Toplama, Çıkarma, Çarpma ve Bölme Kavramlarının Öğretimi ve Öğrenc

Toplama, çıkarma, çarpma ve bölme kavramları çocukların okul öncesi dönemde algılamaya çalıştıkları matematiksel kavramlardandır. Büyüklüklerin, miktarın ve sayıların algılanmasına paralele olarak çocukların bu kavramları algılaması da gelişmektedir. Güncel hayatta karşılaşılan toplama, çıkarma, çarpma ve bölme kavramları bu gelişimde önemli rol oynamaktadır. Bununla birlikte, belirli bir soyutlama sürecine dayanan bu kavramların tam olarak öğrenilmesi uzun zaman almakta ve yaşça belirli bir olgunluk gerektirmektedir. Bu nedenle bu kavramların öğretimi, öğretim programı içerisinde önemli bir yer tutmakta ve bu kavramlar için okul öncesi dönemden ilkokulun son basamağına kadar farklı kazanımlara yer verilmektedir (Erdoğan & Erdoğan, 2009; 31).

Bu kavramların öğretimi ve öğrencilerin karşılaştıkları güçlükler konusunda yapılan ilk çalışmalar 1970’li yıllara kadar uzanmaktadır. Günümüze kadar bu konuda pek çok çalışma gerçekleştirilmiş, farklı yaklaşım ve yöntemler ortaya konmuştur. Yakın zamanda yapılan çalışmalar ise daha çok toplama, çıkarma, çarpma ve bölme durumlarını içeren problem türlerinin belirlenmesi ve bu problem türlerinin çözümü için kullanılabilecek modellemeler üzerine yoğunlaşmaktadır (Nunes & Bryant, 1996). Bu yeni yaklaşımlarda öğrencilerin bu kavramları algılayış şekilleri ve kullandıkları stratejiler ön plana çıkmaktadır. Özellikle öğrenci merkezli bir öğretim yaklaşımı

benimsenmek istendiğinde, çocukların bu kavramlar hakkında nasıl düşündüklerinin ve karşılaştıkları problem durumlarında ne tür zihinsel işlemler kullandıklarının anlaşılması gerekmektedir (Carpenter vd, 1999; Erdoğan & Erdoğan, 2009; 32).

Bu kavramlarla ilgili olarak literatürde ön plana çıkan bir başka konu ise bu kavramların öğretiminde farklı süreçlerin söz konusu olduğudur. Bu süreçler şu şekilde sıralanabilir:

1. Toplama, çıkarma, çarpma ve bölme kavramlarını anlama ve küçük sayılar içeren toplama, çıkarma, çarpma ve bölme problemlerini çözme,

2. Çok basamaklı sayılarda toplama, çıkarma, çarpma ve bölme problemlerini çözme ve

3. Sembolik toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerine geçiş ve özellikle çok basamaklı sayılarda sembolik toplama, çıkarma, çarpma ve bölmedir (Erdoğan & Erdoğan, 2009; 32).

Toplama, çıkarma, çarpma ve bölme kavramlarının öğretimini, öğrenci güçlüklerini ve çözüm önerilerini konu alan bu bölüm yukarıdaki yaklaşımlar göz önünde bulundurularak hazırlanmıştır. Bu doğrultuda ilk önce toplama, çıkarma, çarpma ve bölme kavramları ile ilgili farklı problem türlerinin literatüre dayalı bir sınıflaması sunulmuştur. Daha sonra toplama, çıkarma, çarpma ve bölme problemlerinin çözüm stratejilerine, çocuklarda bu stratejilerin gelişimine, karşılaştıkları güçlüklere ve kavram yanılgılarına yer verilmiştir.

2.4.1. Toplama ve Çıkarma İle İlgili Problem Türleri

Çocukların matematiksel kavramları algılayışları ve kendilerine önerilen bir problem karşısında düşünme şekilleri yetişkinlerinkinden büyük farklılıklar göstermektedir. Toplama ve çıkarma kavramları bu durumun belirgin olarak yaşandığı durumların başında gelmektedir. Pek çok toplama ve çıkarma problemi yetişkinler için aynı toplama veya çıkarma işlemi gerektirirken, çocuklar bu problemleri farklı algılayabilmektedir. Örneğin aşağıdaki problem durumlarını inceleyelim (Carpenter vd, 1999):

Tuba’nın 7tane cevizi vardı. 4 tanesini yedi, geriye kaç cevizi kaldı?

Tuba’nın 4 cevizi var, 7 tane cevizi olabilmesi için kaç tane daha cevize sahip olması gerekir?

Tuba’nın 4 tane cevizi var. Sergen’in 7 tane cevizi var. Sergen’in cevizleri Tuba’nın cevizlerinden kaç fazladır?

Çocuklar üçü de aynı çıkarma işlemi gerektiren bu problemleri çözmek için farklı stratejiler ortaya koyabilmektedirler. Örneğin, birinci problemde 7 tane nesne alma, 4 tanesini çıkarma ve kalanı sayma; ikinci problem durumu için 4 tane nesne alma ve toplam 7 oluncaya kadar üzerine nesne koyma; üçüncü problem için ise 4 ve 7 den oluşan iki tane küme alma, onları alt alta dizme ve birbirine karşılık gelmeyen nesneleri sayma gibi stratejilere sıklıkla rastlanmaktadır (Carpenter vd, 1999). Bu stratejiler çocukların aynı çıkarma işlemi gerektiren problemleri farklı algılayabildiklerini göstermektedir (Erdoğan & Erdoğan, 2009; 33).

Yukarıda ki problemler için çocukların farklı algılamalara sahip olmalarını her bir problemin ifadesinin içerdiği eylem ile açıklamak mümkündür. Bu düşünceden yola çıkarak farklı araştırmacılar sözel olarak ifade edilen problemler için bazı sınıflamalar önermektedir (Carpenter vd, 1999, Riley vd, 1983, Vergnaud, 1982). Örneğin, Carpenter ve arkadaşlarına göre problem içindeki eylem ve miktarlar arasındaki ilişkiye göre dört çeşit problem türünden bahsedilebilir.

 Bileşik Problemler: İki kümenin elemanlarının toplanarak yeni bir küme oluşturulmasını sağlayan problemlerdir. Bu tür problemler de başlangıç miktarında bir değişme söz konusu olduğundan bir eylem içermektedir.  Ayrık Problemler: Verilen bir kümeden belirli bir sayıda elemanın

çıkartılmasını gerektiren problemlerdir. Bu tür problemlerde, başlangıçtaki miktarda bir azalma söz konusu olduğundan yine bir eylem içermektedir.  Parça-parça-bütün Problemleri: Bir küme ve onun iki alt kümesi arasında

ilişki içeren problemlerdir. Bu problemlerde doğrudan veya dolaylı olarak bir eylem söz konusu değildir.

 Karşılaştırmalı Problemler: İki ayrı küme arasında karşılaştırma içeren problemlerdir.

Yukarıda ki dört problem türünden her biri bilinmeyen miktarın ne olduğuna bağlı olarak (sonuç miktarı, değişim miktarı veya başlangıç miktarı) alt problem türlerine ayrılmaktadır (Erdoğan & Erdoğan, 2009; 34).

Bir sözel problem cümlesinin ifade şekli ve içerisinde barındırdığı kelimelerde öğrencileri farklı algılamalara veya farklı stratejilere götürebilmektedir. Örneğin yukarıda verilen örneklerde toplam ve fark gibi ifadeler yerine hepsi beraber ve daha az

gibi ifadeler çocukların problemi anlamasını kolaylaştırmaktadır (Erdoğan & Erdoğan, 2009; 36)

Tablo 2.5. Toplama ve Çıkarma Problem Türleri (Carpenter vd, 1999)

Ana Kategori Alt Kategori Sembolik model Örnek Problem

Bileşik

Bilinmeyen

Sonuç 5+?=12

Tuba’nın 5 cevizi vardı, Tuba’nın 12 cevizinin olabilmesi için kaç cevize daha ihtiyaç vardır?

Bilinmeyen

Değişim 5+7=?

Tuba’nın 5 cevizi vardı, Sergen ona 7 ceviz daha verdi. Tuba’nın kaç cevizi oldu?

Bilinmeyen

Başlangıç ?+7=12

Tuba’nın bir miktar cevizi vardır. Sergen ona 7 ceviz daha verdi ve Tuba’nın toplam 12 cevizi oldu Tuba’nın kaç cevizi

vardır?

Ayrık

Bilinmeyen

Sonuç 12-7=?

Tuba’nın 12 cevizi vardı. Sergen’e cevizlerinden 7 tane verdi, kaç tane cevizi kaldı?

Bilinmeyen

Değişim 12-?=5

Tuba’nın 12 cevizi vardı, Sergene bir miktarını verdi şimdi ise 5 cevizi kaldı. Sergene kaç ceviz verdi? Bilinmeyen

Başlangıç ?-7=5

Tuba’nın bir miktar cevizi vardı. 7 cevizi Sergen’e verdi, Tuba’nın 5 cevizi kaldığına göre başlangıçta Tuba’nın kaç

cevizi vardı? Parça-parça-

bütün

Bilinmeyen Bütün 5+7=? Tuba’nın 5 cevizi, 7 tanede fındığı var. Tuba’nın cevizlerinin ve fındıklarının toplamı kaçtır? Bilinmeyen Parça 12-7=? Tuba’nın 12 tane ceviz ve fındığı var. Tuba’nın 7 tane

cevizi varsa fındıkların sayısı kaçtır?

Karşılaştırma

Bilinmeyen Fark 12-7=? Tuba’nın 12 cevizi, Sergen’in 7 cevizi vardır. Tuba’nın Sergenden ne kadar fazla cevizi vardır? Bilinmeyen miktarı

karşılaştırma 7+5=?

Sergen’in 7 cevizi var. Tuba Sergenden 5 tane daha fazla cevize sahip olduğuna göre Tuba’nın kaç cevizi vardır? Bilinmeyen

Referans 12-5=?

Tuba’nın 12 cevizi var. Tuba’nın Sergen den 5 tane fazla cevizi olduğuna göre Sergenin kaç cevizi vardır?

2.4.2. Toplama ve Çıkarma Problemlerini Çözme Stratejileri ve Gelişimleri

Carpenter ve arkadaşlarının (1999) çalışması incelendiğinde toplama ve çıkarma problemlerini çözmek için üç tür strateji ve modellemenin ön plana çıktığı görülmektedir (Erdoğan & Erdoğan, 2009; 36).

Doğrudan Modelleme Stratejilerinde problemde geçen miktarları temsil etmek

için somut nesneler kullanılmaktadır. Bu nesneler abaküs, ahşap bloklar gibi sayma amacıyla tasarlanmış nesneler olabileceği gibi parmak gibi nesneler de olabilmektedir. Bu modelleme sistemi, nesnelerin miktarlarını temsil eden sayıların toplamının veya farkının sayılarak bulunması işlemine dayanmaktadır. Örneğin, “Hakan’ın 4 şekeri vardı. Arkadaşı Fatih ona 5 tane daha verdi. Hakan’ın şimdi kaç arabası oldu?” veya

“Ayşe’nin 7 tane yumurtası vardı. 2 tanesi kırıldı. Ayşe’nin kaç yumurtası kaldı?” gibi problemler çocuklar tarafından küçük yaşlarda somut nesneler kullanımıyla modellenebilen problemlerdir.

Sayma Stratejileri doğrudan modelleme stratejilerine göre daha çok soyut

ilişkiler içermektedir. Örneğin, yukarıdaki birinci problemde sayma stratejisini kullanan bir çocuk 4 ile başlayıp üzerine 5, 6, 7, 8, 9 şeklinde sayarken 5 parmağını saydığı sayılara karşılık getirebilir. İkinci problemde ise, çocuk yine birinci problemde olduğu gibi 2’den 7 ye kadar parmaklarıyla sayabilmektedir (yukarı doğru sayma) veya 7’den 2 ye kadar geriye doğru sayabilmektedir (aşağı doğru sayma). Bu stratejide çocuk parmaklarını sadece sayma işlemini kolaylaştırmak için kullanmaktadır.

Sayı İlişkilerini Kullanma Stratejileri ise daha önceden bilinen sayı ilişkilerine

dayalı bir problem çözme yöntemidir. Bir çocuğun 4+5 toplamının 9 yaptığını daha önceden bildiğini farz edelim, 5+4 işleminin sonucunu bulmak için 5+5=10 yapar. Burada 5 ve 4 var, Yani 5+5-1=9 şeklinde düşünerek problemi çözmesi, sayı ilişkilerini kullanarak çözme stratejilerine örnek gösterilebilmektedir.

Yukarıda verilen üç farklı stratejinin, içerdiği soyutlama süreçlerine bağlı olarak, basitten karmaşığa doğru bir yol izlediğini görebiliriz. Doğrudan modelleme stratejilerinde çocuk sadece somut materyaller üzerinden problem çözerken, sayma stratejilerinde hem kümelerin eleman sayılarını soyut olarak düşünmesi hem de sayma işleminin başlangıç ve bitiş elemanlarını iyi belirlemesi ve aklında tutması gerekmektedir. Benzer şekilde, sayı ilişkileri kullanma stratejilerinde çocuğun belirli sayıları farklı şekilde birleştirmesi, ayırması ve onları yeni durumlara uydurması gerekmektedir. Sonuç olarak bu stratejilerin her birinin aktif olarak kullanımının veya bir stratejiden diğerine geçişin çocuğun bilişsel gelişimiyle doğrudan ilgili olduğu söylenebilmektedir. Carpenter ve arkadaşları (1999) bir çocuğun benzer problem durumlarında farklı stratejileri kullanabildiğini, ayrıca çocukların bu stratejileri belirli bir süre beraber kullanabileceğini de belirtmektedirler (Erdoğan & Erdoğan, 2009; 37).