TÜREVİN UYGULAMALARI 05 

A. Artan Ve Azalan Fonksiyonlar

i) Her x

, x

 A için, x

<x

iken, f(x

)< f(x

) ise,

fonksiyonu, A kümesinde, artandır.

m=tan=

f ’(x

)>0

ise, f fonksiyonu (a,b)

aralığında artandır.

ii) Her x

, x

 A için, x

<x

iken, f(x

)> f(x

) ise, f

fonksiyonu, A kümesinde, azalandır.

m=tan=

f ’(x

)<0

ise, f fonksiyonu (a,b)

aralığında azalandır.

Sonuç:

f:[a,b]R fonksiyonu, (a,b) aralığında artan ve türevli ise, fonksiyonun bu aralıktaki türevi pozitiftir

Yani; f fonksiyonu, (a,b) aralığında artan bir fonksiyon ise

bu aralığın her elemanı için f’(x)>0’dır.

a b

f’(x) f(x)

+ + + + + artan

Sonuç:

f:[a,b]R, fonksiyonu, (a,b) aralığında azalan ve türevli ise, fonksiyonun bu aralıktaki türevi negatiftir.

Yani; f fonksiyonu, (a,b) aralığında azalan fonksiyon ise

bu aralığın her elemanı için, f’(x)<0’dır.

f’(x) f(x)

a b

- - - azalan

Soru:

f(x)=x

-2x fonksiyonunun artan veya

azalan olduğu aralıkları bulunuz?

Fonksiyonunun, artan veya azalan olduğu aralıkları bulabilmek için,

Çözüm::

türevinin işaretini incelemeliyiz.

f(x)=x2-2x  f’(x)= 2x-2 2x-2=0  x=1 olur. f’(x) f(x) - 1 + - ₊ azalan artan

Soru: 

R-{-2} için, f(x)=

nun daima artan olabilmesi için, m ne olmalıdır?

Çözüm : 2 x 1 mx  

Fonksiyonun daima artan olabilmesi için,

ol-malıdır. f’(x)>0 f’(x)= = =_{(x 2)}2 ) 1 mx .( 1 ) 2 x .( m     2 ) 2 x ( 1 mx m 2 mx     2 ) 2 x ( 1 m 2   Buradan; 0 ) 2 x ( 1 m 2 2   

_



Soru :

Y=f(x)

y

x

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Şekilde, y=f(x) fonksiyonunun [-3,4] aralığındaki gra- fiğini görmektesiniz.Bu grafiğe göre, f(x)’in türevinin pozitif veya negatif olduğu aralıkları bulunuz?

Çözüm

:

a) [-3,-1) aralığında,

Fonksiyon azalan olduğundan,f ’(x)< 0 ‘dır. b) (-1,3) aralığında,

Fonksiyon artan olduğundan, f ‘(x) > 0’dır.

c) (3,4) aralığında,

Soru :

Şekilde, y=f(x) fonksiyonunun, [-3,4] aralığında-ki türevinin grafiğini görmektesiniz. Grafiğe ba- karak, f(x)’in artan ve azalan olduğu aralıkları bu lunuz?

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Y=f’(x)

y

Çözüm

:

a) [-3,-2) aralığında:

f’(x) > 0 _{olduğundan,f(x) bu aralıkta} artan’dır.

b) (-2,0) aralığında:

f’(x) < 0 olduğundan,f(x) bu aralıkta azalan’dır.

c) (0,4] aralığında:

f’(x) > 0

x=3 noktası hariç, olduğundan,f(x) bu aralıkta

artan’dır. -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Y=f’ (x) y x

B.Maksimum Ve

Minimum

Değerlerin

Bulunması:

1. YEREL MAKSİMUM NOKTASI:

Tanım: f:[a,b]R, y=f(x) fonksiyonu verilsin. x₀_{(a,b) ve}  > 0 olsun. f fonksiyonu, (x₀- ,x_o+ ) aralığında en büyük

değerini x₀ noktasında alıyorsa, (x₀,f(x₀)) noktasında bir

yerel maksimumu vardır.

f(x₀) değerine, fonksiyonun bir yerel maksimum değeri

denir. x₀-  x₀ x_o+  f(x₀) a b Y=f(x) f ’(x) f(x) a x₀ b + -f(x₀) Maksimum

2. YEREL MİNİMUM NOKTASI:

Tanım:f:[a,b]R, y=f(x) fonksiyonu verilsin. x₀_{(a,b) ve}  _{> 0 olsun. f fonksiyonu, (x0- ,xo+ ) aralığında} en küçük değerini x₀ noktasında alıyorsa, (x₀,f(x₀)) noktasında bir

yerel minimumu vardır.

f(x₀) değerine, fonksiyonun bir yerel minimum degeri

denir. x₀-  x0 _{xo+ } a b Y=f(x) f(x₀) f ’(x) f(x) a x₀ b + -f(x₀) Minimum

Sonuç:

Soru :

f(x)= x3-3x2+1 fonksiyonunun yerel maksimum ve yerel minimum noktalarını bulunuz?

Önce, f(x)’in türevini alıp, türevin işaretini incelemeliyiz: f’(x)= 3x2-6x = 0  x₁= 0 ve x₂= 2 x₁= 0  f(0)= 1 x_{2= 2  f(2)= -3} f’(x) f(x) - 0 2 + 0 0 1 -3 + - +

Cözüm:

Soru :

-4 -2 –1 0 3 5

y=f ’(x) y

x

Şekilde, y=f(x) fonksiyo-nunun türevinin grafiğini görüyorsunuz. Bu grafiğe bakarak, y=f(x) fonksiyo-nunun, yerel maksimum ve

yerel minimum noktalarını bulunuz?

Cözüm :

-C. İkinci Türevin

Geometrik

f:[a,b] R fonksiyonu, (a,b) aralığında ikinci basamaktan türevli olsun:

a _b

y=f(x)

Eğrinin çukurluk yönü yukarı doğru bakmaktadır.

A

B

x₁ x₂

 _

a _b y=f(x) A B x₁ x₂  _ Bu teğetlerin eğimleri; m₁= tan=f’(x₁) ve m₂=tan=f’(x₂)  _{ tan< tan  f’(x1) < f’(x2) ‘dir.}

Yani;

x₁< x₂ için, f’(x₁) < f’(x₂) olduğundan, f’ fonksiyonu artan’dır.

Şimdi de, eğrilik yönü aşağı doğru olan bir eğri inceleyelim: a _b A B x_{1 x2}  

a’dan b’ye , teğetlerin eğim açılarının küçüldüğüne dikkat! Bu teğetlerin eğimleri;

a _b A

B

x_{1 x2}

 

 _{ tan> tan  f’(x1) > f’(x2) ‘dir.}

Yani;

x₁< x₂ için, f’(x₁) > f’(x₂) olduğundan, f’ fonksiyonu azalan’dır.

SONUÇ:

Bir f fonksiyonu için, aralı-ğın her noktasında, f’’(x)< 0

oluyorsa, f fonksiyonunun bu aralıktaki grafiğinin çukurluk yönü aşağı doğrudur.

Bir f fonksiyonu için, aralı-ğın her noktasında, f’’(x)> 0

oluyorsa, f fonksiyonunun bu aralıktaki grafiğinin çukurluk yönü yukarı doğrudur.

Soru :

f:R R, f(x)= x3+x2-2x fonksiyonunun, konveks ve konkav olduğu aralıkları araştırınız?

Çözüm

:

Öncelikle, f’in ikinci türevini alıp, işaretini incelemeliyiz. f’(x)=3x2+2x-2 f’’(x)=6x+2 = 0 x= -1/3 f’’(x) f(x) -  -1/3 + - +

Bir önceki örnekte görüldüğü gibi, fonksiyon eğrisi, eğrilik yönünü bazı noktalarda değiştirmektedir:

Tanım:

Bir f fonksiyonunun grafiğinin, çukurluğunun yön değiş-tirdiği ve fonksiyonun sürekli olduğu noktaya,

Dönüm (büküm) noktası

Şekilleri dikkatle inceleyiniz!!! a 0 x_{0 b} f(x₀) f ’’(x)<0 f ’’(x)>0 Dönüm noktası a _b 0 _x0 f(x₀) f ’’(x₀)=0 f ’’(x)>0 f ’’(x)<0 f ’’(x₀)=yok Dönüm noktası

1. f: RR, f(x)= x4+x3-2x fonksiyonunun, konveks ve konkav olduğu aralıkları ve varsa, dönüm noktalarını bulunuz?

Çözüm

:

f’(x)= 4x3+3x2-2 f’’(x)= 12x2+6x İkinci türevin kökleri:

12x2+6x=0 6x(2x+1) = 0

6x=0 x1= 0

x f’’(x)

f(x)

- -1/2 0 + 

+

+

konveks konkav konveks

Dönüm

noktası Dönüm noktası

-2. f: RR, f(x)=(x-2)4 fonksiyonunun, varsa, dönüm noktasını bulunuz?

Çözüm

:

+

+

x=2 noktası, ikinci türevin kökü olduğu halde, dönüm noktası değildir

Türev bu noktada, işaret değiştirmemektedir!

Yani; f’’(x₀)=0 olması, x₀ noktasının DÖNÜM noktası olmasını gerektirmez!!!!

D. L’HOSPITAL KURALI

f ve g , [b,c] aralığında sürekli ve (b,c) aralığında türevli iki, fonksiyon olsun. f ve g fonksiyonları, a(b,c) olmak üzere, bir a noktasında tü- revli ve g’(a)0 olsun.

Tanım: , 0 ) x ( f lim a x  g'(x) ) x ( ' f lim a x ve varsa, , 0 ) x ( g lim a x  ) x ( g ) x ( f lim a x = g'(x) ) x ( ' f lim a x

L’HOSPITAL KURALI

0

0





1. 2 x 3 x 10 x 7 x lim 2₂ 2 x    

 limitinin değerini bulunuz?

Çözüm

:

2. x x x 1 1 lim 0  

 limitinin değerini bulunuz?

Çözüm

:

3. x x π x sin cos 1 lim 

 limitinin değerini bulunuz?

Çözüm

:

4. x e x x x cos ) 1 ln( lim   

 limitinin değerini bulunuz?

Çözüm

:







5. ) 2 ln(sin ) ln(sin lim 0 x x

x  limitinin değerini bulunuz?

Çözüm

:





Cosx.sin2x 0 lim  x 2cos2x.sinx 2sinx.cosx 2.sinx.cos2x 0 lim  x 2cos2x.sinx = 2.cos(2.0) 0 cos . 2 2 = 2. 1 2. 1 = 1

6. _x

lim

_x

1



e

Çözüm

:

x



e

1

lim



x



e

1

lim

x

e

lim

lim

x

e

lim



7.

 

x

sin

.

lim

 limitinin değerini bulunuz?

Çözüm

:

 

x

sin

.

lim



x

x

1

)

2

sin(

lim

0

0

lim

x

x

1

)

2

sin(

lim

x

x

2

cos

2





1

x



lim

2

.

cos(

2

/

x

)

2

8.       _   x x x ln 1 1 1 lim

1 limitinin değerini bulunuz?

Çözüm

:



-



0

0





















ln

(

1

)

1

ln

lim

x

x

x

x

x

x

x

(

1

)

ln

1

_

_

_

x

x

x

x

1

)

.

ln

(





x x x x x ( 1) .ln 1 lim 1     = limx1 2

1

x



1

1

lim

x

x

x





1

1

lim





x