İKİNCİ BÖLÜM SPEKTRAL ANALİZ
2.1.2. Zaman Serileri Verileri
Zaman serilerinde kullanılan veriler aşağıdaki şekilde gösterilmiştir. İncelenen konu spektral analiz olduğu için, veriler trigonometrik fonksiyonlar olarak değerlendirilmiştir.
Şekil 2.6: Verilerin Sınıflandırılması
Matematiksel fonksiyon olarak tanımlanabilen ilişkiler deterministik veriler; gelecekte alacağı değerleri hesaplanamayan veriler ise, deterministik olmayan veriler olarak tanımlanır.
Bir fiziksel olayı;
(√ )
şeklinde yazabiliyorsak, bu bir deterministik fonksiyon olarak tanımlanabilir. Deterministik veriler, kesin bir matematiksel bağlantıyla tanımlanabilen verilerdir. Uygulamada pek çok fiziksel olay, belirli bir duyarlılıkta matematiksel olarak tanımlanabilir.
Sinüzoidal bir fonksiyonu aşağıdaki şekilde yazabiliriz;
Veri
Deterministik (Düzenli)
Periyodik
Sinüzoidal Karmaşık Periyodik
Periyodik Olmayan
Periyodik Benzeri Geçici Dalga
Deterministik Olmayan (Tesadüfi)
Durağan
Ergodik Ergodik Olmayan
Durağan Olmayan
Burada;
A: genlik, f0: frekans,
Θ: faz açısı (radyan), olarak gösterilir.
Bu fonksiyonun zaman ve frekans ortamındaki grafikleri ise,
Şekil 2.7: 2.32 Fonksiyonunun Zaman Düzleminde Gösterimi ve Frekans Düzleminde Spektrogramı
Karmaşık periyodik veri fonksiyonu ise, matematiksel olarak tanımlanabilen ve eşit aralıklarla dalga şekli yinelenen fonksiyonlardır. Fonksiyon olarak aşağıdaki şekilde gösterilir, burada T ana periyoddur;
∑
Tek bir salınım için geçen zaman, ana periyod diye adlandırılır. Birim zamandaki salınım ise, temel veya ana frekans olarak adlandırılır. Uygulamada, bu tür veri aşağıdaki bağıntıya göre ve daha ilerde detaylı olarak açıklanacağı üzere Fourier serilerine açılabilir;
∫
Şekil 2.8: 2.33 Fonksiyonunun Zaman Düzleminde Gösterimi ve Frekans Düzleminde Spektrogramı
Karmaşık periyodik verileri, Fourier Serileri ile göstermenin bir başka yoldu da;
∑
⁄ √ ( )
Bir başka deyişle, karmaşık periyodik veri X0 statik bileşeni ile harmonik denilen sonsuz sayıda sinüzoidal bileşenlerden oluşmaktadır. Bu bileşenlerin, yani harmoniklerin genlikleri (amplitude) Xn ve fazları Θn dir. Frekansları da f1 frekansının katlarıdır.
Periyodik olmayan veriler de iki türdür. (i) Hemen hemen (almost) periyodik veriler. (ii) Geçici (transient) veriler.
Hemen hemen (almost) periyodik veriler, periyodik olmayan ancak periyodik benzeri özellik gösteren verilerdir. Bileşenleri periyodik olmasına rağmen frekansları arasındaki ilişki tam sayılar değildir. En büyük ortak bölene sahip olmadıklarından sonsuz uzun T periyodunda salınırlar. Fonksiyonu da yine sinüs fonksiyonları ile ifade edersek, denklemi ve grafikleri aşağıda verilmiştir;
(√ ) veya
∑
Şekil 2.9: 2.39. Fonksiyonunun Zaman Düzleminde Gösterimi ve Frekans Düzleminde Spektrogramı
Periyodik olmayan geçici dalgalar ise, uygun bir matematik bağlantıyla gösterilebilen fakat yukarıda anlatılan grupların dışında kalan verilerdir. Gösterimi aşağıdaki şekildedir;
Bu tür verilerin en önemli özelliği, kesikli-ayrık spektral gösterilmelerinin olanaksız olmasıdır. Fakat birçok durumda spektral gösterilişi, Fourier integrali ile mümkündür. Aşağıda eşitliği verilen, ileride detaylı olarak açıklanacak fonksiyonun genliği | | olarak verilir.
∫
Düzensiz (tesadüfi veya gelişigüzel) veriler ise, matematiksel olarak tanımlanamaz, belirli bir andaki değeri kesin olarak tanımlanamaz, ancak, olasılık veya istatistik değerler ile tanımlanabilir. Gelişigüzel bir olaydan elde edilen örnek fonksiyonların toplamına rastgele süreç (random process) veya stokastik süreç (stochastic process) denir.
Durağan ve durağan olmayan verilerin ayrımı için örnek fonksiyonlar toplanır ve bu örnekler gruplanır. Örneğin, N adet örnek fonksiyonun her birinde t1 anındaki değerler toplanıp ortalaması alınır veya iki farklı andaki değerlerinin ilişkisini bulmak istersek (buna otorkorelasyon denir), iki andaki (t1 ve t1+τ) değerlerinin çarpımları toplanıp ortalaması alınır. Veri, teorik olarak bu grupların ortalamaları alınarak elde edilir.
” 𝑥 𝑡 𝐴𝑒 𝑎𝑡 𝑡 𝑡 𝑥 𝑡 𝐴𝑒 𝑎𝑡𝑐𝑜𝑠𝑏𝑡 𝑡 𝑡 𝑥 𝑡 𝐴 𝑐 𝑡 𝑐 𝑡
Şekil 2.10: Diğer Fonksiyonların Zaman Düzleminde Gösterimi ve Frekans Düzleminde Spektrogramı
Verinin ortalama değer fonksiyonu (ilk moment);
∑
Otokorelasyon fonksiyonu (bileşik moment);
∑
Eğer, t1 değiştikçe μ ve R değişmiyorsa buna durağan denir. Başka bir deyişle, istatistik özellikleri zamanla değişmiyorsa bu tür veriler durağan verilerdir.
Durağanlığı tanım olarak verirsek, ortalaması ve varyansı zaman içinde değişmeyen ve iki dönem arasındaki kovaryansı, bu kovaryansın (otokovaryans) hesaplandığı dönemle ilgili değil de, yalnızca iki dönem arasındaki uzaklığa bağlı olan süreç durağan süreçtir. Bu serilerde zaman başlangıç noktasının seçimi, işlemin istatistiksel özelliklerini etkilemez.
Durağanlık şartı,
Zayıf durağanlık şartı ise;
Şekil 2.11: Durağan ve Durağan Olmayan Verilerin Grafiği
Ergodik (ölçümkal, döngel) bir rastgele süreç ise; genel uyum içinde olan gruptaki sadece tek bir örnek (numune) fonksiyonun ortalamalarını hesaplayarak durağan rastgele bir sürecin özelliklerinin açıklanmasıdır. Örnekteki N adet fonksiyondan k’nıncı örnek fonksiyonu ele alalım. k’nıncı örnek fonksiyonun ortalama değer fonksiyonu;
∫
Otokorelasyon fonksiyonu (bileşik moment);
∫
Ergodiklik şartı;
değerleri, diğer fonksiyonlardan bulunanalar ile aynı ise buna ergosite denir. Başka bir deyişle, istatistik özellikler bir gözlemden diğer bir gözleme (örnek fonksiyondan örnek fonksiyona) değişmiyorsa ergodik adı verilir.
Rastgele bir verinin tanımlayıcı şartları aşağıda verilmiştir, bunlar; - Ortalama karesel değer,
- Olasılık yoğunluk fonksiyonu, - Otokorelasyon fonksiyonu,
- Güç spektrumu yoğunluk fonksiyonudur.
Bu şartlardan ilki olan “ortalama karesel değeri” rastgele verinin genel anlamda yoğunluğunu belirler ve şu fonksiyon ile verilir;
∫
Bu fonksiyonun etkin değeri (root mean square-rms);
√
Fonksiyonun statik bileşenini, ortalama değer ile ve dinamik bileşenini de varyans ile tanımlamak çoğu zaman kolaylık sağlayabilir. Bu bileşenler sırasıyla;
∫
∫[ ]
Standart sapma eşitliği ise;
√ İkinci şart olan “olasılık yoğunluk fonksiyonu”, verinin, zamanın herhangi bir anında tanımlanan aralıkta bir değer üslenme olasılığını tanımlar. Eşitlikler aşağıdaki şekilde verilebilir;
[ ] ∑ Küçük Δx’ler için; [ ]
Olasılık yoğunluk fonksiyonu;
[ ]
[ ]
Olasılık dağılım fonksiyonu;
[ ] ∫
Şekil 2.12: Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
Sinüs dalgası, sinüs dalgası + rastgele gürültü, dar-bant gürültü, geniş-bant gürültü fonksiyonların olasılık yoğunluk fonksiyonları Şekil 2.14’te verilmiştir.
Otokorelasyon fonksiyonu ise, verilerin bir zamandaki değerinin diğer zamandaki değeri arasındaki bağımlılığını tanımlar. Başka bir deyişle, seriyi oluşturan veriler arasındaki ilişkiyi tanımlar. x(t)’nin t ve t+τ anındaki değerleri arasındaki ilişki, bu değerlerin çarpımının gözlem süresi T’ye göre ortalamasının bulunmasıyla elde edilir. T sonsuza yaklaştıkça tam otokorelasyon bulunur. İlgili eşitlikler;
∫
√
Eşitlik 2.56 sinüs dalgası gibi bazı durumlarda geçerli olmayabilir.
Şekil 2.13: Otokorelasyon Fonksiyonu
Bütün
τ
değerleri için,τ
’yu değiştirerek Rx(τ)
’yu çizerek grafiği elde edilir. Otokorelasyon fonksiyonu, genel olarak, herhangi bir andaki değerlerin, gelecekteki değerleri nasıl etkilediğini, bir de gelişigüzel verilerle örgütlenmiş düzenli veriyi saptamada kullanılır.Son özellik olan “Güç Spektrum Yoğunluğu”, verilerin genel frekans bileşimini, verilerin ortalama karesel değerlerinin spektral yoğunluğu olarak tanımlar. Güç spektrumu, zaman serilerinde kullanışlı bir parametre olarak, olayın frekans veya periyoda göre yoğunluğunu veya değişkenliğini gösterir. Frekans aralığındaki ortalama karesel değer (f, f+Δt);
∫ Güç Spektrum Yoğunluk fonksiyonu şu eşitlik ile gösterilebilir;
Şekil 2.14: Sinüs Dalgasının (a), Sinüs Dalgası+Rastgele Gürültünün (b), Darband Gürültünün (c), Genişbant Gürültünün (d), Olasılık Yoğunluk Grafiği, Otokorelasyon Grafiği (Otokorelogram), Spektral Güç Grafiği –Her bir fonksiyonun ortalama değeri sıfırdır, μx=0
[ ∫ ]
Önemli bir özelliği olarak, spektral güç yoğunluk fonksiyonu Fourier Transformasyonu ile otokorelasyon fonksiyonuna ilişkilendirilir.
∫
∫
Tek rastgele verilerin yukarıda verilen özellikleri, birden fazla veri için de incelenebilir, böylece farklı rastgele veriler arasındaki ilişkiler analiz edilebilir. Bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonun ortak özellikleri genlik düzleminde; çapraz-korelasyon fonksiyonunun ortak özellikleri zaman düzlemine ve çapraz-yoğunluk fonksiyonunun ortak özellikleri frekans düzleminde incelenir.
Şekil 2.15: Bileşik Olasılık Ölçümü
Çapraz-korelasyon fonksiyonu bir verinin diğer veri ile olan bağımlılığını tanımlar. Bu fonksiyon şu şekilde gösterilir;
Fonksiyon, otokorelasyon fonksiyonuna benzer olup, Rx(
τ
)=0 durumunda korelasyonun olmadığı söylenir.Şekil 2.16: Çapraz-Korelasyon Ölçümü
Şekil 2.17: Tipik Çapraz-Korelasyon Çizimi (Çapraz-korelogram). Keskin Tepeler x(t) ile y(t) Arasında Belli Zaman Farklarındaki Korelasyonun Varlığını Göstermektedir.
Fonksiyonlar ile çalışma yapılmadan önce verileri doğru analiz etmek için ön işlem yapmak gerekebilir. Ön işlemler sırasıyla; örnekleme, trendin ayrıştırılması ve filtreleme yöntemleridir. Bu işlem için fonksiyonun kesme frekansı belirlenir. Kesme frekansı aynı zamanda Nyquist veya katlama frekansı olarak da adlandırılır ve şu şekilde belirlenir:
Şekil. 2.18: Örnekleme Yöntemi İle Önişleme
Trendin ayrıştırılması, pek çok zaman spektral analiz yapmadan evvel gerekli olmaktadır. Trend ayrıştırmak için en küçük kareler yöntemi kullanılır. Zaman serisinin u(t) olduğu öngörüldüğünde;
İstenen uyum fonksiyonu belirlenir; (örnek olarak 2.65 eşitliği polinom olarak verilmiştir), u(t) zaman serisi için;
̂ ∑ En küçük kareler uyumuyla; ∑ ̂
Kısmi türevler sıfıra (0) eşitlendiğinde; ∑ ̂ [ ] Bu durumda K+1 eşitliği; ∑ ∑ ∑
Şekil 2.19: Trend Ayrıştırma İşleminin Grafik Gösterimi