Spektral Teori

Spektral analiz, biz zaman serisinin sonlu sayıda zamana bağlı bileşene ayrıştırılmasında kullanılan yöntemler topluluğudur. Bu tanımdan da anlaşılacağı üzere, spektral analiz yöntemleri, öngörü ve model tahmininden ziyade, bir bileşenlerine ayrıştırma (decomposition) analizidir. Ekonomik zaman serilerinde bulunan bu bileşenler, uzun dönem eğilimini temsil eden trend, periyot uzunlukları tam kesin olmayan konjonktür dalgalanmalar ve bir yıl süreli periyoda sahip mevsimsel etkilerden kaynaklanan düzenli mevsimsel dalgalanmalar olarak tanımlanır. Bu arada, bir zaman serisinde birden çok konjonktür dalgalanmanın etkisi görülebilir. Bunun nedeni, ekonomik zaman serilerinin pek çok ekonomik ve sosyal etkinin altında kalmasıdır. Dolayısıyla, analizin bir amacı da bu dalgalanmaların sayısının belirlenmesidir. Zaman serilerinin bileşenlerine ayrılmasının diğer amaçları da şöyle sıralanmaktadır. Öncelikle, ekonomik aktivitede gözlenen devresel (periodic) hareketin dönüm noktalarının tahmin edilmesi amaçlanabilir. İkinci olarak, mevsimsel hareketlerden arındırılan zaman serisinde mevsimsel faktörlerin etkisi araştırılmak istenebilir. Üçüncü bir amaç, ilgilenilen zaman serisinde zamana bağlı fonksiyonel bir etkinin varlığının belirlenmesidir. Son olarak, zaman serilerinin bileşenleri arasındaki ilişkinin varlığı ve eğer var ise bu ilişkinin gücünün araştırılmasıdır187

.

Spektral analiz emtia, vadeli işlemler, menkul kıymetler, para ve döviz piyasalarında pazar etkinliği için gerekli koşulların test edilmesinde de kullanılmıştır. Burada, spektrumun genel spektral şekilde mi olduğu, yoksa rastgele yürüyüş

187

BASILEVSKY, Alexander; HUM, Derek P. J., “Spectral Analysis of Demographic Time Series: A Comparison of Two Spectral Models and Manitoba Basic Annual Income Experiment”, Recent Developments in Statistics, Derl: J. R. Barra, F. Brodeau, G. Romier, B. Van Custem, North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1977, s.332.

modelinde mi olduğunu incelenmiştir. Spektral analizin finansal istatistikte kullanımı, yöntemin, referans aldığı teknik bilimlerden elektronik mühendisliği ile gelişerek, 1970’lere doğru kesikli zaman serilerine uygulanmaya başlanması ve durağan zaman serilerinin sayılabilir sonsuz sayıda trigonometrik fonksiyonların toplamından oluştuğunu varsayması ile gelişmiştir. Bu fonksiyonların, klâsik çoklu regresyon modelleri ile tahminlerinin yapılamamasının nedeni, periyodun uzunluğunu temsil eden parametrelerin doğrusal hale getirilememesidir. eşitliği doğrusallaştırılıp haline getirildiğinde, klâsik çoklu değişkenli regresyon analizi ile a₀, c₁ ve c₂ parametreleri tahmin edilebilmekle birlikte, periyot uzunluğu (ω) EKK (en küçük kareler) ile tahmin edilememektedir188

.

Spektral teoriyi yazabilmek için bazı tanım ve fonksiyonları tanımlamak gerekir; {Xt, t= -∞,…,-1,0,1,…,∞} verisini üreten süreçten elde edilen tek bir örnek zaman sersinin {xt, t= 0,1,…,∞} şeklinde verildiğini varsayalım. Veri üreten süreci zamanın her anında göstermek gerekse de, stokastik sürecin ve olasılığın doğası gereği bu pek de mümkün değildir. Veri üreten örnek süreçleri aşağıdaki şekilde gösterebiliriz;

Burada; εt..: rastgele bağımsız serileri, p(t) ve q(t)..: t ile değişen polinom fonksiyonları göstermektedir. Burada daha karmaşık bir süreç, örneğin, beş birim süreç i’den, onu takip eden dört süreç iv ve beş süreç i veya sürekli olarak süreç i veya süreç iii’ten rasgele alınan terimlerden oluşabilir. Bu tür serileri analiz etmenin oldukça güç olduğu açıktır. Analiz terimi ile veri üreten bir süreçten elde edilen örnek veriden, incelenen verinin özelliklerini belirleyerek tahmininin yapılması, bir diğer anlatımla, serinin, örneğin incelenmesinden çıkarılan sonuçlarla yeniden oluşturulması anlatılmak istenmiştir. Daha önce de belirtildiği gibi, konu klâsik istatistikteki yığından rastgele örnek seçerek, yığının özelliklerini belirlemeye benzemektedir. Burada, veri üreten

188 GRANGER, Clive W. J.; NEWBOLD, Paul, “Forecasting Economic Time Series”, Academic Press, New York, 1977, s.6.

süreci Xtve Yt gibi büyük harflerle, veri üreten süreçten alınan örneklerin ise xtve yt gibi küçük harflerle gösterildiği bilinmelidir. Zaman serilerinde zamanın dâhil edilmesi ve zamanın tek yönde akıyor olması sonucu, t anında bulunurken, t+1’de serinin hangi değeri alacağı olasılık dağılım fonksiyonu ile belirlenebilir189

. Teorinin geneli veri üreten süreç açısından değerlendirilecek olmasına rağmen, gerekli olan parametreler ve benzer değerler elde olan örnek veriye göre belirlenecektir.

Genellikle veri üreten sürecin özellikleri, ilk ve ikinci momentleri ile açıklanır;

[ ] [ ] [ ]

Burada, μ(t,s) : X_t ve X_s arasındaki otokovaryans terimini göstermektedir. E[ ] beklenti terimi ile ilgili bilgi Ek 1’de verilmiştir. Bu süreçten elde edilen bağımsız örneklerin ise } olduğunu ve m_t’nin şu şekilde tahmin edildiğini varsayalım;

̅ ∑

̅

Burada; ̅ genel uyum ortalaması (ensemble average) olarak adlandırılır ve M sonsuza gittiğinde yığının ortalamasını verme özelliğine sahiptir. Ancak, ekonomide genel uyum ortalaması ile E[X_t] tahmin edilemez. Bu arada, zamanın fonksiyonu olmasına rağmen; önemli ve kullanılabilecek olan seriler birinci ve ikinci momentleri zamanın fonksiyonu olmayan serilerdir, bu seriler aşağıdaki özellikleri taşırlar;

[ ] [ ]

[ ] )

Bu tür seriler geniş anlamda durağan (stationary in the wide sense) veya ikinci dereceden durağan (stationary to the second order) olarak adlandırılır; ancak bundan sonra durağan olarak adlandırılacaktır^*. Bu tür serilerin kullanılmasının nedeni günlük hayatta sıklıkla bulunmalarının yanında, güçlü matematiksel ve istatiksel araçların

189 GRANGER, Clive W. J.; WATSON, Mark W., “Time Series and Spectral Methods in Econometrics

-Handbok of Econometrics”, Cilt II, Elsevier Science Publisher BV, Amsterdam, 1984, s.981.

kolaylıkla uygulanmasındandır. Durağan serilerin kullanışlı özelliklerinden biri; ortalamalarının, varyansının ve benzer değerlerinin, örneğin ortalamalarıyla elde edilebilirliğidir, yani;

̅ ∑ ∑ ̅

∑ ̅ ̅

Eşitlikleri, serinin sırasıyla etkin, yansız tahminlerini sağlayacaktır^**. Durağan seriler üreten süreç, durağan süreç olarak adlandırılabilir. Eşitlik 2.142’de (i) ve (ii) numaralı örnekler ve a<1 şartıyla (iii) numaralı örnek durağan süreçlerdir. (iv) numaralı örnek ise E[εt]=0, E[Xt]=p(t), yani ortalama zamanın fonksiyonu olduğu için durağan değildir; ayrıca eğer p(t)≡0 durumunda E[Xt]=0 olsa bile [ ] olduğundan fonksiyonun varyansı zamanın bir fonksiyonudur¹⁹⁰.

Ekonomik zaman serileri, genellikle durağan şartları sağlamamaktadırlar; ancak burada teori ve analizler, konunun anlaşılması açısından öncelikle durağan şartlara uyan serilere göre anlatılmıştır. Bir sonraki bölümde ise, durağan olmayan zaman serilerinin analizini içerecektir.