De forma geral, as pesquisas que versam sobre a formação de professores de Matemática para o ensino dos números racionais estão, em grande medida, dirigidas à verificação das concepções e conhecimentos matemáticos de professores, em relação a este conteúdo (Vinner, 1989; Llinares e Sánchez, 1991[C2]; Pinto e Tall, 1996; Philippou e Christou, 1994, Leinhardt e Smith, 1985, entre outros). Quando a questão está relacionada com as operações elementares, a divisão de frações é a mais utilizada para verificação do conhecimento dos professores quanto ao entendimento conceitual das operações com números racionais. A metodologia de coleta de dados mais comumente empregada está associada à utilização de questionários, testes, entrevistas com o objetivo de captar, para posterior análise, as concepções ou estrutura cognitiva dos professores relativamente a particularidades ligadas aos números racionais, como definições, imagens do conceito ou sistemas de representação do conceito. Em menor número, identificamos pesquisas que procuravam testar a eficácia de determinados processos de formação (Tirosh, Fischbein, Graeber e Wilson, 1998a; Silva, 2005). O alvo principal de um número grande destas pesquisas (Cramer e Lesh, 1988; García, 2003) está centrado no
conhecimento do professor (em formação ou em exercício) da escola elementar (no caso do Brasil, primeiro ciclo do Ensino Fundamental).
Garcia (2003) apresenta um estudo sobre as dificuldades específicas na aprendizagem das frações e destaca a necessidade de os programas de formação de professores de Matemática considerarem os avanços das investigações relacionados à aprendizagem das noções matemáticas escolares, entre elas as frações. Trata-se
da necessidade de considerar a informação proporcionada pelas investigações sobre a aprendizagem dos alunos (considerada em termos amplos que englobariam os processos de aprendizagem, dificuldades, erros etc.) de diferentes conteúdos matemáticos do programa (quer dizer, passa a ser considerado como algo que deve formar parte do conteúdo de um programa de formação) (p. 3).
Leinhardt e Smith (1985) investigaram o conhecimento sobre frações em estudantes para professores e, também, em professores experientes (foram selecionados professores cujos alunos mostraram um bom conhecimento, ou conhecimento incomum, sobre frações). Os autores desenvolveram o que eles denominaram de “rede semântica do conhecimento” dos professores pesquisados em relação às frações. Depois de comparar as redes semânticas dos professores experientes com os novatos (estudantes para professores), informaram que os professores experientes apresentaram uma melhor estrutura hierárquica mais refinada do conhecimento. Estes professores pareciam não só saber as regras processuais na resolução de problemas envolvendo frações, mas também conheciam a inter-relação entre os procedimentos utilizados.
Cramer e Lesh (1988) avaliaram o conhecimento sobre números racionais de 48 professores elementares em formação. Os resultados indicam que os estudantes, em sua grande maioria, não tinham uma base de conhecimentos sobre números racionais, mínima necessária para propiciar um ensino de qualidade. Os autores sugerem mudanças no currículo de formação no sentido de fornecer aos futuros professores um entendimento conceitual das noções matemáticas essenciais a um ensino de qualidade.
Orton (1988) pesquisou o conhecimento de professores concernente a formas de representação envolvendo frações. Foram pesquisados 29 professores elementares em serviço sobre como eles ensinariam frações a um estudante hipotético que apresentava concepções errôneas a respeito de frações. A maioria dos professores recaiu na utilização de processos
algorítmicos em vez de procedimentos representacionais que melhor promoveriam o entendimento dos conceitos por parte dos alunos.
Linchevski e Vinner (1989) estudaram as concepções de professores em formação para a escola elementar, quanto à identificação do “todo” canônico das frações, quando este era substituído por um outro inteiro. Os resultados mostram que as representações visuais dos professores elementares em formação sobre frações são incompletas e insatisfatórias. Elas não são suficientes para formar um conceito completo de fração. Os autores recomendam que vários tipos de representações sejam apresentados aos professores em formação para uma completa caracterização das frações.
Ball (1990a) estudou as habilidades de 19 estudantes para professores da escola elementar no desenvolvimento de representações para a operação 1 ¾ dividido por ½, por intermédio de história ou outro meio qualquer. Os estudantes para professores mostraram conhecer as regras de cálculo, contudo não conseguiram encontrar uma forma de representação da operação nos termos solicitados.
Llinares e Sánchez (1991) realizaram uma pesquisa com o objetivo de investigar o conhecimento didático de 26 estudantes para professores da escola elementar sobre frações. Os pesquisadores utilizaram questionários e entrevistas individuais para verificar o PCK dos estudantes sobre sistemas de representação das frações. A análise do material coletado indica que a maioria dos participantes foi incapaz de identificar a unidade, representar frações como partes de um todo e trabalhar com frações impróprias.
Philippou e Christou (1994) investigaram o conhecimento conceitual e processual de professores elementares em formação. Além disso, o estudo também teve como objetivo determinar se havia diferenças entre professores em formação que vêm de tipos diferentes de ensino secundário com ou sem ênfase adicional em Matemática e Ciência. Os resultados indicam que os professores elementares em formação exibiram sérias dificuldades na compreensão conceitual sobre frações. Eles pareciam ter conhecimento apropriado dos símbolos e algoritmos associado com as frações, mas muitas conexões importantes pareciam estar perdidas. Embora a maioria dos futuros professores pudesse executar cálculos corretamente, eles tiveram dificuldades significativas em dar sentido para as operações. As evidências para esta conclusão estão especialmente apoiadas nas operações de
divisão e multiplicação de frações. Os autores sugerem que os cursos de formação de professores para a escola elementar dediquem um pouco mais de atenção ao estabelecimento de conexões entre os conceitos e as operações envolvendo frações.
Pinto e Tall (1996) entrevistaram sete estudantes de um curso de formação de professores de Matemática, colocando para cada um deles as seguintes questões: “como você define um número racional?” e “como você define número irracional?”. Os pesquisadores também apresentaram uma lista de números, tais como: 2, 4, 22/7, 0,97853, 0,3333.., entre outros, solicitando aos alunos que os classificassem em racionais e irracionais. Os resultados revelaram que três dos sete estudantes entrevistados apresentaram o que os autores chamaram de “quase definição satisfatória do conceito”, ou seja, embora não tivessem apresentado a definição, tinham uma boa imagem do conceito. Nenhum dos alunos indicou a definição usual de número racional.
Llinares e Sánchez (1996) realizaram uma investigação com professores elementares em formação com o objetivo de analisar as relações entre a compreensão sobre números racionais, por parte dos estudantes para professor, e o conhecimento de diferentes sistemas de representação para o conceito e procedimentos com números racionais. Uma implicação que deriva da análise efetuada é que os estudantes para professor necessitam conhecer o papel que desempenha os distintos modos de representação que podem ser utilizados para os números racionais e o processo de aprendizagem dessas idéias pelas crianças. Salientam, também, que, para poder selecionar ou julgar a veracidade de uma representação para potencializar algum significado específico dos números racionais, é importante que o estudante para professor tenha uma adequada e ampla compreensão dos números racionais. Para dar conta da compreensão das noções matemáticas vinculadas aos modos de representação, Llinares (1994, 1998a) usou um processo que envolvia a utilização de diversos modos de representação de uma mesma situação, no sentido de compreender e descrever as características do conhecimento do conteúdo relacionado com as frações e os números racionais em estudantes para professores.
Tirosh, Fischbein, Graeber e Wilson (1998a) organizaram um módulo pedagógico sobre números racionais para professores elementares em formação,
em que eram discutidos os conceitos e operações principais relacionados aos números racionais. Este módulo foi usado em um projeto de experiência pedagógica com professores elementares em formação em pequenos grupos, como também com a classe inteira. Os autores argumentam que muitos comentários dos professores em formação no início das sessões de formação refletiram suas concepções sobre o principal papel dos professores de Matemática, por exemplo: transmitir aos alunos deles a informação que é impressa nos livros de ensino de Matemática e que o ensino de Matemática é um processo “passo a passo”. Gradualmente, os professores em formação começaram a considerar a possibilidade de aplicação da instrução recebida no curso em suas futuras classes. Outra questão positiva é a de que eles relacionaram as várias concepções que as crianças trazem à situação de aprendizagem, com a importância de prestar atenção aos modos de pensar dos estudantes. Também perceberam a necessidade de atuarem como facilitadores da aprendizagem e a viabilidade de deixar os estudantes trabalharem na solução de equívocos.
Tirosh (2000) realizou uma investigação sobre o conhecimento de professores que participaram de um curso em formação, sobre as concepções das crianças a respeito da divisão de frações. Os resultados revelam que antes do curso os sujeitos da pesquisa se ativeram apenas aos erros dos alunos correspondentes à aplicação dos algoritmos ou relacionados com as formas de interpretação dos textos dos problemas. Ao terminar o curso, salientaram a tentativa dos estudantes de aplicarem as propriedades dos números inteiros aos números racionais. De forma geral, o estudo indica que a maioria dos sujeitos pesquisados teve uma compreensão ingênua sobre ensino-aprendizagem dos números racionais. A autora sugere a importância de serem discutidos os problemas associados aos processos cognitivos e erros mais comuns dos alunos nos programas de formação de professores.
Santos (2005) realizou um estudo diagnóstico com 67 professores do Ensino Fundamental distribuídos em sete escolas da rede pública do Estado de São Paulo. A investigação teve como intuito responder a seguinte questão: “É possível reconhecer as concepções dos professores que atuam nos 1º e 2º ciclos (polivalentes) e no 3º ciclo (especialistas) do Ensino Fundamental, no que diz respeito ao conceito de fração? Se sim, quais? Se não, por quê?”. Os resultados obtidos mostram uma tendência, tanto entre os professores polivalentes como entre
especialistas, em valorizar a fração com o significado operador multiplicativo na elaboração de problemas envolvendo frações. Quanto à resolução de problemas, há uma valorização dos aspectos procedimentais – aplicação de um conjunto de técnicas e regras (algoritmo) – nos três grupos. Segundo o autor, as evidências constatadas levam a concluir que não existe diferença significativa entre a concepção dos professores polivalentes e especialistas, seja na elaboração ou na resolução de problemas compreendendo fração em seus diferentes significados.
Silva (2005) pesquisou as concepções de um grupo de professores de Matemática sobre números fracionários (denominação adotada pela pesquisadora) em relação à aprendizagem de alunos de 5ª série. Analisou questões relacionadas com a autonomia e dificuldade em possíveis mudanças de concepções em um processo de formação continuada desenvolvido pela pesquisadora. O trabalho foi idealizado com a finalidade de responder as seguintes questões:
Que organização didática os professores constroem para o ensino de números fracionários para a quinta série do Ensino Fundamental durante a formação? É possível encaminhar professores de Matemática a reflexões que possibilitem mudanças nas concepções que têm os alunos, proporcionando- lhes um novo lugar na instituição escolar? É possível em uma formação continuada promover ações que permitam aos professores algumas mudanças em sua prática de ensino de números fracionários para a quinta série?.
As concepções de números fracionários utilizadas pela investigadora no processo de formação foram: parte-todo, medida, quociente, razão e operador. Como resultado da investigação, a autora argumenta que é possível afirmar que os professores constroem para a 5ª série organizações didáticas muito rígidas para os números fracionários, com tipos de tarefas que associavam, sobretudo, a concepção parte-todo em contextos de superfícies, mobilizando a técnica de dupla contagem das partes e, com menos incidência, a concepção de razão mobilizando a mesma técnica. Foram constatadas mudanças nos sentidos e emoções dos professores em relação aos fracionários que propiciaram modificações em suas concepções a respeito dos números fracionários, e alguns indícios de mudanças em suas práticas de ensino. Modificações nos discursos dos professores foram observadas a respeito da aprendizagem de seus alunos e da maneira de organização didática elaborada na formação de uma sala de 5ª série. A formação explicitou a necessidade de os professores desenvolverem autonomia e reflexão a respeito do conteúdo e de suas práticas docentes.
CAPÍTULO 2
PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
2.1 A natureza da pesquisa
Na introdução deste trabalho ressaltamos resumidamente que a busca de evidências que possibilitem responder à nossa questão de pesquisa será obtida por intermédio da análise de uma série de dados coletados a partir:
- dos textos provenientes da elaboração das questões/problemas, e suas respectivas resoluções, sobre frações realizada pelos alunos concluintes;
- da avaliação diagnóstica dos estudantes para professores sobre seus conhecimentos básicos de números racionais;
- dos discursos provenientes das transcrições das entrevistas realizadas com professores e alunos.
A coleta e a análise destes dados, pelas suas características intrínsecas, conduzem-nos à utilização de uma abordagem metodológica eminentemente qualitativa de apresentação de resultados. A compreensão do fenômeno a ser investigado, consubstanciado em particularidades, enquadra-se nas observações de Stake (1983), que aponta como características básicas de uma pesquisa qualitativa ou naturalista interpretativa: selecionar casos especiais para observação; analisar seqüências de testemunhos em determinados contextos; entrevistar e registrar; determinar padrões ou regularidades; selecionar fatos importantes; classificar; triangular; validar e reinterpretar dados ou fenômenos; fazer relatórios, até obtenção de um produto que permita generalizações naturalistas.
Além das observações anteriores, podemos considerar outras características das pesquisas qualitativas que se encaixam nos nossos propósitos, como as apontadas por Patton (1986): permitem uma visão holística do fenômeno observado (a compreensão do significado de um comportamento só é possível se realizado de forma contextualizada); possibilita a realização de uma abordagem indutiva (é aquela em que o pesquisador parte de observações mais livres e as categorias de interesse surgem progressivamente durante o processo de coleta e análise dos dados) e investigação naturalista (é aquela em que a intervenção do
pesquisador fica reduzida ao mínimo possível no contexto observado). Este autor também salienta como procedimentos básicos das pesquisas qualitativas: as citações literais do que as pessoas falam sobre suas experiências, interações e comportamentos observados; descrições detalhadas das situações observadas; transcrição de trechos ou íntegras de documentos etc. (Patton, 1986, p. 22).
Também utilizaremos os recursos próprios das pesquisas quantitativas em quase todo o capítulo destinado à análise dos dados. Para que o leitor possa quantificar a ocorrência de determinados fenômenos que queremos evidenciar, apresentaremos um resumo estatístico dos mesmos antecedendo nossas considerações qualitativas.