İKİNCİ BÖLÜM SPEKTRAL ANALİZ
2.1.4. Ekonomik Zaman Serilerinin Analizi
2.1.4.5. Harmonik Analizi
[
]
Burada Kurtosis (K-3)’in alacağı işaret basıklığı, Skewness (S)’ın alacağı işaret çarpıklığı gösterir. Rastgele değişkenin dağılımının sivriliğini ya da basıklığını gösteren basıklık (kurtosis) ölçütüdür; çarpıklık (skewness) ise, dağılımın ortalama değere göre simetrikliğinin derecesini gösterir. Ekonometrik programlar kullanılarak hesaplanan J-B test istatistiği, belirli bir anlamlılık seviyesinde (%1,%5,%10) χ2
tablosundan elde edilen kritik değerden büyükse, serinin normal dağılıma sahip olmadığını içeren hipotez kabul edilerek piyasanın etkin olmadığına karar verilir.
2.1.4.5. Harmonik Analizi
Harmonik analiz, döngünün boyu belli olduğu zaman, döngüsel modelin belirlenmesi için kullanılır. Trend analizi zaman serisi verisine uyan en uygun trendinin belirlenmesinde kullanıldığı gibi, harmonik analiz de döngünün ortalama, genlik ve fazının belirlenmesinde kullanılır. Harmonik analiz, zaman serisinin periyodu bilindiğinde kullanılabilecek uygun bir yöntemdir. Ancak, eğer döngünün boyu belirlenemediği veya bilinmediği durumlarda, periyodogram analizi veya spektral analiz daha uygun yöntemler olarak kullanılmalıdır.
Harmonik analiz, lineer regresyon modeline benzetilebilir. basit lineer regresyon denklemidir ve temel istatistik yöntemlerinden en küçük kareler yöntemi uygulanarak ilgili parametreler tahmin edilebilir. Ancak, Xt serisi sinüzoidal
154
TERZİ, Harun; ZENGİN Hilmi, “Temel Ekonometri Teori ve Uygulama”, Derya Yayınevi, Trabzon, 2003, s.26 ve GUJARATİ, Damoadar N., “Temel Ekonometri”, Literatür Yayımcılık, İstanbul, 2001, s.103.
seriler ihtiva ettiği zaman daha karmaşık trigonometrik modelleri kullanmak gerekir. Aşağıdaki denklem, bu tür bir modeli göstermektedir;
Burada;
Xt: X serisinin t zamanındaki değeri, μ: Serinin ortalama değeri,
R: Serinin genliği veya yüksekliği,
ω: Serinin radyan cinsinden frekansı ve 2π/τ’ye eşit, Φ: Fazı,
ϵ: Döngüye bağlı olmayan ve arta kalan değerleri, t: Gözlem sayısını göstermektedir.
Bununla beraber, parametrelerin daha uygun olarak tahmin edilebilmesi için denklem sinüs ve kosinüs fonksiyonları birlikte kullanılarak yazılabilir, bu durumda eşitlik aşağıdaki şekilde olacaktır;
Bu eşitlik sinüzoidal fonksiyonların en genel şekilde yazılımıdır. Burada, A ve B değerleri sinüs ve kosinüs bileşenlerinin, seriye ne kadar katkı yaptıklarını belirler. Sinüs ve kosinüs fonksiyonları aynı dalga şekline sahiptirler, ancak 90 derecelik veya çeyrek devirlik fazdadırlar.
τ
periyodundaki sinüs ve kosinüs fonksiyonları birbirinden bağımsızdırlar, dolayısıyla A ve B katsayılarını değiştirerek tüm sinüzoidal dalgalanmaları üretmek mümkündür. Verilen birτ
periyodundaki döngünün, ortalama, genlik ve faz parametreleri, en küçük kareler yöntemi kullanılarak tespit edilebilir. Salınımın genel genliği (R) ve fazı (Φ);√
Parametrelerin tahmin değerleri aşağıdaki şekilde bulunabilir; ̃ ∑ ̃ ∑ ̅ ̃ ∑ ̅
Bununla beraber, zaman serileri tam sayıda döngü içermiyorsa veya seride iki veya daha fazla döngüsel bileşen varsa parametrelerin tahmin edilmesi daha karmaşık hale gelir. Her iki durumda parametreler, diğer parametrelerin değerlerini de dikkate alarak tahmin edilmelidir. Bu sorunu çözmek için analitik bir çözümden ziyade numerik yöntemler kullanılabilir. Bu yöntemlerden biri hedef / ızgara arama (grid search), en iyisi ise maksimum olabilirlik (maximum likelihood) yöntemidir156. Bu yöntemlerde, farklı
τ
değerleri kullanılarak, zaman serisi verisine en iyi uyan periyot bulunur.Ayrıca, A ve B katsayılarının anlamlılığını test etmek için regresyon analizindeki t ve F testleri kullanılabilir. Ancak, harmonik analizinden arta kalan değerler bağımsız veya beyaz gürültü olmayabilirler ve bu durumda bu anlamlılık testleri doğru sonuç vermez157.
Harmonik analizi, döngüsel serilerin analizinde kullanılabilecek en kolay ve basit yöntemdir. Ancak, eğer serilerde doğrusal (linear) veya eğrisel (curvilinear) trend varsa, analizin sağlıklı yapılabilmesi için seriden ayrıştırılmalıdır. Ayrıca, eğer serinin periyodu
τ
önceden bilinmiyorsa veya seri birden fazla döngüsel bileşen içeriyorsa, periyodogram veya spektral analiz kullanılmalıdır. Serinin aykırı durumlar içermesi halinde ise, bu aykırı veriler dönüştürülerek analizin orantısızca etkilenmesi engellenmelidir. Tüm bu analizlerin yapılabilmesi ve harmonik analizden elde edilen sonucun iyi uyum sağlaması için serilerin durağan olması gereklidir.
156
BLOOMFIELD, Peter, “Fourier Analysis of Time Series: An Introduction”, Wiley, New York, 1976, s.23.
157 WARNER, Rebecca M., “Spectral Analysis of Time-Series Data”, The Guilford Press, New York, 1988, s.57.
2.1.4.6. Periyodogram
Periyodogram analizi esasen harmonik analizin genelleştirilmesidir. Harmonik analiz periyodu belli olan döngülerin parametrelerini tahmin etmekle beraber, pek çok araştırmada serilerin periyodları önceden bilinmez. Bu nedenle çalışmalarda, zaman serilerinde hangi bileşenlerin yüksek oranlı varyansları açıkladığını, dolayısıyla da bu serilerin periyot boyunu ve genliğini tespit etmek gerekmektedir.
N uzunluğundaki bir serinin varyansını N/2 sayıda periyodik bileşenlere bölümlemenin en basit şekli, varyans analizinin (Analysis of Variance-ANOVA) bir türü olan periyodogramdır158
. Gerçekte, periyodogram analizi, zaman serilerinde her farklı sinüzoidal gruplara karşılık gelen varyansın yüzdelerini belirler. Ayrıca, periyodogram, her sinüzoidalin faz ve genliğini de tahmin eder. Ancak, periyodogram analizinin de doğru sonuç vermesi için serinin trendden arındırılması gerekmektedir. Serideki trendler, uzun periyoda sahip döngüleri taklit ederek, varyansın bölümlenmesini etkileyecekler ve periyodogramda uzun süreli döngülerin varyansı olarak görüneceklerdir.
N uzunluğundaki bir zaman serisi, N/2 sayıda ve sırasıyla N/1, N/2, N/3,…, N/(N/2) veya 2 periyotlarında sinüzoidal dalgalar ile yeniden üretilebilir. Bu periyotlar eşit olarak dizildiklerinden birbirlerinden bağımsızdırlar, dolayısıyla da istatistiki olarak da birbirlerinden bağımsızdırlar. Periyodogram analizinin amacı, N uzunluğundaki zaman serisin kareler toplamını (Sum of Squares, SStotal), her biri iki serbestlik derecesindeki ve her bir döngüden sorumlu olan varyans değerine karşılık gelen N/2 SS bileşene ayırmaktır159
.
Serideki her frekans için A ve B katsayıları bulunur ve bu katsayılardan da her frekans için ⁄ periyodogram koordinatı veya yoğunluğu hesaplanır. Bu değer, her bir periyodik bileşene karşılık gelen kareler toplamı SS değeridir ve ANOVA’da olduğu gibi bu değerlerin tüm frekanslar boyunca toplamı, zaman serisinin toplam kareler SStotal eşittir. Bu analizlerde, N küçük değerlerde iken en küçük kareler yöntemini uygulanabilirken; N büyük değerlere ulaşırsa, katsayılara ulaşmak için Kesikli Hızlı Fourier Dönüşüm (Discrete Fast Fourier Transform, DFFT) algoritmasını
158
BOX, George E. P.; JENKINS, Gwilym M., “Time Series Analysis: Forecasting and Control”, Holden-Day, Inc., San Fransisco, 1970, ss.36-39.
159 WARNER, Rebecca M., “Spectral Analysis of Time-Series Data”, The Guilford Press, New York, 1988, s.65.
uygulamak daha etkin sonuç verecektir. Ayrıca, bulunan Fourier katsayılarıyla tekrar oluşturulan sinüzoidalin şekli, zaman serilerinin davranışını açıklamada belirleyici bir yoldur.
Periyodogram analizinde, sıfır hipotezi (null hypothesis), incelenen zaman serisinin beyaz gürültü (white noise) olduğu ve her bir N/2 periyodik bileşenin yaklaşık olarak eşit miktarlardaki varyanslara sahip olduğudur. Ancak, eğer bir periyodik bileşen zaman serisindeki varyansın büyük kısmını açıklıyorsa, bu periyodik bileşen, SStotal’in N/2 frekans bileşenleri arasında eşit olarak bölündüğünde beklenenden daha büyük SS değerine sahip olacaktır. Periyodogramdaki bu tepe değerlerinin istatistiki anlamlılık testleri ise Fisher testi uygulanarak yapılabilir.
Periyodogram analizinde, kullanılan zaman sersinin uzunluğunun, tespit etmeye çalıştığımız döngünün tamsayı katı seçilmesi önemlidir. Eğer bu uzunluk tamsayı katı olarak seçilmezse, bu durumda sızıntı (leakage) olarak adlandırılan yapay bir durum ortaya çıkar. Sızıntı, gerçek döngü periyodogram analiziyle doğru olarak tespit edilemediğinde, varyans diğer döngü uzunluklarına karşılık gelen kareler toplamına taşarak oluşur. Diğer bir deyişle, eğer zaman serisinin frekansı, periyodogram analizindeki frekanslardan biriyle eşleşmiyorsa, bu durumda ihmal edilen bu frekans nedeniyle oluşan varyans komşu frekanslara sızacaktır. Eğer frekans önceden bilinmiyorsa, sızıntıyı (leakage) engellemek için farkı N değerleri ile periyodogram analizleri yapılıp, en net tepe noktalarını veren frekans seti belirlenebilir. Döngü boyunun daha hassas olarak belirlenmesi gereken durumlarda hedef / ızgara araması (grid seach) yöntemi ile harmonik analiz yapılarak zaman serisine en iyi uyan τ değerleri belirlenebilir.
Bu analiz, tamamen kesin periyotlara sahip zaman serilerinin, her biri sinüs veya kosinüs terimleri ile temsil edilen belirli sayıda armonik dalgaların toplamı olarak temsil edilmesine dayanır. Bir zaman serisinin Xt=f(t) bütün t değerleri için f(t+ τ)=f(t) şartı sağlıyorsa Xt serisi τ periyoduna sahip bir Fourier açılımı aşağıdaki gibi gösterilebilir160.
∑ ( )
160 VURAN, Ateş, “İstatistik III”, İ.İ.T.İ.A. İşletme Fakültesi, İstatistik ve Kanitatif Araştırmalar Enstitüsü Yayını, No 82/2, Met-Er Matbaası, İstanbul, 1981, s.75.
Eşitlikte, a0, an ve bn değerleri sabit katsayılardır. Ayrıca, uzunluğu τ /n olan periyoda sahip armonik terimin kuvveti Rj (amplitude) ise;
olarak hesaplanır. Pratik çalışmaların temel amacı, Xt (t=1,2,…,n) zaman sersinin temel armonik bileşenlerinin belirlenmesidir. Bu durumda, zaman serisinin bir Fourier açılımı ile normal dağılmış εt~N(0,σ2
) rastgele hata teriminden oluştuğu varsayılmaktadır. Modelin n/m uzunluğundaki periyoda sahip armonik bileşenlerinin Fourier katsayıları:
∑
∑
şeklide hesaplanmaktadır. Rm değerinin, m’nin alacağı farklı değerler için n/m ekseninde gösterilmesine Xt’nin zaman serisinin periyodogramı denmektedir. Bir armonik bileşenin anlamlılığı Rm2 tahminin anlamlılığı ile test edilir. Bunun için Walker, Fisher ve Shuster testleri kullanılmaktadır. Ancak, çalışmanın konusu periyodogram analizi olmadığı için, bu testlerden bahsedilmemiştir.
Schuster periyodogramı, Xt (t=1,2,…..,n) gibi zaman serisi için aşağıdaki fonksiyonla tanımlanır. [(∑ ) ] [(∑ ) ]
In(ω) fonksiyonun, eğer Xt serisinin ω0 periyoduna sahip bir periyodik terimi varsa, ω=ω0 değerinde bir tepe noktasına sahip olduğu görülür. Ayrıca, değerinde alt tepe noktalarına sahip olacaktır. Bu tepe noktaları için anlamlılık testleri çeşitli yazarlar tarafından önerilmiştir. Bu testlerle ilgili bir araştırma Jenkins ve Priestley’in eserinde toplanmıştır161. Tahmin edilen periyodogramın görünümü, değişkenden bağımsız olarak düşük gecikme ilişkilerinde bile tepe noktalarının
161 JENKINS, Gwilym M; PRIESTLEY, Maurice B., “The Spectral Analysis of Time Series”, Journal of Royal Statistical Society Series B, Cilt 19, 1957, ss.1-12.
meydana gelmesine sebep olduğundan, yukarıda bir örneği verilen bu testlerin kullanımı gereklidir.
Diğer taraftan, trigonometrik fonksiyonların karmaşık (complex) açılımları kullanılarak da periyodogram analizi yapılabilir. Bu durumda, Eşitlik 2.97 şu şekilde yazılabilir;
|∑
|
Periyodogram spektral tahmincisi olarak adlandırılan bu fonksiyonun, ilk kullanım amaçlarından biri zaman serilerindeki gizli kalmış periyotları ortaya çıkarmaktır162
. Bu denklemle tahmin edilen periyodogramın bir özelliği de örnek birim sayısı n sonsuza giderken beklenen değerinin, güç spektral yoğunluk tahmincisine denk olmasıdır.
[ ]
[ |∑
| ]
Sürekli serilerin periyodogramlarının tahmin edilmesinde uygulamada zorluklarla karşılaşılmaktadır. Bu durumda, periyodogramın Hızlı Fourier Dönüşümü (Fast Fourier Transformation- FFT) ile tahmin edilebilmektedir163. Periyodogramın tahmin edilmesi için gerekli frekans örnekleme aralığı olarak;
belirlendikten sonra, W sabiti;
⁄
162 STOICA, Petre; MOSES, Randolph, “Introduction to Spectral Analysis”, Prentice Hall, Upper Saddle River, 1997, s.24.
olarak tanımlanır. Böylece periyodogram, Kesikli Fourier Dönüşümü’nün (Discrete Fourier Transform - DFT) hesap şekline indirgenmiş olur;
∑
Eşitlik 2.102’nin kullanılabilmesi için N2
adet karmaşık (complex) çarpma ve toplama işleminin yapılması gereklidir. Bu hesaplamalar, n örnek hacminin büyük olduğu durumlarda, yöntemin kullanılmasında büyük engel oluşturmaktadır. Bu nedenle, çözüm için FFT algoritmaları kullanılır.
Bu tür çalışmaların amacı, varyans bölümlemesi belirlemek veya döngü hakkında olabildiğince ilk ve kesin tahmini yapabilmek olduğu için, harmonik analiz ve periyodogram analiz, basit ve kullanışlı teknikler olarak kullanılabilir. Ancak, iki gerçekçi olmayan varsayım içerdiğinden dolayı fazla ilgi görmemiştir. Öncelikle, bu teknik, rastgele sapmalar dışında bütün tepe ve dip noktaların, ekonomik zaman serilerindeki kesin ve değişmeyen dalgalanmalardan ortaya çıktığını varsaymaktadır. İkincisi ise, rastgele sapmaların, ileriki dönemlerde ekonomik zaman serisi üzerinde hiçbir etkisinin olmadığını kabul etmesidir164. Bu nedenlerden dolayı, daha gerçekçi varsayımlara sahip ve düzenli dalgalanmaları ortaya koyabilecek teknikler üzerinde çalışmaya devam edilmiştir.
Şekil 2.24: Dow Jones Endeksinin Periyodogramı
2.1.4.7. Korelogram
Korelogram daha önce anlatıldığı gibi, farklı gecikme seviyelerindeki (τ) bir zaman serisinin otokorelasyon katsayılarının (ρτ) incelendiği yöntemdir. (Blackman ve
Tukey, 1959). Yukarıda bahsi geçen güç spektral yoğunluk fonksiyonunun, otokovaryans katsayılarına (τ) dayalı tanımı, korelogram spektral tahmincisi olarak
adlandırılır165. Korelogram spektral tahmincisinin tanım fonksiyonu aşağıda verilmiştir;
∑ ̂
Bu denklemde yer alan otokovaryans katsayıları, durağanlık varsayımı dışında bir varsayım yapılmadığı takdirde aşağıdaki gibi tahmin edilir:
̂
∑ ( )( )
Örnek otokovaryans istatistikleri, yukarıda verilen formül ile hesaplanır. Varyans-kovaryans matrisinin simetri özelliğinden yararlanılarak, negatif gecikmelerin kovaryansları belirlenir. Bu denklem ile yapılan ana kütle parametre tahmini, standart sapmasız otokovaryans süreci tahminidir. Eğer serbestlik derecesi veya payda n-τ yerine n olarak alınırsa standart sapmalı otokovaryans süreci tahmin edilmiş olur.
Eşitlik 2.105 aynı zamanda trigonometrik fonksiyonların bir özelliğidir. Eşitlik 2.104 ile yapılan ana kütle parametre tahmini, standart sapmasız otokovaryans süreci tahminidir. Eğer serbestlik derecesi veya payda, n-τ yerine n olarak alınırsa standart sapmalı otokovaryans süreci tahmin edilmiş olur.
Periyodogram ve korelogram yöntemlerinin, spektral tahmincilere göre daha zayıf kalmalarına rağmen, parametrik olmayan spektral tahmin yöntemlerinin temelini oluştururlar.