Durağanlık

Zaman serilerinin en önemli özelliklerinden biri durağan, ya da durağan olmama durumudur. Durağanlık ortalamasıyla, varyans ve ortak varyansı zaman içinde değişmeyen ve iki dönem arasındaki ortak varyansın bu ortak varyansın hesaplandığı döneme değil de yalnızca iki dönem arasındaki uzaklığa bağlı olan olasılıklı bir süreçtir139

. Durağanlık, serilerin sabit bir ortalamaya, sabit bir varyansa ve gecikme seviyesine bağlı bir kovaryansa sahip olmasını ifade eden bir kavramdır. Durağanlık, zaman serisi verilerinin belirli bir zaman sürecinde sürekli artma veya azalmanın olmadığı, verilerin zaman boyunca bir yatay eksen boyunca saçılma (scatter) gösterdiği, biçiminde tanımlanır. Diğer bir anlatımla, sabit ortalama, sabit varyans ve seriye ait iki değer arasındaki farkın zamana değil, yalnızca iki zaman değeri arasındaki farka bağlı olması şeklinde ifade edilir.

Durağan özellik gösteren veya birim kök içermeyen zaman serileri her gecikme dönemi için sabit bir ortalamaya, varyansa ve kovaryansa sahip serilerdir. Bir zaman serisinin durağan olup olmadığını anlamak için öncelikle serinin grafiğine bakılmaktadır. Grafik, incelenen zaman serisinin artan ya da azalan bir trend gösterip göstermediği konusunda bir ön bilgi verebilir. Zaman serilerinin durağanlık araştırmasında ikinci adım; serinin otokorelasyon fonksiyonunun ifadesi olan korelogram tablosuna bakılır. Eğer bir zaman serisi durağan ise otokorelasyon fonksiyonunun birinci veya ikinci gecikmede sıfırı kesmesi gerekir. Bir seride gecikme sayısı artırıldığında otokorelasyon fonksiyonunun aldığı değerler sıfıra yaklaşıyorsa seri durağandır, aksi halde durağan değildir. Durağanlık araştırmasında üçüncü adım; birim kök testleridir140

. Birim kök bulunan bir seri, rastgele yürüyüş özelliği gösteren bir seri olarak ifade edilir ve zayıf formda etkinliğinin kabul edilmesini gerektirir. Durağan bir seride ani şoklar sonucu ortalama (veya trend) değerinden sapmalar olsa dahi, değerler zamanla ortalama (veya trend) değerine yaklaşır. Bu trendden geçici sapmalar olsa bile, zaman içinde serilerin trend değerine döneceği, şokların bertaraf edileceği anlamına gelir. Ancak değişkenler üzerindeki etkileri birkaç dönemde yok olan geçici şokların yanında, etkileri uzun süre devam eden kalıcı şokların varlığı da bilinmektedir. Birim kökün varlığı bu kalıcı şokları işaret eder. Çünkü, kalıcı şokların oluşturduğu trend, serinin belirli bir değere doğru yaklaşmasını engellemektedir. Değişkenlerin belirli bir

139 GUJARATİ, Damodar N., “Temel Ekonometri”, Literatür Yayımcılık, İstanbul, 2001, s.713.

değere yaklaşması olarak tanımlanan durağanlık açısından, bu trend durağan olmayan bir özellik taşır ve şokların tanımı gereği, önceden öngörülemeyen tesadüfi niteliğinden dolayı bu trend, stokastik trend olarak adlandırılır141

.

Uygulamalı istatistik ve ekonometride kullanılan zaman serileri, zamanın belirli aralıkları ile yapılan ölçüm ve gözlemlerle oluşmaktadır. Dolayısı ile sürekli yeni bilgilerle zaman serilerinin birim sayısı artmaktadır. Zamanın t-τ anında yapılan parametre tahminleri ile t anında yapılan parametre tahminleri aynı sonucu vermeyebilir. Ancak, zaman serisi analizinin temel amacı olan öngörü tahminlerinin yapılabilmesi için geçmiş dönemlere ait verilerle yapılan parametre tahminlerinin, ileriki dönemler için de değişmeyeceği varsayılmaktadır. Sonuç olarak, bütün t ve t-τ zamanları için sonlu bir ortalama ve varyansa sahip olan stokastik bir süreç durağan veya kovaryans durağan olarak adlandırılır142

. [ ] [ ]   [ ] [ ] (2.72) ( )

Eşitlik 2.72’te τ=0 kabul edilmesi ile 0, Xt serisinin varyansına eşit olacaktır. Literatürde kovaryans durağan süreç kavramı, aynı zamanda hafif durağan, ikinci dereceden durağan ve geniş anlamda durağan süreçler için de kullanılmaktadır.

“Ancak güçlü bir durağanlık, sonlu ortalama ve/veya varyans şartını gerektirmez.

Çünkü durağanlık, (Xt, Xt-1,…..) gözlemlerinin bütün kümelerinin birleşik dağılımının, gözlemin yapıldığı zamana göre değişmez olmasını gerektirir. Bu terminoloji, hafif durağanlığın güçlü durağanlığa göre daha kısıtlı şartlar taşıdığını belirtmektedir.”143

141 TARI, Recep, “Ekonometri”, Alfa Basım Yayım, İstanbul, 2002, ss.367-369.

142

ENDERS, Walter, “Applied Econometric Time Series”, John Wiley & Sons Inc, New York, 1995, s.69.

143 GREENE, Williams H., “Econometric Analysis”, 3ncü Baskı, Prentice Hall Inc., Upper Saddle River, 1997, s.827.

Kovaryans durağan bir seri için Xt ve Xt-τ arasındaki otokorelasyon ρτ=τ/0 olarak tanımlanır. Tahmin edilen kovaryans değerleri τ ve ₀ zamana göre bağımsız olduklarından otokorelasyon katsayısı ρτ tahmini de zamana göre bağımsız olacaktır. Bu arada, birinci dereceden otokorelasyon ile ikinci dereceden otokorelasyon farklı olsa da, Xt ve Xt-1 arasındaki otokorelasyon ile Xt-τ ve Xt-τ-1 arasındaki otokorelasyon aynı kalmalıdır. Diğer taraftan aynı mantıkla τ=-τ olduğu söylenir. Dolayısıyla, durağanlık, otokovaryansların t’nin değil τ’nun bir fonksiyonu olduğu belirtilmektedir144

.

Zaman serilerinin durağan olmaması durumunda, zaman serileri trend içerecektir. Bu durumda zaman serilerinin kullanılacağı öngörümleme ve regresyon denklemlerinde sahte regresyon benzeri durumlar ortaya çıkacaktır. Zaman serileri durağan değillerse, stokastik (tahminlenemeyen) ya da deterministik (tahminlenebilen) trend içermektedirler. Ancak, seri üzerinde uzun dönemde deterministik bir trendin varlığı ile düzensiz modellerde zaman içinde ortaya çıkan ve bir müddet sonra kayıp olan trendler birbirinden farklıdır.

Deterministik trend, oldukça uzun bir dönemde ortaya çıkan ve yükseliş ve alçalış zikzakları arasında belli bir yöndeki uzun dönemdeki eğilimi ifade etmektedir. Zaman serisi içerisinde trendin bütünü ile kestirilebilir oluşu deterministik trende işaret etmektedir¹⁴⁵;

Söz konusu denklem bize durağan olmayan bir zaman serisi içerisindeki deterministik trendi tarif etmektedir. Eğer rastgele yürüyüş (random walk) modelini ifade edecek olursak¹⁴⁶;

eşitliği ile stokastik bir trendi ifade etmiş oluruz. Yine stokastik ve deterministik trendle birlikte gösterimi de mümkündür147. Ayrıca, söz konusu denklemde yer alan sabit

144 GREENE, Williams H., age., s.828.

145

DİEBOLD, Francis X.; SENHADJİ, Abdelhak S.,”Deterministic vs Stochastic Trend in US GNP, Yet Again”, NBER Working Series, Working Paper 5481, Cambridge, Mart 1996.

146 MANKIW, N. Gregory; SHAPPIRO, Matthew D., “Trends, Random Walks and Tests of the Permenant Income Hypothesis”, Journal of Monetary Economics, Cilt 16, Sayı 2, Eylül 1985, ss.165-174.

terimde, zaman serileri belli bir başlangıç değerine sahip olması gerektiğinden ve bu sabit değerinin anlamsız da olsa denkleme dâhil edilmemesi durumunda, durağan olmama durumlarının ortaya çıkabileceğinden dâhil edilmektedir148

. Durumu, trend durağan süreç (trend stationary process) ve diferansiyel durağan süreç (difference stationary process) açısından incelediğimizde, zaman serisine yapılacak doğrusal trend ilavesi ile yani trendsizleştirme sonucunda, eğer zaman serisi durağan hale geliyorsa, bu zaman serisinin deterministik bir trende sahip olduğunu; ancak eğer doğrusal bir trend ilavesi, zaman serisini durağan hale getirmiyorsa, bu durumda fark alınarak zaman serisi durağan hale getirileceğinden, stokastik bir trende sahip olduğu söylenebilir149

.

Şekil 2.21’de BİST100 endeksinin 1988-2015 zaman aralığındaki kapanış verileri bir zaman serisi olarak verilmiştir. Bu endeksin bu zaman aralığında bir trend içerdiği ve dolayısıyla durağan olmadığı söylenebilir.

Şekil 2.21: Durağan Olmayan Zaman Serisi Örneği

Çalışmalarda herhangi bir zaman serisinin durağanlığı test edilmektedir. Durağanlığın test edilmesinde korelogram testi, birim kök testi gibi testler de kullanılır. Bu testler aşağıda incelenmiştir.

147 CHAREMZA, Wojciech W.; DEADMAN, Derek F., “New Directions in Econometric Practice”, Edward Elgar Publishing Ltd, Cheltenham, 1997, ss.84-95.

148

FRANSES, Philip Hans, “Time Series Models for Business and Economic Forecasting”, Cambridge University Press, Cambridge, 1998, ss.80-90.

149 ENDERS, Walter, “Applied Econometric Time Series”, John Wiley and Sons, New York, 1995, ss.155-195.