Öteleme dönüşümünün algılanışı

Mülakatların yapıldığı sırada öğrenciler henüz öğretim gördükleri ilköğretim okulunda bu konuyu işlememişlerdir. Bu nedenle öğrencilerden Ozan, Berk ve Efe öteleme hakkında hiçbir şey bilmediklerini ifade ederken, Öznur ötelemeyi “Örneğin bir geometrik şeklin [bir kare çizer] bir tarafından kesip diğer tarafına ekleriz [kare

içerisinde küçük bir kare kesiti işaretler ve paralel kenarına bu kesitin aynısını çizer] ve böyle bir şekil ortaya çıkar. Bu şekli tekrar ettiğimizde buna öteleme denir.” şeklinde açıklamıştır. Görüldüğü üzere Öznur’ a göre öteleme karesel bir şekle parça ekleyip çıkararak kâğıt üzerinde örüntülü süsleme yapma işlemidir. Bu kısımda Öznur yaptığı çizimin matematiksel boyutunun farkında olmadan belli eylemler dizisini sıralayarak çizime dayanan bir algı içerisinde olduğu gibi, öteleme dönüşümü ve örüntülü süsleme arasında bir kavram kargaşası yaşadığı da söylenebilir. Bu durumda dört öğrencinin de öteleme hakkında belli bir hazır bulunuşluğunun olmadığı söylenebilir.

4.1.7. Uzunluk ölçme becerisi

Öğrencilerin uzunluk ölçme konusundaki yeterlilikleri araştırılırken bu işlemi mekanik olarak yapmaları istenmemiş, sadece “uzunluk ölçümü yaparken nelere dikkat edersin?” şeklinde bir soru yöneltilmiştir. Bu kısımda dikkat edilen üç nokta vardır: (1) Ölçmede, ölçülecek nesne niteliğinin (uzunluk vs.) aynı cinsten bir birimle kıyaslanması gerektiği, (2) Ölçmenin birimlerin iterasyonundan ibaret olduğu; (3) Ölçmede başlangıç ve bitiş noktalarının önemidir.

Mülakat sırasında öğrencilerin ilk olarak bu üç özellikten bahsetmese de araştırmacının düşündürücü (olmamış bir olay üzerine yorum yaptırılarak) sorularıyla bu konu hakkındaki düşünceleri tespit edilmeye çalışılmıştır. Dört öğrenci de uzunluk ölçebilmek için belli bir birime (cm, m, km gibi) ihtiyaç olduğunu vurgulamıştır. Berk açıklamasında “Ölçeceğim şeyin boyuna bakarım. Çok uzun bir şeyse km veya metreyle ölçülür” diyerek ölçülecek uzunluğun birimle ifade edilmesi konusunda uygun birimi belirlemek gerektiğini belirtmiştir. Bu durumda “Örneğin masayı [öğrencinin o sırada kullandığı masa işaret edilerek] ölçmek istesen ne yaparsın?” tarzında bir soru yöneltilerek konu biraz daha sınırlandırılmış ve böylece ayrıntılı açıklamalar yapılması sağlanmıştır. Bu kısımda, dört öğrenci de metre kullanmak gerektiğini ifade etmişlerdir. Tüm öğrenciler metrenin kullanımını anlatırken masanın ölçülecek kenarına ölçme aletini üst üste gelecek şekilde yerleştirmek gerektiğini söylemişlerdir. Burada öğrencilerin uzunluk ölçümü için uygun ölçme aletini kullanmak gerektiğini bildikleri söylenebilir. Ayrıca öğrencilerle yapılan görüşmelerde ölçülecek cismin başlangıç ve bitiş noktasına dikkat etmek gerektiğini ifade ettikleri görülmüştür. Aşağıda araştırmacının olmamış bir olaydan yola çıkarak yürüttüğü diyalogda Efe’nin uzunluk ölçerken teorik açıdan başlangıç ve bitiş noktasının öneminin farkında olduğu görülmüştür.

A: Geçenlerde bir öğrenciye masayı ölçmesini söyledim. Ölçerken masanın şurasından başladı [masasının ucundan az ilerisini göstererek] sonuna kadar uzattı ve en son noktanın masanın boyu olduğunu söyledi. Doğru bir işlem yapmış mıdır?

Ö: Hayır çünkü birkaç cm fark eder A: Nasıl yapmak gerekiyor?

Diğer üç öğrenci de benzer açıklamalarla ölçme işlevinin sadece metre kullanılarak yapılanan bir eylemden ibaret olmadığını, bu işlemi yaparken iki noktaya (başlangıç ve bitiş) odaklanmaları gerektiğini bilmektedirler. Bu farkındalık öğrencilerin bu kısımda figüre odaklandıklarını göstermektedir.

Bu bölümde yeterli açıklama yapan öğrenciler standart ölçme aletleri (cetvel ve metre gibi) dışında bir ölçme şeklinden bahsetmeyince araştırmacı “bunlar dışında ne ile ölçebiliriz?” sorusunu yöneltmiştir. Bu sorunun amacı iterasyonun farkındalığını saptamaktır. Ozan ve Berk “karış” ile ölçülebileceğini söylerken, Öznur “uzunluğunu bildiğimiz bir kâğıt olabilir [elindeki A4 kâğıdını göstererek] ve benzer bir ifadeyle Efe de “uzunluğunu bildiğimiz bir maddeyle, mesela kalem olabilir” şeklinde bir açıklama yapmıştır. Öznur ve Efe de bir cismin uzunluğunu standart bir birimle ifade edebilmek için “uzunluğu bilinen bir cisim ile ölçmeliyiz” şeklinde bir açıklama yapmışlardır. Dört öğrenci de bu açıklamalarında kullandıkları nesneyi (karış veya kalem) ardı ardına ekleyerek sayma eylemi ile ifade etmişlerdir. Bu kısımda Öznur ve Efe’nin kullandıkları cisim (kâğıt ve kalem); sabit uzunluğu o an için değişmeyecek bir nesne olduğundan, ölçüm sırasında problem yaratmasa da karış örneği kişiden kişiye değişen bir nicelik olduğundan dolayı öğrencilerin bu konudaki bilgileri irdelenmiştir. Araştırmacı bir ölçme şeklinden bahsedip, bunun doğru olup olmadığını ve nedenini sorgulamıştır. Bu durumda Berk ile yaptığı görüşme esnasındaki diyalog aşağıda verilmiştir.

A: Karışla nasıl ölçüyorsun anlatır mısın?

B: En başından başlarız masanın sonuna kadar elimizle ölçeriz. Kaç kere, elimizle kaç adım gittiysek o kadar.

A: Pekâlâ biz ölçerken bir senin karışından, bir benim karışımdan ilerletsek ve diyelim sonuç 10 tane ikimizin karışı toplamı etse, ölçüm 10 karış diyebilir miyiz?

B: Hmm… O insana göre değişiyor. İki insanın eli aynı uzunlukta olamıyor. A: Aynı olmayınca ölçemez miyiz?

Ö: Ölçeriz de doğru olmaz.

Berk’in diyalogda “iki insanın eli aynı uzunlukta olmuyor [...] doğru olmaz” şeklindeki ifadesi ölçüm yaparken sabit bir birime ihtiyaç olduğunu vurguladığı göstermektedir. Bu kısımda Berk ölçmenin bu özelliğini sadece birimleri sayma

işlemi olarak algılasaydı yani bu beceriyi çizime dayandırsaydı yukarıdaki diyalogda yapılan işlemi doğru kabul ederdi. Görülüyor ki iterasyonun farkında olan öğrenci figür oluşumuna dayanarak uzunluk ölçme becerisini kazanmıştır. Diğer öğrencilerin de yaptıkları açıklamalarda ölçmede, kullanılan sabit bir birimin ardı ardına sıralanması gerektiğini bildikleri söylenebilir. Yani her öğrenci iterasyonun işlem olarak farkındadır.

Öğrencilerin uzunluk ölçme konusunda yeterli bilgiye sahip oldukları söylenebilir. Çünkü bu kısımda sadece belli bir eylem olarak bir cismin uzunluğunun ölçülmesi istense idi öğrencilerin ölçme eylemini yaparken sadece sıralı bir dizi hareketi (çizim) gerçekleştirmeleri yeterliydi. Fakat mülakatlarda her işlevin nedenleri ve nasıl olması gerektiği sorgulanarak öğrencilerin bu beceriyi belli bir mantık dâhilinde teorik kurallarını (figür) bilerek gerçekleştirip gerçekleştirmedikleri üzerinde durulmuştur. Ayrıntılı cevaplarda görülmüştür ki dört öğrenci de yukarıda bahsedilen üç önemli noktayı dikkate alarak ölçme işlemini içselleştirmişlerdir.

Öğrencilerin uzunluk ölçme becerisine sahip olması araştırma sırasında öğretimin yürütülmesinde büyük önem arz etmektedir. Çünkü öğrencilerin ötelemeyi algılayabilmesi için tanım ve değer kümesindeki noktalar arasındaki mesafenin sabit kaldığını ve bunun bir vektöre bağlı olduğunu fark etmeleri gerekmektedir. Bu farkındalık da ancak öğrencilerin ölçme işini teorik anlamda bilmeleri ile sağlanabilir. Özellikle öğrencilerin çokgenleri ötelerken çokgen ile görüntüsü arasındaki mesafeyi belirlemekte zorlandıkları görülmüştür. (örneğin, Yanık, 2006) Bu zorluğu aşmak için iki çokgen arasındaki mesafeyi hesaplarken çokgeni oluşturan noktaların her birinin kendi görüntüsü ile arasındaki mesafeyi dikkate almaları gerektiği bilgisini yapılandırmak şarttır. Mülakatlarda uzunluk ölçme becerisi sınanırken üçüncü özellik olarak belirtilen başlangıç ve bitiş noktalarının belirlenmesi, bu kısımda etkili olmuştur. Ötelemeyi anlamaya çalışan öğrencilerin uzunluk ölçerken öncelikle tanım kümesinde belirlediği bir noktanın başlangıç noktası, bu noktaya karşılık gelen görüntü noktasının ise bitiş noktasını ifade ettiğini bilmesi gerekmektedir. Aynı durum vektörün büyüklüğü hakkında yorum yapabilmek için de geçerlidir ki zaten bu iki ölçümün eşitliğinin algılanmasını sağlamak öğretimin ana amaçlarından biridir.

Öğrencilerin uzunluk ölçmede figür odaklı bir algı içerisinde olmaları öğretimde hem tanım ve değer kümesi elemanları arasındaki mesafeyi hem de vektörün büyüklüğünü ifade ederken çok faydalı olmuştur. Tabi bu kısımda kullanılan zeminin kareli kâğıt ya da ekran olmasından kaynaklanan bir avantaj olduğu da söylenebilir. Çünkü bu kısımda ne kâğıt üzerinde çalışırken belli bir ölçme gerecine (cetvel vs.) ne de yazılımın ölçme fonksiyonuna ihtiyaç kalmamıştır. Öğrencilerin iterasyonun farkında olmaları kareli zeminde sadece yatay ya da sadece düşey eksende belirtilen doğru parçasının birimlerini ifade ederken sorun yaşamamalarını sağlamıştır. Bu kısımda her ne kadar birimler eşit bir şekilde verilse de öğrencilerin iterasyonu figüre dayanarak algılaması onların öğretim sırasında uzunluğu, nokta aralıklarını sayarak doğru bir şekilde ölçmelerini sağlamıştır.