Eş-benzer şekillerin algılanması

Öteleme dönüşümünün öğretimi sırasında tanım ve değer kümesi arasındaki ilişki belirlenirken şekillerin eş olma durumu üzerine tahliller yapılacağı için öğrencilerin eşlik hakkında neler bildikleri mülakatlar sırasında öğrenilmek istenmiştir. Eşlik ve benzerlik kavramları genelde öğrenciler tarafından birbirine karıştırılan iki kavram olduğundan iki kavramın da nasıl algılandığı sorgulamalar sırasında birlikte ele alınmıştır.

Bu kavramlar hakkında sorgulamalar yapılırken uzunluk ölçmede olduğu gibi eş-benzer şekil oluşturma işlevini gerçekleştirmek gibi bir beceriden değil “bir şekle eş-benzer şekil oluşturmak için şekle ait hangi bilgilere ihtiyaç vardır?” ya da “verilen iki şeklin eş olup olmadığı nasıl belirlenir?” gibi sorular üzerinde durulmuştur. Dört öğrenci de eş şekilleri açıklarken “birbirinin aynısı olan şekiller” diye ifade ederken özellikle Ozan olmak üzere, Öznur ve Berk şeklin ters çevrilerek de eşini çizebileceklerini vurgulamışlardır. Bu durumda kastettikleri şeyi daha ayrıntılı açıklamaları istenirken öğrenciler genelde çizimlerden faydalanmak istemişlerdir. Ozan, Berk ve Efe birbirine eş iki kare çizerek, Öznur üç üçgen çizerek eşliği açıklamaya çalışmıştır. Öznur ilk çizdiği üçgeni önce aynı duruşta, daha sonra ters çevirerek (180 derece) çizmiş üçgenlerin açı ve kenar kenarları eşit olduğu sürece eş olacağını ifade etmiştir. Dört öğrenci de eşlik için şeklin kendi içindeki dengesinin bozulmaması gerektiğini bilmektedirler. Fakat bu kısımda Öznur hariç

diğer üç öğrencinin ilk açıklamaları daha çok çizime dayanmaktadır. Çünkü açıklamalarında daha çok aynı duruştaki veya döndürülmüş iki şeklin eş olduğuna matematiksel çıkarımlarda bulunarak değil görünüş itibariyle karar vermişlerdir. Fakat ilk yanıtlarını dikkate alarak onların eşlik kavramını çizime dayandırdığını düşünmek yanlış olur. Çünkü öğrencilerin daha sonraki açıklamaları bu konuda açıklayıcı olmuştur.

Berk, Efe ve Ozan daha sonraki açıklamalarında eş çokgenlerin kenar uzunluklarının eşit olmasından bahsetmesine rağmen verdikleri örneklerde kullandıkları şeklin kare olmasından dolayı açı eşliği üzerine belli bir açıklama yapma gereksinimi duymamışlardır. Burada öğrencilerin iki geometrik cismin benzer ve farklı özelliklerini incelerken, uzunluk faktörünü hemen dikkate almalarına rağmen kıyaslamalarında açı kavramını tam olarak ifade edemedikleri fark edilmiştir. Çizimlerinde her ne kadar görünüşüne dikkat ederek kenarlar arasındaki açıklıkları yani açıyı dikkate alıyor gibi görünseler de bunun üzerine teorik olarak düşünmedikleri görülmüştür. Bunun üzerine Berk ve Eren ile yapılan mülakatlar sırasında Şekil 4. 1’deki geometrik şekiller çizilip tüm kenar uzunluklarının eşit olduğunu belirtilip ve bu durumda iki şeklin eş olup olmadığı sorulmuştur.

A B C D E F G H

Şekil 4. 2. İlk mülakatlarda eşlik ile ilgili bir örnek

Berk kenarların eş fakat şekillerin eş olmadığını ifade ederken, bunu “çünkü şekilleri değişik, biri paralel gidiyor, diğeri dik gidiyor” sözleri ile açıklamaya çalışmıştır. Berk’in bu açıklamaları açıların da eşit olması gerektiğini bildiğini göstermektedir. Efe’nin açıklaması ise aynı şekilde bu iki şeklin eş olmadığı yolundadır. O da bu durumu “şekillerin birbirine benzemesi gerekiyor, bu da aynı hizada, aynı açı ve uzunlukta olmasıyla olur” sözleri ile ifade etmiştir. İki öğrenci de bu soru üzerine eşlik için açı ölçüsünün de eşit olması gerektiğini dile getirmiştir. Bu aşamada öğrencilerin verdikleri yanıtları figüre mi yoksa çizime mi dayandırdıkları

üzerine bir yorum yapmak zordur. Çünkü iki şekli görünüşünden yola çıkarak mı yoksa eşlik için yeterli ve gerekli matematiksel özellikleri bilerek mi eş olarak kabul ediyorlar tam olarak bilinmemektedir. Bu nedenle öğrencilerin ifadelerinin daha açıklayıcı olması açısından aşağıdaki şekil gösterilerek “bu şekle eş bir şekil çizmek için ne yaparsın?” sorusu yöneltilmiştir.

A

B

C

D

Şekil 4. 3. İlk mülakatlarda benzerlik üzerine bir örnek

Eş şekillerin kenar uzunluklarının yanı sıra açı ölçülerinin de eşit olması gerektiği bilgisini sınamak için yukarıdaki düzgün olmayan çokgenin kullanılması daha uygun olmuştur. Ozan bu şekle temsili bir eş şekil çizip, bunun üzerine açıklamalar yapmıştır. Bunu yaparken “hangi cm de olduğunu bilmeliyiz ve eş olanı farklı harf ile ifade etmeliyiz” şeklinde açıklamalar yapmıştır. Ozan’ın çizdiği şekillerin eşliğini sembolize ederken bir köşeye karşılık gelen köşeyi aynı sırada yazması ve “buradaki açıları aynı uçlardır” şeklinde ifade etmesi açı eşliğini de bildiğini göstermektedir. Bu açıklamalar onun eşlik için figüre dayalı bir ifadede bulunduğunu göstermektedir.

Öğrencilerin benzerlik üzerine yaptıkları açıklamalar, her ne kadar öğretim için gerekli olmasa da, en azından bu sayede öğrencilerin eşlik ve benzerlik kavramlarını birbirine karıştırmadığı tespit edilmiştir. Fakat bu kavram açıklanırken ya da belli bir örnek çizim yapılarak ifade edilirken öğrencilerden bazılarının kavram yanılgısına sahip olduğu görülmüştür. Bu kavram yanılgısının altında yatan neden öğrencilerin benzerliğin matematiksel anlamından çok bazı deneysel işlemler sonucu ya da şekillerin görünüş itibariyle anlaşılmaya çalışılmasıdır. Bu olumsuzluk öteleme öğretimini etkilememiştir. Çünkü öteleme sırasında öğrencilerin dönüşümü yapılandırırken yorumlamaları gereken kavram eşlik kavramıdır ve dört öğrencinin de eşliğin teorik yapısını bilerek yorumladıkları görülmüştür.

4.2. ÖĞRETİMİN ANALİZİ

Bu bölümde öğretim sırasında belirlenen konuların öğrenciler tarafından nasıl algılandığı araştırılmıştır. Analizler sırasında mülakatlarda olduğu gibi öğrencilerin

figür ve çizimden nasıl yararlandıklarına odaklanmaya çalışılmıştır. Ayrıca bu kısımda hazırlanan öğretimin öğrencilerde öteleme ile ilgili oluşan algılara etkisi incelenmiş ve uygulamalar sırasında bir araç olarak kullanılan teknolojinin öğretime katkısı araştırılmaya çalışılmıştır.

Analizler yapılırken uygulamalara katılan dört öğrencinin anlayışları öncelikle bireysel olarak değerlendirilmeye çalışılmış ve daha sonra da tüm öğrencilerin hangi durumlarda benzer veya farklı algılayışlara sahip olduğuna dikkat edilmiştir. Öğretim sırasında her öğrenci ile uygulamaların birebir gerçekleşmesi, analizin daha ayrıntılı olarak yapılması açısından önemlidir. Araştırmacının her öğrenciyle dersleri ayrı ayrı yapması öğrencilerin birbirlerinden etkilenmelerine engel olduğu gibi, ayrıca araştırmacının öğrencilerin ötelemeyi nasıl algıladıklarını daha iyi yorumlamasına imkân vermiştir. Yorumlarda mülakatlarda olduğu gibi öğrencilerin bir kavramı yapılandırırken figüre mi yoksa çizime mi odaklandıkları üzerinde durulmuştur. Bunun için de öğrencilerin video kayıtları incelenirken her öğrenciye ait bir profil çıkarılmaya çalışılmıştır. Yani öğretim aşamalara ayrılıp her öğrencinin her aşamada öğretilen matematiksel yapıyı algılarken çizimi mi yoksa

figürü mü temel aldığı üzerine analizler yapılmıştır. Ayrıca analizlerde her öğrencinin bilgisayar yazılımını kullanımı konusunda önceki deneyimleri dikkate alınarak [Bölüm 2’de bu konudaki eksikler giderilmeye çalışılmıştır], öğretim sırasında teknolojiden ne kadar yararlandıkları da incelenmeye çalışılmıştır. Diğer bir deyişle odak noktası öğrencilerin ne dereceye kadar teknolojiye ve matematiğe hakim oldukları üzerine olmuştur.

Uygulamalar belli bir kronolojik sıralama izlemektedir. Çünkü yapılandırmacı yaklaşımın esas alındığı öğretimle, öncelikle öğrencilerin yeni bilgileri önceki bilgileri üzerine inşa etmeleri amaç edinmiştir. Bu nedenle ilk olarak öğrencilerin ötelemeyi öğrenebilmeleri için hangi kavram ve becerilere sahip olmaları gerektiği araştırılmış ve bunun üzerine ilk mülakatlarla bu kavram ve becerileri öğrencilerin matematiksel anlamda bilip bilmedikleri (figür odaklı) test edilmeye çalışılmıştır. Öğretim öğrencilerin hazır bulunuşluk seviyeleri göz önüne

alınarak tasarlanmıştır. Öğrencilerin eksik oldukları konular tespit edilmiş ve bunu gidermek için öğretime ötelemenin yanında bu konular da eklenmiştir (örneğin, vektör kavramı). Kavramların hangi sıralamaya tabi tutularak öğretildiği aşağıda verilmektedir.

1. Ötelemenin yapılandırılması için gerekli ön bilgilerin öğrencilere kazandırılması öğretimin ilk bölümünü oluşturmaktadır (Bölüm 1.1). Bu kısımda

vektörün kavram olarak nasıl algılandığı üzerine bir öğretim geliştirilmiş ve yapılan uygulamalar sırasında öğrencilerin hangi anlayışlara sahip olduğu ve bu anlayışlara hazırlanan müfredat parçasının nasıl bir etkide bulunduğu üzerine analizler yapılmıştır.

2. İkinci durumda ise öğrencilerin dönüşümdeki tanım ve değer kümesini nasıl algıladıkları üzerine durulmuştur. Bu kısım öğretimin üçüncü bölümünün her aşamasında ele alınan bir konu olmasına rağmen birinci aşamada kazandırılması amaçlanmıştır (Bölüm 3.1). Ötelemenin gerçekleştirilebilmesi için ya da anlaşılması için öncelikle tanım ve değer kümesinin bilinmesi gerekmektedir.

3. Bu kısımdan sonra ise vektör kavramının bu sefer öteleme üzerindeki etkisi yani vektörün rolünün öğrenciler tarafından nasıl algılandığı üzerine durulmuştur. Vektörün rolü de öğretimin üçüncü bölümünün ilk aşamasında kazandırılması amaçlanan bir konudur (Bölüm 3.1).

4. Bir sonraki aşamada öteleme incelenirken düzlemdeki nesnelerin hangi

özelliklerinin korunduğu konusunda öğrencilerin nasıl bir anlayış geliştirdikleri üzerine odaklanılmıştır (Bölüm 3.2 ve 3.3). Buraya kadar Bölüm 3’te öğretilmesi amaçlanan konular üzerindeki öğrenci algıları incelenirken, kullanılan yazılımın bu anlayışlara etkisi üzerinde de bir çıkarımda bulunulmaya çalışılmıştır.

5. Son olarak da öğrencilerin öteleme dönüşümünü genel anlamda nasıl

algıladıkları; bilgisayarsız ortamda ve alışık olmadıkları soru çeşitleri ile betimlenmek istenmiştir (Bölüm 3.5).

4.2.1. _{VEKTÖRÜN ANLAMININ YAPILANDIRILMASI:}

Öğretimin ilk aşamasında öğrencilerin vektörün öteleme dönüşümündeki rolünü anlamasından önce, noktanın konum belirleyici özelliğini ve vektör kavramının anlamını geliştirmesi sağlanmak istenmiştir. Bu bölümde, vektörün bir kavram olarak nasıl anlaşıldığının ve buna, hazırlanan öğretimin katkısının ne olduğu

üzerinde durulmuştur. İlk mülakatlar bazı öğrencilerin (Ozan ve Öznur) bu konuda bir takım bilgilerinin olmasına rağmen vektörü gösterim şeklinden kaynaklanan nedenlerden dolayı (bir ucuna ok konması) ışın kavramı ile karıştırdıklarını göstermektedir. Bu nedenle öğretim planlanırken öncelikle vektörün sonlu bir geometrik şekil olduğu vurgulanmak istenmiş, yön faktörü de göz önünde bulundurulmuştur. Öğretim sırasında kareli zemin ya da noktalı kâğıtlar üzerinde çalışılarak vektörün yön ve büyüklüğünün ifade edilmesinde ve anlaşılmasında kolaylık sağlanacağı düşünülmüştür. Ayrıca ifade kolaylığından ziyade henüz pisagor bağıntısı hakkında bir ön bilgisi olmayan bu yaş seviyesindeki çocukların vektörü bileşenleri ile birlikte anlayabilmesi için kareli zemin kullanılması daha uygun olmuştur.

Vektör kavramının algılanabilmesi için öncelikle noktanın konum belirleyici özelliğinin anlaşılması gerekmektedir. İki noktanın birbirine göre konumlarının ifade edilmesi vektörün bitiş noktasının başlangıç noktasına göre konumunun ifade edilmesi için bir ön bilgidir. Bu nedenle ilk olarak noktaların birbirlerine göre konumları dikkate alınıp, ardından bu noktaların birinden diğerine giden doğru parçasından yola çıkarak vektör kavramına geçilmeye çalışılmıştır. Öğretim sırasında öncelikle vektör kavramının başlangıç ve bitiş noktalarına odaklanılmıştır. Vektörün yapılandırılması için dört öğrenciye de aynı öğretim uygulanmıştır. Öncelikle verilen sinema salonu fotoğrafının (bkz. Şekil 4. 4.) noktalı kâğıt ortamına taşınması istenmiş ve belirli koltuklar nokta olarak işaretletilmiştir.

Şekil 4. 4. Vektörün öğretimi için kullanılan sinema salonu modeli Her öğrenci bu işaretlemeleri yaparken nesneleri noktalı kâğıt ortamına aktarmada (hizalama ve koltuklar arası yaklaşık mesafeler açısından) herhangi bir sorunla karşılaşmamıştır. Dört öğrenci de bu belirlemeleri yaparken bazı noktaları dikkate aldıklarını ifade etmişlerdir. Örneğin; Efe, bu işaretlemeleri yaparken “oturma sıralarına ve arka arkaya oturma şekillerine bakarak” nerede olduklarını tahmin ettiğini açıklayarak doğrusallığa ve ardışıklığa odaklanırken, Berk ise “kaç birim yukarıda, sağda, solda olduğuna, kimin kimin arkasında olduğuna dikkat ettim” yanıtını vererek yön ve birim belirtici ifadeler kullanmıştır. Günlük hayattaki bir kesitin noktalı kâğıda aktarılırken sadece göz kararı bir takım becerilere dayanarak değil, matematiksel ifadelere dayanarak ele alınması öğrencilerin krokide noktaları figür olarak ele aldığını göstermektedir. Aynı şekilde öğrencilerin sinema salonu krokisinde kullanılan (nokta olarak işaretlenen) koltukların birbirine göre konumlarını ifade etmede de zorluk çekmediği görülmüştür. Örneğin, Öznur “Kerem Meryem’in 4 birim yukarısındadır” diyebilmektedir. Öğrencilerin, noktalar arasındaki konumu doğru biçimde ifade etmeleri öğretimin tasarımı ile alakalıdır. Çünkü sinema salonu modelinin kullanılması, öğrencilerin günlük hayattaki bildikleri bir durumu (yön ifade etme), matematiksel bir ortama (noktalı kâğıda) kolaylıkla aktarabilmelerini sağlamıştır. Ayrıca noktaların konumları arasındaki ilişkinin ifade edilmesi de daha sonra öğrenilecek vektör kavramının başlangıç ve bitiş noktalarını anlama açısından bir ön hazırlık olmuştur.

Öğrenciler bu ortamda noktayı yer belirleyici olarak kullandıklarını ifade etmişlerdir. Örneğin, Berk, “kişilerin yerini belirtmek için, bakınca nerede olduğunu görmek için” demiştir. Fakat bu kısımda öğrencilerden Ozan noktayı belli bir ortama bağımlı bir yer belirleyici olarak düşünmektedir. Çünkü Ozan için nokta ilk mülakatlarda haritadaki illerin gösteriminde kullanılan işaretlemeler iken öğretim sırasında sinemadaki koltukların gösterimi ile sınırlı kalmıştır. Yani noktayı herhangi bir nesnenin yerini belirlerken kullanabileceğinden bahsetmezken sadece araştırmacının ona sunduğu ortamlarla sınırlı düşünmüştür. Bu nedenle hala noktaları ifade ederken çizim olarak ele aldığı söylenebilir.

Noktaların kazandığı matematiksel anlam öteleme sırasında anlaşılacağı düşüncesiyle daha fazla üzerinde durulmamıştır. Çünkü araştırmanın amacı noktanın anlamının figüre odaklanarak yapılandırılmasından çok öğrencilerin öteleme dönüşümünü öğrenirken işlerine yarayacak matematiksel bir anlam ifade eden nokta tanımına sahip olmalarını sağlamaktır. Bu sebeple çizim temelli bir algı dahi olsa noktanın konum belirleyici olarak algılanması ileride yapılacak öğretim açısından yeterli görülmüş ve öğretime devam edilmiştir.

Diğer üç öğrencinin noktanın konum belirleyici özelliğini algılayışı Ozan’ınkinden farklıdır. Çünkü her biri sinema salonunda konum belirleyici olarak ifade edilen noktayı, bu ortamın dışında verdikleri farklı örneklerle ifade edebilmişlerdir. Örneğin; Öznur, “evlerin çatılarında kiremitler çizebiliriz ve kaç tane yaptıysak krokide onların yerini noktayla gösterebiliriz” şeklinde bir açıklama yaparken Berk, “Ben mesela bir yoldayım, gideceğim yeri nokta olarak gösterir ona göre giderim” şeklinde bir yol izlemiş, Efe ise “okulda sıra olurken öğrencileri nokta olarak gösterebiliriz” açıklamalarında bulunmuştur. Dikkat edilirse bu üç öğrenci noktanın konum belirleyici olma özelliğini belirli bir ortamdan bağımsız düşünmektedirler. Buradan da bu üç öğrencinin noktanın bu özelliğini figür olarak ele aldığı söylenebilir.

Bu kısımda öğrencilerin noktayı matematiksel anlamda

kavramsallaştırabildikleri söylenebilir. Örnek vermek gerekirse ilk mülakatlar sırasında Berk’in nokta ile ilgili açıklamaları, “misketler nokta olabilir” şeklindeyken, öğretimden sonra nesnelerin konum belirleyicisi olarak kullanılan temsili noktaya birçok örnek verebilmiştir (bir önceki paragrafta belirtilmiştir). Bu değişim öğrencilerin bu kavramın matematiksel yapısı hakkında yeni bir anlayış geliştirdiğini göstermiştir. Bu kısımda hazırlanan öğretim düzeneğinin faydası göz ardı edilemez. Noktanın bu özelliğinin ön plana çıkarılması daha sonra yapılandırılacak vektörün hatta daha sonra ise dönüşümün öğretimi için çok önemlidir.

Bu bölümden sonra öğretim için belirtilen sinema ortamının doğal yapısından yararlanılarak bir koltuktan diğerine ilerleyen bir kişinin izlediği yolun öğrenci tarafından çizilmesi istenmiştir. Tabi bu durumda matematiksel bir ortam olması açısından noktalı kâğıt üzerindeki krokide bir noktadan bir noktaya taksi

geometrisindeki (Krause, 1975) gibi doğru parçaları çizilmesi gerekmektedir. Böylece öğrencilerin daha sonra çizecekleri vektörün dik bileşenlerini anlamalarına kolaylık sağlanacaktır. Öğrenciler bu çizimleri istenilen şekilde yapmıştır. Daha sonra “İki koltuk arasında hiç koltuk olmasa idi en kısa nasıl bir yol izlenirdi?” sorusu sorulmuş ve bu çizimin de öğrenciler tarafından noktalı kağıtta doğru bir şekilde ifade edildiği görülmüştür. Bu durumda ilk çizilen doğru parçaları vektörün yatay ve düşey eksenlerdeki bileşenleri, ikinci çizilen doğru parçası ise vektörü belirlemektedir.

Şekil 4. 5. Efe’ye ait bir çalışma

Burada araştırmacının doğrudan devreye girmesiyle öğrencilere bu şeklin adının vektör olduğu belirtilmiştir. Bu kısma kadar öğrencilerin vektörlerin dik bileşenlerine bakarak birimleri ve yönleri ile ilgili bir takım ifadelerde bulunması (örneğin, 6 birim yukarı, 1 birim sağa) bu kavramın figür olarak algılandığını göstermemektedir. Çünkü öğrenciler vektörün belli bir büyüklükte olduğu ve bunun da dik bileşenlerinin birimlerine bağlı olduğu konusunda henüz bir açıklamada bulunmamışlardır. Fakat Ozan ve Öznur öğretimden önce kareli zemindeki vektörün bileşenlerini yön ve birim temelinde ifade etme becerisine sahipken, öğretimde kullanılan sinema salonu modeli bu ifadelerinin güçlü bir anlam kazanmasına yardımcı olmuştur. Tüm öğrenciler için söylemek gerekirse, onların bu matematiksel yapıya odaklanmalarında öğretim sırasında kullanılan günlük hayat kesitinin (sinema salonu) faydası göz ardı edilemez. Çünkü normalde günlük hayattaki bir durumu matematiksel anlamıyla anlamak öğrenciler için bir bakıma zordur (Ertuna, 2007). Sinema salonu doğal yapısından dolayı dik bileşenlerin öğretimi için uygun bir ortam olmuştur. Herhangi bir ortamda iki nokta arasındaki en kısa mesafe belirtilirken doğrusal bir yol izlense de sinema salonu ortamında koltuklar arasında ilerleyebilmek için (yatay veya düşey eksende) belli bir yol izlemek doğal olarak zorunludur. Bu nedenle öğretimde öğrenciler bu ortamın yapısını göz önünde

bulundurarak önce koltukların yan yana sıralı olması sebebiyle bir noktadan başka bir noktaya izlenen yolu (yatay ya da düşey eksenlerdeki bir AB doğru parçası gibi) belirlerken dik bileşenlere odaklanmakta ve daha sonra da aynı yer değiştirme işlemini koltukların olmadığı ortamda düşünerek vektörün yapısına odaklanmaktadır.

Öğretim sırasında vektörler ile ilgili yapılan bir sınıflandırma biçimi de vektörün yapılandırılmasına yardımcı olmuştur. Sadece yatay ya da sadece düşey eksenlerdeki mevcut vektörler “tek adımlı vektör;” hem yatay hem düşey eksenlerin bileşkesi olarak ifade edilen vektörler ise “iki adımlı vektör” olarak isimlendirilmiştir. Vektörlerin bu şekilde sınıflandırılması vektörün anlamının yapılandırılmasında fayda sağladığı gibi ötelemenin öğretimi sırasında da vektörün rolünün anlaşılmasında (ötelemenin bir parametresi olarak düzleme nasıl etkide bulunduğu konusunda) öğrenciler için bir ön hazırlık görevi görmüştür.

Bu kısımla ilgili öğretimin öğrencilere sağladığı fayda çizime dayansa dahi önemlidir. Çünkü mülakatlar sırasında vektör hakkında hiç bilgisi olmayan (Berk ve Efe ) ya da bir takım kavram yanılgıları olan öğrenciler (Ozan ve Öznur) için vektör sadece birim bazında ifade edilen bir çizgi olmaktan çok, bitiş noktasının başlangıca göre yönü ve uzaklığı ile anlam kazandığı bir yapıya dönüşmüştür. Örneğin, Öznur’un ilk mülakatlardaki vektör tarifi, çizdiği şeklin görünümünün ve bulunduğu ortamın (kareli zemin) bir betimlemesi şeklinde iken, öğretim sayesinde bu kavramın aslında özel bir doğru parçası olduğu düşüncesini yapılandırılmıştır. Böylece öğretim sırasında noktaların birbirlerine göre konumu üzerine düşünerek başlangıç ve bitiş noktalarının öneminin farkına varmıştır. Örneğin, ilk mülakatlarda Ozan vektöre sadece görünüşünü dikkate alarak “bir yerden başka bir yere giden çizgidir” ifadesinde bulunurken öğretim sırasında belli talimatlarla ilk odak noktası olan koltuğun bulunduğu noktanın başlangıç, gidilen koltuğun bulunduğu noktanın ise bitiş noktası olduğu gerçeğine daha bir ayrıntılı ve bilinçli olarak odaklanabilmiştir. Bunu, “Batuhan’dan Sena’ya ilerliyor” tarzındaki ifadelerinden anlıyoruz. Ayrıca bu sayede gidilen yolun sınırlı olması dikkate alınarak gidiş yönüne göre anlam kazanan ok işaretinin ışında geleneksel olarak kullanılan oktan farkı da kavranmıştır. Bunu, Berk’in, “Batuhan Sena’nın koltuğuna ilerliyor bu yüzden oku Sena’ya koyarım” tarzındaki yorumlarından anlıyoruz.