öğrenebilmeleri için geçmiş yaşantılarından yola çıkarak bu kavramın anlaşılmasına katkısı olabilecek hangi bilgi ve becerilerden yararlanılabileceği üzerinde durulmuştur. Bu amaçla yapılan pilot çalışmaların vektörün yapılandırılması için gerekli alt yapı hakkında ipuçları verdiğini söylemek mümkündür. Araştırmacı pilot çalışmalardan edindiği deneyimlerle vektöre alt yapı oluşturacak kavramları ve becerileri belirleyerek işe başlamıştır. Öğrencilerin vektörü özümsemelerine yardımcı olacağı düşünülen doğru, doğru parçası, noktaların konum belirleme özelliği gibi bir takım kavramlar hakkındaki öğrenci bilgi düzeyleri ilk mülakat ile belirlenmiş ve böylece vektörü bu kavramların üzerine inşa edebilecekleri bir tasarım hazırlanmıştır. Bu kısımda araştırmacının bir nevi yapılacak olan inşaat için temel hazırladığını söylemek mümkündür. “Eğer temel, kurulmak istenen yapı için uygun değilse zaten inşa etmek mümkün olmayacaktır” düşüncesiyle öğretim tasarımında çok ciddi ve derinlemesine ön analizlere yer verilmiştir.
Öğrenilmesi ön koşul olan kavramlar üzerine belirlemeler yapıldıktan sonra vektör ve ardından öteleme dönüşümünün öğretim sürecinde öğrencilerin konunun matematiksel anlamına nasıl odaklatılması gerektiği üzerine bir takım araştırmalar yapılmıştır. Bu kısımda daha önce yapılmış araştırma sonuçları ile yine pilot çalışmalardan alınan dersler sonucunda öğrencilerin pedagojik gelişimleri dikkate alınarak, teknoloji destekli ve kâğıt ortamında bir öğretim modeli tasarlanmıştır.
Öğretimin hazırlamasına yol gösteren en önemli anlayış öğrencileri matematiğin genel yapısı gereği soyut düşünmeye sevk etmektir. Araştırmacılar öğrencilerin bir kavramı soyutlaştırmalarında iki anlayış üzerinde durmaktadır. Bunlar; deneysel soyutlama (empirical abstraction) ve düşündürücü soyutlama (reflective abstraction)’dır. Deneysel soyutlama bireyin bir takım etkinlikler sonucunda farkında olmadan (bilinçsizce) bir konunun ya da olayın fiziksel
özellikleri üzerine çıkarımlar yapmasıdır. Bu durumda öğrenme sadece yapılan eylemlerin fiziksel özellikleri üzerine bir sonuca varılmasına dayandığı için matematiksel anlamda bir genelleme yapılmaz (Piaget, 2001). Düşündürücü soyutlama ise kişinin bir konu üzerine yaptıkları eylemler üzerine düşünerek çalıştığı alana yönelik bir takım yeni çıkarımlarda bulunmasıdır (Piaget, 2001). Bu iki soyutlamaya ek olarak Mitchelmore ve White (2004) kavramların birer matematiksel nesne (mathematical object) olarak ele alınmasının ve deneysel temelde yapılan etkinliklerle bu matematiksel nesne arasında bağıntı kurulmasının önemine vurgu yapmaktadırlar. Örneğin, çember şeklinin öncelikle öğrenci tarafından bir nesnenin tam dönüş yapması ile oluşturulup ardından öğrencinin yapılan bu deneysel işlemlerin üzerinde düşünerek çemberin bir noktadan eşit uzaklıktaki noktalar kümesi olduğunun mantıksal çıkarımında bulunması matematiksel nesneye ulaştığını gösterir.
Zembat (2007b) yaptığı araştırmada öğretim sırasında öğrencilerin deneysel soyutlama yapmaktan çok düşündürücü soyutlama yapmalarına imkân sağlayan zeminlerin oluşturulmasının avantajlarını belirlemiştir. Böylece öğrencilerin kavramların özelliklerini deneysel olarak ezberlemesinden ziyade, kavramın matematiksel alt yapısını oluşturan ilişkileri soyutlaması sağlanabilir. Simon’a (2004) göre ise, birçok öğrenci matematiksel kavramlar arasındaki ilişkileri anlamadan, sadece belli etkinlikleri belirli işlemlere dayandırarak öğrenmektedir. Örneğin, verilen bir fonksiyon için sadece değişkenlerin yerine sayı yerleştirilerek fonksiyonun bir değerinin belirlenmesi bu anlamda sadece deneysel bir etkinliktir. Bu durumda fonksiyonu belirleyen değişkenler üzerine düşünmeyen öğrenci bulduğu değerin matematiksel olarak neyi ifade ettiği hakkında da bir yorum yapamayabilir. Bu da öğrenmedeki devamlılığı etkileyebilir. Bu nedenle okullarda matematik eğitimcilerinin derslerin tasarımında sadece deneysel etkinliklere odaklanmaması öğrencilerin bu etkinlikler üzerine düşünüp matematiksel anlamda genellemeler yapmalarını da sağlayacak etkinliklerle öğretimi zenginleştirmeleri gerekmektedir.
Bu araştırma için hazırlanan öğretim planında da öğrencilerin kavramları anlamlandırabilmeleri için bahsi geçen soyutlamalara dikkat edilmiştir. Öğrencilerin kavramları soyutlayabilmesi için öncelikle bazı etkinliklerden ve günlük yaşam durumlarından yararlanılmıştır. İlk olarak vektörün öğretiminde buna örnek vermek
gerekirse, öğrencilere sinema salonu modelinden yararlanarak bir takım sorgulamalar yapılmıştır. Örneğin, “bir koltuktan diğerine en kısa yoldan nasıl ilerlersin?” tarzında sorular sorulmuştur. Öğrenciler bu tarz bir soruya bu ortamın mecburi bazı kısıtlamaları gereği nasıl ilerlemeleri gerektiğini gelişigüzel bir yürüme şekline dayanarak cevap verdikleri takdirde yukarıda bahsedilen deneysel soyutlamaya dair bir durum söz konusu olacaktır. Çünkü bu şekilde verilen cevap ortamın fiziksel özellikleri sonucu doğan bir çıkarımdan başka bir şey değildir. Fakat eğer öğrenci sinema salonundaki bu ilerleme şekli üzerine düşünmeye başlayıp, bu eylemlerden doğan sonuçları yorumlamaya başlar ve bir çıkarımda bulunursa (örneğin, aynı
hizadaki koltuğa ilerlerken doğrusal bir yol izlediğini, fakat çaprazdaki bir koltuğa ilerlerken birbirine dik iki yol kat ettiğini fark etmesi) düşündürücü soyutlama yapmaya başladığını gösterir. Araştırmacı, öğrenciyi günlük hayattaki bu ortamın yapısından yararlanarak düşündürücü soyutlamaya sevk etmek için kullanılan sinema salonu modelinin krokisini noktalı kâğıda taşıtmıştır. Böylece öğrenciler matematiksel bir ortama odaklatılmak istenmiş ve düşündürücü soyutlama yolu ile vektör kavramına (örneğin, dik bileşenlerine) alt yapı oluşturulmaya çalışılmıştır.
Bu kısımda dikkat çekilen bir durum da öğretimin tasarımında öğrencilere sadece fiziksel bir takım aktiviteler yaptırmak değil, belli zihinsel bir sürecin içerisinde bir kavramı yapılandırmasını sağlamaktır. Öğrenciler yaşadığı ya da tahmin edebildiği bir eylem üzerine düşünerek bu eylemlerin sonuçları hakkında düşündüğü sürece bir kavramı mantıksal-matematiksel anlamda (Simon, 2003) soyutlayabilirler. Böylece eylemler ve kavramlar arasında bir ilişki kurulmuş olur. Bu da asimilasyon prensibi ile ilgilidir. Öğrenci bildiği eylemin işine yarar bir kısmını vektör için kullanmaya başlayacaktır.
Vektörün öğretimi tasarlanırken günlük hayattaki bir ortam model alınarak kavratılmak istenirken, öteleme öğretiminde ise bir bilgisayar yazılımından, Wingeom-tr, destek alınmıştır. Bu nedenle öteleme konusu yapılandırılırken öğrencilerin bilgisayarı aktif kullanımı ve bir takım deneysel işlemler yapması faydalı bulunmuştur. Bu kısımda öteleme dönüşümünün öğretilmesinin ne anlama geldiğini belirtmekte fayda vardır. Ötelemeyi öğretmek öğrencinin sadece bir geometrik nesnenin öteleme altındaki görüntüsünü belirlemesini sağlamak değildir. Eğer öyle olsa idi, yazılımda yer alan menülerden öteleme fonksiyonu seçilip
ötelenmek istenen şekil ve bir vektör belirlenip sonucu buldurmak bilgisayar destekli bu öğretim için yeterli olacaktır. Böyle bir öğretim de öğrencinin sadece yazılım kullanarak belli işlemler zincirini sıralaması ya da şu anki ilköğretim altıncı sınıf programlarında yer aldığı gibi şeklin belli bir yere kaydırılması ile sonucun bulunması sadece deneysel soyutlamaya neden olur ki bu da konunun matematiksel anlamına uzak kalma sonucunu doğurur. Bu araştırmadaki öğretimin amacı ise öncelikle öğrencilerin zihinsel aktifliğini ön planda tutmak ve ötelemedeki kavramlar aralarındaki bağıntı ve bu bağıntıları doğuran etmenlerin öğrenciler tarafından fark edilmesini sağlamaktır. Bu da ancak düşündürücü soyutlama ile aşılacak bir durumdur.
Bu amaçla bilgisayar kullanılırken yapılan eylemler öğrencinin sadece ekrandaki değişime değil (bu durumda deneysel soyutlamadan öteye geçemez), değişime neden olan duruma odaklanması amacıyla dizayn edilmiştir. Bunun içinde öncelikle yazılım ortamında daha önceden araştırmacı tarafından ötelemeye uğratılmış düzlem temsilleri üzerinde öğrencilerin çalışması sağlanmıştır. Bu temsillerde kullanılan geometrik nesneler basitten karmaşığa doğru sıralanarak öğrencilerin asimilasyon prensibine uygun olarak bilgi aktarımını kolaylaştıracağı düşünülmüştür (önce noktaların ötelenmesi, sonra doğru parçası vs.).
Öğrencilere, öğretim sırasında yazılımdan yararlanarak bazı işlemler yapması konusunda direktifler verilmiştir. Fakat bu kısımda verilen yönergeler öğrencilerin daha sonra ötelemenin teorik yapısını anlamlandırmasına yardımcı olacak şekilde tasarlanmıştır. Ardından yapılan her eylem üzerine düşündürülmek istenen öğrenciler böylece ötelemenin matematiksel bir kavram olarak anlamını kavrayabileceklerdir. Yani bu kısımda deneysel işlemlerden yararlanılarak düşündürücü soyutlama yoluna gidilmek istenmiştir. Buna öğretimden örnek vermek gerekirse, öncelikle öğrencilerden; daha önceden etkin hale getirilmiş bir öteleme dönüşümünü barındıran ekranda, yazılımın dinamikliğinden yararlanarak vektörü hareket ettirmesi istenmiştir. Uygulamalar sırasında öğrenci yaptığı eylem üzerine düşünmeden “vektör, şeklin görüntüsünü hareket ettirir” gibi bir yargıya varırsa sadece deneysel bir soyutlama yapmış olur. Bu da yazılımın olmadığı bir ortamda vektörün etkisinden bahsedemeyeceğini gösterir. Fakat araştırmacının aşamalı bir şekilde tasarlanmış sorgulamalarıyla ekrandaki gördükleri hakkında düşünüp bir genelleme yapmaya
başlar ve “vektörün büyüklüğü ve yönü, şekil ile görüntü arasındaki konumu belirler” tarzında bir kanıya varırsa düşündürücü soyutlamadan bahsetmek doğru olur. Bu durumda yazılımın dinamikliği ile vektörü hareket ettirme işlemi (ki bu öğrencilerin daha önceden sahip oldukları bir beceridir); öğrencinin öteleme dönüşümünde vektörün rolünü anlamasına yardımcı olmaktadır. Yani vektörün dönüşümdeki rolünü dinamiklikten hareketle sindirebilmeleri sağlanacaktır. Böylece Mitchelmore ve White’ın bahsettiği gibi vektör bir matematiksel nesne olarak ele alınabilecektir.
2.2. Geometride Çizim-Figür Ayrımı:
Araştırmayı yönlendiren ikinci teorik çatı ise araştırmanın analizleri sırasında yardımcı olmuştur. Çünkü araştırma için tasarlanan öğretimin öğrencilerin gelişimini nasıl etkilediği, onların kavramları nasıl algıladıkları ve bu kavramları yapılandırmak için nasıl bir yol izlediklerini bu temeller esas alınarak incelenmiştir. Hollebrands’a (2006) göre öğrencilerin geometrik dönüşümleri algılama şekillerini araştırmak için onların geometrik dönüşümlerin gösterimlerini (dil, geometrik diyagramlar, semboller, matrisler) nasıl yorumladığını, anlamlandırdığını ve kavramaya çalıştığını gözlemlemek gerekmektedir. Bu çalışmada ise araştırmacının odaklandığı öğrenci grubu ilköğretim 6. sınıf seviyesinde olduğu için öğrenciler öteleme dönüşümünü fonksiyonlar ve cebirsel ifadelerle henüz ilişkilendiremeyeceğinden, onların sadece dönüşümü temsilen ekranda verilen geometrik nesneler yardımı ile ötelemeyi nasıl algıladığına dair yorumlamalar yapılabilmiştir.
Araştırmacılar, öğrencilerin geometrik nesneleri algılama şekillerini iki kavram üzerine dayandırmışlardır. Bunlar “figür” ve “çizim” olarak ifade edilmektedir. Bu ayrım öğrencilerin üzerinde çalıştıkları geometrik gösterimleri nasıl yorumladıklarını ve bunların nedenlerini açıklamak açısından oldukça yararlı olmuştur. Laborde (1993) çizimi maddesel bir nesne (fiziksel çizim), figürü de bir grup geometrik diyagramların temsili (teorik nesne) olarak tanımlamıştır. Parzysz (1988) figürü geometrik nesnenin konu itibariyle gerçeğinin en yakın temsili; çizimi de geometrik bir nesnenin gösterimi olarak tanımlamıştır. Parzysz’a göre geometrik nesnelerin temsilleri çizime döküldüğünde bilgi kaybı olmaktadır. Bu konu üzerine düzlem geometrisinde (2D) bir açıklama yapmak gerekirse birçok figürün çizimle ifade edilebilmesine karşın bazı sınırsız olan figürlerin (doğru, düzlem vs) çizimle
temsil edilmesi bazen sorun olmaktadır. Bu yüzden hiçbir somut gösterim (örneğin kâğıt üzerinde çizilen sonsuz geometrik çizimler) bu tarz kavramların temsili olamaz. Bu nedenle şekillerin mümkün olmayan temsilleri, şeklin bütününün yerini alması düşünülerek, mantığa uygun bir sınırlı kısmının çizimiyle ifade edilir. Örneğin; sonsuz olan doğruyu temsil etmek için, kâğıt üzerinde bir parça çizgi ve benzer şekilde düzlem için bir paralelkenar çizilmektedir. Bu da temsil edilen çizimle (örneğin, paralelkenar) asıl temsil edilmek istenen figür (düzlem) arasında bir belirsizlik doğurabilir. Burada anlatılmak istenen ana mesele şudur. Öğrencilere öğretilmek istenen soyut bir kavram (öteleme gibi bir fonksiyon) ile bu kavramın temsil edildiği ortam arasındaki uyum, öğrencilerin öğrenmesi istenilen ilişkileri daha rahat algılamalarını sağlar. Dinamik geometri yazılımları bazı avantajları sayesinde bu geometrik gösterimleri daha anlaşılır yapmaktadır. Bu ortamlarda öğrencilerin belirtilen temsili gösterimi sadece çizime odaklanarak değil, bazı hareketlilikler sayesinde bu çizimin altında yatan ilişkileri yorumlamalarına kolaylık sağlar. Bu nedenle bu araştırmada bilgisayarlı ortam kağıt ortamına tercih edilmiştir.
Araştırma sırasında öteleme konusu öğrencilerin seviyeleri itibari ile sadece 2 boyutlu ortamla sınırlı tutulmuştur. Bu nedenle öğretim sırasında dönüşümü temsil ederken dinamik yazılım ekranının da 2 boyutlu olması nedeniyle, Parzysz’in bahsettiği bilgi kaybını en aza indirmek amaçlanmıştır. Yazılımın düzlem olarak gösterilen ekranı kâğıt ortamındaki sınırlılığın aksine ekranın kaydırma özelliği gereği sonsuzluk özelliğini algılamayı kolaylaştırıcı niteliktedir. Bu kısım ötelemenin düzlemi düzleme resmeden bir fonksiyon olması gereği, dönüşümün temsilinin çizimi (nesne ve görüntüsü), figüre odaklı bir alt yapı oluşturmaya elverişlidir. Fakat kâğıt ortamında ifade edilen bir dönüşümün çizimle ifade edilerek öğretilmesi, figüre geçişte zorluk çıkarabilmektedir. Çünkü dönüşüm konusunun kendisi zaten bir hareketlilik içerdiği için yazılımın belirtilen nesnelere dinamiklik sağlaması ötelemeyi mantıksal çıkarımlarla anlamayı kolaylaştırmış ve doğruya en yakın temsile odaklamıştır.
Öğretimde ilk olarak bazı eylemlerle öğrencilerin verilen temsili gösterimdeki değişimi ekrandaki çizime bağlı kalarak düşünmeye başlamaları gayet doğaldır. Fakat bu kısımda amaç öğrencilerin devamlı hareketli bir ortamda kavradıkları bir olgudan yararlanarak dönüşüm sırasında bazı özellikler üzerine
yorum yapabilmelerini sağlamaktır. Buna öğretimden şu şekilde örnek vermek mümkündür. Öğrencilerin daha önceden dönüşüme uğratılmış ekranda gördüğü iki şekilden hangisinin tanım kümesi, hangisinin değer kümesi elemanı olan şekil olduğuna karar vermesi istendiğinde öğrenci eğer sadece hareket etme özelliğine dayanarak hareket ettiren tanım kümesi şekli, etkilenen ise görüntü derse çizime odaklanmış demektir. Ama vektörle ilişkilendirirse (vektörün başlangıç noktası ile bitiş noktasına bakarak, vektörün yönü ile ilişkilendirirse) şekil ile görüntü ayrımını figüre odaklanarak yapmış demektir. Bu örnek ve ilgili ayrıntılar veri analizi yapılırken daha ayrıntılı açıklanmaktadır.
Bu kısımda açıklanması gereken bir diğer önemli husus da geometrik dönüşümlerin öğretiminde dinamik yazılımların katkılarıdır. Gorgorio ve Jones’a (1996) göre dinamik geometri ortamının iki önemli yönü vardır. Birincisi yazılım sayesinde geometrik nesneye doğrudan müdahale ile nesnenin yapısının değiştirilmesi, ikincisi ise nesneler arası ilişkilerin ve geometrik anlamların öğrenilmesi. Bunları açıklamak gerekirse; birincisi, sadece yazılımın nesne oluşturma seçeneğini kullanarak ya da fare ile çizim yaparak bir nesnenin inşa edilmesi olarak düşünülebilir. Bunun sağlanması için mutlaka yazılım ortamına ihtiyaç yoktur. İkincisi ise daha matematiksel bir anlayış kazandırır. Çünkü nesneler üzerine düşünmeyi ve özellikler hakkında yorum yapmayı gerektirir. Yani öteleme için birinci durumdan bahsedilirse sadece ekranda görüntüyü inşa etmek yeteli olacaktır ki bu durumda öğrenci sadece çizime odaklanırken, ikincisinde figür ön plana çıkmaktadır. Öğretim bu özelliği referans almıştır. Örnek vermek gerekirse, öğretimde ötelemeye daha önceden uğratılmış bir düzlem temsili kullanılarak, öğrenci yine dinamiklik desteğinden yararlanmasına rağmen görüntünün sadece çizimiyle değil, dönüşümün özellikleri ile muhatap olacaktır.(örneğin, vektörün korunuma etkisi ).
Matematik eğitimcilerinin, öğrencilerine, matematiksel bilgileri edinecek fırsatı vermesi ve dinamik yazılımların kullanıldığı öğretimi hazırlarken, kullanılan yazılımın özelliklerini göz önüne alması, dersin etkin bir şekilde işlenmesine zemin hazırlayacaktır (Dedeoğlu, 2007). Bu da yazılımdaki dinamiklikle ekrandaki çizimi aktifleştirerek öğrencileri figüre odaklamakla mümkün olmaktadır. Bu araştırmada da dinamik geometri yazılımın bahsedildiği gibi etkin kullanımı sağlanmak
istenmiştir. İlk olarak yazılımın dinamikliği ile bir takım eylemlerde bulundurulan öğrenciler doğal olarak çizime odaklanarak yeni bir anlayış geliştirmişledir. Daha sonra ise öğrenciler yaptıkları işlemler üzerine düşünmeye sevk edilmiştir. Böylece çizimle oluşturulan anlayıştan yararlanarak figüre odaklı bir algının gelişmesi sağlanmak istenmiştir.
Araştırmacı analizler sırasında da bu anlayışın öğrenciler tarafından nasıl geliştiği, yazılımın kullanımının öğrencinin öteleme altındaki matematiksel anlayışa nasıl bir katkıda bulunduğuna dikkat çekmiştir. Bunu da öğrencilerin ötelemeyi kavramsallaştırırken çizime mi yoksa figüre mi yoğunlaştıkları hakkındaki yorumlarla yapmaya çalışmıştır. Araştırma boyunca öğrencilerin anlayışlarının çizim mi yoksa figür temellerine mi dayandığı hakkında analizler yapılırken, öğrencilerin bir konuyu yapılandırması sırasında çizime odaklı düşünce tarzından figüre odaklı düşünmeye nasıl geçiş yaptıklarına dair önemli ipuçları elde edilmiştir. Özellikle öğretimi uygulayan kişinin bu konuda ciddi anlamda dikkat etmesi gereken noktalar olduğu kanısına varılmıştır. Çünkü yazılımın kullanımının eylemsel bir takım becerilerle işleyen doğasından öğrenciyi kurtarmak ve bu konunun matematiksel anlamına odaklanmalarını sağlamak tamamen öğretimi uygulayan kişinin elinde olan bir durumdur. Böylece bir öğretim sırasında ne tarz bir yaklaşımla öğrencilerin yaptıkları eylemler üzerine düşündürülebileceği ve nasıl matematiksel bir anlayış kazandırılabileceği sorularına cevap bulunmuştur.
2.3. van Hiele’nin Geometrik Düşünme Aşamaları:
Araştırma sırasında yararlanılan üçüncü teorik yapı ise bu konuda van Hiele’in geometrik düşünmenin nasıl geliştiğine dair belirlediği aşamalardır. Bu teori öğrencilerin geometrik kavramları nasıl geliştirdiğini belirlemesi açısından kısmen de olsa öğretimin tasarımında ve analizlerde yol gösterici olmuştur. van Hiele (1957) öğrencilerin geometrik akıl yürütmede bir dizi aşamalardan geçerek ilerlediklerini varsaymaktadır. İlk düzey, Görsel düzeydir (aşama 0). Bu aşamada öğrenci, şekilleri görünüş açısından hayalinde canlandırarak tanımlayabilir fakat nesnenin özelliklerini veya belirli niteliklerini bilemeyebilir. Örneğin, ötelemeyi hep belirli bir yönde, mesela sağa doğru, fiziksel bir hareket olarak düşünür ama ötelemenin özelliklerini ve farklı yönlerde de ötelemenin olabileceğini anlayamaz. Bir sonraki düzey “Analiz
tanımlayabilir ve onları göz önünde tutabilir. Örneğin ötelemede bu özelliklere bakarak bir geometrik şekil ile öteleme altındaki görüntüsünün özelliklerine ayrı ayrı odaklanabilir. Üçüncü düzey “Basit Anlamda Tümdengelim veya Çıkarım Düzeyidir” (aşama 2). Bu düzeyde ise öğrenci şekillerin özellikleri hakkında veya özellikler arasındaki ilişkiyi ortaya koyabilir. Örneğin, öteleme konusunda şekiller ile öteleme altındaki görüntülerinin eşliğinden bahsedebilir ve aslında vektörü de tanım kümesinin bir elemanı olarak ele alabilir. van Hiele Teorisinde dördüncü düzey
“Tümdengelim düzeyi” (Aşama 3) olup bu seviyelerde öğrencilerin düşüncelerinin kaynağı geometrik şekillerin özellikleri arasındaki bağlantılardır. Örneğin bu seviyelerdeki bir birey birçok dönüşümü içeren bir fonksiyonu algılayabilirken, bunu diğer öğrenme alanları ile de (örneğin, cebir) ilişkilendirebilir. Geometrik akıl yürütmenin en son aşaması ise “Kesinlik düzeyi” (Aşama 4)’dir. Bu düzeyin düşünce bazındaki ürünü ise, geometrinin değişik aksiyomatik sistemler arasında farklılıklar ve kıyaslamalar yapılabilmesidir. (Van de Walle, 2000) van Hiele düzeyleri yaşa bağlı olmasa da bu son düzeylerdeki bir gelişimin ilköğretim çağındaki öğrenciler tarafından kazanılması pek olası değildir.
Araştırma başlamadan önce hem vektör hem de öteleme kavramı üzerine bilgisi olmayan öğrencilerin van Hiele’nin gelişim düzeylerine uygun olarak üst seviyelere çıkarılması amaçlanmıştır. Yukarıda bahsedildiği gibi belli bir sıra izleyen aşamaların doğrultusunda öğrencilerin kavramları yapılandırabilmesi için öncelikle ilk aşamadan (asimilasyon prensibine bağlı olarak) diğer aşamalara sıralı olarak ilerlemeleri sağlanmak istenmiştir. Her ne kadar bu teori arka planda araştırmacıya rehberlik etse de yapılan veri analizlerinde bu teoriye ihtiyaç duyuldukça başvurulmuştur.
2.4. İlgili Araştırmalar
Türkiye’de geometrik dönüşümler ilköğretim müfredatına 2005 yılında geometri öğrenme alanına alt öğrenme alanı olarak eklenen yeni konulardan biri olduğu için bu kavramların ilköğretim öğrencilerine öğretimi üzerine yapılmış pek fazla araştırma bulunmamaktadır. Özellikle de ötelemenin öğretimi üzerine her hangi bir araştırmaya rastlanmamıştır. Fakat ilgili olduğu düşünülen ve yapılacak olan araştırmaya destek sağlayacağı varsayılan bazı araştırmalar hakkında birtakım
bilgiler aşağıda sunulmaktadır. Ayrıca yabancı kaynaklarda bu alanda yapılan benzer çalışmalardan da destek alınmıştır.
Ersoy ve Baki (2004) “Teknoloji Destekli Matematik Eğitimi İçin Okullarda Aşılması Gereken Engeller” adlı çalışmalarında, dört boyutlu yapılandırmada her bileşenin birbiriyle ilişkisinin ne olması gerektiğinin altı çizmekte, köklü yenilikler için öğretmen eğitiminin önemini vurgulanmaktadırlar. Ayrıca bu araştırmada bilişim teknolojisinin ürünleri olan bilişsel ve eğitbilimsel araçlardan, bilgisayarın etkin kullanılmasını olanaklaştıran bir takım açık yazılımların, örneğin CAS (computer algebra system) ve DGY (dinamik geometri yazılımı), matematik öğretimi ve öğrenme etkinliklerinde kullanılması gerektiği üzerinde durulmuştur.
Üstün ve Ubuz’un (2005) “Geometrik Kavramların Geometer's Sketchpad
Yazılımı ile Geliştirilmesi” adlı çalışmalarında, dinamik öğretim ortamında (Geometrik Sketchpad kullanımına dayalı) 7. sınıf öğrencilerine geometri öğretilmesi sırasında kullanılması amaçlanan çalışma yapraklarının geliştirilmesi ve uygulanması örnekler verilerek sunulmaktadır. Ayrıca, bazı deneysel sonuçlar da kısaca yer verilmektedir. Yazılım kullanımının öğrenciler tarafından kolaylaştırıcı etkisinin dile getirildiğinden bahsetmektedir.
Dedeoğlu’na (2007) göre hangi yazılım kullanılırsa kullanılsın, temel alınan eylemler ve bu eylemlerin arkasında yatan kurallar ortaktır, fakat eylemleri gerçekleştirmek için gerekli bilgi ve beceriler yazılımı geliştiren kişilere göre değişmektedir.
Duatepe ve Ersoy (2003) yaptıkları bir araştırmada kişisel ve taşınabilir teknolojilerden biri olan ileri hesap makinesi (HeMa)'nin genelde geometri eğitimi, özelde ise dönüşüm geometrisi eğitimi programlarına etkileri ve katkılarını incelemişlerdir. Ayrıca araştırmada bu konuda öğretmen ve öğrenciler için tasarlanan bir dizi çalışma yaprakları tanıtılmakta; ayrıca, HeMa destekli öğretim kurgularından bazı örnekler sunulmaktadır. Bu araştırma geleneksel araçlardan pergel ve cetvelle kolaylıkla yapılamayan fakat dinamik geometri yazılımı (Cabri) yazılımın bulunduğu grafik HeMa desteği ile kolaylıkla yapılabildiğini vurgulamışlardır.
Işıksal ve Aşkar (2003) “İlköğretim Öğrencilerinin Matematik ve Bilgisayar Öz-Yeterlilik Algısı Ölçekleri” adlı çalışmalarında 7. ve 8. sınıf öğrencilerinin matematiğe ve bilgisayara ilişkin öz-yeterlik algılarını ölçen bir ölçek geliştirmeyi amaçlamışlardır. Araştırma sonunda hazırlanan ölçeğin öğrencilerin kendilerine yönelik algılarını güçlendiren özel etkinlikler ve çalışma yaprakları hazırlanmasında önemli katkı sağlayacağına dikkat çekmişlerdir.
Flanagan (2001) doktora tez çalışmasında lise öğrencilerinin geometrik dönüşümleri teknoloji destekli bir ortamda nasıl yapılandırdıklarını incelemiştir. Sekiz hafta süren çalışmaya katılan dört öğrencinin dönüşümlerden öteleme, yansıma, dönme ve skaler büyüme (dilation) hakkında geliştirdikleri algılar incelenmiş ve kullanılan “Geometer’s Sketchpad” yazılımının bu öğrenmeye etkisi üzerine bazı saptamalarda bulunulmuştur. Bu çalışmada özellikle dönüşümlerin yapılandırılması için bazı kritik noktaların olduğu dikkatle vurgulanmıştır. Dönüşüm fonksiyonun geliştirilmesinde parametreler ve değişkenler, tanım ve değer kümesi ve dönüşümlerin özellikleri arasındaki ilişkiler anahtar kavramlar olarak belirlenmiştir.
Yanık (2006) teoriler çerçevesinde (APOS teorisi) ilköğretim öğretmenlerinin geometrik dönüşümü algılama şekillerini incelemiştir. Yaptığı öğretim deneyi ilk mülakat, öğretim uygulamaları ve son mülakat olmak üzere bazı aşamalarla ilerlemiş olup iki katılımcıyla yürütülmüştür. Yapılan çalışma dönüşümlerden öteleme, yansıma ve dönme kavramlarının öğretimleri sırasında iki öğrencinin de benzer stratejiler geliştirdiği yönündedir. Bu araştırmada nitel çözümlemeler yapılması öğrencilerin dönüşüm algılarının derinlemesine incelenmesine olanak tanıdığı gözlenmiştir.
Song (1989) Singapur’da ortaokul öğrencilerine uygulamalarını yapmış olduğu bir araştırmada dönüşüm geometrisi kavramlarının öğrenciler tarafından anlaşılmasında daha iyi bir düzeyi yakalamak için van Hiele kuramını kullanmanın önemini açıklamıştır. Bu çalışmadaki öneri dizisinde, öğretmeye ve öğrenmeye yönelik dönüşümsel, dinamik yaklaşım güçlü bir şekilde savunulmuştur. Bu dizide teknoloji-bilgisayar grafiklerinin kullanımına ek olarak dönüşümsel yaklaşım aracılığıyla somut objeleri içeren uygulamalı aktiviteler öğrenmeyi etkin kılmak
açısından tavsiye edilmiştir. Taslak, çocuklara kendi modellerini yapmaları, resimler çizmeleri, kesilmiş kâğıt parçalarını katlamaları ve simetriyi görmek için ayna kullanmaları gibi uygulamalı aktiviteleri örnek göstermektedir. Aynı zamanda bilgisayar kullanımı ekranda iki boyutlu ve üç boyutlu şekiller yaratıp şekilleri kullanmalarına olanak sağlamaktadır.
Zembat (2007a) yansıma dönüşümünün ilköğretim öğrencilerine öğretimi üzerine yaptığı bir çalışmada kağıt üzerinde geliştirmiş olduğu bazı etkinlikleri, iki haftalık bir süre boyunca 45’er dakikalık 8 ders saati uygulanmıştır. Yapılan çalışmalar nitel yöntemlerle analiz edilmiştir. Analizler sırasında öğrencilerin yansıma dönüşümünü öğrenebilmesi için ölçme ve izdüşüm gibi bazı ön koşul bilgilere sahip olması gerektiği konusunda saptamalarda bulunulmuştur.
BÖLÜM III
3. YÖNTEM
Bu bölümde araştırmada izlenen yöntem; “Katılımcılar”, “Araştırma modeli”, “Veri Toplama Yöntemi ve Araçları”, “Veri Analiz Yöntemi” kısımları ile ele alınmıştır.
3.1. ARAŞTIRMA MODELİ
Bu araştırmanın modelini “öğretim deneyi” (teaching experiment) ve bunu desteklemek için yapılan “klinik mülakatlar” (clinical interview) oluşturmaktadır. İncelemeler mülakatlar ve öğretim deneyine dayanan veriler üzerine yürütülmüştür. Araştırma kapsamındaki çalışmalarla ilgili olarak, saptanan başlıklarda nitel çözümlemeler yapılmıştır.
3.2. KATILIMCILAR
Çalışmaya katılan gönüllüler çalışma yapıldığı sırada MEB’na bağlı bir devlet okulunda okuyan ilköğretim altıncı sınıf öğrencileridir. Bir kız ve üç erkek olmak üzere dört öğrenci gönüllü olarak araştırmaya katılmışlardır. Bu dokümanda kullanılan tüm isimler öğrencilerin kimliklerini korumak adına gerçeğinden farklı isimlerdir. Bu öğrencilerin araştırmaya seçilme sebepleri şu şekilde sıralanabilir: her bir öğrencinin bilgisayar kullanımına dair temel becerilere sahip olması (evde kendilerine ait bilgisayarları bulunmaktadır); düşüncelerini rahatça ifade edebilen öğrenciler olması; araştırmada öğretimi hedeflenen matematiksel kavramları bilmemeleri ama bunlara temel oluşturan ön bilgilere sahip olmalarıdır.
Öğrencileri çalışmaya dâhil edebilmek için öncelikle sınıftaki tüm öğrenciler arasından gönüllüler seçilmiş ve sonraki aşamada da gönüllü öğrencilerin aileleriyle temasa geçilmiş ve gerekli izinler alınmıştır (izin formu için bkz. Ek 1). Öğrenciler ve aileleri yapılacak olan araştırmayla ilgili ayrıntılı olarak bilgilendirilmişlerdir. Beş öğrenci ile ilk mülakatlar yapılmış ve bunların sonucuna göre yukarıdaki kriterleri sağlayan dört tanesi araştırmada katılımcı olarak belirlenmiştir. Bu sürecin devamında ailelerin de katılımıyla araştırma için uygun günler belirlenmiştir.
