Kavram Yanılgısı Türleri

Mevcut literatür kavram yanılgılarının farklı özelliklere sahip olduğunu göstermektedir. Bu bakımdan iki kavram yanılgısı türü ön plana çıkmaktadır: aşırı

genelleme (overgeneralisation) ve aşırı özelleme (overspecialisation ya da undergeneralisation) (Graeber & Johnson, 1991; Ben-Hur, 2006; Zembat, 2008; akt.

Bingölbali & Özmantar, 2009; 6).

2.3.2.1. Aşırı Genelleme

Zembat (2008; 43) yapmış olduğu araştırmalarda Graeber ve Johnson’un (1991) çalışmalarına dayanarak aşırı genellemeyi şu şekilde tanımlamıştır: belli bir sınıfa ait

kural, prensip veya kavramın diğer sınıflarda da işliyormuş gibi düşünülmesi ve diğer sınıflara da yayılmasıdır. Başka bir değişle matematiğin sadece bir alanında geçerli

olabilecek bir kuralın sanki bütün matematiksel konularda geçerli olduğunun düşünülmesidir. Bilindiği gibi öğrenciler ilköğretimin ilk yıllarında daha çok doğal sayılar kümesinin elemanları ile işlem yapmaktadırlar. Öğrenimlerinin ilk aşamasında çarpma işlemi ile ilgili olarak, öğrenciler herhangi iki doğal sayının çarpımında elde edilen sonucun çarpan ve çarpılandan daha büyük bir değer verdiğini sürekli bir şekilde tecrübe etmektedir. Benzer şekilde bir doğal sayının diğerine bölümünde, bölünenden daha küçük bir değer elde etme, yine öğrenciler tarafından sıkça tecrübe edilmektedir. Dolayısıyla Graeber’in (1993, akt. Zembat, 2008; 47) de ifade ettiği gibi bu durum öğrencilerde çarpma işleminin sonucu her zaman çarpan ya da çarpılandan daha

büyüktür ya da ‘bölme işleminin sonucu her zaman bölen ya da bölünenden daha küçüktür şeklinde bir kavrayış geliştirmelerine yol açmaktadır. Çarpma ve bölme ile

alakalı bu tarz kavrayışlar, doğal sayılar üzerinde yapılan işlemlerde doğru sonuçlar elde edilmesini sağlarken, tam sayılar, rasyonel sayılar ve bunlarla ilişkili olarak kesirlerle yapılan işlemlerde ise her zaman doğru sonuçlar vermemektedir (Bingölbali & Özmantar, 2009; 7).

Aşırı genellemeye güzel bir örnekte Tall ve Vinner’in (1981) çalışmalarında görülmektedir. Bu araştırmacıların da belirttiği gibi öğrenciler, süreklilik kavramını bu kelimenin günlük hayatta ki kullanımı üzerine yapılandırmaktadırlar. Süreklilik

kavramı, Özmantar ve Yeşildere’nin (2008) de ifade ettiği gibi, günlük yaşamda aralıksız ve boşluksuz olma şeklinde anlaşılmaktadır. Bu durum öğrencilerde bir fonksiyonun sürekli olması için grafiğinin tek parça olması gerektiği veya grafiğinin

kalemi kağıttan kaldırmadan çizilmesi gerektiği tarzında bir kavrayış geliştirebilmelerine neden olabilmektedir (Özmantar &Yeşildere, 2008; 205). Bu durum bir çok sürekli fonksiyon için aslında doğrudur; çünkü birçok sürekli fonksiyonun grafiği tek parçadan oluşur ve bu fonksiyonların grafiklerini, kalemi kağıttan kaldırmadan çizebiliriz. Bu kavrayış her ne kadar birçok sürekli fonksiyon için doğru olsa da, bütün sürekli fonksiyonlar için doğru değildir. Örneğin ƒ(x) = fonksiyonu x≠0 iken, sürekli bir fonksiyondur ve Şekil 2.11’de da görüldüğü gibi bu fonksiyonun grafiği tek bir parçadan oluşmamaktadır (Tall & Vinner, 1981).

ƒ(x) = (x≠0)

Şekil 2.5. Tall ve Vinner’ın (1981) çalışmalarında kullandıkları grafiklerden bir tanesi

Öğrencilerin sürekli fonksiyonları grafiği tek parçadan oluşur ve grafiği, kalemi

kağıttan kaldırmadan çizilir şeklinde düşünmeleri kavram yanılgısının bir türü olan aşırı

genellemeye örnektir. Bu aşırı genellemenin sistematik hata üretmesi beklenir ki, Tall ve Vinner’ın (1981) bulguları bu yöndedir. Çalışmaya katılan 41 öğrenciden sadece 6 tanesi ƒ(x) = fonksiyonunu x≠0 iken sürekli bir fonksiyon olarak kabul etmişlerdir

(Bingölbali & Özmantar, 2009; 8).

2.3.2.2. Aşırı Özelleme

Aşırı özelleme, Bingölbali ve Özmantara (2009; 9) göre bir kuralın, prensibin

veya kavramın kısıtlı bir kavrayışa indirgenerek düşünülmesi ve kullanılmasıdır. Başka

bir deyişle matematiğin daha geniş bir alanında geçerli olabilecek bir kuralın, sadece tek bir boyuta veya konuya indirgenerek düşünülmesi ve kullanılmasıdır.

Aşırı genelleme için verdiğimiz sürekli fonksiyonlar örneğini, aşırı özelleme perspektifinde ele alabiliriz. Bir öğrencinin sürekli fonksiyonları, grafiklerini kalemi

kağıttan elimizi kaldırmadan çizebildiğimiz fonksiyonlardır şeklinde kavramsallaştırması aşırı bir genelleme olduğu gibi aynı zaman da aşırı bir özellemedir.

Çünkü öğrencinin sürekli fonksiyonları bu şekilde düşünmesinde aslında bir indirgeme de söz konusudur. Sürekli fonksiyonların bu şekilde algılanması bu fonksiyonların, grafiği sadece aralıksız olarak çizilebilen fonksiyonlara indirgenmesini zorunlu kılar; bu ise bir aşırı özelleme kavram yanılgısıdır. Çünkü bu türden bir aşırı özelleme ƒ(x) = (x≠0 iken) sürekli fonksiyonunu, sürekli fonksiyonlar kümesinin dışında bırakmaktadır. Aşırı özelleme bu yönüyle de öğrencilerde sistematik olarak hataların yapılmasına neden olabilecek bir kavram yanılgısı türüdür (Bingölbali & Özmantar, 2009; 9).

Aşırı özelleme için verilebilecek bir başka örnek ise dik üçgen kavramıdır. Öğrencilerin sıklıkla karşılaştığı dik üçgen modeli Şekil 2.6 ‘da gösterilmiştir. Dik üçgenlerin sadece Şekil 2.6’daki modele indirgenerek, dik kenarları değişik konumlarda yer alan üçgenlerin, dik üçgen olmadığının düşünülmesi aşırı özellemeye örnek olarak gösterilebilir.

Şekil 2.6. Bir dik üçgen şekli

Benzer bir örnek dikdörtgen kavramı için de söz konusudur. Ryan (2007) gerek öğretmenlere gerekse öğrencilere dikdörtgeni hayal edin, hayal ettiğiniz dikdörtgen

neye benzer? türünden bir soru yönelttiği zaman hemen hemen herkesin Şekil 2.7de

işaretli dikdörtgene benzer bir dikdörtgen çizdiklerini belirtmektedir. Kalıplaşmış bir düşünme tarzının yol açtığı bu sonuçlar, Ryan’ın işaret ettiği gibi kare şeklinin, bir dikdörtgen olarak kabul edilmemesine neden olmaktadır.

*

Şekil 2.7. Dikdörtgenler ve kareler: Kalıplaşmış dikdörtgen işaretlenmiştir (Ryan, 2007;

20).

Kavram yanılgısının bir türü olan aşırı özelleme, Ben Hur’un da (2006; 46) işaret ettiği gibi özellikle var olan kavramın kısıtlı kavranmasından

kaynaklanabilmektedir. Öğrencinin ilgili kavramı ya da kuralı kısıtlı bir şekilde kavramsallaştırması aşırı özellemeye neden olabilmektedir.