Mantıki – Manâlı (Nedensel-Anlamlı) Bütünleşme:

A importância do estudo das idéias envolvidas com a equivalência e a relação de ordem de frações é o fato de estes conceitos serem fundamentais na formalização da construção dos números racionais. Como vimos anteriormente, o conjunto dos números racionais é constituído por um conjunto infinito de classe de equivalência de frações. Estas classes de equivalência podem ser entendidas como

o conjunto de todas as frações que descrevem a mesma relação entre a parte considerada e o todo.

Alguns procedimentos importantes a serem reputados no processo ensino-aprendizagem e que propiciam a compreensão de algumas características interessantes do conjunto dos números racionais envolvem situações de equivalência e ordem, tais como: (a) comparar duas frações quaisquer e dizer se são iguais ou uma é maior do que outra; (b) inserir várias frações entre duas frações dadas (idéia de densidade do conjunto). Outra importância do estudo da equivalência e ordem dos números racionais diz respeito ao desenvolvimento dos algoritmos da soma e subtração de frações com denominadores diferentes.

Os conceitos de equivalência e ordem aparecem diretamente em problemas nos quais as crianças comparam situações de repartição. Os casos mais simples envolvem comparações de situações de compartilhamento que representam frações da unidade (Quem adquire mais: 5 crianças que compartilham uma torta ou 6 crianças que compartilham uma torta do mesmo tamanho?). As crianças com uma compreensão limitada de frações cometem freqüentemente o erro de assumir que 1/6 é maior do que 1/5 porque 6 é maior do que 5. Este erro raramente acontece em situações bem contextualizadas. Inicialmente, as crianças podem construir representações das duas situações de repartição e podem comparar o tamanho das partes, fazendo a generalização prontamente de que maior o número de participantes, menor o tamanho de cada parte. Outro exemplo seria a situação que envolve compartilhar 4 pizzas entre 6 crianças. Algumas crianças dividirão cada pizza em 6 partes e outras dividirão cada pizza em 3 partes. No primeiro caso, cada pessoa adquire 4 pedaços equivalentes a 1/6 de uma pizza; no outro, cada pessoa adquire 2 pedaços equivalentes a 1/3 de uma pizza. Uma discussão de quem adquire mais pizza começa a conduzir à noção de equivalência (Carpenter et al. 1994, p. 12).

Os conhecimentos prévios necessários para uma boa compreensão da equivalência de frações são os relacionados com as idéias que envolvem a concepção parte-todo, tanto em contextos contínuos como discretos. Entretanto, é importante salientar que a idéia matemática de equivalência pode ter vários níveis de dificuldades para o que o professor precisa estar atento para melhor preparar as atividades e ensino.

Como exemplo, utilizando quantidades contínuas, poderíamos criar inúmeras situações análogas às apresentadas abaixo, que envolvem diferentes formas de mostrar a equivalência de frações por intermédio da relação parte-todo:

128 é equivalente a 64 que é equivalente a3 2

Para Ciscar e Garcia (1988), o trabalho na escola deve ser dirigido para que as crianças desenvolvam em um primeiro momento as relações de equivalência em contextos concretos (contínuos e discretos), potencializando a capacidade da criança de realizar translações entre as representações concretas, oral, escrita e simbólica. A habilidade da criança em realizar as diferentes translações, assim como sua paulatina independência do material concreto, podem ser consideradas como índices do desenvolvimento desta idéia matemática. Em um contexto contínuo é possível estabelecer novas divisões do todo ou ignoramos parte das que existem para encontrar frações equivalentes. Em um contexto discreto realizamos novas reordenações dos elementos (física ou mentalmente) para obter frações equivalentes. Assim, estas atuações no nível concreto acabam sendo vinculadas à regra de ter que multiplicar ou dividir o numerador e o denominador da fração pelo mesmo número para se obterem frações equivalentes. Em um momento posterior da seqüência de ensino será útil propor atividades em contextos discretos que requeiram o manejo da idéia de equivalência.

Ciscar e Garcia (1988) apresentam os seguintes exemplos de obtenção de frações equivalentes a 2/6 em contextos discretos:

Para se obter uma representação de 1/3, temos que realizar um reagrupamento das fichas e considerar os grupos formados pelas fichas:

Entretanto, por outro lado, se queremos obter uma representação de 4/12, deveremos considerar como unidade, por exemplo, um grupo formado por doze fichas com quatro delas hachuradas:

4/12

Tendo que reagrupar as fichas de dois em dois para obter uma representação de 2/6 (que é a situação de que partimos), para poder estabelecer a equivalência:

Este fato de ter que conjecturar quantas fichas devem ser utilizadas para formar, neste caso, a unidade para obter uma boa representação da fração equivalente, ou no caso anterior, ao ter que determinar quantas fichas devem estar em cada subgrupo, faz com que o manejo deste concreto seja mais complexo (Ciscar e Garcia, 1988).

A idéia de frações equivalentes é particularmente importante para trabalharmos a relação de ordem, ou seja, quando queremos comparar duas frações e determinar se uma é menor, igual ou maior que a outra. A comparação de duas frações de mesmo denominador não apresenta grandes dificuldades, especialmente se trabalhada com a relação parte-todo como suporte. Como exemplo, podemos ilustrar a comparação entre 3/7 e 5/7:

3/7

5/7

Ou, ainda, podemos utilizar a idéia de operador para fazer:

A primeira dificuldade aparece quando queremos comparar frações com denominadores distintos, por exemplo, 3/4 e 2/3. Neste caso, surge a necessidade de estabelecer parâmetros para realizar a comparação, ou seja, padronizar a medida, determinar o todo a ser tomado como referência, o que equivale a identificar frações equivalentes às dadas, mas que tenham o mesmo denominador. Assim:

¾ = 9/12 e 2/3 = 8/12, como 8/12 ∠ 9/12, temos que 2/3 ∠ ¾.

As dificuldades ao se utilizarem situações-problema envolvendo contextos discretos para trabalhar a relação de ordem são as mesmas das já salientadas para a equivalência.

A utilização da reta numérica para representar as frações e estabelecer uma relação de ordem entre duas ou mais frações é bastante eficaz, além de potencializar a conexão com a noção de medida e de número.