Toplum Hayatında Manevi Etki Alanları Olarak Dinî Gruplar

3.1.1.1 As concepções espontâneas

Do total de problemas criados pelos alunos concluintes no Instrumento 1, 58 (4,7%) tratava-se de questões dissertativas que, em sua grande maioria, procuravam avaliar o conhecimento do conceito, de definições ou nomenclaturas relacionadas aos números racionais. Entre os conceitos envolvidos nestas questões, destacamos:

• 10 solicitavam a conceituação ou a definição de fração:

O que significa fração? (A140, concluinte, Instrumento 1).

Resposta dada pelo aluno: É um número dividido por outro (Instrumento 2). Escreva o conceito de fração (A152, concluinte, Instrumento 1).

Resposta dada pelo aluno: Fração é um número que representa uma ou mais partes de um inteiro (Instrumento 2).

As respostas dadas pelos alunos, em sua maioria (9 entre 10), evidenciavam uma tendência conceitual em admitir as frações como divisão indicada. Estes resultados serão retomados durante a análise dos dados relativos aos diferentes subconstrutos.

• 21 procuravam avaliar o conhecimento de nomenclaturas relacionadas às frações, como: frações irredutíveis ou redutíveis; frações próprias, impróprias, aparentes, mistas, ordinárias; identificação do numerador e denominador, dada uma ou mais frações.

O que são frações próprias? Dê exemplos. (A171, concluinte, Instrumento 1) Resposta dada pelo aluno: São aquelas em que o numerador é menor do que o denominador. Ex. 5/9 (Instrumento 2).

Identifique na fração abaixo o numerador e denominador. ¾ (A173, concluinte, Instrumento 1).

Resposta apresentada pelo aluno:

. 4 . 3 denom numer → → (Instrumento 2).

• 27 delas envolviam conceitos variados, tais como: escrever como se lê uma determinada fração, condição de existência de uma fração a/b etc.

Dê o nome correspondente: a) 2/3; b) 20/100; c) 1/10000. (A288, concluinte, Instrumento 1)

Resposta apresentada pelo aluno: a) dois terços b) vinte centésimos

c) um décimo de milésimo (Instrumento 2).

3.1.1.2 O que é um número racional?

Fizemos esta pergunta a todos os alunos pesquisados. Nossa intenção não era precisamente verificar se os alunos sabiam de cor a definição de número racional, e sim se eles tinham bem construída a imagem do conceito, no sentido dado por Vinner (1991).5 Partimos do pressuposto de que ter a definição de um conceito de cor em nada garante que a pessoa tenha o conceito de fato construído em sua memória, mas, segundo Vinner (1991), ter a imagem do conceito bem construída é condição fundamental para se obter a definição.

Dreyfus (1991) argumenta que, para se ter êxito em Matemática é desejável ter representações mentais ricas dos conceitos. Uma representação é rica se contém muitos aspectos coerentemente unidos sobre aquele conceito. Uma representação é pobre se tiver muito poucos elementos para permitir flexibilidade na resolução de problemas.

Se a imagem do conceito estiver bem formada, sua definição pode ser alcançada, mesmo que inicialmente não atenda requisitos como concisão e precisão de linguagem; ela pode ser paulatinamente melhorada no sentido de se obter a elegância estética, tão valorizada pelos matemáticos.

Classificamos todas as respostas dadas pelos alunos no Instrumento 3 em quatro grupos: (a) alunos que apresentaram a definição usual de número racional; (b) alunos que apresentaram uma boa imagem do conceito; (c) alunos que apresentaram concepções absolutamente errôneas; e (d) alunos que não apresentaram resposta nenhuma para a questão. A tabela a seguir mostra o resultado deste levantamento:

5 _{Para Vinner (1991), quando vemos ou ouvimos o nome de um conceito, nossa memória é}

estimulada. O que se forma em nossa memória nem sempre é a definição do conceito, mas sim a “imagem do conceito”. Imagem do conceito, para este autor, é algo não verbal associado em nossa mente com o nome do conceito. Pode ser uma representação visual do conceito, no caso de o conceito ter representações visuais ou, ainda, pode ser uma coleção de impressões ou experiências.

Tabela 3: O conceito de número racional Apresentou a definição usual Imagem aproximada do conceito Concepção absolutamente errônea Não respondeu INICIANTES _(2,1%)04 _(33,3%)63 _(44,5%)84 _(20,1%)38 CONCLUINTES _(1,5%)02 _(60,7%)82 _(20,0%)27 _(17,8%)24 Fonte: Instrumento 3.

Entre todos os alunos pesquisados, 4 iniciantes (1,1%) e 2 concluintes (1,5%) apresentaram a definição usual de números racionais, por exemplo:

É um número que pode ser representado na forma de fração a/b, sendo a um número inteiro e b um número inteiro diferente de zero (A23, iniciante, Instrumento 3).

É um número que pode ser expresso na forma p/q, com p ∈ Z e q ∈ Z*

(A191, concluinte, Instrumento 3).

Em muitos casos, embora não existisse a precisão na caracterização do ente matemático, era possível perceber uma aproximação ao conceito que merece ser considerada. Como estamos envolvidos com a formação de professores, entendemos que é muito diferente um aluno que mostrou não entender nada sobre um determinado conceito em relação a outro que apresenta uma boa aproximação da caracterização precisa do objeto matemático em questão; ou seja, estes alunos demandam necessidades formativas diferentes. Nossos dados revelam que 63 alunos iniciantes (33,3%) e 82 concluintes (60,7%), embora não tivessem caracterizado precisamente os números racionais, mostraram uma “imagem do conceito” que se aproximava da definição usual. Por exemplo:

É um número que é expresso sob a forma de fração (A2, iniciante, Instrumento 3).

É todo número que pode ser escrito na forma de fração (A135, concluinte, Instrumento 3).

É todo número que pode ser escrito na forma a/b com b ≠0 (A158, concluinte, Instrumento 3).

Obviamente existem incorreções nestas conceituações, como, a fração 3

2 poderia ser encaixada em qualquer uma das três conceituações anteriores e, no entanto, não é um número racional. Este fato indica que estas conceituações em contextos técnicos do fazer matemático não seriam aceitáveis. É a proximidade com

a caracterização precisa do ente matemático é que está sendo por nós evidenciada. É também importante destacar a diferença nos percentuais apresentados, nesta categoria, pelos alunos iniciantes (33,3%) em relação aos concluintes (60,7%), denotando um maior amadurecimento dos alunos concluintes.

Pinto e Tall (1996) entrevistaram sete estudantes para professores e solicitaram a eles a definição de número racional. O resultado a que eles chegaram são proporcionalmente próximos dos nossos. Concluíram estes autores que, embora três dos sete estudantes entrevistados tivessem apresentado uma “quase” definição satisfatória do conceito, nenhum deles mostrou conhecer precisamente a definição usual de número racional. Em vez da definição, eles apresentaram uma imagem do conceito possivelmente desenvolvida durante os anos de escolaridade. Muitas vezes estas imagens se distanciavam muito dos termos implícitos na definição formal.

Os alunos iniciantes apresentaram um maior percentual de incidência de concepções errôneas. Identificamos 84 alunos iniciantes (44,5%) e 27 concluintes (20,0%) que mostraram idéias muito distantes da conceituação precisa de número racional. Em outras palavras, as respostas dadas nos indicam que os alunos não tinham sequer uma imagem aproximada do conceito, por exemplo:

É todo número inteiro (A87, iniciante, Instrumento 3).

É um número lógico e exato (A275, iniciante, Instrumento 3).

É todo número que existe no conjunto dos números reais (A177, concluinte, Instrumento 3).

Todos que têm divisão exata (A284, concluinte, Instrumento 3). É um conjunto real (A138, concluinte, Instrumento 3).

O conjunto dos números inteiros positivos e negativos (A114, concluinte, Instrumento 3).

Estas evidências nos mostram que 20,0% dos alunos concluintes estão saindo dos cursos de licenciatura pesquisados sem ter minimamente construído uma imagem aceitável de número racional. Se somarmos estes percentuais ao dos alunos que não responderam, chegamos a quase 38,0% de alunos que não apresentaram uma resposta aceitável para caracterizar os números racionais no Instrumento 3. Entre as concepções errôneas manifestadas pelos alunos destacamos algumas, em que conceitos que apresentavam nomenclaturas parecidas (por exemplo: racionais – racionalização – raiz) foram utilizados na tentativa de caracterizar os números racionais:

É todo número que pode ser escrito em forma de raiz (A317, iniciante, Instrumento 3).

Número racional é aquele que pode ser racionalizado, ou seja, tirar a raiz desse número e o resultado ser um número inteiro (A1, iniciante, Instrumento 3).

É todo número que se jogarmos na raiz obtemos um resultado finito (A335, concluinte, Instrumento 3).

Um número racional é aquele que se racionalize (sic) dentro de cada conjunto (A193, concluinte, Instrumento 3).

É um número cujo nós podemos encontrar a raiz quadrada dele (A299, concluinte, Instrumento 3).

É possível que não tenha ocorrido apenas uma associação indevida entre nomes, como racionais/racionalização ou racional/raiz, mas sim uma possível evidência de que estes alunos não tinham nenhum dos conceitos envolvidos claramente construídos.

Após alguns dias da aplicação da avaliação, realizamos as entrevistas. É provável que os alunos tenham conversado entre si ou com seus professores ou, ainda, consultado algum livro. Vejamos, por exemplo, o caso do aluno A280. No tocante à questão que solicitava o conceito de número racional, no Instrumento 3, o aluno respondeu: “É um número que pertence aos racionais (ou seja, um número inteiro)”. Durante a entrevista, notamos que as suas concepções sofreram alterações, como pode ser observado na seqüência a seguir:

Pesq.: Aqui na primeira pergunta dizia assim: o que é um número racional? Você disse que é um número que pertence....

A280: [inaudível].

Pesq.: Hã. Ou seja, um número inteiro. A280: Um número inteiro. É.

Pesq.: Então, qual é a idéia que você tem de número racional? Dê alguns exemplos, assim…

A280: É, eu pensei que era... eu inverti aí, né? Porque eu pensei que era um número que não era quebrado. Que seria.... que não era quebrado. Que não fosse número quebrado. Assim.... Pesq.: Sei.

A280: ... número inteiro. Um, dois, três... não um vírgula dois, um vírgula três. Pesq.: Entendi. Isso pra você é um número racional?

A280: É. Que é errado.

Pesq.: E o que que seria o certo?

A280: O certo é quando é quebrado, né? Pesq.: Quando é número quebrado? A280: É.

Pesq.: Número dois é um número racional? A280: Não.

Pesq.: Não? A280: Não.

Pesq.: Zero vírgula quatro é? A280: É. É um número racional.

Pesq.: Pra ser racional precisa ser um número quebrado?

Ainda assim, o aluno nos apresenta uma imagem dos números racionais bastante precária ao excluir os números inteiros deste conjunto.

Verificamos que 38 alunos iniciantes (20,1%) e 24 concluintes (17,8%) deixaram a questão em branco no Instrumento 3. Durante a entrevista, um dos alunos concluintes não só se manifestou inseguro quanto a conceituação de número racional, como também apresentou um semblante que transparecia profunda estranheza diante da expressão “número racional”:

Pesq.: Na primeira pergunta: o que é um número racional? Você não lembrava o que é? [o aluno havia deixado a questão em branco no Instrumento 3].

A348: Não, não me lembrei.

Pesq.: [Observando o ar de estranheza manifestado pelo aluno.] Esta palavra pra você é estranha? A348: É estranha! (A348, concluinte, Instrumento 4).

Os dados apresentados na tabela anterior nos mostram que 44,5% dos alunos iniciaram o curso sem saber o conceito de número racional e 20,0% dos alunos concluintes o estavam terminando sem uma imagem aceitável deste conceito que pudesse dar a eles autonomia para o ensino deste assunto. Os demais, aproximadamente 60%, têm uma imagem limitada, porém menos preocupante que o caso anterior. Uma representação rica do conceito só foi manifestada por 1,5% dos alunos concluintes pesquisados.

3.1.2 A compreensão dos diferentes subconstrutos dos números racionais